文档内容
专题1.9 线段的垂直平分线（知识讲解）
【学习目标】
1、会准确说出线段垂直平分线性质定理及其逆定理，并用几何语言表达其性质；
2、能运用线段垂直平分线的性质解决有关问题；
3、能灵活应用性质定理及判定定理进行相关的解题训练.
【要点梳理】
知识要点一：
线段垂直平分线定理：线段的垂直平分线的性质定理:线段的垂直平分线上的到这条线段两
个端点的距离相等。
①如图，直线l垂直平分线段AB，P 、P 、P 是l上的点.试说明P A= P B.
1 2 3 1 1
证明：∵直线l⊥AB，∴∠P CA=∠P CB.
1 1
又CA=CB，P C= P C，
1 1
∴△P CA≌△P CB (SAS).
1 1
∴P A= P B.
1 1
几何语言叙述： ∵直线l垂直平分AB，P是直线l上任意一点;
∴PA=PB.
知识要点二：
线段垂直平分线判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线
上.
如图，在△PAB中，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？
请证明这个结论？
点P在线段AB的垂直平分线上
证明：作PC⊥AB，垂足为C，则∠ACP=∠BCP=90°，
在Rt△PAC和Rt△PBC中，PA=PB，PC=PC，
∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL).
∴AC=BC.∴PC是AB的垂直平分线，
即点P在线段AB的垂直平分线上.
线段垂直平分线性质的逆定理：
几何语言叙述： ∵PA=PB;
∴P点在AB的垂直平分线上.
【典型例题】
类型一、线段垂直平分线的性质
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于
点E，连接BD．若AE＝6，△CBD的周长为20，求BC的长．
【答案】线段BC的长为8
【分析】由线段垂直平分线的性质可得 ， ，由线段的和差关系
可求解．
解：∵MN垂直平分AB，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 的周长为20，
∴ ，
∴BC的长为8．
【点拨】题目主要考查垂直平分线的性质及线段的和差关系，理解垂直平分线的性质
是解题关键．
举一反三：
【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线交AB于点D，
交AC于点E．求证：△BEC是等腰三角形．【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE，则∠ABE=∠A=36°，由三角形外
角的性质可得∠BEC=∠A+∠ABE=72°，由AB=AC，可得 ，
则∠C=∠BEC，
即可证明△BEC是等腰三角形．
解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=36°，
∴∠BEC=∠A+∠ABE=72°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
又∵∠A=36°，
∴ ，
∴∠C=∠BEC，
∴BE=BC，
∴△BEC是等腰三角形．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，三角形内角
和定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握等腰三角形的性质与判定
条件．
【变式2】如图，在 ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．
（1）若∠B=70°，△则∠NMA的度数是_________．
（2）连接MB，若AB=8cm，BC=6cm．
①求 MBC的周长；
②在△直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的 PBC的周长值最小?若存在，直
接写出 PBC的周长最小值；若不存在，说明理由． △
△【答案】（1）50°；（2）①14cm；②存在，14cm．
【分析】（1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得∠A的度数，根据直
角三角形两锐角的关系，可得答案；
（2）①根据垂直平分线的性质，可得AM与MB的关系，再根据三角形的周长，可得
答案；
②根据两点之间线段最短，可得P点与M点的关系，可得PB+PC与AC的关系．
解：（1）∵∠B=70°，AB=AC，
∴∠B=∠C=70°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=50°，
∵MN⊥AB，
∴∠ANM=90°，
∴∠NMA=90°-∠A=50°，
故答案为：50°；
（2）如图：
①∵MN垂直平分AB．
∴MB=MA，
又∵BC=6cm，AC=BC=8cm，
∴△MBC的周长是MB+MC+BC= MA+MC+BC=AC+BC=14(cm)；
②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，
理由：∵PB+PC=PA+PC，PA+PC≥AC，∴P与M重合时，PA+PC=AC，此时PB+PC最小，
∴△PBC周长的最小值=AC+BC=8+6=14(cm)．
【点拨】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点
到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
