文档内容
1.4 线段的垂直平分线 导学案
第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定
1.学会综合法证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理。
2.通过探索、发现、猜测、证明等过程，发展学生的推理证明能力、规范证明的书写格式。
学习重点：运用三角形全等方法证明垂直平分线的性质与判定定理。
学习难点：在几何推理过程中，准确把握作辅助线和运用全等条件的规范性，体现严谨的数学表达。
第一环节 自主学习
创设情景，引入新课
问题情境：
1.知识回顾
(1)全等的判定方法有：①SSS,②SAS,③ASA,④AAS,⑤HL.
(2)下列判断一定正确的是（ ）
A.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
B.有一个角和一边对应相等的两个直角三角形全等
C.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
D.有两边对应相等,且有一个角为30°的两个等腰三角形全等
解：A
2.情景引入
问题：如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，
码头应建在什么位置？
解：应建在C处.
你能说说你的理由吗？新知自研：自研课本第33--34页随堂练习上面的内容．
【学法指导】
自研课本P33-34页随堂练习上面的内容，思考：
●探究一：线段垂直平分线的性质定理
◆1.问题引入：
我们曾经利用折纸的方法得到:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.请你尝试证明这一
结论，并与同伴进行交流.
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足为C，且AC=BC，P是MN上的任意一点.
求证：PA=PB．
【证明】∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC，PC=PC，
∴△PCA≌△PCB（SAS）；
∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）．
◆2.知识归纳
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等.
几何语言：
∵P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB.
注意：这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
◆3.练一练
如图所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长为(
)A.6 B.5 C.4 D.3
解：∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，∴PB=PA.
∵PA=5,
∴PB=5.故选B.
●探究二：线段垂直平分线的判定定理
◆1.议一议
思考：你能写出定理“线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等”的逆命题吗？
逆命题：如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上，即到线段两
个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
温馨提示：当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．
◆2.新知探究
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．（尝试用不同的方法证明）
【证明】（方法一）过点P作已知线段AB的垂线PC，
∵PA=PB，PC=PC，
∴Rt△PAC≌Rt△PBC（HL），
∴AC=BC，即P点在AB的垂直平分线上．
（方法二）把线段AB的中点记为C,连接PC.
∵C为AB的中点，
∴AC=BC.
∵PA=PB,PC=PC，
∴△APC≌△BPC(SSS)，
∴∠PCA=∠PCB=90°，
∴PC⊥AB， 即P在AB的垂直平分线上.
◆3.知识归纳线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
几何语言：
如图,∵PA=PB(已知),
∴点P在AB 的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).
注意：这个结论经常用来证明点在直线上（或直线经过某一点）的根据之一．
◆4.练一练
如图所示，AC=AD，BC=BD，则( )
A.CD垂直平分线段AB
B.AB垂直平分线段CD
C.AB与CD互相垂直平分
D.CD平分∠ACB
解：∵AC=AD,
∴点A在线段CD的垂直平分线上.
∵BC=BD,
∴点B在线段CD的垂直平分线上,
∴AB垂直平分线段CD.故选B.
【例题导析】
自研下面例1和例2的内容，回答问题：
典例分析
例1 已知：如图 ，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段 BC.（尝试用不同的方法来证明）【分析】到一条线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，由此即可证明问题,也可尝试用全
等的方法来证明线段相等和角相等.
【证明】∵ AB ＝ AC，
∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上).
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线(两点确定一条直线).
方法2：
证明：延长 AO 交 BC 于点 D，
∵AB＝AC， AO＝AO， OB＝OC，
∴△ABO≌△ACO(SSS).
∴∠BAO＝∠CAO，
∵AB＝AC，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS).
∴BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝90°.
即直线 AO 垂直平分线段 BC.
例2 如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC，AB于点E，F，过点A作AD⊥BC于点D，
且D为线段CE的中点．
（1）求证：BE＝AC；
（2）若∠B＝35°，求∠BAC的度数．
【分析】 （1）连接AE，由题意可判定AD垂直平分 CE,由线段垂直平分线的性质可得AC=AE=BE,即可证
明结论；
（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE= 35 ° ，由直角三角形的性质可得∠BAD的度数,即可求得∠EAD，
∠ CAD 的度数进而可求出∠BAC的度数.
