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课堂知识梳理 1.4 角平分线
1.角平分线的性质及判定定理
（1）性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
（2）判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
（3）证明书写时：一定强调垂直。
2.三角形三条角平分线的性质定理
性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
注意：锐，直，钝三角形，交点都在三角形内部。
3.如何用尺规作图法作出角平分线
课后培优练
级练
培优第一阶——基础过关练
1．（2022秋·河北廊坊·八年级统考期末）如图．点P是∠BAC的角平分线AD上的一点，
PE⊥AC于点E，已知PE=9，则点P到AB的距离是（ ）
A．18 B．12 C．6 D．9
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质，可得点P到AB的距离=PE，即可求解．
【详解】解：AD平分∠BAC，PE⊥AC，
∴P到AB的距离=PE=9，
故选：D
【点睛】此题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角的两边距离
相等．
2．（2022秋·河北石家庄·八年级石家庄市第四十二中学校考期末）如图，在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）
1A．DE=DC B．AE=AC C．AD=BD D．∠BDE=∠BAC
【答案】C
【分析】根据尺规作图的痕迹，AD是∠BAC的角平分线，AB⊥DE，依据这两个条件
即可逐项判断
【详解】∵根据尺规作图的痕迹，AD是∠BAC的角平分线，AB⊥DE，
∴DE=DC，AE=AC，
∴∠BDE=90°−∠B，
∵△ABC是直角三角形，
∴∠BAC=90°−∠B，
∴∠BDE=∠BAC
故选：C
【点睛】本题考查了作角平分线和角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题
的关键
3．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE平分
∠ADC，∠B=55°，∠C=35°，则∠ADE=（ ）
A．50° B．55° C．60° D．62.5°
【答案】A
【分析】由三角形的内角和定理可得∠BAC=90°，再利用角平分线的性质得到
∠EDC=47.5°，最后利用三角形外角的性质得出结果．
【详解】解：∵∠B=55°，∠C=35°，
∴∠BAC=180°−55°−35°=90°，
∵AD平分∠BAC，
∠BAC
∴∠BAD= =45°
2
2∵∠ADC=∠B+∠BAD=55°+45°=100°，DE平分∠ADC，
∠ADC 100°
∴∠ADE= = =50°
2 2
故选A．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的性质及三角形外角的性质，解题的
关键是熟练掌握三角形的内角和及三角形外角的性质．
4．（2022秋·全国·八年级期末）如图，直线l 、l 、l 表示三条相互交叉的公路，现要建
1 2 3
一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【答案】D
【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路所
围成部分三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点
都满足要求．由此即可求解．
【详解】解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．
故选D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理的应用，熟练运用角平分线的性质定理是解决问
题的关键．
5．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期中）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，
BE平分∠ABC交CD于点E，BC=8,DE=3，则△BCE的面积等于（ ）
3A．24 B．12 C．8 D．4
【答案】B
【分析】过点E作EF⊥BC交BC于点E，根据角平分线的性质，得到EF=DE=3，再根
据三角形的面积公式，进行计算即可．
【详解】解：过点E作EF⊥BC交BC于点E，
∵CD是AB边上的高线，
∴DE⊥BD，
∵BE平分∠ABC，
∴EF=DE=3，
1 1
∴S = BC⋅EF= ×8×3=12；
△BCE 2 2
故选B．
【点睛】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解
题的关键．
6．（2022秋·山东聊城·八年级校考期末）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是
10、15、20．其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，
S ：S ：S 等于（ ）
△ABO △BCO △CAO
A．1：1：2 B．1：2：3 C．2：3：4 D．1：2：4
【答案】C
【分析】过O点作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，根据
角平分线的性质可知： OD=OE=OF，再利用三角形的面积公式计算可求解．
4【详解】解：过O点作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，
∵△ABC的三条角平分线交于点O，
∴OD=OE=OF，
∵AB=10，BC=15，AC=20，
∴S△ABO:S△BCO:S△CAO
1 1 1
= AB⋅OD: BC⋅OE: AC⋅OF
2 2 2
