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第 04 讲 线段的垂直平分线和角平分线(8 类热点题型讲练)
1.理解线段垂直平分线，角平分线的概念；
2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；
3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算；
4.能够利用尺规作出三角形的垂直平分线和角平分线；
5.会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”.角平分线的性质
定理和判定定理的灵活运用.
知识点01 线段的垂直平分线
知识点02 角的平分线题型01 线段的垂直平分线的性质
【例题】（2023上·江苏常州·八年级校考阶段练习）如图，在 中， 是 的垂直平分线，
，D为 的中点．
(1)求证：
(2)若 ，则
【变式训练】
1．（2023下·全国·八年级专题练习）如图，在 中， ， 分别垂直平分 和 ，交 于 ，
两点， 与 相交于点 ．
(1)若 的周长为 ，求 的长；
(2)若 ，求 的度数．
2．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，在 中， 垂直平分 ，交 于点F， 于点
D， ，连接 ．(1)若 平分 ，求 的度数；
(2)若 的周长为 ， ，求 的长．
题型02 线段的垂直平分线的判定
【例题】如图， 中， ，连接 为是 上一点且 ．
(1)求证： 垂直平分 ．
(2)已知 求 的面积．
【变式训练】
1.如图， 为等边三角形， ， ， 相交于点E．
(1)求证： 垂直平分 ；
(2)求 的长；
(3)若点F为 的中点，点P在 上，则 的最小值为______．（直接写出结果）．
2.如图， 是等边三角形， 是中线，延长 至 ，使 ．(1)求证： ；
(2)过点A作 ，交 延长线于点 ，交 于 ，连接 ．
①若 ，则 ．
②求证： 垂直平分 ．
题型03 线段的垂直平分线的实际应用
【例题】如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到
三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在( )
A． 三边垂直平分线的交点 B． 三条角平分线的交点
C． 三条高所在直线的交点 D． 三条中线的交点
【变式训练】
1．如图，某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为 ，且三个小区不在同一直线
上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等．这所中学应建在（ ）
A． 的三条中线的交点 B． 三边的垂直平分线的交点
C． 三条角平分线的交点 D． 三条高所在直线的交点
题型04 线段的垂直平分线的尺规作图
【例题】如图，已知在 中， ．
(1)用尺规作 边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
(2) 边的垂直平分线分别交 于点D、E，连接 ，若 的周长是10，求 ．【变式训练】
1．某公司招收职工的试卷中有道题：如图，有三条两两相交的公路，为便于及时进行监控，防止违章，
这个监控仪器应安装在什么位置可以使离三个路口的交叉点的距离相等你能找到这个监控安装的位置吗？
（尺规作图，不写过程，保留作图痕迹）
2．如图，已知点 、点 以及直线 ．
(1)用尺规作图的方法在直线 上求作一点 ，使 ．（保留作图痕迹，不要求写出作法）；
(2)在（1）中所作的图中，连接 ，若 ，过点 作 于点 ，过点 作 于
点 ．求证：
题型05 角平分线的性质定理
【例题】（2023上·江苏连云港·八年级校考阶段练习）已知：如图 平分 ， ，
垂足分别为E、F，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．【变式训练】
1．（2023上·辽宁营口·八年级校考阶段练习）如图， ，点E是 的中点． 平分 ．
(1)求证： 是 的平分线；
(2)已知 ， ，求四边形 的面积．
2．（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图， 的角平分线与 的垂直平分线相交于点D，
， ，，垂足分别为E、F．
(1)求证： ；
(2)若 ，则 的周长 ______．
题型06 角平分线的判定定理
【例题】如图， ， 两点分别在射线 ， 上，点 在 的内部且 ， ，
，垂足分别为 ， ，且 ．(1)求证： 平分 ；
(2)如果 ， ，求 的长．
【变式训练】
1．如图， 于E， 于F，若 ．
(1)求证： 平分 ；
(2)写出 与 之间的等量关系，并说明理由．
2．如图，P是 上一点， 于点D， 于点E．F，G分别是 上的点．
．
(1)求证： 是 的平分线；
(2)若 ， ， ．求 的长．
题型07 角平分线性质的实际应用
【例题】三条公路将 三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，
要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）A．三条高的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
【变式训练】
1．如图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，