类型二、线段垂直平分线的判定
2．在如图所示的四边形 中， ， ， 与 交于点 ，
于点 ， 与 交于点 ，且 ．求证：
（ ） ≌ ；
（1） 是等腰直角三角形．
2
【分析】（1）根据SSS即可证明 ABC≌△ADC；
（2）由AAS证明 EFC≌△EDB，△从而得到BE=CE，即可说明 BEC是等腰直角三角
形． △ △
证明：（1）在 与 中，
，
≌ ．
（2） ， ，
是 的垂直平分线，
， ，
，
，
，，
，
， ，
，
在 与 中，
，
≌ ，
，
又 ，
是等腰直角三角形．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定，垂直平分线
等知识，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．
举一反三：
【变式1】已知：如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，BC＞
BA．求证：点D在线段AC的垂直平分线上．
【分析】在BC上截取BE＝BA，连接DE，证明 ABD≌△BED，可得出∠C＝∠DEC，
则DE＝DC，从而得出AD＝CD即可证明． △
证明：如图，在BC上截取BE＝BA，连接DE，
∵BD＝BD，∠ABD＝∠CBD，
∴△BAD≌△BED，
∴∠A＝∠DEB，AD＝DE，
∵∠A+∠C＝180°，∠BED+∠DEC＝180°，
∴∠C＝∠DEC，
∴DE＝DC，∴AD＝CD，
∴点D在线段AC的垂直平分线上．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定等，学会做辅助
线找出全等三角形是解题的关键．
【变式2】如图，已知AB＝AC，AD⊥BC，AB+BD＝DE，求证：点C在AE的垂直平
分线上．
【分析】根据AB＝AC，AD⊥BC，可得 ，结合已知条件AB+BD＝DE，可得
，即可证明点C在AE的垂直平分线上．
证明： AB＝AC，AD⊥BC，
AB+BD＝DE，
点C在AE的垂直平分线上．
【点拨】本题考查了三线合一，垂直平分线的判定，求得 是解题的关键．
类型三、线段垂直平分线的实际应用
3．如图，在平面直角坐标系中，点A(-2，0)，B(2，0)，点C是y轴正半轴上一
点，点P在BC的延长线上．
（1）若点P的坐标为(-1，2)，
①求△PAB的面积；
②已知点Q是y轴上任意一点，当△PAQ周长取最小值时，求点Q的坐标；（2）连接AC，若∠APC＝∠ACP，∠APC比∠PAB大20°，求∠ABC的度数．
【答案】（1）①4；②Q(0， )；（2） ．
【分析】（1）① 的底为AB，高为P点的纵坐标，结合三角形面积公式求值即
可；
②根据两点间直线最短和轴对称的性质可知点C为Q点时△PAQ周长最小，设经过点
B和点P的直线解析式为 ，利用待定系数法求出解析式，再令x=0，求出y的值，
即求出点Q坐标．
（2）根据题意可知y轴为线段AB的垂直平分线，即得出 ．再根据三
角形外角性质可得出 ，即推出 ．根据题
意可求出 ．最后在 中利用三角形内角和定理即可求出最后答案．
解：（1）①根据题意可知 ，
∴ ；
②根据题意可知点A和点B关于y轴对称，即BP与y轴的交点即为点Q时，△PAQ周
长最小，此时点Q和点C重合．
∴求出点C坐标即可．
设经过点B和点P的直线解析式为 ，
∵B(2，0)、P(-1，2)，
∴ ，解得： ，
∴该解析式为 ．当 时， ，
∴C点坐标为(0， )，即Q(0， )．
（2）如图，
根据题意可知 ， ，
即O点为AB的中点，
∴y轴为线段AB的垂直平分线，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴
∵在 中 ，即 ，
∴ ，
解得： ．
【点拨】本题考查轴对称的性质，线段垂直平分线的判定和性质，一次函数的实际应
用，三角形外角性质，三角形内角和定理，综合性强．利用数形结合的思想是解答本题的
关键．
举一反三：
【变式1】如图，在 ABC中，AB＝AC，BC＝2 ，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点
D，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE和CE．
（1）补全图形；
（2）若点F是AC的中点，请在BC上找一点P使AP+FP的值最小，并求出最小值．【答案】（1）补全图见解析；（2）AP+FP的值最小值为 ．
【分析】（1）根据要求画出图形即可．
（2）连接EF交BC于点P，此时AP+FP的值最小，求出EF的值即可．
解：（1）补全图形如下：
（2）连接EF交BC于点P，
∵AB＝AC，BC＝2 ，AD⊥BC于点D，∠BAC＝120°，
∴ ，
∵DE=AD，AD⊥BC，
∴BC为AE的垂直平分线，
∴CA=CE，AP=EP，
∴AP+FP=EP+PF，最小为EF，△ACE为等边三角形，
∵点F是AC的中点，
∴EF⊥AC，
∴ ，AP+FP的值最小值为 ．
【点拨】本题考查等边三角形的性质和判定，三线合一，线段垂直平分线的性质和判
定等．（1）中能根据题意正确画出图形是解题关键；（2）中能结合线段垂直平分线的性
质得出最小值为EF和理解等边三角形三高相等是解题关键．
类型四、与线段垂直平分线的作图
4．尺规作图题（不写作法，保留作图痕迹）：如图，已知△ABC（AC＜BC），在BC上确定一点P，使PA+PC＝BC．
【分析】作线段AB的垂直平分线，交BC于点P，由线段垂直平分线性质可知，点P
即为所求．
解：作AB的垂直平分线交BC于点P，连接AP，
如图1所示，点P即为所求.
