文档内容
第 10 讲 章节复习专题：三角形的证明
目录
【考点一 利用等腰（等边）三角形的性质求解】................................................................................................3
【考点二 含30°的直角三角形性质的应用】.......................................................................................................6
【考点三 利用垂直平分线的性质求解】................................................................................................................9
【考点四 利用角平分线的性质求解】..................................................................................................................13
【考点五 垂直平分线于角平分线的综合问题】..................................................................................................17
【考点六 等腰三角形性质和判定的综合问题】..................................................................................................22
【考点七 等边三角形性质和判定的综合问题】..................................................................................................28
【考点八 等腰（等边）三角形中的动点问题】..................................................................................................34
【考点九 与等腰（等边）三角形有关的新定义型问题】..................................................................................40
【知识点01】等腰三角形
1．等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．
等腰三角形的其他性质：
（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．
（2）等腰三角形两底角的平分线相等．
（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角
都是45°．
2．等腰三角形的判定
判定等腰三角形的方法：
（1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．
【注意】
（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有
判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．
（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性
质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．
【知识点02】等边三角形
1．等边三角形及其性质
等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形．
等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ．
【注意】
（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．
2．等边三角形的判定
定等边三角形的方法：
（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
3．含30°角的直角三角形的性质
一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【注意】（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更
不能应用．
（2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系．
（3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．
（4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的
角转化后，再利用这个性质解决问题．
【知识点03】线段垂直平分线
1．线段垂直平分线的定义及其性质
（1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段
AB的垂直平分线上，则PA=PB．
（3）判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若
PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．
【知识点04】角的平分线的性质
1．作已知角的平分线
用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（2）分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
（3）画射线OC．射线OC即为所求．
如图所示：
★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）．
2．角的平分线的性质
内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【提示】
（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；
（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；
（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；
（4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导
其他结论．
3．角的平分线的判定
（1）内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
（2）角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，
角的外部的点不会在角的平分线上．
【知识点05】最短路问题
（1）求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即
为所求的位置．
（2）求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称
点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置．【考点一 利用等腰（等边）三角形的性质求解】
例题：（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，在 中， ， ， ， 分别是边 ， ，
AB上的点，且 ， ．若 ，则 的度数为 °．
【变式训练】
1.（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在 中， ，点E为边 的中点， ，交
于点D，若 ， ，则 的长为 ．
2.（24-25八年级上·全国·期末）如图，在四边形 中， ， 交 于点 ，交 于
点 ， ， ，则 ．
3.（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图， 是等边三角形， 是中线，延长 至点E，使
．
(1)求证： ；
(2)过点D作 垂直于 ，垂足为F，若 ，求 的周长．
【考点二 含30°的直角三角形性质的应用】例题：（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，在 中 ， ，线段 的垂直平分
线分别交 、 于点D、E、连接 、若 ，则 的长为 ．
【变式训练】
1.（23-24八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在 中， 垂直平分 ，交
于点E， ，则 的值为 cm．
2.（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，在 中， 垂直平分 ，垂足为点 ，
交 于点 ，连接 ，若 ，则 的长为 ．
3.（24-25八年级上·甘肃定西·期末）在 中， ， ， ， 为 的中点，
为 上一动点，连接 ， ，则 的最小值是 ．
【考点三 利用垂直平分线的性质求解】
例题：（23-24八年级下·甘肃张掖·期末）如图，在 中，点 是 边上的一点，连接 ， 垂直
平分 ，垂足为 ，交 于点 ．连接 ．(1)若 的周长为 ， 的周长为 ，求 的长；
(2)若 ， ，求 的度数．
【变式训练】
1.（23-24八年级上·湖南郴州·期末）如图所示：线段 的垂直平分线 交 于点D，交 于点E．
(1)若 ， 的周长是18，求 的长；