【解答】解：（1）证明：连接AE，∵AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点，
∴AD垂直平分CE，
∴AC＝AE，
∵EF垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴BE＝AC；
（2）解：∵AE＝BE，∠B＝35°，
∴∠BAE＝∠B＝35°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣35°＝55°，
∴∠EAD＝55°﹣35°＝20°，
∵AC＝AE，
∴∠AED＝∠C，
∵∠AED+∠EAD＝∠C+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠EAD＝20°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝55°+20°＝75°．
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.探讨线段垂直平分线的性质与判定的证明方法；
B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，强调易错点.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
1.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AC于点D，交AB于点E，若AE＝3，△BCD的周长为
8，则△ABC的周长为（ ）
A．8 B．11 C．14 D．18解：C．
2.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若△ACE的周长为12，AC
＝5，则BC的长是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
解：A．
3.如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中
垂线上．若∠ABC＝80°，则∠APC的度数为（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
解：C.
4.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，连接BE．若BE平分∠ABC，且∠A＝
72°，则∠CED的度数为（ ）
A．72° B．64° C．54° D．36°
解：C
5. 有下列说法:①若直线PE是线段AB的垂直平分线,则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB,EA=EB,则直线PE垂
直平分线段AB;③若PA=PB,则P必是线段AB的垂直平分线上的点;④若EA=EB,则过点E的直线垂直平分线
段AB.其中正确的是________.(填序号)
解：①②③
6.如图所示，在Rt△ABC中,∠B=90°,分别以点A,C为圆心,大于AC的一半的长度为半径画弧,四弧交于两点
M,N,作直线MN,交AC于点D,交BC于点E.已知∠C=32°,则∠BAE的度数为______ .解：26°
7.如图，BD是线段AC的垂直平分线．若AB＝5，CD＝4，则四边形ABCD的周长为______．
解：18
8.如图，AB=AC,AB 的垂直平分线MN交 AC于点 D,若∠C=65°则∠DBC的度数是______.
解：15°
9.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上的一点，E是BD的垂直平分线与AB的交点，DE
交AC于点F.
求证:点E在AF的垂直平分线上.
证明: ∵E是BD的垂直平分线上一点,
∴EB=ED,∴∠B=∠D.
∵∠ACB=90°,
∴∠A=90°-∠B,∠CFD=90°-∠D,
∴∠CFD=∠A.
又∵∠AFE=∠CFD,
∴∠AFE=∠A,
∴EF=EA,
∴点E在AF的垂直平分线上.10.已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点.
求证：PB=PC.
证明：∵AB=AC，
∴A在线段BC的垂直平分线上.
∵BD=CD，
∴ D在线段BC的垂直平分线上.
∴ AD是线段BC的垂直平分线.
∵P是AD上一点 ，
∴PB=PC.
题型一： 利用线段垂直平分线的性质求长度
1．如图，AB＝AC，BC＝4，△BCE的周长为9，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足为D，则AB＝
（ ）
A．6 B．5 C．4 D．无法确定
【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线求出AE＝BE，根据周长求出BE+CE＝5，求出AC＝5，即可得出答案．
【详解】解：∵AB的垂直平分线DE，
∴AE＝BE，
∵△BCE的周长为9，BC＝4，∴4+BE+CE＝9，
∵AE＝BE，
∴AE+CE＝9﹣4＝5，
∴AC＝5，
∵AB＝AC，
∴AB＝5，
故选：B．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段
两个端点的距离相等．
2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为BC的中点，且AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点
F．若AB=9，CD=4，则AD的长为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理
解线段垂直平分线的性质是解题关键．由“AAS”可证△BEF≌△CED，可得EF=DE，BF=CD=4，由线
段垂直平分线的性质可得AD=AF=13．
【详解】解：∵ E为BC的中点，
∴ BE=EC，
∵ AB∥DC，
∴ ∠F=∠CDE，∠FBE=∠DCE，
在△BEF与△CED中，
{
∠F=∠CDE
)
∠FBE=∠DCE ，
BE=CE
∴ △BEF≌△CED(AAS)，
∴ EF=DE，BF=CD=4，
∴ AF=AB+BF=9+4=13，∵ AE⊥DE，EF=DE，
∴ AF=AD=13，
故选：C．
3．如图，在△ABC中，D为BC边上一点，AC=AD，EF为线段BD的垂直平分线，若△ADE的周长为
19，AC=7，则AB的长为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长，先由线段垂直平分线的性质得ED=BE，结
