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1.4 线段的垂直平分线
题型一 利用性质求线段长
1．（25-26八年级上·辽宁营口·期末）如图，在 中，直线 为线段 的垂直平分线，交 于点
，连接 ．若 ， ，则 的长为（ ）
A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm
【答案】B
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是
解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质得到 ，则 ．
【详解】解：∵直线 为 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
2．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，已知在 中， ， 是 的中垂线，
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学科网（北京）股份有限公司， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的
关键．
根据垂直平分线的性质可得 ，进而根据含30度角的直角三角形的性质即可求得 的长．
【详解】解：在 中， ， ，
，
是 的中垂线，
，
，
，
，
故答案为： ．
3．（25-26八年级上·山西吕梁·月考）如图，在 中， ，分别以 ， 为圆心，大于 的
长为半径画弧，两弧交于 ， 两点，作直线 ，分别交 ， 于点 ， ，若 ， ，
则 ．
【答案】6
【分析】由尺规作图判断出 是 的垂直平分线，则 ， ，进一步得到
．由 ，结合三角形内角和定理，可证出 ，得到答案．
【详解】解：根据题意可知， 是 的垂直平分线，
∴ ， ，
∴ ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：6．
【点睛】本题考查垂直平分线的尺规作图，垂直平分线定理，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定
理，掌握好尺规作图的操作规范是解题关键．
4．（25-26八年级上·青海西宁·期中）如图所示，点 在 的内部，点 分别是点 关于直线
的对称点，线段 交 ， 于点 ， ．若 的周长是 ，则线段 的长是
．
【答案】
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、轴对称的性质等知识，熟练掌握垂直平分线的性质是解题关
键．根据题意，可得 和 分别是线段 和线段 的垂直平分线，然后根据“垂直平分线上的点到
线段两端点的距离相等”，即可得到 ， ，结合“ 的周长是 ”，由
，即可获得答案.
【详解】解：∵ 、 关于 对称， 、 关于 对称，
∴ 和 分别是线段 和线段 的垂直平分线，
∴ ， ，
又∵ 的周长是 ，即 ，
∴ ．
故答案为： ．
题型二 利用性质求三角形周长
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学科网（北京）股份有限公司1．（25-26八年级上·吉林松原·期末）如图，在 中， 的垂直平分线交 于点D，交 于点
E，连接 ，若 ， ，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
根据 是 的垂直平分线，得到 ，再根据 ，即可求
解．
【详解】解： 是 的垂直平分线，
，
， ，
的周长为 ．
故选：D．
2．（25-26八年级上·吉林·期末）如图， 中， ， 的垂直平分线交 于E，连接 ，
，则 的周长是 ．
【答案】6
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
由题意知 ，根据 的周长为 ，通过线段的等量关系，得
，计算求解即可．
【详解】解：∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
又∵
∴ 的周长为 ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
3．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，在 中，直线m是线段 的垂直平分线，点P是直线m
上的一个动点，连接 、 ，若 ， ，则 周长的最小值是
【答案】12
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，掌握相关知识点的应用是解题的关键．
连接 ，由直线 是线段 的垂直平分线，则 ，又 周长为 ，
则当点 三点共线时， 周长最小，为 ，然后代入即可求解．
【详解】解：连接 ，
∵直线 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∴ 周长为 ，
则当点 三点共线时， 周长最小，
∴ 周长的最小值为 ，
故选： ．
4．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在 中， ， ， 的垂直平分线交 于点 ，
交 于点 ，则 的周长是 ．
【答案】16
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质推出 的周长为 ，进行求解即可．
【详解】解： 是 的垂直平分线，
，
， ，
的周长
故答案为：
5．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，在 中， 是 的垂直平分线，交 于 ，交
于 ，连接 ，已知 ， 的周长为 ，则 的周长是 ．
【答案】12
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线上的点到两端距离相等．
根据垂直平分线的性质得出 ， ，进而得出
，即可解答．
【详解】解：∵ 是 的垂直平分线， ，
∴ ， ，
∵ 的周长为 ，
∴ ，
∴ 的周长 ，
故答案为：12．
6．（22-23八年级下·广西北海·期中）如图，在 中， ， ， 的面积为12，
于点D，直线 垂直平分 交 于点E，交 于点F，P是线段 上的一个动点，则
的周长的最小值是 ．
【答案】7
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟
练掌握线段垂直平分线的性质．
根据中垂线的性质，得到 ，进而得到 ，根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：在 中， ， 于点D，
∴ ，
连接 ，如图，
∵直线 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，当且仅当点 为 与 的交点时取等号，
