文档文本内容
1.4 线段的垂直平分线（第二课时） 教学设计
1.教学内容
本课选自北师大版八年级下册第一章《三角形的证明及其应用》1.4《线段的垂直平分线》第二课
时。核心知识点：1.线段垂直平分线的性质与判定 2.过已知点作直线的垂线（尺规作图） 3.已知底边
及其高作等腰三角形 4.三角形三边垂直平分线的公共交点及其性质。
2.内容解析
本课时由“三类尺规作图”引入，以“线段的垂直平分线”为主线，层层递进：
（1）复习线段垂直平分线的性质、判定，为后续作图与证明奠基；
（2）通过“已知底边与高作等腰三角形”，引出“作线段的垂直平分线”这一基本作图原理，突显垂
直和平分的双重特征及其在建构等腰三角形中的决定性作用；
（3）将“过直线外一点作垂线”转化为“作线段的垂直平分线”，培养化归思想；
（4）进一步探究三角形三边中垂线的交点性质：交于一点且到三顶点距离相等，感悟“对称—等距—
中垂线”三位一体的几何本质；
（5）通过多样化例题与实践操作，巩固概念、提升证明与作图能力。重视作图痕迹的保留与语言表述
的规范，培养学生的几何思维、动手实践和数学表达能力。
1.教学目标
•已知底边及其上的高，能用直尺和圆规作出等腰三角形。
•能用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线。
•理解并掌握“三角形三边的垂直平分线交于一点，且该点到三顶点距离相等”的性质，并能运用其解
决简单问题。
2.目标解析
• 学生能正确书写作图步骤，保留完整作图痕迹，验证所得三角形满足“底边已知、顶角高已知、两
腰相等”。
• 学生能独立完成“作线段AB的垂直平分线”与“过直线外一点P作已知直线l的垂线”，并用性质或
判定加以说明。
• 学生能用“中垂线性质(PA=PB)”与“判定(PA=PB⇒P 在AB的中垂线上)”证明三条中垂线共点，理
解并能运用该交点等距三顶点解决测量、作图及角度求解等问题。
3.重点难点
学科网（北京）股份有限公司• 教学重点：三角形三边垂直平分线交点的等距性质及其应用。
• 教学难点：将“已知底边与高作等腰三角形”与“过线外点作垂线”统一到“线段中垂线”模型，
理解并掌握作图的化归思想。
学生已掌握垂直、平分、中点、等腰三角形及其判定，与基本尺规作图（作等边三角形、作角的
平分线等）技能，具备一定动手操作和几何推理基础。需通过操作体验、分层引导与多样化练习，帮
助学生突破难点，发展空间想象与逻辑推理能力。
创设情景，引入新课
问题情境：
1.知识回顾
①线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
几何语言：
∵P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB.
②线段垂直平分线的判定定理：
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
几何语言：
∵PA=PB,
∴点P在AB的垂直平分线上.
2.情景引入
学科网（北京）股份有限公司前面我们用尺规作出了满足一定条件的直角三角形，那么，你能用尺规作出满足一定条件的等腰三角
形吗？
已知三角形的一条边a及这条边上的高h，你能画出满足条件的三角形吗?
已知：三角形的一条边a和这边上的高h.
求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h.
能作出无数个这样的三角形，它们并不全等.
【设计意图】层层递进的探究任务，对应三项目标：充分体验尺规作图的“化繁为简”策略；通过作
图与证明双线并进，突破斜边上高、垂直平分线交点等难点；培养几何直观、推理与表达能力，为后
续“点到圆心距离”与“圆的性质”作铺垫。
探究点1：尺规作图
1.观察思考
(1)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗?能作几个?与同伴
进行交流。
解：这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．
(2)梳理上述作图过程，请你总结“已知底边和底边上的高，用尺规作这个等腰三角形”的方法和步骤。
如图，已知线段a、h，用尺规作△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.
请按照给出的作法作出相应的图形：
作法 图形
学科网（北京）股份有限公司（1）作线段BC，使BC=a；
（2）作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D；
（3）在l上作线段DA，使DA=h；
（4）连接AB、AC.
△ABC为所求的等腰三角形.
2.思考交流
还记得用尺规过直线l上点P作l的垂线的方法吗?这种方法将作直线的垂线问题转化为作线段的垂直
平分线问题。如果点P在直线l外呢?此时，还能运用这种转化的方法吗?请你试一试，并与同伴进行交
流。
解：如果点P在直线l外，仍然可以转化为作线段的垂直平分线的问题.
作图基本思路：
先以点P为圆心画弧，交直线l于两点A、B，构造出线段AB；然后再作线段AB的垂直平分线，即
为过直线l外一点P的垂线。
梳理上述作图过程，请你总结出“过直线外一点，用尺规作已知直线的垂线”的方法和步骤。
如图，已知直线 l 和l 外一点P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点P.
请按照给出的作法作出相应的图形：
作法 图形
1.任取一点Q，使点Q与点P在直线l两旁.
2.以点P为圆心，以 PQ的长为半径作弧，交直线
l于点A和点B.
3.作线段AB的垂直平分线m.
直线m就是所要作的直线.
3.练一练
如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（ ）
A.40° B.45° C.50° D.60°
解:C
【设计意图】本探究以尺规作图为载体，从“已知底边和高作等腰三角形”入手，借助等腰三角形三
线合一的性质，让学生体会作图与几何性质的内在联系；再通过类比迁移，将过直线外一点作垂线转
化为作线段垂直平分线，突出转化思想；最后结合角度计算巩固作图依据，实现“作图—识图—用
图”层层递进，培养学生规范作图、逻辑推理与几何直观能力。
学科网（北京）股份有限公司探究点2：三角形三边的垂直平分线的性质
1.操作交流
分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，你有什么发现？与同伴进行交流.
