文档内容
第 10 讲 章节复习专题：三角形的证明
目录
【考点一 利用等腰（等边）三角形的性质求解】................................................................................................3
【考点二 含30°的直角三角形性质的应用】.......................................................................................................6
【考点三 利用垂直平分线的性质求解】................................................................................................................9
【考点四 利用角平分线的性质求解】..................................................................................................................13
【考点五 垂直平分线于角平分线的综合问题】..................................................................................................17
【考点六 等腰三角形性质和判定的综合问题】..................................................................................................22
【考点七 等边三角形性质和判定的综合问题】..................................................................................................28
【考点八 等腰（等边）三角形中的动点问题】..................................................................................................34
【考点九 与等腰（等边）三角形有关的新定义型问题】..................................................................................40
【知识点01】等腰三角形
1．等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．
等腰三角形的其他性质：
（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．
（2）等腰三角形两底角的平分线相等．
（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角
都是45°．
2．等腰三角形的判定
判定等腰三角形的方法：
（1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．
【注意】
（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有
判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．
（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性
质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．
【知识点02】等边三角形
1．等边三角形及其性质
等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形．
等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ．
【注意】
（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．
2．等边三角形的判定
定等边三角形的方法：
（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
3．含30°角的直角三角形的性质
一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【注意】（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更
不能应用．
（2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系．
（3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．
（4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的
角转化后，再利用这个性质解决问题．
【知识点03】线段垂直平分线
1．线段垂直平分线的定义及其性质
（1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段
AB的垂直平分线上，则PA=PB．
（3）判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若
PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．
【知识点04】角的平分线的性质
1．作已知角的平分线
用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（2）分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
（3）画射线OC．射线OC即为所求．
如图所示：
★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）．
2．角的平分线的性质
内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【提示】
（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；
（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；
（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；
（4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导
其他结论．
3．角的平分线的判定
（1）内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