=10:15:20
=2:3:4
故选择：C
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，三角形的面积，利用角平分线的性质求得
OD=OE=OF是解题的关键．
7．（2022秋·湖北荆门·八年级统考期末）如图，点M是∠AOB平分线上的一点，点P、
点Q分别在射线OA、射线OB上，满足OP=2OQ，若△OQM的面积是2，则△OMP的
面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】过点M作ME⊥OP,MF⊥OB，先利用角平分线的性质说明EM与MF的关系，
再利用三角形的面积公式求出OP与EM的积，最后再利用三角形的面积公式得结论．
【详解】解：过点M作ME⊥OP,MF⊥OB，垂足分别为E、F．
5∵M是∠AOB平分线上的一点，
∴ME=MF，
1
∵S = OQ×MF=2，
△OQM 2
∴OQ×MF=4，
∵OP=2OQ，
∴OP×MF=OP×ME=8．
1
∴S = OP×MF=4．
△OPM 2
故选：D．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”、
三角形的面积公式是解决本题的关键．
8．（2022秋·广东韶关·八年级统考期中）如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距
离相等，则P点是（ ）
A．线段CD的中点 B．OA与OB的垂直平分线的交点
C．CD与∠AOB的平分线的交点 D．OA与CD的垂直平分线的交点
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质定理求解即可．
【详解】解：∵角平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴P点是CD与∠AOB的平分线的交点．
故选：C．
【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理．
9．（2022秋·广东肇庆·八年级统考期末）如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，对于结论：①DE=DF；②BD=CD；③AD上
任一点到AB、AC的距离相等；④AD上任一点到B、C的距离相等．其中正确的是（ ）
6A．仅①② B．仅③④ C．仅①②③ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”和等腰三角形的三
线合一“等腰三角形底边上的中线、顶角的角平分线和底边上的高这三条线在一条直线
上”来求得结果．
【详解】解：∵ AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，
∴ DE=DF，且AD上任一点到AB、AC的距离相等，故①③正确；
又∵ AB=AC，根据三线合一的性质，
可得AD垂直平分BC，
∴ BD=CD，故②正确；
AD上任一点到B、C的距离相等，故④正确；
故选：D．
【点睛】此题主要考查角平分线的性质和等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握相关
的几何定理并能熟练运用．
10．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，点P是∠AOB的平分线上的一点，过点
P作PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA，若∠AOB=60°，OC=8，则PD=___________
【答案】4√3
【分析】作PE⊥OB，则PD=PE，由等腰三角形的性质可得，OC=PC=8，在
Rt△PCE中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：作PE⊥OB，如下图：
7∵OP平分∠AOB，PE⊥OB，PD⊥OA，
1
∴PD=PE，∠AOP=∠BOP= ∠AOB=30°，
2
∵PC∥OA，
∴∠DOP=∠OPC=30°=∠POC，
∴OC=PC=8，∠PCE=∠POC+∠OPC=60°，
在Rt△PCE中，PC=8，∠PCE=60°，
∴∠CPE=30°
1
∴CE= CP=4，
2
由勾股定理得，PE=√PC2−CE2=4√3，
∴PD=PE=4√3．
故答案为：4√3．
【点睛】此题考查了角平分线的性质，勾股定理，三角形外角的性质，二次根式的化简，
等腰三角形的判定与性质以及含30°直角三角形的性质等，解题的关键是灵活运用相关性
质进行求解．
11．（2022秋·陕西渭南·八年级统考期中）如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且
点O到△ABC三边的距离相等，∠BOC=130∘，则∠A的度数为_______°．
【答案】80
【分析】由题意，BO、CO分别为∠ABC和∠ACB的角平分线，可得∠ABC=2∠OBC，
∠ACB=2∠OCB，再利用∠A=180°−(∠ABC+∠ACB)逐步计算即可求得∠A．
【详解】解：∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴∠A=180°−(∠ABC+∠ACB)
=180°−2(∠OBC+∠OCB)
8=180°−2(180°−∠BOC)
=180°−2×(180°−130°)
=80°．
故答案为：80．
【点睛】本题主要考查角平分线的判定定理的应用，三角形角平分线的性质，三角形内角
和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
12．（2022秋·广东江门·八年级广东省江门市实验中学校考期中）如图，已知
∠AOB=30°，OC 平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA，交OB于D，
PE⊥OA于E．如果OD=4cm，则PE的长为______cm．
【答案】2
【分析】过P作PF⊥OB于F，根据角平分线的定义可得∠AOC=∠BOC=15°，根据