解：三角形的三条垂直平分线相交于一点.
锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；
直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；
钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外.
教师提问：你能证明你的发现吗?
例 已知： 如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线PD于边BC的垂直平分线PE相交于点P.
求证：边AC的垂直平分线经过点P.
分析:要证明点P在边AC的垂直平分线上，需要什么条件?已知的两条垂直平分线相交于点P，由此你
能得到哪些相关的结论?
证明：如图，连接PA，PB，PC.
∵点P在AB的垂直平分线上，
∴PA=PB
(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等).
同理 PB=PC
学科网（北京）股份有限公司(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等).
∴PA=PB=PC.
∴点P在AC的垂直平分线上
(到一条线段两个端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上).
2.知识归纳
三角形三边的垂直平分线的性质:
三角形三条边的垂直平分线交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等
几何语言：
∵ 点P 为△ABC 三边垂直平分线的交点，
∴ PA =PB=PC．
3.练一练
如图，△ABC的边AB，AC的垂直平分线相交于点P，连接 PB，PC.若∠A=70°，则∠PBC的度数是
_____.
解：20°
4.典例分析
例1 如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为M，N；若△ADE
的周长为6，求BC的长.
解：∵DM垂直平分AB，EN垂直平分AC，
∴AD＝BD，AE＝CE.
∵△ADE的周长为6，
∴AD＋DE＋AE＝6，
学科网（北京）股份有限公司∴BD＋DE＋CE＝6，
即BC＝6.
例2 如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°.
(1)作边AB的垂直平分线MN(保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)所作的图中，若MN交AC于点D，连接BD，求∠DBC的度数.
解:(1)如图所示，直线MN即为所求图形.
(2)如图,连接BD.
∵AB的垂直平分线MN交AC于点D,
∴AD=BD.
∵∠A=40°,
∴∠ABD=∠A=40°.
∵AB=AC,
1
∴∠ABC= (180°-∠A)=70°,
2
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°.
【设计意图】本探究从动手作图入手，让学生自主发现不同形状三角形三边垂直平分线的交点位置规
律，再通过逻辑证明得出性质定理，实现从直观感知到理性认知的提升。借助例题与练习，将垂直平
分线的性质与线段相等、角度计算、周长转化相结合，强化定理应用，培养学生几何直观、推理能力
和数形结合思想。
1.三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，
要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的 ( )
A.三条高线的交点 B.三边垂直平分线的交点
C.三条角平分线的交点 D.三条中线的交点
解：B
2.如图所示，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线相交于点P，则PB与PC的关系是( )
学科网（北京）股份有限公司A.PB>PC B.PB=PC
C.PB<PC D.PB=2PC
解：B
3.综合实践课上，数学兴趣小组给出了利用无刻度的直尺和圆规作直角三角形的三种方案：①已知两
条直角边长；②已知一条直角边长和斜边长；③已知一个锐角和斜边长.图(1)、图(2)、图(3)分别对应
以上三种方案中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是 ( )
A.①②③ B.②③① C.①③② D.③①②
解：C
1
4.如图，已知AB＝AC，AB＝5，BC＝3，以A，B两点为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相
2
交于点M，N，连接MN，交AC于点D，则△BDC的周长为( )
A.8 B.10 C.11 D.13
解：A
5.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
解：C
6.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线PD与BC的垂直平分线PE交于点P，垂足分别为D，E，连
接 PA，PB，PC，若∠PAD = 45°，则∠ABC=_____.
学科网（北京）股份有限公司解：45°
7.如图，在等腰Rt△ABC 中，AB =AC，尺规作图如下：以点 B为圆心，适当长为半径画弧，交边
1
BC 于点 D，分别以点B，D为圆心，大于 BD 的长为半径画弧，相交于点 E，F，作直线EF，与
2
AB，BC 分别交于点G，H，则∠AGH=____.
解： 135°
8.如图，已知等腰△ABC的底边BC的长为a，△ABC底边BC上的中线长为b，请用尺规作图作等腰
△ABC. (保留作图痕迹，不写作法)
解：如图所示，△ABC即为所求.
9.如图，在△ABC中，P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到边AB和AC的距离相等，
并且到点B和点P的距离也相等.（不写作法，保留作图痕迹）
解：如图，点M即为所求.
10.如图所示，在△ABC中，点O在边AB上，且点O为△ABC的三边垂直平分线的交点，求∠ACB
的度数.
学科网（北京）股份有限公司解: 连接OC.
∵点O为△ABC的三边垂直平分线的交点,
∴OA=OB=OC,
∴∠OAC=∠OCA,∠OCB=∠OBC.
∵∠OAC+∠OCA+∠OCB+∠OBC=180°,
∴∠OCA+∠OCB=90°,
即∠ACB=90°.
11.如图所示，P为△ABC三边垂直平分线的交点,若∠PAC=20°，∠PCB=30°，求∠PAB的度数.
解: ∵P为△ABC三边垂直平分线的交点,
∴PA=PC=PB,
∴∠PAC=∠PCA=20°,∠PBC=∠PCB=30°,∠PAB=∠PBA,
1
∴∠PAB= (180°-2×20°-2×30°)=40°.
2
【设计意图】“巩固练习”中的题目与课本知识紧密衔接，帮助学生通过判断、填空和计算等多种形
式反复练习，稳固掌握线段的垂直平分线的概念与方法。
学科网（北京）股份有限公司主板书 副板书
1.4 线段的垂直平分线（第二课时） 例题
探究点1 尺规作图
探究点2 三角形三边的垂直平分线的性质 学生练习板演
课堂小结
1.必做题：习题1.4第1，2，4，7题。
2.探究性作业：习题1.4第8题。
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