（2）角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，
角的外部的点不会在角的平分线上．
【知识点05】最短路问题
（1）求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即
为所求的位置．
（2）求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称
点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置．【考点一 利用等腰（等边）三角形的性质求解】
例题：（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，在 中， ， ， ， 分别是边 ， ，
AB上的点，且 ， ．若 ，则 的度数为 °．
【答案】
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质．利用等腰三角形
的两个底角相等的性质、已知条件“ ， ”，根据全等三角形的判定定理 推知
；由三角形的内角和定理和等腰三角形的性质求得 ；然后根据全等三角形
对应角相等得 、三角形的外角性质、等量代换求得 ．
【详解】解： ，
，
在 与 中，
，
．
．
，
．
，
．
故答案为： ．
【变式训练】
1.（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在 中， ，点E为边 的中点， ，交
于点D，若 ， ，则 的长为 ．
【答案】8【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．连接
，根据 垂直平分 ，得出 ，根据等腰三角形的性质得出 ，证明
，得出 ，即可得到结论．
【详解】解：连接 ，如图所示：
∵点E为边 的中点， ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：8．
2.（24-25八年级上·全国·期末）如图，在四边形 中， ， 交 于点 ，交 于
点 ， ， ，则 ．
【答案】 /45度
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、两直线平行同位角相等、等腰三角形的性质和判定、全等的性质
和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角
形的性质等知识，熟练运用相关知识是解题关键．首先根据平行线的性质可得 ，再证明
，由全等三角形的性质可得 ，即 为等腰三角形，然后计算 的值即可．
【详解】解：∵ ， ，∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
3.（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图， 是等边三角形， 是中线，延长 至点E，使
．
(1)求证： ；
(2)过点D作 垂直于 ，垂足为F，若 ，求 的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形
【分析】（1）等边三角形三线合一，得到 ，等边对等角结合三角形的外角，推出
，进而得到 ，即可；
（2）易得 是含30度角的直角三角形，进而得到 ，中线得到 ，求出 的长，
即可．
【详解】（1）证明：∵ 是等边三角形， 是中线，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，∴ ．
∴ ．
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴
∴在 中， ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角，含30度角的直角三角形．
熟练掌握三线合一，等边对等角，等角对等边，以及30度的角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键．
【考点二 含30°的直角三角形性质的应用】
例题：（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，在 中 ， ，线段 的垂直平分
线分别交 、 于点D、E、连接 、若 ，则 的长为 ．
【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了垂直平分线的性质与直角三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键，
根据垂直平分线的性质可得到 ，进而得到 ，再根据直角三角形的性质可得 ，
从推出 的长．
【详解】解：∵在 中， ， ，
∴ ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，∴ ．
故答案为：4．
【变式训练】
1.（23-24八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在 中， 垂直平分 ，交
于点E， ，则 的值为 cm．
【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质，根据线段垂直平分线的性质得到
，求出 ，由此得到 ，利用直角三角形的性质求
出 的值
【详解】解：∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴
∴
∵ ，
∴
故答案为3
2.（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，在 中， 垂直平分 ，垂足为点 ，
交 于点 ，连接 ，若 ，则 的长为 ．
【答案】
【知识点】等边对等角、直角三角形的两个锐角互余、含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质
【分析】本题考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，由 ，
可得 ，由线段垂直平分线的性质可得 ，进而得
，即得 ，最后根据 角所对的直角边等于斜边的一半即可
求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ，∴ ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
3.（24-25八年级上·甘肃定西·期末）在 中， ， ， ， 为 的中点，
为 上一动点，连接 ， ，则 的最小值是 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短、轴对称中的光线反射问题、三线合一、等边三角形的判定和性质
【分析】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），直角三角形的两个锐角互余，含