平行线的性质可得∠DPO=∠AOP=15°，从而可得PD=OD，再根据30度所对的边是
斜边的一半可求得PF的长，最后根据角平分线的性质即可求得PE的长．
【详解】解：过P作PF⊥OB于F，
∵∠AOB=30°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=15°，
∵PD∥OA，
∴∠DPO=∠AOP=15°，
∴∠BOC=∠DPO，
∴PD=OD=4，
∵∠AOB=30°，PD∥OA，
∴∠BDP=30°，
1
∴在Rt△PDF中，PF= PD=2，
2
∵OC为角平分线，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE=PF，
9∴PE=PF=2(cm)．
故答案为：2 ．
【点睛】本题主要考查：（1）含30°度的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所
对的直角边等于斜边的一半．（2）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离
相等，掌握相关性质是解题的关键．
13．（2022秋·黑龙江大庆·九年级校联考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD
平分∠BAC，交BC于点D，若AB=10，CD=3，则△ABD的面积_________．
【答案】15
【分析】过D作DE⊥AB垂足为E，根据角平分线定理可得DE=CD=4，然后根据三角
形的面积公式计算即可．
【详解】解：如图：过D作DE⊥AB垂足为E，
∵∠C=90°，
∴DC⊥AC，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DE=CD=3，
1 1
∴△ABD 的面积为： AB⋅DE= ×10×3=15．
2 2
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，正确作出辅助线、构造角平分线定理所需
条件是解题的关键．
14．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E．
1
②分别以点D、E为圆心，大于 DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F．
2
③作射线BF交AC于点G．
AB 2 S
如果 = ，求 ΔABG =________．
BC 3 S
ΔBGC
102
【答案】
3
【分析】由作图步骤可知BG为∠ABC的角平分线，过G作GM⊥AB于M，GN⊥BC
于N，可得GM=GN，最后运用三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：如图，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N．
由作图可知，BG平分∠ABC，
∵GM⊥BA，GN⊥BC，
∴GM=GN，
1
AB×GM
S 2 AB 2
∴ ΔABG = = = ，
S 1 BC 3
ΔBCG BC×GN
2
2
故答案为： ．
3
【点睛】本题考查角平分线定理和三角形面积公式的应用，通过作法发现角平分线并灵活
应用角平分线定理是解答本题的关键．
15．（2022秋·江苏泰州·八年级泰州市姜堰区第四中学校考阶段练习）如图，AD是
△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF．
【答案】见解析
【分析】根据三角形的角平分线的性质定理得到DE=DF，再证明
Rt△ADE≌Rt△ADF得到AE=AF即可证明结论．
【详解】证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE=DF．
11∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
¿，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF．
∴AD是线段EF的垂直平分线．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的
判定，证明Rt△ADE≌Rt△ADF得到AE=AF是解题的关键．
16．（2022秋·北京东城·七年级景山学校校考期末）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，请
利用尺规作图法在线段BC上作一点D，使点D到边AB的距离等于CD．（不写作法，保
留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】根据题意可得，点D在∠A的角平分线上，作出∠A的角平分线即可．
【详解】解：如图，①以点A为圆心，任意长为半径画弧，交AC,AB于两点；
②分别以这两点为圆心，大于这两点间的距离为半径画弧，两弧相交于一点；
③连接点A和两弧交点，并延长，延长线与BC相交于点D，点D即为所求．
【点睛】本题主要考查了作图——角平分线，解题的关键是熟练掌握作角平分线的方法，
以及角平分线上的点到两边距离相等．
17．（北京市顺义区2022-2023学年八年级上学期数学期末试卷）如图，在△ABC中，
∠C=90°，BD分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥AB交BC于点E，DF⊥AB，
垂足为点F．
12(1)求证：BE=DE；
(2)若DE=2，DF=√3，求BD的长．
【答案】(1)见解析；(2)2√3
【分析】（1）利用角平分线平分角，得到∠CBD=∠FBD，利用平行线的性质，得到
∠EDB=∠FBD，从而得到：∠EDB=∠CBD，即可得到：BE=DE；
（2）利用角平分线的性质，得到DC=DF=√3，利用勾股定理求出CE的长，再根据
BE=DE，BC=CE+BE，求出BC的长，再利用勾股定理，求出BD的长即可．
【详解】（1）证明：∵BD分∠ABC交AC于点D，
∴∠CBD=∠FBD，
∵DE∥AB，
∴∠EDB=∠FBD，
∴∠EDB=∠CBD，
∴BE=DE；
（2）解：∵∠C=90°，BD分∠ABC交AC于点D，DF⊥AB，
