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第一章 三角形的证明（A卷·知识通关练）
考点1 等腰三角形的性质
【方法点拨】掌握等腰三角形的性质：
1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
2.等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。
3.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。
1. 如图，在 中， ， 为 内的一点，且 ， ，则 的
大小为
A． B． C． D．
2. 已知等腰三角形的一边长为 ，周长为 ，则腰长为
A． 或 B． C． D． 或
3. 若一个等腰三角形的两边长分别为5和12，则该三角形的周长是
A．5 B．5或12 C．22或29 D．29
4. 已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为 ，那么这个等腰三角形的顶角等于
A． 或 B． C． D． 或
考点2 等腰三角形的判定
【方法点拨】掌握等腰三角形的判定：
等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。简称“等角对等边”牢记：（1）等腰三角形的性质“等边对等角”与等腰三角形的判定“等角对等边”的条件和结论正好相
反，要注意区分；
（2）判定定理可以用来判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据。
5. 下列三角形中，不是等腰三角形的是
A． B．
C． D．
6. 如图，平面直角坐标系中，已知 ， ．若在坐标轴上取点 ，使 为等腰三角形，则满足
条件的点 的个数是
A．5 B．6 C．7 D．8
7. 如图，在 中， ， 是高， 是中线， 是角平分线， 交 于点 ，交 于
点 ，下面说法正确的是
① 的面积等于 的面积；
② ；
③ ；
④ ．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④8. 如图，已知 ，在边 上顺次取点 ， ， ，在边 上顺次取点 ， ， ，使得
，得到等腰△ ，△ ，△ ，△
（1）若 ，可以得到的最后一个等腰三角形是 ；
（2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是△ ，则 的度数 的取值范围是
．
考点3 “三线合一”性质的应用
【方法点拨】等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。
9. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC，G为EF的中点，求证：AG⊥EF．
10. 在△ABC中，BC边上的高AG平分∠BAC．
（1）如图1，求证：AB＝AC；
（2）如图2，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BC＝10cm，DE＝6cm，求BD的长．11. 已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD．求证：BD＝
DE．
12. 如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC．
（1）若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N，求证：DM＝DN；
（2）若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N，问DM和DN有何数量关系，并证明．
考点4 等边三角形的判定与性质
【方法点拨】等边三角形的性质：
（1）等边三角形是轴对称图形，并且具有3条对称轴；
（2）等边三角形的每个角都等于60°。
等边三角形的判定：
（1）三边相等的三角形是等边三角形。
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有两个角是60°的三角形是等边三角形。
（4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。13. 如图，在边长为2的等边三角形 中， 为边 上一点，且 ．点 ， 分别在边 ，
上，且 ， 为边 的中点，连接 交 于点 ．若 ，则 的长为
A． B． C． D．
14. 已知：如图， 和 都是等边三角形， 是 延长线上一点， 与 相交于点 ， 、
相交于点 ， 、 相交于点 ，则下列五个结论：① ；② ；③
；④ ；⑤ 是等边三角形．其中，正确的有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
15. 如图，已知 中高 恰好平分边 ， ，点 是 延长线上一点，点 是线段 上一点
且 ，下面的结论：① ；② 是等边三角形；③ ；④
．其中正确的为 ．（填序号）
16. 如图，等边 的边长为6， ， 的角平分线交于点 ，过点 作 ，交 、于点 、 ，则 的长度为 ．
考点5 直角三角形全等的判定
【方法点拨】对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和
一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
17. 使两个直角三角形全等的条件是
A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．斜边及一条直角边对应相等
18. 如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是
A． B． C． D．
19. 下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是