度角的直角三角形，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，三线合一，三角形的面积公式，等式的性
质 ，线段垂直平分线的性质，垂线段最短等知识点，熟练掌握用做对称的方法解决最短路线问题是解题
的关键．
作 关于 的对称点 ，连接 ， ， ，由 ， 可得 ，
，根据轴对称的性质可得 ， 是 的垂直平分线，进而可得 ，于是证得
是等边三角形，则 ，由三线合一可得 ，进而利用三角形的面积公式可得
，由垂直平分线的性质可得 ，于是可得 ，根据垂线段最短可知
，于是可得答案．
【详解】解：如图，作 关于 的对称点 ，连接 ， ， ，
， ，
， ，
是 关于 的对称点，根据轴对称的性质可知， ， 是 的垂直平分线，
，
，
是等边三角形，
，
为 的中点，
，
，且 ，
，
是 的垂直平分线，
，
，
垂线段最短，
，
即： ，
的最小值是 ，
故答案为： ．
【考点三 利用垂直平分线的性质求解】
例题：（23-24八年级下·甘肃张掖·期末）如图，在 中，点 是 边上的一点，连接 ， 垂直
平分 ，垂足为 ，交 于点 ．连接 ．
(1)若 的周长为 ， 的周长为 ，求 的长；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【知识点】全等三角形综合问题、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分
线的性质
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，
三角形的外角的性质，掌握全等三角形的性质和判定是解本题的关键．
（1）先证明 ， ，结合 的周长为 ， 的周长为 ，可得
，从而可得答案；（2）先求解 ，证明 ，再利用三角形全等的性质可得答案；
【详解】（1）解： 是线段 的垂直平分线，
， ，
的周长为 ， 的周长为 ，
， ，
，
；
（2） ， ，
，
在 和 中，
，
，
，
．
【变式训练】
1.（23-24八年级上·湖南郴州·期末）如图所示：线段 的垂直平分线 交 于点D，交 于点E．
(1)若 ， 的周长是18，求 的长；
(2)若 的周长为18， ， ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】线段垂直平分线的性质
【分析】此题考查了垂直平分线的性质，
（1）首先根据垂直平分线的性质得到 ，然后结合题意得到 ，求出 ，进
而求解即可；
（2）根据 的周长为18， 得到 ，然后由 垂直平分 求出 ，进
而求解即可．
【详解】（1）∵ 垂直平分
∴∵ 的周长是18，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴ ；
（2）∵ 的周长为18，
∴
∵ ，
∴ ，即
∵ 垂直平分
∴
∴
∴
∵ 垂直平分
∴ ．
2.（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在 中， ， 于点 ， 平分
交 于点 ，交 于点 ，点 是线段 上一点，且满足 ，连接 交 于点O．
(1)请判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)求证： ；
(3)若 ， ，求 的长．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)见解析
(3)10
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的性质、同位角相等两直线平行、三角形内角
和定理的应用
【分析】本题是四边形的综合题，考查了平行线的判定，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形面积的计算，角平分线的性质，正确地识别图形是解题的关键．
（1）根据三角形的内角和定理 ，得到 ，根据平行线的判定定理
得到结论；
（2）根据角平分线的性质得到 ，根据全等三角形的判定定理得到 ；
（3）由（2）知， ，根据线段垂直平分线的性质得到CG⊥BE，根据三角形的面积公式
即可得到结论．
【详解】（1）解： ，
理由：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ；
（3）解：由（2）知， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 的长为10．
【考点四 利用角平分线的性质求解】
例题：（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，在 中， ， ，按如图所示
的方式作射线 交 于点 ，若 ，则 ．【答案】9
【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作角平分线(尺
规作图)、角平分线的性质定理
【分析】本题考查角平分线的尺规作图和角平分线定理，先根据画图得到 为 的角平分线，再证
明 ，再证明 是等腰三角形，从而得到 ，即可求得答案．
【详解】解：如下图所示，过点M作 ，垂足为D，
由题意得， 为 的角平分线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：9．
【变式训练】
1.（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在 中， 平分 ， 于点 ，连接 ，若 ， ，则 的面积是 ．
【答案】
【知识点】角平分线的性质定理
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点 作 于点 ，根据 平分 ， ，
得到 ，根据面积公式求出三角形的面积，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解
题的关键．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ 的面积 ，
故答案为： ．
2.（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，在四边形 中， 平分 ，且 ．
(1)求证： ；
(2)如图2，其余条件不变，若 ______ ．
(3)如图3，其余条件不变，若 ，判断 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)60(3) ，见解析
【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、角平分线的性质定理、全等三角形综合问
题
【分析】（1）过点C作 于点E， 交 延长线于点F，角平分线的性质，得到 ，
证明 ，即可得证；
（2）延长 交于点E，证明 ，得到 ，证明
，进而求出 ，即可得出结果；
（3）过点C作 交 延长线于点E， 于点F，先证明 ，得到
