文档内容
1.4 线段的垂直平分线（第二课时） 教学设计
1.教学内容
本课选自北师大版八年级下册第一章《三角形的证明及其应用》1.4《线段的垂直平分线》第二课
时。核心知识点：1.线段垂直平分线的性质与判定 2.过已知点作直线的垂线（尺规作图） 3.已知底边
及其高作等腰三角形 4.三角形三边垂直平分线的公共交点及其性质。
2.内容解析
本课时由“三类尺规作图”引入，以“线段的垂直平分线”为主线，层层递进：
（1）复习线段垂直平分线的性质、判定，为后续作图与证明奠基；
（2）通过“已知底边与高作等腰三角形”，引出“作线段的垂直平分线”这一基本作图原理，突显垂
直和平分的双重特征及其在建构等腰三角形中的决定性作用；
（3）将“过直线外一点作垂线”转化为“作线段的垂直平分线”，培养化归思想；
（4）进一步探究三角形三边中垂线的交点性质：交于一点且到三顶点距离相等，感悟“对称—等距—
中垂线”三位一体的几何本质；
（5）通过多样化例题与实践操作，巩固概念、提升证明与作图能力。重视作图痕迹的保留与语言表述
的规范，培养学生的几何思维、动手实践和数学表达能力。
1.教学目标
•已知底边及其上的高，能用直尺和圆规作出等腰三角形。
•能用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线。
•理解并掌握“三角形三边的垂直平分线交于一点，且该点到三顶点距离相等”的性质，并能运用其解
决简单问题。
2.目标解析
• 学生能正确书写作图步骤，保留完整作图痕迹，验证所得三角形满足“底边已知、顶角高已知、两
腰相等”。
• 学生能独立完成“作线段AB的垂直平分线”与“过直线外一点P作已知直线l的垂线”，并用性质或
判定加以说明。
• 学生能用“中垂线性质(PA=PB)”与“判定(PA=PB⇒P 在AB的中垂线上)”证明三条中垂线共点，理
解并能运用该交点等距三顶点解决测量、作图及角度求解等问题。
3.重点难点
学科网（北京）股份有限公司• 教学重点：三角形三边垂直平分线交点的等距性质及其应用。
• 教学难点：将“已知底边与高作等腰三角形”与“过线外点作垂线”统一到“线段中垂线”模型，
理解并掌握作图的化归思想。
学生已掌握垂直、平分、中点、等腰三角形及其判定，与基本尺规作图（作等边三角形、作角的
平分线等）技能，具备一定动手操作和几何推理基础。需通过操作体验、分层引导与多样化练习，帮
助学生突破难点，发展空间想象与逻辑推理能力。
创设情景，引入新课
问题情境：
1.知识回顾
①线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
几何语言：
∵P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB.
②线段垂直平分线的判定定理：
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
几何语言：
∵PA=PB,
∴点P在AB的垂直平分线上.
2.情景引入
学科网（北京）股份有限公司前面我们用尺规作出了满足一定条件的直角三角形，那么，你能用尺规作出满足一定条件的等腰三角
形吗？
已知三角形的一条边a及这条边上的高h，你能画出满足条件的三角形吗?
已知：三角形的一条边a和这边上的高h.
求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h.
能作出无数个这样的三角形，它们并不全等.
【设计意图】层层递进的探究任务，对应三项目标：充分体验尺规作图的“化繁为简”策略；通过作
图与证明双线并进，突破斜边上高、垂直平分线交点等难点；培养几何直观、推理与表达能力，为后
续“点到圆心距离”与“圆的性质”作铺垫。
探究点1：尺规作图
1.观察思考
(1)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗?能作几个?与同伴
进行交流。
解：这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．
(2)梳理上述作图过程，请你总结“已知底边和底边上的高，用尺规作这个等腰三角形”的方法和步骤。
如图，已知线段a、h，用尺规作△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.
请按照给出的作法作出相应的图形：
作法 图形
学科网（北京）股份有限公司（1）作线段BC，使BC=a；
（2）作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D；
（3）在l上作线段DA，使DA=h；
（4）连接AB、AC.
△ABC为所求的等腰三角形.
