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1.4 线段的垂直平分线
题型一 利用性质求线段长
1．（25-26八年级上·辽宁营口·期末）如图，在 中，直线 为线段 的垂直平分线，交 于点
，连接 ．若 ， ，则 的长为（ ）
A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm
2．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，已知在 中， ， 是 的中垂线，
， ，则 ．
3．（25-26八年级上·山西吕梁·月考）如图，在 中， ，分别以 ， 为圆心，大于 的
长为半径画弧，两弧交于 ， 两点，作直线 ，分别交 ， 于点 ， ，若 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ．
4．（25-26八年级上·青海西宁·期中）如图所示，点 在 的内部，点 分别是点 关于直线
的对称点，线段 交 ， 于点 ， ．若 的周长是 ，则线段 的长是
．
题型二 利用性质求三角形周长
1．（25-26八年级上·吉林松原·期末）如图，在 中， 的垂直平分线交 于点D，交 于点
E，连接 ，若 ， ，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·吉林·期末）如图， 中， ， 的垂直平分线交 于E，连接 ，
，则 的周长是 ．
3．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，在 中，直线m是线段 的垂直平分线，点P是直线m
上的一个动点，连接 、 ，若 ， ，则 周长的最小值是
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学科网（北京）股份有限公司4．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在 中， ， ， 的垂直平分线交 于点 ，
交 于点 ，则 的周长是 ．
5．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，在 中， 是 的垂直平分线，交 于 ，交
于 ，连接 ，已知 ， 的周长为 ，则 的周长是 ．
6．（22-23八年级下·广西北海·期中）如图，在 中， ， ， 的面积为12，
于点D，直线 垂直平分 交 于点E，交 于点F，P是线段 上的一个动点，则
的周长的最小值是 ．
题型一 利用性质求线段和的最小值
1．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）如图，在 中， ， 的面积为21， 的垂直平分
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学科网（北京）股份有限公司线分别交 、 于点M、N，若点P和点Q分别是线段 和 边上的动点，连接 ， ，则．
的最小值为 ．
2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图， 中， 是 边上的中线，F是
上的动点，E是 边上的动点，则 的最小值为 ．
3．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在 中， ， 平分 ，交 于点 ，点 ，
分别为 上的动点，若 ， 的面积为 ，则 的最小值为 ．
4．（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图，在 中， ，点 为边 上的定点， ，
， ， ， 是线段 上的动点， 交 于点 ，则 的最小值是 ．
题型二 求当三角形周长最小时角的度数
1．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，在 中， 的垂直平分线分别交 ， 于点
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学科网（北京）股份有限公司， ， 的垂直平分线分别交 ， 于点 ， ， ， 的延长线交于点 ．连接 ， ，
若 ，则 的度数为（ ）．
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·辽宁营口·期末）如图，若 ， 为 内一定点，点 在 上，点
在 上，当 的周长取得最小值时， 的度数为（ ）
A． B． C． D．
题型三 线段垂直平分线的判定与性质综合
1．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图， ， ，点E是线段 上任意一点，连接 ，
．求证： ．
2．（25-26八年级上·福建三明·期末）如图，在 中，D是 上的一点，连接 ，作 交
于点E， 交 于点F，且 平分 ，连接 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)证明： 垂直平分 ．
(2)若 的周长为18，面积为24， ，求 的长．
3．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）如图，在 中， 的垂直平分线分别交 ， 于点 ， ，
于点 ， 交 于点 ．
(1)若 ， ，求 的周长．
(2)求证：点 在线段 的垂直平分线上．
4．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在 中， 边的垂直平分线 交 于点D， 边的
垂直平分线 交 于点E， 与 相交于点O，连接 ， ， ．
(1)若 的周长为 ，线段 的长为______；
(2)判断点O是否在 的垂直平分线上，并说明理由；
(3)若 ，求 的度数．
5．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）如图，在 中，边 的垂直平分线分别交 ， 于点 ，
，边 的垂直平分线分别交 ， 于点 ， ， ， 相交于点 ，连接 ， ．
(1)试判断点 是否在 的垂直平分线上，并说明理由
(2)若 ，求 的度数．
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学科网（北京）股份有限公司6．（25-26八年级上·河南信阳·月考）如图1， ， 与 相交于点 ，
．
(1)如图1，求证： 垂直平分 ；
(2)如图2，在图1的基础上，过点 作 交 的延长线于点 ，如果 ，求证： 是
等边三角形；
题型四 线段垂直平分线（尺规作图）
1．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在 中， ， ，根据尺规作图
的痕迹，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，已知等边 边长为 ，点 是边 上一点， ，以
点 为圆心， 的长为半径画弧交 于点 ，连接 ，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为
半径画弧分别交于点 和点 ，作直线 交 于点 ，则 的周长等于 ．
3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知直线 及 外一点P．求作：经过点P且垂直于 的
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学科网（北京）股份有限公司直线．
4．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图， 中， ， ．
(1)作边 的垂直平分线 ，与 ， 分别相交于点 ， （用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写
作法）；
(2)在（1）的条件下，若 ，求 的长．
5．（25-26八年级上·山东德州·月考）如图，在 中， ．
(1)尺规作图：作 的垂直平分线交 于点 不写作法，保留作图痕迹 ；
(2)在 的条件下，若 ，求 的度数．
6．（25-26八年级上·安徽黄山·期中）如图，在数学活动课上，小明剪了一张 的纸片，其中
，他将 折叠压平使点 落在点 处，折痕 ， 在 上， 在 上．
(1)请作出折痕 ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．）
(2)连接 ，若 ， 的周长为 ，求 的周长．
7．（25-26八年级上·广东湛江·月考）操作与探究：三角形边与角的不等关系
【问题提出】我们知道：在一个三角形中，等边对等角，等角对等边．那么在一个三角形中，大边对大角，
大角也会对大边吗？
【探究一】在一个三角形中，大边对大角．
（1）已知：如图，在 中， ．求证： ．
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学科网（北京）股份有限公司小亮的研究思路是利用轴对称的性质，把研究两个量之间的不等问题，转化为较大量的一部分与较小量相
等的问题，具体做法如下：作 的角平分线 ，交 于点D，在 边上截取 ，连接 ．
请在图中用无刻度的直尺和圆规作出以上辅助线（保留作图痕迹，不写作法）并写出证明过程．
【探究二】在一个三角形中，大角对大边．
（2）已知：如图，在 中， ．求证： ．
类比小亮的研究思路，在图中用无刻度的直尺和圆规添加辅助线（保留作图痕迹，不写作法）并写出证明
过程．
题型一 线段垂直平分线的综合应用
1．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在 中， ， ，点D为 中点，连
接 ，点E、点F分别为 、 上两动点，过点F作 于点H，当 取最小值时，
，则 的面积是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图， 中， ， ， ，点 是 的中
点，将 沿 翻折得到 ，连接 、 ，则线段 的长等于 ．
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学科网（北京）股份有限公司3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图 中， ， ， 为 边的中点，点
和点 分别为边 和 上的动点，且满足 ，连接 ， ，则 的最小值为
．
4．（2025九年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形．
(1)如图1，在 中， ， 垂直平分 交 于点 ，垂足为 ，且 ， ， 为
上一点，求证：四边形 是邻余四边形；
(2)如图2，在邻余四边形 中，（ 和 均为钝角）， 为 的中点， ，
， 时，求 的长．
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