，再证明 ，得到 ，根据线段的和差关系，以及含30度
角的直角三角形的性质，即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图，过点C作 于点E， 交 延长线于点F，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，延长 交于点E，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：60；
（3）解： ，理由如下：
如图，过点C作 交 延长线于点E， 于点F，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直
角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键．
【考点五 垂直平分线于角平分线的综合问题】
例题：（23-24八年级上·山东滨州·期末）在 中 ，AD是 的平分线，DE是线段AB
的垂直平分线．
(1)求 的大小；
(2)求证： ．
【答案】(1)30°
(2)见解析
【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质
定理
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．
（1）由角平分线的意义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，可得 ，再由
互余关系即可求得结果；
（2）由角平分线的性质定理得 ，在 中，由含30°角直角三角形的性质即可证明．
【详解】（1）解： ，
，，
平分 ，
，
是AB垂直平分线，
，
，
，
的度数为30°；
（2）证明：在 中， ，
，
平分 ， ， ，
，
，
．
【变式训练】
1.（23-24八年级上·江苏盐城·期中）已知：如图， 角平分线与 的垂直平分线 交于点D，
， ，垂足分别为E、F．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析；
(2) ．
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理
【分析】（1）连接 ，先由垂直平分线的性质得出 ，再由角平分线的性质得出 ，然
后由 证得 ，即可得出结论；
（2）由 证得 ，得出 ，则 ，推出
，即可得出结果．
本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是
解题的关键．
【详解】（1）证明：连接 ，∵D在 的垂直平分线上，
∴ ，
∵ ， ， 平分 ，
∴ ，
，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
2.（23-24八年级下·四川巴中·期末）如图， 的外角 的平分线交 边的垂直平分线于P点，
于D， 于E．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL）
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质：
（1）连接 、 ，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得 ，根据角平分线上的
点到角的两边距离相等可得 ，然后利用“ ”证明 和 全等，根据全等三角形对
应边相等证明即可；
（2）利用“ ”证明 和 全等，根据全等三角形对应边相等可得 ，再根据 、
的长度表示出 、 ，然后解方程即可．
【详解】（1）证明：连接 、 ，
点 在 的垂直平分线上，
，
是 的平分线，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）解：在 和 中，
，
，
，
， ，
，
即 ，
解得 ．
3.（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，在 中， 是高， ， 是角平分线， 交 于点
， ， ．(1) ______°；
(2)若 ， ，求 的面积；
(3)作图：在线段 上求作一点 ，使得 最小（保留作图痕迹）．
【答案】(1) ；
(2) 的面积 ；
(3)见解析图．
【知识点】线段垂直平分线的性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】（ ）根据角平分线的定义得出 和 ，进而利用三角形内角和定理解答即可；
（ ）根据三角形外角性质和等腰三角形的三线合一解答即可；
（ ）连接 ，交 于点 即可；
此题考查了三角形的角平分线，三角形的高，等腰三角形的性质和轴对称性质，解题的关键是熟练掌握以
上知识点的的应用．
【详解】（1）∵ ， ，
∴
∵ ， 是角平分线，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ,
∵ 是高，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积 ；
（3）如图，连接 ，交 于点 ，连接 ，由（ ）得 ，
∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
则 ，
∴点 即为所求．
【考点六 等腰三角形性质和判定的综合问题】
例题：（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形 中，对角线 与 交于点 ，已知
， ， ．
(1)试说明： 是等腰三角形；
(2)若 ， ，求 的长；
(3)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的
性质和判定
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识．
（1）证明 ，则 ，即可得到结论；
（2）由 得到 ， ，即可得到答案；
（3）由 得到 ， ，则 ，再求出
，根据三角形外角性质得到 ，则，即可得到 的度数．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ．
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
（2）∵ ，
∴ ， ，
∴ ；
（3）∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在等腰 中， ， ，点D在线段 上运
动（D不与B、C重合），连接 ，作 ， 交线段 于点E．
(1)当 时， °；点D从点B向点C运动时， 逐渐变 （填“大”或
“小”）；
(2)当 等于多少时， ，请说明理由；
(3)在点D的运动过程中， 的形状也在改变，判断当 等于多少度时， 是等腰三角形．
【答案】(1) ；小
(2)
(3) 或
【知识点】三角形内角和定理的应用、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理；
