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第 09 讲 三角形的证明单元提升卷
（范围：全章，时间：120分钟，满分：120分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1．如果等腰三角形的三边长分别是x，2，6，那么x的值是（ ）
A．2 B．6 C．2或6 D．4或8
2．如图， 平分 是 上一点， 于点H，若 ，则点P到射线 的距离是
（ ）
A．5 B．2.5 C．10 D．7.5
3．如图，在 中， ， ，直线 是线段 的垂直平分线，交 于点 ，交 于
点 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
4． 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，下列判断正确的是（ ）
A．如果 ，则 是直角三角形
B．如果 ，则 是直角三角形
C．如果 ，则 是直角三角形
D．如果 ，则 是直角
5．秋天，枫叶红了，我们不禁想起杜牧的诗“远上寒山石径斜，白云深处有人家．停车坐爱枫林晚，霜
叶红于二月花．”这也让我们想起了岳麓山上的“爱晚亭”．如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰
是边 上的一点．下列条件不能说明 是 的角平分线的是（ ）
A． B． 与 的面积相等C． D．
6．如图，在 中，以点C为圆心，适当长为半径画弧，交 于点D，交 于点E，分别以点D、E
为圆心，大于 长为半径画弧，两弧相交于点F，射线 交 于点G．若 ， ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在 中， ， 是边 上的中线，点E，F分别为 和 上的动点，连接 ，
．若 ， ，则 的最小值为（ ）
A．4 B． C．5 D．6
8．如图，将 沿 折叠，使点A落在点 处，且 平分 ， 平分 ，若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图， 是边长为3的等边三角形，点Q是 边上一点， 于点D，点E为边 延长线
上一点，且满足 ，连接 交 于点F，则 的长为（ ）A． B． C．1 D．
10．如图，在 中， ， ，直角 的顶点P是 的中点，两边 ， 分别
交 ， 于点E，F，过点F作 于点H．现给出以下四个结论：
① ；② 是等腰直角三角形；③ ；④当 时， ，上
述结论中始终正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11．如图，在 中， ， ，点 为 的中点，则 ．
12．如图， 平分 ， ， ， 于点 ， ，则 的长为 ．
13．如图，在 中，已知 是 的角平分线，点D是 内一点，且 ，
， ，那么 °．
14．如图，在 中， ， ， ，则 的长为 ．15．如图，在等边△ 中，点 ， 分别在边 ， 上， ，过点 作 ，交 的
延长线于点 ，若 ，则CE的长是 ．
16．如图， 中， ， ， ，若点 从点A出发，以每秒 的速度沿折
线 运动，设运动时间为 秒（ ）．当点 运动到边 时，t为 秒时， 为等腰三
角形．
三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分.
17．如图， 中， ， 是边 上一点，过点 作 ，垂足为 ，交 的延长线于
点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的长．
18．如图：已知等边 中， 是 的中点， 是 延长线上的一点，且 ， ，垂
足为 ．(1)求 的度数．
(2)求证：点 是 的中点．
19．如图，在 中， ， ， 是 边上的中线，且 ， 的垂直平分
线 交 于F，交 于M．
(1)求 的度数；
(2)求证： 是等边三角形．
20．如图，点D是 外一点，连接 ， ，过点C作 ，垂足为E． ， ，
， 的面积为14．
(1)求证： 是 的平分线．
(2)若 ，求线段 的长．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
21．如图， 是 的角平分线， ， 分别是 和 的高．
(1)求证： 垂直平分 ；
(2)若 ， ， 的面积是 ，求 ．
22．如图，早上 一渔船以50海里/时的速度从海港A出发沿正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东 方向上，航行2个小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东 方向上，同时测得灯塔P正东方向的
避风港Q在B的北偏东 方向上．
(1)填空： __________ ， __________海里；
(2)求海港A与灯塔P之间的距离；（结果保留根号）
(3)天气预报显示当天 台风将登陆渔船所在海域，为安全起见，渔船立即沿 方向加速驶向避风港
Q．出于安全考虑，渔船至少需要比台风到达所在海域的时刻提前1个小时抵达避风港Q，求渔船加速后
的最小速度．（结果保留整数，参考数据： ， ， ）
23．已知点 ， 分别为射线 和 上的一动点（点 ， 都不与点 重合）．过点 作一条直线与
线段 交于点 ，对于线段 给出如下定义：若线段 可以将 拆分成两个等腰三角形，则称线
段 为 的“腰剖线段”．
(1)如图1，当 ，线段 时，画出 的“腰剖线段” ，并写出此时
______ ．
(2)如图2，当线段 时，若存在 的“腰剖线段” ，且 ，则 的面积为______．
(3)设 ．若存在 的“腰剖线段” ．直接写出 的大小（数字或含
的式子表示）．五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
24．如图，已知 为边长为 的等边三角形，AD为 边上的高， ， 分别为边 ， 上的动
点，将 沿直线 折叠，使点 的对应点 刚好落在AD上，连接 ．
(1)如图 ，当点 与 重合时，求线段 的长．
(2)如图 ，当 时，判断 的形状，并说明理由．
(3)如图 ，当 、 、 三点共线时，求 的度数．
(4)当 在何处时，点 是 的中点，请直接写出结果．
25．问题探索：
（1）如图1，在 中， ， ， 为 中点，点 分别在边 上且
，则 与 的数量关系是______；
问题解决：
（2）如图2，某大学校园内有一块四边形的花圃 ，满足 ， ， ，
，花圃内铺设了一条小路 ， 平分 ，为方便学生赏花，现计划修建一条径直的通
道 与小路 相连，且 ，入口点E恰好在 的延长线上，解答下列问题：
①求证： ，
②求入口到点A的距离 的长．