∴DC⊥BC，
∴DC=DF=√3，
在Rt△DCE中，CE=√DE2−DC2=√22−(√3) 2=1，
∵BE=DE=2，
∴BC=CE+BE=1+2=3，
在Rt△DCB中，BD=√BC2+DC2=√32+(√3) 2=2√3．
【点睛】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，以及勾股
定理．熟练掌握有角平分线和平行线，必有等腰三角形，是解题的关键．
18．（2022秋·广东广州·八年级广州四十七中校考期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，
∠B=30°，DE是AB的垂直平分线，垂足为点E，DE交BC于点D，连接AD．
(1)求证：AD平分∠CAB；
13(2)若CD=3，求BD的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)6
【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，则∠BAD=∠B=30°，再根
据直角三角形两锐角互余求出∠BAC=60°，即可得到∠CAD=∠BAD，从而证明结论；
（2）先根据角平分线的性质得到DE=CD=3，再根据含30度角的直角三角形的性质求解
即可．
【详解】（1）证明：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠B=30°，
∵∠C=90°，
∴∠BAC=90°−∠B=60°，
∴∠CAD=∠BAC−∠BAD=30°，
∴∠CAD=∠BAD，
∴AD平分∠CAB；
（2）解：∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=3，∠DEB=90°，
又∵∠B=30°，
∴BD=2DE=6．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角
形的性质，等边对等角，直角三角形两锐角互余，灵活运用所学知识是解题的关键．
培优第二阶——拓展培优练
19．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，
OC=OD(OA<OC)，∠AOB=∠COD=α，直线AC，BD交于点M，连接OM．下列
结论：①AC=BD，②∠OAM=∠OBM，③∠AMB=α，④OM平分∠BOC，其中正
确结论的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OAM=∠OBM，AC=BD，①②正确；由
全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：
∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，得出∠AMB=∠AOB=α，③正确；作
OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，则∠OGA=∠OHB=90°，即可判定
14△OAG≌△OBH，得出OG=OH，由角平分线的判定方法得∠AMO=∠DMO，假设
OM平分∠BOC，则可求出∠AOM=∠DOM，由全等三角形的判定定理可得
△AMO≌△DMO，得AO=OD，而OC=OD，所以OA=OC，而OA<OC，故④错误；
即可得出结论．
【详解】解：∵∠AOB=∠COD=α，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
¿，
∴△AOC≌△BOD(SAS)，
∴∠OAC=∠OBD，AC=BD，
即∠OAM=∠OBM，
故①②正确；
由三角形的外角性质得：
∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，
∵∠OAC=∠OBD，
∴∠AMB=∠AOB=α，
故③正确；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，
则∠OGA=∠OHB=90°，
在△OAG和△OBH中，
¿，
∴△OAG≌△OBH(AAS)，
∴OG=OH，
∴MO平分∠AMD，
∴∠AMO=∠DMO，
假设OM平分∠BOC，则∠BOM=∠COM，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠AOB+∠BOM=∠COD+∠COM，
即∠AOM=∠DOM，
在△AMO与△DMO中，
¿，
15∴△AMO≌△DMO(ASA)，
∴OA=OD，
∵OC=OD，
∴OA=OC，
而OA<OC，故④错误；
正确的个数有3个；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形的外角性质、角平分线的判定，掌
握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
20．（2022秋·河南安阳·八年级统考期中）如图，AD平分∠CAB，若S :S =4:5，
△ACD △ABD
则AB:AC=________．
【答案】5:4
【分析】根据角平分线上的点到两边的距离相等可得两个三角形的高一样，再根据三角形
面积公式即可求得．
【详解】∵AD平分∠CAB，
∴ D到AC、AB的距离相等，
又∵S :S =4:5
△ACD △ABD
根据三角形面积等于底乘以高，
∴AB:AC=5:4，
答案为∶ 5:4．
【点睛】此题考查了角平分线的性质和三角形面积，解题的关键是熟悉角平分线的性质和
三角形面积公式．
21．（2022秋·山东聊城·八年级校考期末）如图，∠BAC的角平分线与线段BC的垂直平
分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．若AB＝10，AC＝8，
则BE=______．
16【答案】1
【分析】先根据角平分线性质定理得到DF=DE，再利用中垂线性质得到CD=BD．进而
证明Rt△CDF≌Rt△BDE(HL)，通过线段之间的数量关系即可求解．
【详解】解：如图，连接CD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，