（1）由三角形内角和定理得 ， ，由点D从点B向点
C运动时， 越来越大，即可求解；
（2）当 时，由 可判定 ，即可求解；
（3）分类讨论：①当 时，②当 时，③当 时，即可求解；
掌握等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定，能由等腰三角形的腰不同进行分类讨论是解题的关键．
【详解】（1）解： ， ，
；
点D从点B向点C运动时， 越来越大，
越来越小；
故答案： ；小；
（2）解：当 时， ，
理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中
，
( )；
（3）解：当 为 或 时， 是等腰三角形，
①当 时，
，
；②当 时，
，
，
此时，点 与点 重合，不合题意；
③当 时，
，
，
，
；
综上所述：当 为 或 时， 是等腰三角形．
2．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）（1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组
合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图1， 是 的中线，延长 至点 ，使 ，连
接 ．利用全等将边 转化到 ．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 ，另
外他还得到了 和 的位置关系是 ；
（2）问题解决：如图2， 是 的中线， ，点 在 的延长线上， ，求
证： ；
（3）问题拓展：如图3， 中， ， ，点 在线段 上，连接 ， ，
．若点 为 中点， 交 于点 ，求 和 的数量关系．
【答案】（1） ； ；（2）见解析；（3）
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的性质
和判定
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，倍长中线法证全等；
（1）根据已知条件证明 ，得出 ，则 ；
（2）延长 至点 ，使 ，同（1）可得 ， ，证明 ，
进而证明 ，即可得证；
（3）延长 至点 ，使 ，由（1）可得 ， ，证明，进而证明 ，即可得证．
【详解】解：（1）∵ 是 的中线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：如图所示，延长 至点 ，使 ，
同（1）可得
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（3）如图所示，延长 至点 ，使 ，由（1）可得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
【考点七 等边三角形性质和判定的综合问题】
例题：（24-25八年级上·全国·期末）已知 是等边三角形， 是 的中点，点 在射线 上，点
在射线 上， ．(1)如图①，若点 与点 重合，求证： ；
(2)如图②，若点 在线段 上，点 在线段 上， ，求 的值．
【答案】(1)证明详见解析
(2)12
【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判
定和性质
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到 平分 ，求出 的度数，再利用三角形内角和定
理求出 ，再利用等腰三角形的性质求解．
（2）由等边三角形的性质易得 ，过点 作 交 于点 ，进而得到 是等边
三角形，然后利用 证明 ，进而得到 ，最后利用线段的和差来求解．
【详解】（1）证明： 是等边三角形，
．
是 的中点，
平分 ，
．
，点 与点 重合，
，
，
．
（2）解： 是等边三角形，
．
是 的中点，
．
如图3，过点 作 交 于点 ．，
是等边三角形，
，
．
，
，
，
，
即 ．
在 和 中，
，
，
，
．
【点晴】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线
的性质，三角形内角和定理，线段的和差．理解等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解
答关键．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）已知， 中， ．
(1)如图①，求证： ；
(2)如图②， 是 外一点，连接 、 ，且 ，作 的平分线交 于点 ，若
，则 ________；(3)如图③，在（2）的条件下，连接 交 于点 ，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)10
【知识点】含30度角的直角三角形、三线合一、等边三角形的判定和性质、多边形内角和问题
【分析】（1）已知条件结合三角形内角和定理证明 即可；
（2）先说明 为等边三角形，即 ，设 ，则 ，然
后根据四边形的内角和用x表示出 ，进而表示出 ，最后根据三角形内角和即可解答；
（3）如图：作 ，根据题意说明 ，进而说明 ，根据 ，得到
， ，利用直角三角形 的特征，设 ，则 ，然后根据线段的和
差列方程解答即可．
【详解】（1）证明：在 中有 ，
∵ ，
，
，
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
，
设 ，则 ，
在四边形 中有： ，
，
，
∵ 的平分线交 于点E，
，
，即 ，
，
故答案为：60°；
（3）如图，作 ，，
，
， 平分 ，
，
，
由（2）得 ，
，
，
，
，
，
，
设 ，
，
∴ ， ， ，
，
，
，
，
解得： ，
．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和、四边形内角和、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，
含 的直角三角形的性质等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．
2．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，在 中， ，D为直线 上一动点（不与点B，
C重合），在 的右侧作 ，使得 ，连接 ．(1)当D在线段 上时，求证： ．
(2)请判断点D在何处时， ，并说明理由．
(3)当 时，若 中最小角为 ，直接写出 的度数．
【答案】(1)见详解
(2)当点D在 中点时， ，理由见详解．
(3) 或 或
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据三线合一证明、等边三角
形的判定和性质
【分析】（1）根据 即可证明；
（2）D运动到 中点时， ；利用等腰三角形的三线合一即可证明；