这个货物中转站可选的位置有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
题型08 作角平分线（尺规作图）
【例题】已知：如图，在 中， ， ．
(1)求作 的平分线，交 于点P．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，求 的角度？
【变式训练】
1．如图所示，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村坐落在两相交公路内（如图所
示）．医疗站必须满足下列条件：①使其到两公路距离相等；②到张、李两村的距离也相等．请你通过作
图确定点P的位置．一、单选题
1．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，在 中， ， ， 的垂直平分线交
于点 ，交 于点 ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·河南信阳·八年级统考期中）如图，射线 是 的平分线， ， ，若点
Q是射线 上一动点，则线段 的长度不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）在联合会上，有 、 、 三名选手站在一个三角形的三个
顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，
则凳子应放的最适当的位置是在 的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边中垂线的交点 D．三边上高的交点
4．（2023上·山东·九年级专题练习）如图，在 中， ， ，直线 垂直平分 ，
分别交 于点D，交 于点E，连接 ，则 等于（ ）A． B． C． D．
5．（2023上·浙江金华·八年级统考阶段练习）如图， 中， ， 的平分线 与边
的垂直平分线 相交于 ， 交 的延长线于 ， 于 ，下列结论：① ；
② ；③ 平分 ；④ ；正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
二、填空题
6．（2023上·江苏淮安·八年级校考阶段练习）如图， 的垂直平分线分别交 于点D和点E，连
接 ，则 的度数是 ．
7．（2023上·辽宁鞍山·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ， 平分 ， ，
，则点D到 的距离是 ．
8．（2023上·辽宁大连·八年级校考阶段练习）如图，在 中，分别以点 和点 为圆心，大于 的
为半径画弧，两弧交于点 ， ，作直线 ，交 于点 ，连接 ，若 的周长为 ，
，则 的周长为 ．9．（2023上·浙江宁波·八年级校考阶段练习）从一个角的顶点出发的两条射线， 如果把这个角分成三个
相等的角， 则这两条射线就叫这个角的三等分线．如图， 在 中， 点 是 与 三
等分线的交点， 若 ，则 的度数是 ．
10．（2023上·河北廊坊·八年级校联考期中）如图，已知在 中， ，点 ， 分别在边
， 上， 于 ， ， ．
（1）若 ，则 ；
（2）已知 ， ，则 的长是 ．
三、解答题
11．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，在 中， 边的垂直平分线分别交 于
点E、F，连接 ，作 于点D，且D为 的中点．
(1)试说明： ；
(2)若 ，求 的度数．12．（2023上·河南周口·八年级校联考阶段练习）如图，已知 中， 按下列要求作图（尺规
作图，保留作图痕迹，不必写作法）．
(1)作 边的垂直平分线，交 于点E，交 于点F；
(2)连接 ；
(3)作 的平分线，交 于点G．
13．（2023上·河南信阳·八年级统考期中）如图，在 中，D是 上一点， 于点F，连接
， 垂直平分 ．
(1)求证： 是 的平分线；
(2)若 的周长为18， 的面积为24， ，求 的长．
14．（2023上·四川南充·八年级四川省南充高级中学校考阶段练习）如图， 中，D为 的中点，
交 的平分线于E， ，交 于F， ，交 的延长线于G．(1)试问： 与 的大小如何？证明你的结论．
(2)若 ，试求 的长．
15．（2023上·北京·八年级期末）在 中， ， 的垂直平分线交 于N，交 的延长线
于M， 度．
(1)求 的度数；
(2)若将 的度数改为80°，其余条件不变，再求 的大小；
(3)你发现了怎样的规律？试证明；
(4)将（1）中的 改为钝角，（3）中的规律仍成立吗？若不成立，应怎样修改．
16．（2023上·四川内江·八年级四川省内江市第二中学校考阶段练习）如图，在 中， 分别
垂直平分 和 ，交 于 两点， 与 相交于点 ．(1)若 ，则 的度数为 ；
(2)若 ，则 的度数为 ；（用含 的代数式表示）
(3)连接 ， 的周长为 ， 的周长为 ，求 的长．
17．（2023上·湖南衡阳·八年级校考期末）如图， ， 平分 交 于D， ，
点M在 的垂直平分线上， 交 于O， 于点G， 于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长；
(3)若点D在 的垂直平分线上，试判断 的形状，并说明理由．
18．（2023上·新疆和田·八年级统考期末）数学活动：如图1，角的平分线的性质的几何模型，已知 平
分 ， 于点 ， 于点 ．(1)探究：如图2，点 是 上任意一点（不与 、 重合），连接 、 ，问题：请判断 与 的
数量关系，并证明你的结论．
(2)如图3，连接 ．问题：
① 垂直平分 吗？请说明理由．
②若 ， ，求 的周长．
