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课堂知识梳理 1.4 角平分线
1.角平分线的性质及判定定理
（1）性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
（2）判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
（3）证明书写时：一定强调垂直。
2.三角形三条角平分线的性质定理
性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
注意：锐，直，钝三角形，交点都在三角形内部。
3.如何用尺规作图法作出角平分线
课后培优练
级练
培优第一阶——基础过关练
1．（2022秋·河北廊坊·八年级统考期末）如图．点P是∠BAC的角平分线AD上的一点，
PE⊥AC于点E，已知PE=9，则点P到AB的距离是（ ）
A．18 B．12 C．6 D．9
2．（2022秋·河北石家庄·八年级石家庄市第四十二中学校考期末）如图，在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）
A．DE=DC B．AE=AC C．AD=BD D．∠BDE=∠BAC
3．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE平分
∠ADC，∠B=55°，∠C=35°，则∠ADE=（ ）
1A．50° B．55° C．60° D．62.5°
4．（2022秋·全国·八年级期末）如图，直线l 、l 、l 表示三条相互交叉的公路，现要建
1 2 3
一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
5．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期中）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，
BE平分∠ABC交CD于点E，BC=8,DE=3，则△BCE的面积等于（ ）
A．24 B．12 C．8 D．4
6．（2022秋·山东聊城·八年级校考期末）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是
10、15、20．其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，
S ：S ：S 等于（ ）
△ABO △BCO △CAO
A．1：1：2 B．1：2：3 C．2：3：4 D．1：2：4
7．（2022秋·湖北荆门·八年级统考期末）如图，点M是∠AOB平分线上的一点，点P、
点Q分别在射线OA、射线OB上，满足OP=2OQ，若△OQM的面积是2，则△OMP的
面积是（ ）
2A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2022秋·广东韶关·八年级统考期中）如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距
离相等，则P点是（ ）
A．线段CD的中点 B．OA与OB的垂直平分线的交点
C．CD与∠AOB的平分线的交点 D．OA与CD的垂直平分线的交点
9．（2022秋·广东肇庆·八年级统考期末）如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，对于结论：①DE=DF；②BD=CD；③AD上
任一点到AB、AC的距离相等；④AD上任一点到B、C的距离相等．其中正确的是（ ）
A．仅①② B．仅③④ C．仅①②③ D．①②③④
10．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，点P是∠AOB的平分线上的一点，过点
P作PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA，若∠AOB=60°，OC=8，则PD=___________
11．（2022秋·陕西渭南·八年级统考期中）如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且
点O到△ABC三边的距离相等，∠BOC=130∘，则∠A的度数为_______°．
312．（2022秋·广东江门·八年级广东省江门市实验中学校考期中）如图，已知
∠AOB=30°，OC 平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA，交OB于D，
PE⊥OA于E．如果OD=4cm，则PE的长为______cm．
13．（2022秋·黑龙江大庆·九年级校联考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD
平分∠BAC，交BC于点D，若AB=10，CD=3，则△ABD的面积_________．
14．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E．
1
②分别以点D、E为圆心，大于 DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F．
2
③作射线BF交AC于点G．
AB 2 S
如果 = ，求 ΔABG =________．
BC 3 S
ΔBGC
15．（2022秋·江苏泰州·八年级泰州市姜堰区第四中学校考阶段练习）如图，AD是
△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF．
416．（2022秋·北京东城·七年级景山学校校考期末）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，请
利用尺规作图法在线段BC上作一点D，使点D到边AB的距离等于CD．（不写作法，保
留作图痕迹）
17．（北京市顺义区2022-2023学年八年级上学期数学期末试卷）如图，在△ABC中，
∠C=90°，BD分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥AB交BC于点E，DF⊥AB，
垂足为点F．
(1)求证：BE=DE；
(2)若DE=2，DF=√3，求BD的长．
18．（2022秋·广东广州·八年级广州四十七中校考期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，
∠B=30°，DE是AB的垂直平分线，垂足为点E，DE交BC于点D，连接AD．
(1)求证：AD平分∠CAB；
(2)若CD=3，求BD的长．
5培优第二阶——拓展培优练
19．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，
OC=OD(OA