∴AF=AE，
∵DG 是 BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
在 Rt△CDF和 Rt△BDE 中，
¿，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE(HL)，
∴BE=CF，
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，
∵AB=10，AC=8，
∴BE=1
故答案为：1
【点睛】本题考查了三角形中垂线的性质，角平分线的性质定理，还有用HL证明两三角形
全等．综合性较强，中等难度．合理的作出辅助线是解决这类图形问题的有效方法和解题
关键．
22．（2022春·陕西榆林·七年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，
∠ACB=90°,∠BAC=30°，AD平分∠BAC交BC于点D，在边AB上找一点E，连接
DE，使∠ADE=15°，若CD=3，则DE的长为___________．
17【答案】6
1 1
【分析】根据角平分线的定义可得∠BAD= ∠BAC= ×30°=15° ，则
2 2
∠DEH=∠DAE+∠ADE=30°，过D作DH⊥AB于H，根据三角形的外角的性质可
得，根据角平分线的性质得到CD=DH，最后由直角三角形的性质即可解答．
【详解】解：∵AD平分∠BAC交BC于点D
1 1
∴∠BAD= ∠BAC= ×30°=15°
2 2
∵∠ADE=15°
∴∠BAD=∠ADE=15°
∴∠DEH=∠DAE+∠ADE=30°
如图：过D作DH⊥AB于H，即∠DHE=90°
∵∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D
∴DH=CD=3
∵∠DHE=90°， ∠DEH=30°
∴DE=2DH=6
故答案为6．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质等知识
点，正确的作出辅助线、构造角平分线的性质定理的条件和直角三角形是解题的关键．
23．（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期中）如图：在ΔABC中，∠C=90°，BC=6cm，
AC=8cm，BD是∠ABC的角平分线．
（1）则CD=______；
18（2）若点E是线段AB上的一个动点，从点B以每秒1cm的速度向A运动______秒钟后
ΔEAD是直角三角形．
15
【答案】 3cm 6或
4
【分析】（1）过点D作DE⊥AB于E，利用角平分线的性质得CD=DE，再根据面积法
可得答案；
（2）分∠ADE=90°或∠AED=90°两种情形，分别画出图形，利用勾股定理可得答案．
【详解】（1）如图，过点D作DE⊥AB于E，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB=√AC2+BC2=10cm，
∵BC⊥AC，DE⊥BE，BD是∠ABC的角平分线，
∴CD=DE，
1 1
∵S = AD⋅BC= AB⋅DE
ΔABD 2 2
∴设CD=DE=x，
则(8−x)×6=10x，
解得x=3，
即CD=3cm，
故答案为：3cm；
（2）如图，当ED⊥AD时，
则ED∥BC，
∴∠CBD=∠BDE，
∴∠BDE=∠EBD，
∴BE=DE，
设t秒后△EAD是直角三角形，
19则BE=DE=t cm，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，
52+t2=(10−t) 2，
15
解得t= ，
4
当DE⊥AB时，由（1）得CD=DE=3cm，
∵BD=BD，
∴Rt△CBD≅Rt△EBD(HL)，
∴BE=BC=6cm，
∴t=6，
15
故答案为：6或 ．
4
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，
运用分类讨论思想是解题的关键．
24．（2022秋·广东江门·八年级校考阶段练习）如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P
是AD上的一点，PE∥AB交BC与E，PF∥AC交BC与F．求证：D到PE的距离与D
到PF的距离相等．
【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质可得∠BAD=∠EPD,∠CAD=∠FPD，从而得出PD是
∠EPF的角平分线，即可求证．
【详解】证明：过点D作DM⊥PE,DN⊥PF，
20∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵PE∥AB，PF∥AC，
∴∠BAD=∠EPD,∠CAD=∠FPD，
∴∠EPD=∠FPD，即PD是∠EPF的角平分线，
∵DM⊥PE,DN⊥PF，
∴DM=DN，即D到PE的距离与D到PF的距离相等．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线
平行，同位角相等；角平分线上的点到两边的距离相等．
25．（2022秋·八年级课时练习）如图，等腰ΔABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，点
E在线段AD的左侧且∠BEC=2∠BAD．
(1)求证：∠ABE=∠ACE；
(2)若点F在BE的延长线上，求证：AE平分∠CEF．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【分析】（1）设CE交AB于点I，由AB=AC，AD⊥BC，得∠BAC=2∠BAD，而
∠BEC=2∠BAD，所以∠BEC=∠BAC，则
ABE=∠BIC−∠BEC=∠BIC−∠BAC=∠ACE；
（2）作AG⊥BF于点G，AH⊥CE于点H，可证明ΔAGB≅ΔAHC，得AG=AH，
即可证明AE平分∠CEF．
【详解】（1）证明：设CE交AB于点I，
∵AB=AC，AD⊥BC，
1