∵ ， ， 的面积为 ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的周长
故答案为： 7．
题型一 利用性质求线段和的最小值
1．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）如图，在 中， ， 的面积为21， 的垂直平分
线分别交 、 于点M、N，若点P和点Q分别是线段 和 边上的动点，连接 ， ，则．
的最小值为 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】本题考查轴对称最短问题，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是把最
短问题转化为垂线段最短．
连接 ， ，设 中 边上的高为h，利用三角形的面积公式求出 ，由题意 ，
求出 的最小值，可得结论．
【详解】解：连接 ， ，设 中 边上的高为h，
∵ 面积为 ， ，
∴ ，
，
垂直平分线段 ，
，
，
当 的值最小时， 的值最小，
根据垂线段最短可知，当 时， 的值最小，
∴此时 ，
的最小值为 ，
故答案为： ．
2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图， 中， 是 边上的中线，F是
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学科网（北京）股份有限公司上的动点，E是 边上的动点，则 的最小值为 ．
【答案】9.6
【分析】本题考查三线合一，中垂线的性质，垂线段最短，等积法求线段的长，连接 ，三线合一，
推出 ，进而得到 ，根据垂线段最短，得到当 时， 最小，等
积法求出 的长即可．
【详解】解：连接 ，
∵ 是 边上的中线，
∴ 垂直平分 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵E是 边上的动点，
∴当 时， 最小，此时 ，即 ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
3．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在 中， ， 平分 ，交 于点 ，点 ，
分别为 上的动点，若 ， 的面积为 ，则 的最小值为 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短，过点 作 于 ，
由等腰三角形的性质可得 垂直平分 ，即得 ，即得到 ，可知当
三点共线且 时， 的值最小，最小值即为 的长，再利用三角形的面积求出
的值即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：如图，过点 作 于 ，
∵ ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
当 三点共线且 时， 的值最小，最小值即为 的长，
∵ 的面积为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
4．（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图，在 中， ，点 为边 上的定点， ，
， ， ， 是线段 上的动点， 交 于点 ，则 的最小值是 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】本题主要考查了垂线段最短，勾股定理，垂直平分线的判定与性质，等面积法求三角形的高，推
导出 的最小值即为 中 边上的高是解题的关键．
先根据垂直平分线的判定与性质可得 ，再根据垂线段最短得出 的最小值即为 中
边上的高，利用勾股定理计算出 ，即可得到 的长，再运用等面积法即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 、 、 三点共线，且 时， 的值最小，最小值为 ，
∵在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
题型二 求当三角形周长最小时角的度数
1．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，在 中， 的垂直平分线分别交 ， 于点
， ， 的垂直平分线分别交 ， 于点 ， ， ， 的延长线交于点 ．连接 ， ，
若 ，则 的度数为（ ）．
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键．
连接 ，根据垂直平分线的性质和等边对等角可得 ， ，即
，代入 中，即可求
解．
【详解】解：连接 ，
∵ 垂直平分 ， 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵
∴ ，
∴ ，
故选：B．
2．（25-26八年级上·辽宁营口·期末）如图，若 ， 为 内一定点，点 在 上，点
在 上，当 的周长取得最小值时， 的度数为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查轴对称的性质，垂直平分线的性质作点 关于 的对称点 ，作点 关于 的对称点
，连接 ， ， ， ， ，得到 ， ， ， ， 的周
长 ，当点 、 在线段 上时， 的周长取得最小值，证
明 ，得到 ，同理可得 ， ，再证明
，得到 ，最后根据
求解即可．
【详解】解：作点 关于 的对称点 ，作点 关于 的对称点 ，连接 ， ， ， ， ，
∴ 垂直平分 ， 垂直平分 ，
∴ ， ， ， ，
∴ 的周长 ，
∴当点 、 在线段 上时， 的周长取得最小值，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
同理可得 ， ，
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故选：A．
题型三 线段垂直平分线的判定与性质综合
1．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图， ， ，点E是线段 上任意一点，连接 ，
．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键．
连接 ，证得 是线段 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质证得 即可．
【详解】证明：连接 ，
， ，
在线段 的垂直平分线上，B在线段 的垂直平分线上，
即 是线段 的垂直平分线，
在 上，
．
2．（25-26八年级上·福建三明·期末）如图，在 中，D是 上的一点，连接 ，作 交
于点E， 交 于点F，且 平分 ，连接 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)证明： 垂直平分 ．