(2)若 的周长为18， ， ，求 的长．
2.（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在 中， ， 于点 ， 平分
交 于点 ，交 于点 ，点 是线段 上一点，且满足 ，连接 交 于点O．
(1)请判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)求证： ；
(3)若 ， ，求 的长．
【考点四 利用角平分线的性质求解】
例题：（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，在 中， ， ，按如图所示
的方式作射线 交 于点 ，若 ，则 ．
【变式训练】
1.（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在 中， 平分 ， 于点 ，连接 ，
若 ， ，则 的面积是 ．2.（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，在四边形 中， 平分 ，且 ．
(1)求证： ；
(2)如图2，其余条件不变，若 ______ ．
(3)如图3，其余条件不变，若 ，判断 的数量关系，并说明理由．
【考点五 垂直平分线于角平分线的综合问题】
例题：（23-24八年级上·山东滨州·期末）在 中 ，AD是 的平分线，DE是线段AB
的垂直平分线．
(1)求 的大小；
(2)求证： ．
【变式训练】
1.（23-24八年级上·江苏盐城·期中）已知：如图， 角平分线与 的垂直平分线 交于点D，
， ，垂足分别为E、F．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
2.（23-24八年级下·四川巴中·期末）如图， 的外角 的平分线交 边的垂直平分线于P点，
于D， 于E．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
3.（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，在 中， 是高， ， 是角平分线， 交 于点
， ， ．
(1) ______°；
(2)若 ， ，求 的面积；
(3)作图：在线段 上求作一点 ，使得 最小（保留作图痕迹）．
【考点六 等腰三角形性质和判定的综合问题】
例题：（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形 中，对角线 与 交于点 ，已知
， ， ．(1)试说明： 是等腰三角形；
(2)若 ， ，求 的长；
(3)若 ， ，求 的度数．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在等腰 中， ， ，点D在线段 上运
动（D不与B、C重合），连接 ，作 ， 交线段 于点E．
(1)当 时， °；点D从点B向点C运动时， 逐渐变 （填“大”或
“小”）；
(2)当 等于多少时， ，请说明理由；
(3)在点D的运动过程中， 的形状也在改变，判断当 等于多少度时， 是等腰三角形．
2．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）（1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组
合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图1， 是 的中线，延长 至点 ，使 ，连
接 ．利用全等将边 转化到 ．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 ，另
外他还得到了 和 的位置关系是 ；
（2）问题解决：如图2， 是 的中线， ，点 在 的延长线上， ，求
证： ；
（3）问题拓展：如图3， 中， ， ，点 在线段 上，连接 ， ，
．若点 为 中点， 交 于点 ，求 和 的数量关系．
【考点七 等边三角形性质和判定的综合问题】例题：（24-25八年级上·全国·期末）已知 是等边三角形， 是 的中点，点 在射线 上，点
在射线 上， ．
(1)如图①，若点 与点 重合，求证： ；
(2)如图②，若点 在线段 上，点 在线段 上， ，求 的值．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）已知， 中， ．
(1)如图①，求证： ；
(2)如图②， 是 外一点，连接 、 ，且 ，作 的平分线交 于点 ，若
，则 ________；
(3)如图③，在（2）的条件下，连接 交 于点 ，若 ， ，求 的长．
2．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，在 中， ，D为直线 上一动点（不与点B，
C重合），在 的右侧作 ，使得 ，连接 ．
(1)当D在线段 上时，求证： ．
(2)请判断点D在何处时， ，并说明理由．
(3)当 时，若 中最小角为 ，直接写出 的度数．
【考点八 等腰（等边）三角形中的动点问题】
例题：（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在等边三角形 中，点 在直线 上， ，点 是直线 上一动点，以线段 为一边在其右侧作等边三角形 ，连接 、 ．
(1)如图①，当点 在点 右侧时， 的度数是______；
(2)如图②，当点 在点 左侧时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，写出你认
为正确的结论，并说明理由；
(3)若条件中的等边三角形改为等腰三角形（如图③）， ， ，且 ，其
它条件不变，在点 运动的过程中，当 时，请直接写出 的度数．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·山东威海·期末）【问题情境】
在等边 中，射线 平分 ，交 于点O，点E是 上一动点， ， ，连
接 ，CF．
【探究发现】
（1）如图Ⅰ，若点E在线段 上．
①求证： ；
②直接写出 与 间的数量关系： ；
（2）如图Ⅱ，若点E在射线 上，（1）中 与 间的数量关系是否成立？若成立，说明理由；
若不成立，写出新的数量关系，并进行证明；
【拓广延伸】
（3）如图Ⅲ，点E，D在射线 上， ， ，连接 ，求 的度数．
2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）综合与实践课上，李老师以“发现−探究−拓展”的形式，培养学生
数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示：（1）如图，在等腰 中， ，点D为线段 上的一动点（点D不与A，B重合），以 为
边作等腰 ， ， ，连接 ．解答下列问题：
【观察发现】
①如图11−1，当 时，线段 ， 的数量关系为 ， °；
【类比探究】
②如图11−2，当 时，试探究线段 与 的位置关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（2）如图11−3，四边形 中， ， ，连接 ，若 ，则四边形
的面积为多少？（直接写出结果）．
【考点九 与等腰（等边）三角形有关的新定义型问题】
例题：（23-24七年级下·上海普陀·期末）小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡
点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识
和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题
的解答或有关的填空．
【阅读定义】如图1， 内有一点P，满足 ，那么点P称为 的“布洛卡
点”，其中 、 、 被称为“布洛卡角”．如图2，当 时，点Q
也是 的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”．
【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由）
问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度；
问题2：在等腰三角形 中，已知 ，点M是 的一个“布洛卡点”， 是“布洛卡
角”．
（1） 与 的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行
说理．
（2）当 （如图4所示）， 时，求点C到直线 的距离．【变式训练】
1．（23-24七年级下·山西运城·期末）阅读与思考
阅读下列材料，并解决相应的问题．
定义：如图1，线段 把等腰三角形 分成 与 ，如果 与 均为等腰三角形，那
么线段 叫做 的完美分割线．
(1)如图1，在 中， ， ， 为 的完美分割线，则 ______ ，
______ ．
(2)如图2，在 中， ， 为 的完美分割线， ，求 的度数．
(3)如图3，在等腰三角形纸片 中， ， 是它的一条完美分割线， ，将 沿
折叠，使点 落在点 处， 交 于点 ，请直接写出图中所有以 为边的等腰三角形．
2．（23-24八年级上·湖北鄂州·期末）问题情境：
定义：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且这两个等腰三角形的腰也分别相
等，则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”．
特例证明：
（1）如图1，若 与 互为“顶补等腰三角形”． ， 于 ， 于 ，
求证： ；
拓展运用：
（2）如图2，在四边形 中， ， ， ， ，在四边形 的内部
是否存在点 ，使得 与 互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明；若不存在，请说明
理由．