【点拨】本题考查垂直平分线应用，牢记性质定理内容是解题关键．
举一反三：
【变式1】．如图，已知锐角 ．
（1）尺规作图：作 的高 （保留作图的痕迹，不要求写出作法）；
（2）若 ， 与 有什么关系？并说明理由．
【答案】（1）见详解；（2） ，理由见详解
【分析】（1）以点A圆心，适当长为半径画弧，交BC于两点，再以这两点为圆心，
大于这两点的距离的一半为半径画弧，交于一点，然后连接即可；
（2）在DC上截取DE=BD，连接AE，由题意易得AB=AE，则有∠B=∠AEB，进而可
得AE=EC，最后问题可求解．解：（1）如图所示， 即为所求；
（2） ，理由如下：
在DC上截取DE=BD，连接AE，如图所示：
∵ ，
∴AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴AE=EC=AB，
∵ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及线段垂直平分线的性质定理，熟练
掌握等腰三角形的性质与判定及线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
【变式2】《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性一体的不朽之作，
把人们公认的一些事实列成定义、公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而
建立了一套从定义、公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．小牧在学习过程中产生了一个猜想：“如果三角形一边上的中线的长度等于所在边长度的一半，那么
这个三角形是直角三角形．”
（1）请你用尺规作图，在图中作出线段 的中点 ，并连接 ．（保留作图痕
迹）
（2）请你结合图形，将小牧猜想的命题写成已知、求证．
已知：_____________．
求证： 为直角三角形．
（3）补全上述猜想的证明过程．
证明：∵点 是线段 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在 中，∵ ，
∴ ，（___________）（填推理的依据），
同理，在 中， ．
在 中
∵ ．
∴________ ，
∴在 中， ，
∴ 为直角三角形．
【答案】（1）见详解；（2）在 中， 是 的中线，且 ；
（3）等边对等角； 或 ．
【分析】（1）根据作出AB的垂直平分线，交AB于D，连接CD，问题得解；
（2）根据题意将文字语言结合图形转化为符号语言，问题得解；（3）根据题意得到 ， ，根据三角形内角和定理得到
，即可得到 ，问题得证．
（1）解：如图，CD即为所求作的线段，
证明：∵点E、F分别到A、B的距离相等，
∴点E、F分别在AB的垂直平分线上，
∴点D为AB中点，
∴CD即为所求作的线段；
（2）已知：在 中， 是 的中线，且 ．
求证： 为直角三角形．
故答案为：在 中， 是 的中线，且 ；
（3）证明：∵点 是线段 的中点，
∴ ，
又∵
∴ ，
在 中，∵
∴ ，（等边对等角）（填推理的依据）
同理，在 中， ．
在 中
∵ ．
∴ 或 ，
∴在 中， ，∴ 为直角三角形．
故答案为：等边对等角； 或 ；
．
【点拨】本题考查了尺规作图-作已知线段的中点，几何文字语言、符号语言的转化，
等腰三角形性质等知识，熟知相关知识，掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题关键