(2)若 的周长为18，面积为24， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)4
【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，垂直平分线的逆定理．解题的关键在于
对知识的灵活运用．
（1）证明 ，可得 ， ，从而得到点A和点D在 的垂直平分线上，即可．
（2）首先求出 ，再证明 ， ，然后根据面积法进行求解即可．
【详解】（1）证明： ， ，
， ∵
∴ 平分 ，
∵ ，
∴在 和 中，
，
，
∴
， ，
∴点A和点D在 的垂直平分线上，
∴ 垂直平分 ．
∴（2）解： 的周长为18， ，
∵ ，
∴由（ ）得 ，
1 ，
∴
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学科网（北京）股份有限公司，
∴
，
∴
∴ ．
3．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）如图，在 中， 的垂直平分线分别交 ， 于点 ， ，
于点 ， 交 于点 ．
(1)若 ， ，求 的周长．
(2)求证：点 在线段 的垂直平分线上．
【答案】(1) 的周长为
(2)证明见解析
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，利用线段垂直平分线的性质得到
线段相等是解题的关键．
（1）利用线段垂直平分线的性质得 ，将 的周长转化为 即可得出；
（2）先由 得出 ，再结合 利用余角性质得到 ，利用对顶角
相等得 ，进而得 ，由等角对等边得 ，根据到线段两端距离相等
的点在线段的垂直平分线上即可得证．
【详解】（1）解：∵ 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 的周长 ；
（2）证明：由（1）得 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴点 在线段 的垂直平分线上．
4．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在 中， 边的垂直平分线 交 于点D， 边的
垂直平分线 交 于点E， 与 相交于点O，连接 ， ， ．
(1)若 的周长为 ，线段 的长为______；
(2)判断点O是否在 的垂直平分线上，并说明理由；
(3)若 ，求 的度数．
【答案】(1)
(2)点O在 的垂直平分线上，理由见详解
(3)
【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分
线上的点到线段两个端点的距离相等．
（1）根据垂直平分线的性质得出 ， ，求出 ；
（2）根据垂直平分线的性质得出 ， ，推出 ，即可证明点O在 的垂直平分线
上；
（3）根据三角形内角和得出 ，根据等腰三角形的性质得出 ，
，根据 求出结果即可．
【详解】（1）解：∵ 是 边的垂直平分线，
∴ ，
∵ 是 边的垂直平分线，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ 的周长为 ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）解：点O在 的垂直平分线上，
理由：∵ 是 边的垂直平分线，
∴ ，
∵ 是 边的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴点O在 的垂直平分线上；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∵ 是 边的垂直平分线，
∴ ，
∵ 是 边的垂直平分线，
∴ ，
∴ ， ，
∴
∴ ．
5．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）如图，在 中，边 的垂直平分线分别交 ， 于点 ，
，边 的垂直平分线分别交 ， 于点 ， ， ， 相交于点 ，连接 ， ．
(1)试判断点 是否在 的垂直平分线上，并说明理由
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学科网（北京）股份有限公司(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)点 在 的垂直平分线上，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质和判定，根据
题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）连接 ，根据线段垂直平分线的性质可得 ， ，从而可得 ，然后利用线段
垂直平分线性质定理的逆定理即可解答；
（2）因为 ，根据“等边对等角”得 ， ，
则可得 ，由三角形内角和可得 的度数．
【详解】（1）解：点 在 的垂直平分线上，理由如下：
连接 ，如图．
， 分别是 ， 的垂直平分线，
根据线段垂直平分线的性质可得， ， ，
，
点 在 的垂直平分线上；
（2）解： ，
， ，
，
，
，
，
，
，
即 ，
，
即 ．
6．（25-26八年级上·河南信阳·月考）如图1， ， 与 相交于点 ，
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学科网（北京）股份有限公司．
(1)如图1，求证： 垂直平分 ；
(2)如图2，在图1的基础上，过点 作 交 的延长线于点 ，如果 ，求证： 是
等边三角形；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的判定、三角形外角的性质、直角三
角形的性质以及等边三角形的判定．
（1）根据等角对等边可求 ， ，再运用垂直平分线的判定定理和两点确定一条直线即可
证明 垂直平分 ．
（2）根据等腰三角形性质和三角形外角性质可知 ，再通过平行线性质和直角三角形性质可
求 ，利用三角形内角和求 ，最后通过等边三角形的判定定理即可求证．
【详解】（1）证明： ， ，
， ，
在 的垂直平分线上， ，
在 的垂直平分线上，
垂直平分 ．
（2）证明：设 ，
，
，
是 的外角，
，
由（1）得 ， ，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
即 解得 ，
，
又 ，
是等边三角形．
题型四 线段垂直平分线（尺规作图）
1．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在 中， ， ，根据尺规作图
的痕迹，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查垂线与角平分线的尺规作图及直角三角形的性质，熟练掌握垂线与角平分线的尺规
