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课堂知识梳理 1.4 角平分线
1.角平分线的性质及判定定理
（1）性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
（2）判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
（3）证明书写时：一定强调垂直。
2.三角形三条角平分线的性质定理
性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
注意：锐，直，钝三角形，交点都在三角形内部。
3.如何用尺规作图法作出角平分线
课后培优练
级练
培优第一阶——基础过关练
1．（2022秋·河北廊坊·八年级统考期末）如图．点P是∠BAC的角平分线AD上的一点，
PE⊥AC于点E，已知PE=9，则点P到AB的距离是（ ）
A．18 B．12 C．6 D．9
2．（2022秋·河北石家庄·八年级石家庄市第四十二中学校考期末）如图，在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）
A．DE=DC B．AE=AC C．AD=BD D．∠BDE=∠BAC
3．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE平分
∠ADC，∠B=55°，∠C=35°，则∠ADE=（ ）
1A．50° B．55° C．60° D．62.5°
4．（2022秋·全国·八年级期末）如图，直线l 、l 、l 表示三条相互交叉的公路，现要建
1 2 3
一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
5．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期中）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，
BE平分∠ABC交CD于点E，BC=8,DE=3，则△BCE的面积等于（ ）
A．24 B．12 C．8 D．4
6．（2022秋·山东聊城·八年级校考期末）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是
10、15、20．其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，
S ：S ：S 等于（ ）
△ABO △BCO △CAO
A．1：1：2 B．1：2：3 C．2：3：4 D．1：2：4
7．（2022秋·湖北荆门·八年级统考期末）如图，点M是∠AOB平分线上的一点，点P、
点Q分别在射线OA、射线OB上，满足OP=2OQ，若△OQM的面积是2，则△OMP的
面积是（ ）
2A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2022秋·广东韶关·八年级统考期中）如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距
离相等，则P点是（ ）
A．线段CD的中点 B．OA与OB的垂直平分线的交点
C．CD与∠AOB的平分线的交点 D．OA与CD的垂直平分线的交点
9．（2022秋·广东肇庆·八年级统考期末）如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，对于结论：①DE=DF；②BD=CD；③AD上
任一点到AB、AC的距离相等；④AD上任一点到B、C的距离相等．其中正确的是（ ）
A．仅①② B．仅③④ C．仅①②③ D．①②③④
10．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，点P是∠AOB的平分线上的一点，过点
P作PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA，若∠AOB=60°，OC=8，则PD=___________
11．（2022秋·陕西渭南·八年级统考期中）如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且
点O到△ABC三边的距离相等，∠BOC=130∘，则∠A的度数为_______°．
312．（2022秋·广东江门·八年级广东省江门市实验中学校考期中）如图，已知
∠AOB=30°，OC 平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA，交OB于D，
PE⊥OA于E．如果OD=4cm，则PE的长为______cm．
13．（2022秋·黑龙江大庆·九年级校联考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD
平分∠BAC，交BC于点D，若AB=10，CD=3，则△ABD的面积_________．
14．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E．
1
②分别以点D、E为圆心，大于 DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F．
2
③作射线BF交AC于点G．
AB 2 S
如果 = ，求 ΔABG =________．
BC 3 S
ΔBGC
15．（2022秋·江苏泰州·八年级泰州市姜堰区第四中学校考阶段练习）如图，AD是
△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF．
416．（2022秋·北京东城·七年级景山学校校考期末）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，请
利用尺规作图法在线段BC上作一点D，使点D到边AB的距离等于CD．（不写作法，保
留作图痕迹）
17．（北京市顺义区2022-2023学年八年级上学期数学期末试卷）如图，在△ABC中，
∠C=90°，BD分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥AB交BC于点E，DF⊥AB，
垂足为点F．
(1)求证：BE=DE；
(2)若DE=2，DF=√3，求BD的长．
18．（2022秋·广东广州·八年级广州四十七中校考期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，
∠B=30°，DE是AB的垂直平分线，垂足为点E，DE交BC于点D，连接AD．
(1)求证：AD平分∠CAB；
(2)若CD=3，求BD的长．
5培优第二阶——拓展培优练
19．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，
OC=OD(OA<OC)，∠AOB=∠COD=α，直线AC，BD交于点M，连接OM．下列
结论：①AC=BD，②∠OAM=∠OBM，③∠AMB=α，④OM平分∠BOC，其中正
确结论的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
20．（2022秋·河南安阳·八年级统考期中）如图，AD平分∠CAB，若S :S =4:5，
△ACD △ABD
则AB:AC=________．
21．（2022秋·山东聊城·八年级校考期末）如图，∠BAC的角平分线与线段BC的垂直平
分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．若AB＝10，AC＝8，
则BE=______．
622．（2022春·陕西榆林·七年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，
∠ACB=90°,∠BAC=30°，AD平分∠BAC交BC于点D，在边AB上找一点E，连接
DE，使∠ADE=15°，若CD=3，则DE的长为___________．
23．（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期中）如图：在ΔABC中，∠C=90°，BC=6cm，
AC=8cm，BD是∠ABC的角平分线．
（1）则CD=______；
（2）若点E是线段AB上的一个动点，从点B以每秒1cm的速度向A运动______秒钟后
ΔEAD是直角三角形．
24．（2022秋·广东江门·八年级校考阶段练习）如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P
是AD上的一点，PE∥AB交BC与E，PF∥AC交BC与F．求证：D到PE的距离与D
到PF的距离相等．
25．（2022秋·八年级课时练习）如图，等腰ΔABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，点
7E在线段AD的左侧且∠BEC=2∠BAD．
(1)求证：∠ABE=∠ACE；
(2)若点F在BE的延长线上，求证：AE平分∠CEF．
26．（2022秋·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）已知，如图，在△ABC中，AC的垂
直平分线与∠ABC的角平分线交于点D，
(1)如图1，判断∠BAD和∠BCD之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若∠DAC=60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由；
培优第三阶——中考沙场点兵
827．（2022·广西梧州·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC, AD是△ABC的角
平分线，过点D分别作DE⊥AB, DF⊥AC，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的
是（ ）
A．∠ADC=90∘ B．DE=DF C．AD=BC D．BD=CD
28．（2022·四川资阳·中考真题）如图所示，在△ABC中，按下列步骤作图：
第一步：在AB、AC上分别截取AD、AE，使AD=AE；
第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长（大于DE的一半）为半径作圆弧，两弧交于
点F；
第三步：作射线AF交BC于点M；
第四步：过点M作MN⊥AB于点N．
下列结论一定成立的是( )
A．CM=MN B．AC=AN C．∠CAM=∠BAMD．∠CMA=∠NMA
29．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，
DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（ ）
A．2 B．2√3 C．4 D．4+2√3
930．（2022·内蒙古·中考真题）如图，在△ABC中，AB=BC，以B为圆心，适当长为半
1
径画弧交BA于点M，交BC于点N，分别以M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两
2
弧相交于点D，射线BD交AC于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE=AC=4，则
△CEF的周长是（ ）
A．8 B．2√3+2 C．2√5+6 D．2√5+2
31．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，依据尺规作图的痕迹，求∠α的度数
_________°．
32．（2022·北京·统考中考真题）如图，在ΔABC中，AD平分∠BAC,DE⊥AB.若
AC=2,DE=1,则S = ____．
ΔACD
33．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平
分线．
10(1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：AD＝AE．
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