文档内容
1.4 线段的垂直平分线
题型一 利用性质求线段长
1．【答案】B
2．【答案】
3．【答案】6
4．【答案】
题型二 利用性质求三角形周长
1．【答案】D
2．【答案】6
3．【答案】12
4．【答案】16
5．【答案】12
6．【答案】7
题型一 利用性质求线段和的最小值
1．【答案】
2．【答案】9.6
3．【答案】
4．【答案】
题型二 求当三角形周长最小时角的度数
1．【答案】B
2．【答案】A
题型三 线段垂直平分线的判定与性质综合
1．
【答案】见解析
【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司连接 ，证得 是线段 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质证得 即可．
【详解】证明：连接 ，
， ，
在线段 的垂直平分线上，B在线段 的垂直平分线上，
即 是线段 的垂直平分线，
在 上，
．
2．
【答案】(1)证明见解析
(2)4
【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，垂直平分线的逆定理．解题的关键在于
对知识的灵活运用．
（1）证明 ，可得 ， ，从而得到点A和点D在 的垂直平分线上，即可．
（2）首先求出 ，再证明 ， ，然后根据面积法进行求解即可．
【详解】（1）证明： ， ，
， ∵
∴ 平分 ，
∵ ，
∴在 和 中，
，
，
∴
， ，
∴点A和点D在 的垂直平分线上，
∴ 垂直平分 ．
∴ 2 / 13
学科网（北京）股份有限公司（2）解： 的周长为18， ，
∵ ，
∴由（ ）得 ，
1 ，
∴
，
∴
，
∴
∴ ．
3．
【答案】(1) 的周长为
(2)证明见解析
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，利用线段垂直平分线的性质得到
线段相等是解题的关键．
（1）利用线段垂直平分线的性质得 ，将 的周长转化为 即可得出；
（2）先由 得出 ，再结合 利用余角性质得到 ，利用对顶角
相等得 ，进而得 ，由等角对等边得 ，根据到线段两端距离相等
的点在线段的垂直平分线上即可得证．
【详解】（1）解：∵ 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 的周长 ；
（2）证明：由（1）得 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴点 在线段 的垂直平分线上．
4．
【答案】(1)
(2)点O在 的垂直平分线上，理由见详解
(3)
【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分
线上的点到线段两个端点的距离相等．
（1）根据垂直平分线的性质得出 ， ，求出 ；
（2）根据垂直平分线的性质得出 ， ，推出 ，即可证明点O在 的垂直平分线
上；
（3）根据三角形内角和得出 ，根据等腰三角形的性质得出 ，
，根据 求出结果即可．
【详解】（1）解：∵ 是 边的垂直平分线，
∴ ，
∵ 是 边的垂直平分线，
∴ ，
∵ 的周长为 ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）解：点O在 的垂直平分线上，
理由：∵ 是 边的垂直平分线，
∴ ，
∵ 是 边的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴点O在 的垂直平分线上；
（3）解：∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ 是 边的垂直平分线，
∴ ，
∵ 是 边的垂直平分线，
∴ ，
∴ ， ，
∴
∴ ．
5．
【答案】(1)点 在 的垂直平分线上，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质和判定，根据
题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）连接 ，根据线段垂直平分线的性质可得 ， ，从而可得 ，然后利用线段
垂直平分线性质定理的逆定理即可解答；
（2）因为 ，根据“等边对等角”得 ， ，
则可得 ，由三角形内角和可得 的度数．
【详解】（1）解：点 在 的垂直平分线上，理由如下：
连接 ，如图．
， 分别是 ， 的垂直平分线，
根据线段垂直平分线的性质可得， ， ，
，
点 在 的垂直平分线上；
（2）解： ，
， ，
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，
，
，
，
，
即 ，
，
即 ．
6．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的判定、三角形外角的性质、直角三
角形的性质以及等边三角形的判定．
（1）根据等角对等边可求 ， ，再运用垂直平分线的判定定理和两点确定一条直线即可
证明 垂直平分 ．
（2）根据等腰三角形性质和三角形外角性质可知 ，再通过平行线性质和直角三角形性质可
求 ，利用三角形内角和求 ，最后通过等边三角形的判定定理即可求证．
【详解】（1）证明： ， ，
， ，
在 的垂直平分线上， ，
在 的垂直平分线上，
垂直平分 ．
（2）证明：设 ，
，
，
是 的外角，
，
由（1）得 ， ，
，
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，
，
，
，
即 解得 ，
，
又 ，
是等边三角形．
题型四 线段垂直平分线（尺规作图）