A．斜边和一直角边对应相等 B．两个锐角对应相等
C．一锐角和斜边对应相等 D．两条直角边对应相等
20. 如图所示，已知在 中， ， ， 交 于点 ，若 ，则
A． B． C． D．
考点6 直角三角形性质的综合应用【方法点拨】掌握直角三角形两条重要的性质：（1）斜边上的中线为斜边的一半。
（2）30°角所对直角边为斜边一半。且两直角边成 倍关系。
21. 如图，直线 ， 如图放置，若 ， ，则 的度数为
A． B． C． D．
22. 如图， 沿直线 折叠，使点 与 边上的点 重合，若 ， ，则 等于
A． B． C． D．
23. 如图，从旗杆 的顶端 向地面拉一条绳子，绳子底端恰好在地面 处，若旗杆的高度为3.2米，则绳
子 的长度不可能是
A．3 B．3.3 C．4 D．5
24. 如图，在 中， ， ， 是 上一点， 于点 ， 于点 ，
则 的度数为
A． B． C． D．考点7 角平分线性质的应用
【方法点拨】掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等
牢记：（1）角平分线的性质是证明线段相等的一个比较简单的方法；
（2）当遇到有关角平分线的问题时，通常过角平分线上的点向角的两边作垂线，构造相等的线段。
25. 如图， ， 平分 ， 于点 ， 交 于点 ，若 ，则 的
长为
A．3 B．4 C．5 D．6
26. 如图， 平分 ， 于点 ，若 ，点 是边 上一动点，关于线段 叙述正确的
是
A． B． C． D．
27. 如图，在 中， 为 的平分线， 于 ， 于 ， 的面积是 ，
， ，则 的长A． B． C． D．
28. 如图， ， ，垂足分别为 、 ． ，若 ，则 ．
考点8 线段垂直平分线性质的应用
【方法点拨】掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
注意：（1）这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。
（2）在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于这条线段，二是平分这条线段。
29. 如图，在 中， 的垂直平分线 与边 ， 分别交于点 ， ．已知 与 的周长
分别为 和 ，则 的长为
A． B． C． D．
30. 如图，在 中， 是 的垂直平分线，且分别交 、 于点 和 ， ， ，
则 为
A． B． C． D．31. 如图， ， 分别是线段 ， 的垂直平分线，连接 ， ，则
A． B． C． D．
32. 如图，在 中， 的垂直平分线分别交 ， 于点 ， ．若 的周长为22， ，则
的周长为
A．26 B．20 C．18 D．14
考点9 等腰三角形与全等三角形的综合
33. 如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝45°，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，BE与AD相交于F．
（1）求证：BF＝AC；
（2）若CD＝3，求AF的长．
34. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE
的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：CD＝BF；（2）求证：AD⊥CF；
（3）连接AF，试判断△ACF的形状．
35. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D是BC的中点，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，交AD
于点F．
（1）求证：AE＝CE；
（2）求证：△AEF≌△CEB．
36. 如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD，交
于点F．
（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．
考点10 与三角形有关的动点问题
37. 如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，
已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时
M、N运动的时间．
38. 已知△ABC中，AC＝BC，∠C＝120°，点D为AB边的中点，∠EDF＝60°，DE、DF分别交AC、BC于
E、F点．
（1）如图1，若EF∥AB．求证：DE＝DF．
（2）如图2，若EF与AB不平行． 则问题（1）的结论是否成立？说明理由．
39. △ABC中，AB＝AC，点D为射线BC上一个动点（不与 B、C重合），以 AD为一边向 AD的左侧作
△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．
（1）如图1，若∠BAC＝∠DAE＝60°，则△BEF是 三角形；
（2）若∠BAC＝∠DAE≠60°
如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；
①当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．
②
40. 如图1，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM（点D与点A重合除外）上时，
以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连接BE．（1）判断AD与BE是否相等，请说明理由；
（2）如图2，若AB＝8，点P、Q两点在直线BE上且CP＝CQ＝5，试求PQ的长；
（3）在第（2）小题的条件下，当点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时．判断PQ的长是否
为定值，若是请直接写出PQ的长；若不是请简单说明理由．