（3）分D在线段 上、当点D在 的延长线上、点D在 的延长线上，画出四种图形，根据等边三
角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：若 ，
又∵ ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∴ 平分 ，
又∵ ，
∴ ，
∴当点D在 中点时， ；
（3）解：由（1）可知 ，
∴ ，当 时，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
①如图1：D在线段 上时，若 ，
则 ．
②如图2，点D在 的延长线上， ，
③如图3，点D在 的延长线上，此时 ， ．
④如图4， ．
综上所述，满足条件的 的度数为 或 或 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、等边三角形的判
定和性质，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会运用分类讨论思想．
【考点八 等腰（等边）三角形中的动点问题】
例题：（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在等边三角形 中，点 在直线 上， ，点 是直线 上一动点，以线段 为一边在其右侧作等边三角形 ，连接 、 ．
(1)如图①，当点 在点 右侧时， 的度数是______；
(2)如图②，当点 在点 左侧时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，写出你认
为正确的结论，并说明理由；
(3)若条件中的等边三角形改为等腰三角形（如图③）， ， ，且 ，其
它条件不变，在点 运动的过程中，当 时，请直接写出 的度数．
【答案】(1)
(2)成立，理由见解析
(3)
【知识点】两直线平行同旁内角互补、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、等边三角形的性质
【分析】（1）利用等边三角形性质可证明 ，从而得到 ，结合垂线性质
即可得出结果；
（2）利用等边三角形性质可证明 ，从而得到 ，结合垂线性质即可得出
结果；
（3）利用等腰三角形性质可证明 ，得到 ，结合垂线性质以及平行线性
质即可得出 ，从而得出结果．
【详解】（1）解： 为等边三角形，
，
为等边三角形，
，
， ，
，
，
，
，
，
；（2） 为等边三角形，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
当点P在点B左侧时，（1）中的结论仍然成立；
（3） 为等腰三角形， ，且 ，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线性质，垂
线性质，熟练掌握相关性质定理是解题关键．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·山东威海·期末）【问题情境】
在等边 中，射线 平分 ，交 于点O，点E是 上一动点， ， ，连接 ，CF．
【探究发现】
（1）如图Ⅰ，若点E在线段 上．
①求证： ；
②直接写出 与 间的数量关系： ；
（2）如图Ⅱ，若点E在射线 上，（1）中 与 间的数量关系是否成立？若成立，说明理由；
若不成立，写出新的数量关系，并进行证明；
【拓广延伸】
（3）如图Ⅲ，点E，D在射线 上， ， ，连接 ，求 的度数．
【答案】（1）①见解析；② ；（2）成立，理由见解析；（3）
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质
【分析】（1）①根据 证明 即可．
②由等边三角形的性质和角平分线的定义可得 ，由全等三角形的性质可得 ，
进而可得 ，由此可得 ．
（2）若点E在射线 上，（1）中 与 间的数量关系仍然成立，证法同第（1）小题．
（3）先根据 证明 ，则可得 ，又由 ， 得 ，
由 可得 ，进而可得 ， ．
【详解】解：（1）① 是等边三角形，
， ．
又∵ ，
即 ．
又 ，
．
② 是等边三角形，
∴ ，
∵ 平分
∴∵
∴
∴
即
∴ ．
故答案为：
（2）成立，理由如下：
是等边三角形，
， ．
又∵ ，
即 ．
又 ，
．
平分 ，
．
．
．
（3）在 和 中
， ，
∴ ．
．
， ，
．
，
．
．
，
．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，熟练
掌握以上知识是解题的关键．
2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）综合与实践课上，李老师以“发现−探究−拓展”的形式，培养学生
数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示：（1）如图，在等腰 中， ，点D为线段 上的一动点（点D不与A，B重合），以 为
边作等腰 ， ， ，连接 ．解答下列问题：
【观察发现】
①如图11−1，当 时，线段 ， 的数量关系为 ， °；
【类比探究】
②如图11−2，当 时，试探究线段 与 的位置关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（2）如图11−3，四边形 中， ， ，连接 ，若 ，则四边形
的面积为多少？（直接写出结果）．
【答案】（1）① ，90； ② ，理由见解析；（2）32
【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合
（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定
【分析】（1）①先证明 ，再利用 证明 ，由全等三角的性质可得出
， ，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得出 ，再
根据角的和差关系即可得出 ．②同①，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得出
，用 证明 ，用全等三角形的性质可得出 ，即可得出
，根据内错角相等，两直线平行得出 ．
（2）过A作 交 延长线于G，先证明 ，再根据角的和差关系得出
，利用 证明 ，由全等的性质得出 ， ，根据
得出 ，计算即可．
【详解】解：（1）①∵ ，
∴ ，
即 ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴
∴ ，故答案为： ，90．
② ，理由如下：
∵ ，
∴
即 ，
∵
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴
∴
∴ ，
（2）如图，过A作 交 延长线于G，
∵ ，
∴
∵
∴
又∵
∴
∵
∴
即
在 和 中，
∴∴ ，
∴
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，以及平行