2.思考交流
还记得用尺规过直线l上点P作l的垂线的方法吗?这种方法将作直线的垂线问题转化为作线段的垂直
平分线问题。如果点P在直线l外呢?此时，还能运用这种转化的方法吗?请你试一试，并与同伴进行交
流。
解：如果点P在直线l外，仍然可以转化为作线段的垂直平分线的问题.
作图基本思路：
先以点P为圆心画弧，交直线l于两点A、B，构造出线段AB；然后再作线段AB的垂直平分线，即
为过直线l外一点P的垂线。
梳理上述作图过程，请你总结出“过直线外一点，用尺规作已知直线的垂线”的方法和步骤。
如图，已知直线 l 和l 外一点P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点P.
请按照给出的作法作出相应的图形：
作法 图形
1.任取一点Q，使点Q与点P在直线l两旁.
2.以点P为圆心，以 PQ的长为半径作弧，交直线
l于点A和点B.
3.作线段AB的垂直平分线m.
直线m就是所要作的直线.
3.练一练
如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（ ）
A.40° B.45° C.50° D.60°
解:C
【设计意图】本探究以尺规作图为载体，从“已知底边和高作等腰三角形”入手，借助等腰三角形三
线合一的性质，让学生体会作图与几何性质的内在联系；再通过类比迁移，将过直线外一点作垂线转
化为作线段垂直平分线，突出转化思想；最后结合角度计算巩固作图依据，实现“作图—识图—用
图”层层递进，培养学生规范作图、逻辑推理与几何直观能力。
学科网（北京）股份有限公司探究点2：三角形三边的垂直平分线的性质
1.操作交流
分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，你有什么发现？与同伴进行交流.
解：三角形的三条垂直平分线相交于一点.
锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；
直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；
钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外.
教师提问：你能证明你的发现吗?
例 已知： 如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线PD于边BC的垂直平分线PE相交于点P.
求证：边AC的垂直平分线经过点P.
分析:要证明点P在边AC的垂直平分线上，需要什么条件?已知的两条垂直平分线相交于点P，由此你
能得到哪些相关的结论?
证明：如图，连接PA，PB，PC.
∵点P在AB的垂直平分线上，
∴PA=PB
(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等).
同理 PB=PC
学科网（北京）股份有限公司(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等).
∴PA=PB=PC.
∴点P在AC的垂直平分线上
(到一条线段两个端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上).
2.知识归纳
三角形三边的垂直平分线的性质:
三角形三条边的垂直平分线交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等
几何语言：
∵ 点P 为△ABC 三边垂直平分线的交点，
∴ PA =PB=PC．
3.练一练
如图，△ABC的边AB，AC的垂直平分线相交于点P，连接 PB，PC.若∠A=70°，则∠PBC的度数是
_____.
解：20°
4.典例分析
例1 如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为M，N；若△ADE
的周长为6，求BC的长.
解：∵DM垂直平分AB，EN垂直平分AC，
∴AD＝BD，AE＝CE.
∵△ADE的周长为6，
∴AD＋DE＋AE＝6，
学科网（北京）股份有限公司∴BD＋DE＋CE＝6，
即BC＝6.
例2 如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°.
(1)作边AB的垂直平分线MN(保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)所作的图中，若MN交AC于点D，连接BD，求∠DBC的度数.
解:(1)如图所示，直线MN即为所求图形.
(2)如图,连接BD.
∵AB的垂直平分线MN交AC于点D,
∴AD=BD.
∵∠A=40°,
∴∠ABD=∠A=40°.
∵AB=AC,
1
∴∠ABC= (180°-∠A)=70°,
2
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°.
【设计意图】本探究从动手作图入手，让学生自主发现不同形状三角形三边垂直平分线的交点位置规
律，再通过逻辑证明得出性质定理，实现从直观感知到理性认知的提升。借助例题与练习，将垂直平
分线的性质与线段相等、角度计算、周长转化相结合，强化定理应用，培养学生几何直观、推理能力
和数形结合思想。
1.三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，
要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的 ( )
A.三条高线的交点 B.三边垂直平分线的交点
C.三条角平分线的交点 D.三条中线的交点
解：B
2.如图所示，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线相交于点P，则PB与PC的关系是( )
学科网（北京）股份有限公司A.PB>PC B.PB=PC
C.PB