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC，
2
21∴∠BAC=2∠BAD，
∵∠BEC=2∠BAD，
∴∠BEC=∠BAC，
∴∠BIC−∠BEC=∠BIC−∠BAC，
∵ABE=∠BIC−∠BEC,∠ACE=∠BIC−∠BAC，
∴∠ABE=∠ACE．
（2）证明：作AG⊥BF于点G，AH⊥CE于点H，则∠AGB=∠AHC=90°，
在ΔAGB和ΔAHC中，
¿，
∴ΔAGB≌ΔAHC(AAS)，
∴AG=AH，
∴点A在∠CEF的平分线上，
∴AE平分∠CEF．
【点睛】本题重点考查等腰三角形的“三线合一”、三角形的一个外角等于与它不相邻的
两个内角的和、全等三角形的判定与性质、到角的两边距离相等的点在角的平分线上等知
识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
26．（2022秋·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）已知，如图，在△ABC中，AC的垂
直平分线与∠ABC的角平分线交于点D，
(1)如图1，判断∠BAD和∠BCD之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若∠DAC=60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由；
【答案】(1)∠BAD+∠BCD=180°，理由见解析；
(2)BD=AB+BC，理由见解析．
【分析】（1）过点D作DG⊥BC于点G，DH⊥BA 于点H，根据HL可证明
22△ADH≌△CDG，可得∠HAD=DCG，得出∠BAD+∠BCD=180°；
（2）在BD上截取BF=AB，证明△ABF为等边三角形，△ADC为等边三角形，再证明
△ABC≌△AFD，可得出DF=BC，则 BD=BF+DF=AB+BC．
【详解】（1）解：∠BAD+∠BCD=180°，理由如下：
过点D作DG⊥BC于点G，DH⊥BA 于点H，如图所示：
∵AC的垂直平分线与∠ABC的角平分线交于点D，
∴AD=DC，∠ABD=∠DBC，
∴DH=DG，
∴△ADH≌△CDG(HL)，
∴ ∠HAD=∠DCG，
∵∠BAD+∠HAD=180°，
∴∠BAD+∠DCG=180°，
即∠BAD+∠BCD=180°，
（2）解：BD=AB+BC，理由如下：
在BD上截取BF=AB，连接AF，如图所示：
由（1）可知，∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵AD=DC，∠DAC=60°，
∴△ADC为等边三角形，
∴∠ADC=60°,AD=DC，
∴∠ABC=180°−∠ADC=120°，
1
∴∠ABD=∠DBC= ∠ABC=60°，
2
又∵AB=BF，
23∴△ABF为等边三角形，
∴AB=AF=BF，∠BAF=60°，
又∵∠DAC=∠BAF+∠CAF=60°，
∠BAF=∠BAC+∠CAF=60°，
∴∠BAF=∠BAC，
在△ABC和△AFD中，
¿，
∴△ABC≌△AFD（SAS），
∴DF=BC，
∴BD=BF+DF=AB+BC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，正确作出辅助
线构造全等三角形是解题的关键．
培优第三阶——中考沙场点兵
27．（2022·广西梧州·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC, AD是△ABC的角
平分线，过点D分别作DE⊥AB, DF⊥AC，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的
是（ ）
A．∠ADC=90∘ B．DE=DF C．AD=BC D．BD=CD
【答案】C
【分析】根据等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线这三线合一及角
平分线的性质即可判断求解．
【详解】解：∵AB=AC, AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC, BD=CD，
∴∠ADC=90∘，故选项A、D结论正确，不符合题意；
24又AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB, DF⊥AC，
∴DE=DF，故选项B结论正确，不符合题意；
由已知条件推不出AD=BC，故选项C结论错误，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考察了等腰三角形的性质及角平分线的性质，属于基础题，熟练掌握其性质
即可．
28．（2022·四川资阳·中考真题）如图所示，在△ABC中，按下列步骤作图：
第一步：在AB、AC上分别截取AD、AE，使AD=AE；
第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长（大于DE的一半）为半径作圆弧，两弧交于
点F；
第三步：作射线AF交BC于点M；
第四步：过点M作MN⊥AB于点N．
下列结论一定成立的是( )
A．CM=MN B．AC=AN C．∠CAM=∠BAMD．∠CMA=∠NMA
【答案】C
【分析】根据题意可知，AM平分∠CAB，即可得出正确答案．
【详解】解：由题意可知，AM平分∠CAB，
∵∠C不一定等于90°，∴CM≥MN，因此A选项不正确；
∵∠C不一定等于90°，∴AC不一定等于AN，因此B选项不正确；
∵AM平分∠CAB，∴∠CAM=∠BAM，因此C选项不正确；
∵∠C不一定等于90°，∴∠CMA不一定等于∠NMA，因此D选项不正确；
故选C．
【点睛】本题考查了尺规作图——角平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定，掌握
角平分线的作图方法是本题的关键．
29．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，
DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（ ）