作图及直角三角形的性质是解题的关键；由作图可知： 平分 ， ，由题意易得
，则有 ，然后问题可求解．
【详解】解：由作图可知： 平分 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故选：C．
2．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，已知等边 边长为 ，点 是边 上一点， ，以
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学科网（北京）股份有限公司点 为圆心， 的长为半径画弧交 于点 ，连接 ，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为
半径画弧分别交于点 和点 ，作直线 交 于点 ，则 的周长等于 ．
【答案】
【分析】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读
懂图象信息．
证明 ，证明 的周长 ，可得结论．
【详解】解：由作图可知， 垂直平分线段 ，
，
等边 边长为 ，
，
以点 为圆心， 的长为半径画弧交 于点 ，
，
，
的周长 ；
故答案是： ．
3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知直线 及 外一点P．求作：经过点P且垂直于 的
直线．
【答案】见解析
【分析】本题考查了作垂线(尺规作图) ，解题关键是掌握作垂线(尺规作图)．
以P为圆心大到P到 的距离为半径作圆弧，交 于两点，以这两点为圆心，同样长度为半径，在
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学科网（北京）股份有限公司下方作圆弧，两圆弧交于点C，连线 ， ，以此求解．
【详解】解：如图， ，直线 即为所求作．
4．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图， 中， ， ．
(1)作边 的垂直平分线 ，与 ， 分别相交于点 ， （用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写
作法）；
(2)在（1）的条件下，若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质及其画法、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、含30度角
的直角三角形的性质，正确画出线段垂直平分线是解答的关键．
（1）根据线段垂直平分线的尺规作图步骤画图即可；
（2）先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得 ，根据线段垂直平分线的性质得
到 ，则 ， ，然后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，直线 就是所求．
（2）解：连接 ，
因为 ，且 ，
所以 ，
因为 是线段 的垂直平分线， ，
所以 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
在 中， ，
所以 ．
5．（25-26八年级上·山东德州·月考）如图，在 中， ．
(1)尺规作图：作 的垂直平分线交 于点 不写作法，保留作图痕迹 ；
(2)在 的条件下，若 ，求 的度数．
【答案】(1)图见详解
(2)
【分析】本题考查了作图 复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的
基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形内角和、线段垂直平分线的性质和等腰
三角形的性质．
利用基本作图作 的垂直平分线即可；
先根据线段垂直平分线的性质得到 ，由于 ，所以 ，再根据等腰三角形的性
质得到 ，所以 为等腰直角三角形，从而得到 的度数．
【详解】（1）解：如图，点 为所作；
（2）解： 的垂直平分线交 于点 ，
，
，
，
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司为等腰直角三角形，
．
6．（25-26八年级上·安徽黄山·期中）如图，在数学活动课上，小明剪了一张 的纸片，其中
，他将 折叠压平使点 落在点 处，折痕 ， 在 上， 在 上．
(1)请作出折痕 ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．）
(2)连接 ，若 ， 的周长为 ，求 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了翻折变换的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质等知识点；
熟练掌握翻折变换的性质、证明三角形是等边三角形是解题的关键．
（1）如图：作 的垂直平分线 ，垂足为D，交 于E， 即为所求；
（2）由线段垂直平分线的性质得出 ，由 可证 是等边三角形，则 ；进
而得到得出 ，由等边三角形的性质得出 ，即可得出 的周长．
【详解】（1）解：如图， 即为所求．
（2）证明：由题意知: 垂直平分 ，
，
，
是等边三角形，
，
的周长为12，
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
的周长为 ．
7．（25-26八年级上·广东湛江·月考）操作与探究：三角形边与角的不等关系
【问题提出】我们知道：在一个三角形中，等边对等角，等角对等边．那么在一个三角形中，大边对大角，
大角也会对大边吗？
【探究一】在一个三角形中，大边对大角．
（1）已知：如图，在 中， ．求证： ．
小亮的研究思路是利用轴对称的性质，把研究两个量之间的不等问题，转化为较大量的一部分与较小量相
等的问题，具体做法如下：作 的角平分线 ，交 于点D，在 边上截取 ，连接 ．
请在图中用无刻度的直尺和圆规作出以上辅助线（保留作图痕迹，不写作法）并写出证明过程．
【探究二】在一个三角形中，大角对大边．
（2）已知：如图，在 中， ．求证： ．
类比小亮的研究思路，在图中用无刻度的直尺和圆规添加辅助线（保留作图痕迹，不写作法）并写出证明
过程．
【答案】（1）图和证明过程见详解；（2）图和证明过程见详解
【分析】本题主要考查角平分线与线段垂直平分线的尺规作图、全等三角形的性质与判定、三角形外角的
性质及三角形三边关系，熟练掌握角平分线与线段垂直平分线的尺规作图、全等三角形的性质与判定、三
角形外角的性质及三角形三边关系是解题的关键；
（1）根据角平分线的尺规作图及线段的尺规作图进行作图，然后可得 ，则有
，进而根据三角形外角的性质可进行求解；
（2）作线段 的垂直平分线 ，交线段 于点F，由题意易得 ，则有 ，然后