合△ADE的周长为19，AC=7，即可得出AB=19−AC=12
【详解】解：∵EF为线段BD的垂直平分线，
∴ED=BE，
∵AC=AD，AC=7，△ADE的周长为19，
∴AD+DE+AE=AC+BE+AE=AC+AB=19
∴AB=19−AC=12，
故答案为：12．
4．如图，△ABC中，∠ABC的角平分线BD和AC边的中垂线DE交于点D，DM⊥BA的延长线于点
M，DN⊥BC于点N．若AB=3，BC=7，则AM的长为 ．
【答案】2
【分析】连接AD，CD，由“AAS”可证△BDM≅△BDN，可得BM=BN，由“HL”可证
Rt△ADM≅Rt△CDN，可得AM=CN，即可求解．
【详解】解：连接AD，CD，∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
在△BDM和△BDN中，
{∠DMB=∠DNB=90°
)
∠ABD=∠DBC ，
BD=BD
∴△BDM≅△BDN(AAS)，
∴BM=BN，DM=DN，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
在Rt△ADM和Rt△CDN中，
{AD=CD)
，
DM=DN
∴Rt△ADM≅Rt△CDN(HL)，
∴AM=CN，
∵AB=3，BC=7，
∴BC−AB=BN+CN−(BM−AM)=2AM=4，
∴AM=2，
故答案为2．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用这些
性质解决问题是本题的关键．
题型二： 利用线段垂直平分线的性质求角度
5．如图，△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，连接BD．若∠C=24°，
DB⊥BC，则∠A的度数为（ ）A．24° B．30° C．33° D．66°
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等，由线段垂直平分
线的性质得AD=BD，即得∠A=∠DBA，由直角三角形两锐角互余得∠BDC=90°−∠C=66°，进而
由三角形外角性质可得2∠A=66°，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD
∴∠A=∠DBA，
∵DB⊥BC，
∴∠DBC=90°，
∵∠C=24°，
∴∠BDC=90°−∠C=90°−24°=66°，
∵∠BDC=∠A+∠DBA=2∠A，
∴2∠A=66°，
∴∠A=33°，
故选：C．
6．如图，已知∠BAC=135°，若PM和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ= °．
【答案】90
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，灵活
运用所学知识解决问题．先由PM和QN分别垂直平分AB和AC得到AP=PB，AQ=QC，则可得出
∠2=∠B，∠1=∠C，根据三角形内角和得到∠B+∠C=180°−∠BAC=45°，则∠1+∠2=45°，
再由角的和差关系可得答案．
【详解】解：如图：
∵PM QN AB AC
和 分别垂直平分 和 ，
∴AP=PB，AQ=QC，
∴∠2=∠B，∠1=∠C，
∵∠BAC=135°，∴∠B+∠C=180°−∠BAC=45°，
∴∠1+∠2=45°，
∴∠3=∠BAC−(∠1+∠2)=90°，即∠PAQ=90°，
故答案为：90．
7．如图，在△ABC中，∠B=32°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若DE垂直平分AB，求∠C的度
数．
【答案】∠C=84°
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB，∠DAB=∠B=32°，再根据角平分线的定义、三
角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=32°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAB=2∠DAB=64°，
∴∠C=180°−∠CAB−∠B=180°−64°−32°=84°，
∴∠C=84°．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义．掌握线段的垂直平
分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
题型三： 利用线段垂直平分线的性质证明
8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE，连接
AE．
(1)求证：AB=EC；
(2)若△ABC的周长为32cm，AC=12cm，求DC的长．【答案】(1)见解析
(2)10cm
【分析】本题考查中垂线的判定和性质，熟练掌握中垂线的性质，是解题的关键：
（1）中垂线的性质，得到AE=EC，易得AD垂直平分BE，得到AB=AE，即可得证；
（2）根据三角形的周长公式推出AB+BC=20cm，根据DC=DE+EC，等量代换推出
1
DC= (AB+BC)，即可得出结果．
2
【详解】（1）证明：∵EF垂直平分AC，
∴AE=EC，
∵AD⊥BC,BD=DE，
∴AB=AE，
∴AB=EC．
（2）解：由题意可得：AB+BC+AC=32cm，
∵AC=12cm，
∴AB+BC=20cm，
∵AB=EC,BD=DE，
∴DC=DE+EC
1
= BE+AB
2
1
= (BC−CE)+AB
2
1
= (BC−AB)+AB
2
1
= (AB+BC)
2
=10cm．
9．如图，在四边形ABDC中，AD所在直线垂直平分线段BC，过点C作CF∥BD交AB于点F，延长
AB，CD交于点E．求证：(1)CB平分∠ECF；
(2)∠ACF=∠E．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由AD所在直线垂直平分线段BC得到BD=CD，从而得到∠BCD=∠CBD，再利用平行
线的性质可知∠CBD=∠FCB，再用等量代换即可证明；
（2）由AD所在直线垂直平分线段BC得到AC=AB，∠ACB=∠ABC，从而得到
∠E+∠BCE=∠ACB=∠ACF+∠FCB，再根据∠FCB=∠BCE即可得证．
【详解】（1）证明：∵AD所在直线垂直平分线段BC，
∴BD=CD，
∴∠BCD=∠CBD．
∵BD∥CF，
∴∠CBD=∠FCB，
∴∠FCB=∠BCD，
即CB平分∠ECF；
（2）∵AD所在直线垂直平分线段BC，