线的判定，掌握全等三角形的判定以及性质是解题的关键．
【考点九 与等腰（等边）三角形有关的新定义型问题】
例题：（23-24七年级下·上海普陀·期末）小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡
点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识
和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题
的解答或有关的填空．
【阅读定义】如图1， 内有一点P，满足 ，那么点P称为 的“布洛卡
点”，其中 、 、 被称为“布洛卡角”．如图2，当 时，点Q
也是 的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”．
【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由）
问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度；
问题2：在等腰三角形 中，已知 ，点M是 的一个“布洛卡点”， 是“布洛卡
角”．
（1） 与 的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行
说理．
（2）当 （如图4所示）， 时，求点C到直线 的距离．
【答案】问题1：1，30；问题2：（1） ，（2） ，
【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的
性质和判定、等边三角形的性质
【分析】问题1：根据等边三角形的性质和“布洛卡点”的定义即可知其“布洛卡点”个数和角度；
问题2：（1）根据等腰三角形的性质可得 ，结合题意可知 ，则有
，利用三角形内角和定理可得 ，即可得到
；（2）过C点作 与D，根据可得 ，且 ，由题意得
，求得 ，
，则有 和 ， ，继而证明 ，则有
和 ，即可得到 ，可得点C到直线 的距离．
【详解】解：问题1：
由题意知三角形中有两个“布洛卡点”，
∵等边三角形每个角为 ，
∴两个“布洛卡点”重合为一个，且每个角为 ，
故答案为：1，30．
问题2：（1） ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵M是 的“布洛卡点”， 是“布洛卡角”，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
（2）过C点作 与D，如图，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴
，
，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查新定义下的三角形角度理解，涉及等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三
角形的判定和性质和三角形内角的应用，解得的关键是对新定义的理解，以及角度之间的转化．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·山西运城·期末）阅读与思考
阅读下列材料，并解决相应的问题．
定义：如图1，线段 把等腰三角形 分成 与 ，如果 与 均为等腰三角形，那
么线段 叫做 的完美分割线．
(1)如图1，在 中， ， ， 为 的完美分割线，则 ______ ，
______ ．
(2)如图2，在 中， ， 为 的完美分割线， ，求 的度数．(3)如图3，在等腰三角形纸片 中， ， 是它的一条完美分割线， ，将 沿
折叠，使点 落在点 处， 交 于点 ，请直接写出图中所有以 为边的等腰三角形．
【答案】(1)36，72；
(2) ；
(3) 或 或 或 ．
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握
以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由等边对等角得出 ，再由三角形内角和定理即可得出 的度数，由题意得出
为等腰三角形，即可得解；
（2）由等边对等角得出 ，由题意得出 和 均为等腰三角形，从而得出 ，
，再由三角形外角的定义及性质结合三角形内角和定理计算即可得出答案；
（3）由（2）可得： ，根据题意得出 、 是等腰三角形，从而得到
，由三角形外角的定义及性质得出 ，由折叠的性质可得：
为等腰三角形， ，再由三角形内角和定理得出 ，即可得解．
【详解】（1）解：∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ；
∵ 为 的完美分割线，
∴ 为等腰三角形，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ．
∵ 为 的完美分割线， ，
∴ 和 均为等腰三角形．
∴ ， ，
∴ ， ．
∴ ．
∵ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
（3）解：由（2）可得： ，∵ 是它的一条完美分割线， ，
∴ 、 是等腰三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由折叠的性质可得： 为等腰三角形， ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，
∴以 为边的等腰三角形为 或 或 或 ．
2．（23-24八年级上·湖北鄂州·期末）问题情境：
定义：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且这两个等腰三角形的腰也分别相
等，则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”．
特例证明：
（1）如图1，若 与 互为“顶补等腰三角形”． ， 于 ， 于 ，
求证： ；
拓展运用：
（2）如图2，在四边形 中， ， ， ， ，在四边形 的内部
是否存在点 ，使得 与 互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明；若不存在，请说明
理由．
【答案】（1）见解析；（2）存在，证明见解析
【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查等腰三角形性质，全等三角形判定及性质，三角形内角和定理．
（1）利用题意得 ，再判定 即可得到本题；
（2）连接 ，取 的中点 ，连接 ， ，证明 和 ，再利用三角形
内角和即可得到本题答案．
【详解】解：（1）证明：将图中角进行命名：，
与 互为“顶补等腰三角形”，
， ，
，
又 ， ，
， ， ，
，
又 ，
，
在 和 中，
，
；
（2）存在．
证明：连接 ，取 的中点 ，连接 ， ，
，
， ，
，
，
是 的中点，
， ．
，
又 ， ， ，
，，
，
与 互为“顶补等腰三角形”．