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学科网（北京）股份有限公司根据三角形三边关系可进行求解．
【详解】解：（1）作 的角平分线 ，交 于点D，在 边上截取 ，连接 ，如图
所示：
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）作线段 的垂直平分线 ，交线段 于点F，如图所示：
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，根据三角形三边关系可知： ，
∴ ．
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学科网（北京）股份有限公司题型一 线段垂直平分线的综合应用
1．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在 中， ， ，点D为 中点，连
接 ，点E、点F分别为 、 上两动点，过点F作 于点H，当 取最小值时，
，则 的面积是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，垂直平分线的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定
与性质及等边三角形的判定与性质．连接 ，过 作点C的对称点O，连接 ，过点F作
于点N，作 于点P，利用对称的性质当点C，E，F，N，P共线时， 取得最小值，
设 ， 交于点Q，证明 ，求得 的值，再进一步证得 为等边三角形，从
而得到 的值，由于C，O关于 对称，可求出 的值，最终利用三角形面积公式求得结果．
【详解】解：如图，连接 ，作点C关于 的对称点O，连接 ，过点F作 于点N，作
于点P，
由对称可知， ， ，
∵ ， ，点D为 中点，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，即 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵两点之间线段最短，垂线段最短，
∴当点C，E，F，N，P共线时， 取得最小值，此时点P与点N重合，
如图，设 ， 交于点Q，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
C，O关于 对称，
∵
∴ ， ，
∴ ．
故选：D．
2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图， 中， ， ， ，点 是 的中
点，将 沿 翻折得到 ，连接 、 ，则线段 的长等于 ．
【答案】
【分析】如图，延长 交 于点 ，由勾股定理求得 ，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
半可得 ，由翻折的性质可知 ， ， ，可得
是 的垂直平分线，得到 ， ，设 ，则 ，在 和
中，由勾股定理得 ，即得到 ，解得 ，
得到 ， ，由 ，得到 ， ，进而得到
，最后利用勾股定理计算即可求解．
【详解】解：如图，延长 交 于点 ，
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学科网（北京）股份有限公司在 中，由勾股定理得 ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
由翻折的性质可知， ， ， ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ， ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，翻折的性质，等腰三角形的判定与性质，
线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键．
3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图 中， ， ， 为 边的中点，点
和点 分别为边 和 上的动点，且满足 ，连接 ， ，则 的最小值为
．
【答案】 /
【分析】过点C作 于点G，过点D作 于点H，连接 ， ， ， ， ， ，
证明 ，得出 ，证明 ，得出 ，根据两点之间线
段最短，得出当F、H、B三点共线时， 最小，即 最小，且最小值为 ，根据勾股定理
求出结果即可．
【详解】解：过点C作 于点G，过点D作 于点H，连接 ， ， ， ， ，
，如图所示：
则 ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵两点之间线段最短，
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学科网（北京）股份有限公司∴当F、H、B三点共线时， 最小，即 最小，且最小值为 ，
∵ ，
∴ ，
即 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分
线的性质，两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
4．（2025九年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形．
(1)如图1，在 中， ， 垂直平分 交 于点 ，垂足为 ，且 ， ， 为
上一点，求证：四边形 是邻余四边形；
(2)如图2，在邻余四边形 中，（ 和 均为钝角）， 为 的中点， ，
， 时，求 的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）先结合垂直平分线的性质，得 ，再结合 ， ，运用勾股逆定理得
是直角三角形，则根据直角三角形的两个锐角互余，得 是直角三角形，即可作答．
（2）先理解题意，运用倍长中线法证明 ，根据邻余四边形的定义，得出 ，
根据勾股定理，得 ，又因为 ，证明 ，即可作答．
【详解】（1）证明：连接 ，如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司∵ 垂直平分 交 于点 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是邻余四边形；
（2）解：延长 至 点，使得 ，连接
∵ 为 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵四边形 是邻余四边形，且 和 均为钝角，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，勾股逆定理，新定义，垂直平分线的性质，直
角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
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