25A．2 B．2√3 C．4 D．4+2√3
【答案】C
【分析】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的
性质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD
＝DE，即可求出OD的长．
【详解】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：
∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，
∴EH＝EC，
∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，
∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，
∵DE∥OB，
∴∠ADE＝30°，
∴DE＝2HE＝2EC，
∵EC＝2，
∴DE＝4，
∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，
∴∠DEO＝15°，
∴∠AOE＝∠DEO，
∴OD＝DE＝4，
故选：C．
26【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，平行线的性质等，
熟练掌握这些性质是解题的关键．
30．（2022·内蒙古·中考真题）如图，在△ABC中，AB=BC，以B为圆心，适当长为半
1
径画弧交BA于点M，交BC于点N，分别以M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两
2
弧相交于点D，射线BD交AC于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE=AC=4，则
△CEF的周长是（ ）
A．8 B．2√3+2 C．2√5+6 D．2√5+2
【答案】D
【分析】由尺规作图可知，BE为∠ABC的平分线，结合等腰三角形的性质可得BE⊥AC，
1 1
AE= CE= AC= 2，利用勾股定理求出AB、 BC的长度，进而可得EF= AB=2√5， CF=
2 2
BC=√5，即可得出答案．
【详解】由题意得，BE为∠ABC的平分线，
∵ AB= BC，
1
BE⊥AC， AE= CE= AC = 2，
2
由勾股定理得，
AB= BC=√42+22=2√5，
∵点F为BC的中点，
1 1
∴EF= AB=√5， CF= BC=√5，
2 2
∴ CEF的周长为：√5+√5+2= 2√5+ 2．
故选：D．
∆
【点睛】本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握角平分线的作图步
骤以及等腰三角形的性质是解答本题的关键．
31．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，依据尺规作图的痕迹，求∠α的度数
_________°．
27【答案】60
【分析】先根据矩形的性质得出AB//CD，故可得出∠ABD的度数，由角平分线的定义
求出∠EBF的度数，再由EF是线段BD的垂直平分线得出∠EFB、∠BEF的度数，进而可
得出结论．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB//CD，
∴∠ABD=∠CDB=60°，
由尺规作图可知，BE平分∠ABD，
1 1
∴∠EBF= ∠ABD= ×60°=30°，
2 2
由尺规作图可知EF垂直平分BD，
∴∠EFB=90°，
∴∠BEF=90°−∠EBF=60°，
∴∠α=∠BEF=60°．
故答案为：60°．
【点睛】本题主要考查了尺规作图-基本作图、角平分线以及垂直平分线的知识，解题关键
是熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段
的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
32．（2022·北京·统考中考真题）如图，在ΔABC中，AD平分∠BAC,DE⊥AB.若
28AC=2,DE=1,则S = ____．
ΔACD
【答案】1
【分析】作DF⊥AC于点F，由角平分线的性质推出DF=DE=1，再利用三角形面积公
式求解即可．
【详解】解：如图，作DF⊥AC于点F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE=1，
1 1
∴S = AC⋅DF= ×2×1=1．
△ACD 2 2
故答案为：1．
【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边上的高是解题
的关键．
33．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平
分线．
(1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：AD＝AE．
29【答案】(1)见解析；(2)见解析
【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可．
（2）证明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE．
（1）
解：如图所示，CE即为所求．
（2）
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ACB的角平分线，
1 1
∴∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，
2 2
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，∠A＝∠A，
∴△ACE≌△ABD（ASA），
∴AD＝AE．
【点睛】本题考查尺规作图、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图步骤以
及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
30