∴AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC．
∵∠ABC是△BCE的一个外角，
∴∠ABC=∠E+∠BCE，
∴∠ABC=∠E+∠BCE=∠ACB=∠ACF+∠FCB．
又∵∠FCB=∠BCD，即∠FCB=∠BCE，
∴∠ACF=∠E．
【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形的外角的性质，垂直平分线的性质，平行线的性质等知识，掌
握相关定理是解题的关键．
10．如图，在等腰△ABC中，BA=BC，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，折叠∠ABC使得点B与点C
重合，折痕交AB、BC、BD于点E、F、G，连接CE交BD于点H．(1)试说明：BH=AC；
(2)连接GC，求∠DGC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)45度
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形全等的判定及性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定
及性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
（1）由折叠可知CE=BE，∠ECB=∠CBA=45°，EF垂直平分BC，然后导角证明∠EBH=∠ACE，
进而可证明△BEH≌△CEA(ASA)，则BH=AC；
（2）由线段垂直平分线的性质得到GC=GB，则∠GCB=∠GBC=22.5°，再求出∠BGC的度数即可得
到答案．
【详解】（1）证明：由折叠可知CE=BE，∠ECB=∠CBA=45°，EF垂直平分BC，
∴∠CEB=∠CEA=90°．
∵CB=AB，∠ABC=45°，
180°−∠ABC
∴∠A=∠ACB= =67.5°，
2
∴∠ACE=∠ACB−∠BCE=22.5°．
∵BD平分∠ABC，
1
∴∠EBH=∠CBH= ∠ABC=22.5°，
2
∴∠EBH=∠ACE．
在△BEH和△CEA中，
¿，
∴△BEH≌△CEA(ASA)，
∴BH=AC；
（2）解：∵EF垂直平分BC，
∴GC=GB，
∴∠GCB=∠GBC=22.5°，
∴∠BGC=180°−∠GCB−∠GBC=135°，∴∠DGC=180°−∠BGC=45°．
题型四： 线段垂直平分线的判定
11．已知，如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于点D，求证：点D在BC的垂直
平分线上．
【分析】由在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，易得∠DBC＝∠C，即可得DB＝DC，继而证得
结论．
【详解】证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠DBC，
∵在△ABC中，∠ABC＝2∠C，
∴∠C＝∠DBC，
∴DB＝DC，
∴点D在BC的垂直平分线上．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数
形结合思想的应用．
12．如图所示，已知AD⊥BC于点D，BD=DC，AB+BD=DE，求证：点C在AE的垂直平分线上．
【答案】见解析
【分析】由AD⊥BC，BD=DC，得到AD是BC的垂直平分线，因此AB=AC．再根据AB+BD=DE
，可推出AC=CE，因此得证点C在AE的垂直平分线上．【详解】∵AD⊥BC，BD=DC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB=AC．
∵AB+BD=DE，
∴AB+BD=CD+CE=AC+CD，
∴AC=CE，
∴点C在AE的垂直平分线上．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质与判定是解题的关键．
13．如图，AD与BC相交于点O，AB=CD，∠ABC=∠CDA，EB=ED，连接OE，BD，求证；OE
垂直平分BD．
【答案】见解析
【分析】先证明△ABO≌△CDO得到OB=OD，再由EB=ED即可证明OE垂直平分BD．
【详解】证明：在△ABO和△CDO中，
{∠AOB=∠COD
)
∠ABO=∠CDO
AB=CD
∴△ABO≌△CDO(AAS)，
∴OB=OD，
又∵EB=ED，
∴OE垂直平分BD．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，证明△ABO≌△CDO得到
OB=OD是解题的关键．
14．已知，如图，AE⊥EB，AF⊥CF，点E、F分别为垂足，BE=CF，∠ABC=∠ACB．(1)证明：AE=AF；
(2)延长EB、FC相交于点 D，联结AD．证明：AD垂直平分线BC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，等角对等边，熟知全等三角
形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）根据等角对等边得到AB=AC，再证明Rt△ABE≌Rt△ACF(HL)，即可证明AE=AF；
（2）证明Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，得到DE=DF，则可证明DB=DC，再根据线段垂直平分线的判
定定理即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵AE⊥EB，AF⊥CF，
∴∠E=∠F=90°，
又∵BE=CF，
∴Rt△ABE≌Rt△ACF(HL)，
∴AE=AF；
（2）证明：∵AE=AF，AD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴DE=DF，
∵BE=CF，
∴DE−BE=DF−CF，即DB=DC，
又∵AB=AC，
∴AD垂直平分线BC．▲1、线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等.
几何语言：
∵P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB.
▲2、线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
几何语言：
如图,∵PA=PB(已知),
∴点P在AB 的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).
