文档内容
第一章 三角形的证明
1.1 等腰三角形
第4课时 等边三角形的判定及含 30°角的直角三角形的性质
学习目标：
1.能用所学的知识证明等边三角形的判定定理.
2.掌握含30°角的直角三角形的性质并解决有关问题.
自主学习
一、情境导入
如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路 (BC 为小路端点) 和一棵小树 (A为小树位置). 测
得的相关数据为：∠ABC = 60°，∠ACB = 60°，BC = 48 米，则 AC 长多少米？
合作探究
一、要点探究
知识点一：等边三角形的判定
探究：一个三角形满足什么条件时是等边三角形? 一个等腰三角形满足什么条件时是等边
三角形?请证明自已的结论，并与同伴交流.
猜想：
1证明：
归纳总结：
典例精析
例1 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC，
求证：△ADE 是等边三角形.
2变式：上题中，若将条件 DE∥BC 改为 AD＝AE， △ADE 还是等边三角形吗? 试说明理
由.
已知：如图，在等边三角形 ABC 中，AD＝AE.
求证：△ADE 是等边三角形.
知识点二：等边三角形的判定
操作：用两个含有 30° 角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？
想一想：在直角三角形中，30° 角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？
猜想：
已知：
求证：
总结：
例2 求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC 中，AB ＝ AC ，∠B ＝15°， CD 是腰 AB 上的高，
求证：CD ＝ AB.
3例3 已知：如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD ⊥ AB 于 D．
求证：BD＝
二、课堂小结
当堂检测
1. 已知△ABC 中，∠A = ∠B = 60°，AB = 3 cm，则 △ABC 的周长为_____cm.
2. 在△ABC 中，∠B = 90°，∠C = 30°，AB = 3，则 AC =_____，BC =______．
3. 已知：如图，AB = BC ，∠CDE = 120°， DF∥ BA，且 DF 平分∠CDE.
求证：△ABC 是等边三角形.
4参考答案
探究：一个三角形满足什么条件时是等边三角形?
一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形?
请证明自已的结论，并与同伴交流.
定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
已知：如图，∠A =∠B =∠C.
求证：△ABC 是等边三角形．
证明：∵∠A =∠ B，∴ AC = BC.
∵∠B =∠C，
∴ AB = AC.
∴ AB = AC = BC.
∴ △ABC 是等边三角形.
定理2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.
已知：若 AB＝AC，∠A＝60°.
求证：△ABC 是等边三角形．
证明：∵ AB = AC，∠A = 60°，
∴∠B =∠C = (180°－∠A) = 60°.
∴∠A =∠B =∠C.
∴ AB = AC = BC.
∴ △ABC 是等边三角形.
【验证】第二种情况：有一个底角是 60°.
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，∠B = 60°．
求证：△ABC 是等边三角形．
证明：∵ AB = AC，∠B = 60° (已知)，
∴∠C =∠B = 60° (等边对等角).
∴∠A = 60° (三角形内角和定理).
∴∠A =∠B =∠C = 60°.
∴△ABC 是等边三角形 (三个角都相等的三角形是等边三角形).
5归纳总结：
典例精析
例1 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC，
求证：△ADE 是等边三角形.
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A =∠B =∠C.
∵ DE∥BC，
∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
∴∠A =∠ADE =∠AED.
∴△ADE 是等边三角形.
变式：上题中，若将条件 DE∥BC 改为 AD＝AE， △ADE 还是等边三角形吗? 试说明理
由.
已知：如图，在等边三角形 ABC 中，AD＝AE.
求证：△ADE 是等边三角形.
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
∵ AD＝AE，
∴△ADE 是等腰三角形.
又∵∠A＝60°.
∴△ADE 是等边三角形.
知识点二：等边三角形的判定
操作：用两个含有 30° 角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？
想一想：在直角三角形中，30° 角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？
猜想：在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半.
已知：如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，∠A = 30°.
6求证： BC = AB.
证明：延长 BC 至点 D，
使 CD＝BC，连接 AD.
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ACD＝90°，∠B＝60°.
∵ AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC (SAS).
∴ AB＝AD ( 全等三角形的对应边相等).
∴ △ABD 是等边三角形
( 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形).
∴ BC＝ BD＝ AB.
定理：在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一
半．
几何语言：在△ABC 中，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°．
∴ BC ＝ AB．(在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半)
拓展推论：BC∶AC∶AB ＝
例2 求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC 中，AB ＝ AC ，∠B ＝15°， CD 是腰 AB 上的高，
求证：CD ＝ AB.
证明：在△ABC 中，
∵AB＝AC，∠B＝15°，
∴∠ACB＝∠B＝15°(等边对等角).
∴∠DAC＝∠B + ∠ACB ＝15° + 15°＝30°.
∵ CD 是腰 AB 上的高，∴∠ADC＝90°.
∴ CD＝ AC (在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°， 那么它所对的直角边等于斜
边的一半).
∴ CD＝ AB.
例3 已知：如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD ⊥ AB 于 D．
求证：BD＝ .
证明：∵∠A = 30°，CD⊥AB ，∠ACB = 90°，
∴ BC = ，∠B = 60°．
∴∠BCD = 30°．
7∴ BD = .
∴ BD =.
当堂检测
1.9
2.6，
3.证明：∵ AB＝BC，∴△ABC 是等腰三角形，
又∵∠CDE＝120°，DF 平分∠CDE，
∴∠EDF＝∠FDC＝60°.
又∵ DF∥ BA，∴∠FDC＝∠ABC＝ 60°.
∴△ABC 是等边三角形.
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