1．【答案】C
2．【答案】
3．
【答案】见解析
【分析】本题考查了作垂线(尺规作图) ，解题关键是掌握作垂线(尺规作图)．
以P为圆心大到P到 的距离为半径作圆弧，交 于两点，以这两点为圆心，同样长度为半径，在
下方作圆弧，两圆弧交于点C，连线 ， ，以此求解．
【详解】解：如图， ，直线 即为所求作．
4．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质及其画法、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、含30度角
的直角三角形的性质，正确画出线段垂直平分线是解答的关键．
（1）根据线段垂直平分线的尺规作图步骤画图即可；
（2）先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得 ，根据线段垂直平分线的性质得
到 ，则 ， ，然后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，直线 就是所求．
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学科网（北京）股份有限公司（2）解：连接 ，
因为 ，且 ，
所以 ，
因为 是线段 的垂直平分线， ，
所以 ，
所以 ，
则 ，
在 中， ，
所以 ．
5．
【答案】(1)图见详解
(2)
【分析】本题考查了作图 复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的
基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形内角和、线段垂直平分线的性质和等腰
三角形的性质．
利用基本作图作 的垂直平分线即可；
先根据线段垂直平分线的性质得到 ，由于 ，所以 ，再根据等腰三角形的性
质得到 ，所以 为等腰直角三角形，从而得到 的度数．
【详解】（1）解：如图，点 为所作；
（2）解： 的垂直平分线交 于点 ，
，
，
，
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，
，
为等腰直角三角形，
．
6．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了翻折变换的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质等知识点；
熟练掌握翻折变换的性质、证明三角形是等边三角形是解题的关键．
（1）如图：作 的垂直平分线 ，垂足为D，交 于E， 即为所求；
（2）由线段垂直平分线的性质得出 ，由 可证 是等边三角形，则 ；进
而得到得出 ，由等边三角形的性质得出 ，即可得出 的周长．
【详解】（1）解：如图， 即为所求．
（2）证明：由题意知: 垂直平分 ，
，
，
是等边三角形，
，
的周长为12，
，
，
，
，
的周长为 ．
7．
【答案】（1）图和证明过程见详解；（2）图和证明过程见详解
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题主要考查角平分线与线段垂直平分线的尺规作图、全等三角形的性质与判定、三角形外角的
性质及三角形三边关系，熟练掌握角平分线与线段垂直平分线的尺规作图、全等三角形的性质与判定、三
角形外角的性质及三角形三边关系是解题的关键；
（1）根据角平分线的尺规作图及线段的尺规作图进行作图，然后可得 ，则有
，进而根据三角形外角的性质可进行求解；
（2）作线段 的垂直平分线 ，交线段 于点F，由题意易得 ，则有 ，然后
根据三角形三边关系可进行求解．
【详解】解：（1）作 的角平分线 ，交 于点D，在 边上截取 ，连接 ，如图
所示：
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）作线段 的垂直平分线 ，交线段 于点F，如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，根据三角形三边关系可知： ，
∴ ．
题型一 线段垂直平分线的综合应用
1．【答案】D
2．【答案】
3．【答案】 /
4．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）先结合垂直平分线的性质，得 ，再结合 ， ，运用勾股逆定理得
是直角三角形，则根据直角三角形的两个锐角互余，得 是直角三角形，即可作答．
（2）先理解题意，运用倍长中线法证明 ，根据邻余四边形的定义，得出 ，
根据勾股定理，得 ，又因为 ，证明 ，即可作答．
【详解】（1）证明：连接 ，如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司∵ 垂直平分 交 于点 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是邻余四边形；
（2）解：延长 至 点，使得 ，连接
∵ 为 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵四边形 是邻余四边形，且 和 均为钝角，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，勾股逆定理，新定义，垂直平分线的性质，直
角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
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