文档内容
1.4 线段的垂直平分线 导学案
第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定
1.学会综合法证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理。
2.通过探索、发现、猜测、证明等过程，发展学生的推理证明能力、规范证明的书写格式。
学习重点：运用三角形全等方法证明垂直平分线的性质与判定定理。
学习难点：在几何推理过程中，准确把握作辅助线和运用全等条件的规范性，体现严谨的数学表达。
第一环节 自主学习
创设情景，引入新课
问题情境：
1.知识回顾
(1)全等的判定方法有：①SSS,② ,③ ,④AAS,⑤ .
(2)下列判断一定正确的是（ ）
A.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
B.有一个角和一边对应相等的两个直角三角形全等
C.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
D.有两边对应相等,且有一个角为30°的两个等腰三角形全等
2.情景引入
问题：如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，
码头应建在什么位置？
你能说说你的理由吗？新知自研：自研课本第33--34页随堂练习上面的内容．
【学法指导】
自研课本P33-34页随堂练习上面的内容，思考：
●探究一：线段垂直平分线的性质定理
◆1.问题引入：
我们曾经利用折纸的方法得到:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.请你尝试证明这一
结论，并与同伴进行交流.
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足为C，且AC=BC，P是MN上的任意一点.
求证：PA=PB．
【证明】
◆2.知识归纳
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的 的距离 .
几何语言：
∵P在线段AB的垂直平分线上，
∴ .
注意：这个结论是经常用来证明两条线段 的根据之一.
◆3.练一练
如图所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长为(
)A.6 B.5 C.4 D.3
●探究二：线段垂直平分线的判定定理
◆1.议一议
思考：你能写出定理“线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等”的逆命题吗？
逆命题：如果有一个点 ，那么这个点 ，即到
线段两个端点的距离相等的点在 ．
温馨提示：当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用
说明．
◆2.新知探究
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．（尝试用不同的方法证明）
【证明】
◆3.知识归纳
线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的 上.
几何语言：
如图,∵PA=PB(已知),
∴点P在 的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).注意：这个结论经常用来证明点在直线上（或直线经过某一点）的根据之一．
◆4.练一练
如图所示，AC=AD，BC=BD，则( )
A.CD垂直平分线段AB
B.AB垂直平分线段CD
C.AB与CD互相垂直平分
D.CD平分∠ACB
【例题导析】
自研下面例1和例2的内容，回答问题：
典例分析
例1 已知：如图 ，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段 BC.（尝试用不同的方法来证明）
【分析】到一条线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，由此即可证明问题,也可尝试用全
等的方法来证明线段相等和角相等.
【证明】例2 如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC，AB于点E，F，过点A作AD⊥BC于点D，
且D为线段CE的中点．
（1）求证：BE＝AC；
（2）若∠B＝35°，求∠BAC的度数．
【分析】 （1）连接AE，由题意可判定AD CE,由线段垂直平分线的性质可得 AC= =
,即可证明结论；
（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE= ，由直角三角形的性质可得∠BAD的度数,即可求得
∠EAD， 的度数进而可求出∠BAC的度数.
【解答】
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.探讨线段垂直平分线的性质与判定的证明方法；
B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，强调易错点.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
1.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AC于点D，交AB于点E，若AE＝3，△BCD的周长为8，则△ABC的周长为（ ）
A．8 B．11 C．14 D．18
2.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若△ACE的周长为12，AC
＝5，则BC的长是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3.如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中
垂线上．若∠ABC＝80°，则∠APC的度数为（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
4.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，连接BE．若BE平分∠ABC，且∠A＝
72°，则∠CED的度数为（ ）
A．72° B．64° C．54° D．36°
5. 有下列说法:①若直线PE是线段AB的垂直平分线,则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB,EA=EB,则直线PE垂
直平分线段AB;③若PA=PB,则P必是线段AB的垂直平分线上的点;④若EA=EB,则过点E的直线垂直平分线
段AB.其中正确的是________.(填序号)
6.如图所示，在Rt△ABC中,∠B=90°,分别以点A,C为圆心,大于AC的一半的长度为半径画弧,四弧交于两点
M,N,作直线MN,交AC于点D,交BC于点E.已知∠C=32°,则∠BAE的度数为______ .7.如图，BD是线段AC的垂直平分线．若AB＝5，CD＝4，则四边形ABCD的周长为______．
8.如图，AB=AC,AB 的垂直平分线MN交 AC于点 D,若∠C=65°则∠DBC的度数是______.
9.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上的一点，E是BD的垂直平分线与AB的交点，DE
交AC于点F.
求证:点E在AF的垂直平分线上.
10.已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点.
求证：PB=PC.题型一： 利用线段垂直平分线的性质求长度
1．如图，AB＝AC，BC＝4，△BCE的周长为9，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足为D，则AB＝（
）
A．6 B．5 C．4 D．无法确定
2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为BC的中点，且AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点
F．若AB=9，CD=4，则AD的长为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
3．如图，在△ABC中，D为BC边上一点，AC=AD，EF为线段BD的垂直平分线，若△ADE的周长为
19，AC=7，则AB的长为 ．
4．如图，△ABC中，∠ABC的角平分线BD和AC边的中垂线DE交于点D，DM⊥BA的延长线于点
M，DN⊥BC于点N．若AB=3，BC=7，则AM的长为 ．题型二： 利用线段垂直平分线的性质求角度
5．如图，△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，连接BD．若∠C=24°，
DB⊥BC，则∠A的度数为（ ）
A．24° B．30° C．33° D．66°
6．如图，已知∠BAC=135°，若PM和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ= °．
7．如图，在△ABC中，∠B=32°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若DE垂直平分AB，求∠C的度
数．
题型三： 利用线段垂直平分线的性质证明
8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE，连接
AE．
(1)求证：AB=EC；
(2)若△ABC的周长为32cm，AC=12cm，求DC的长．9．如图，在四边形ABDC中，AD所在直线垂直平分线段BC，过点C作CF∥BD交AB于点F，延长
AB，CD交于点E．求证：
(1)CB平分∠ECF；
(2)∠ACF=∠E．
10．如图，在等腰△ABC中，BA=BC，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，折叠∠ABC使得点B与点C
重合，折痕交AB、BC、BD于点E、F、G，连接CE交BD于点H．
(1)试说明：BH=AC；
(2)连接GC，求∠DGC的度数．题型四： 线段垂直平分线的判定
11．已知，如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于点D，求证：点D在BC的垂直
平分线上．
12．如图所示，已知AD⊥BC于点D，BD=DC，AB+BD=DE，求证：点C在AE的垂直平分线上．
13．如图，AD与BC相交于点O，AB=CD，∠ABC=∠CDA，EB=ED，连接OE，BD，求证；OE
垂直平分BD．14．已知，如图，AE⊥EB，AF⊥CF，点E、F分别为垂足，BE=CF，∠ABC=∠ACB．
(1)证明：AE=AF；
(2)延长EB、FC相交于点 D，联结AD．证明：AD垂直平分线BC．
▲1、线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的 的距离 .
几何语言：∵P在线段AB的垂直平分线上，
∴ .
▲2、线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的 上.
几何语言：如图,∵PA=PB(已知),
∴点P在 的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).
