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课堂知识梳理 1.4 角平分线
1.角平分线的性质及判定定理
（1）性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
（2）判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
（3）证明书写时：一定强调垂直。
2.三角形三条角平分线的性质定理
性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
注意：锐，直，钝三角形，交点都在三角形内部。
3.如何用尺规作图法作出角平分线
课后培优练
级练
培优第一阶——基础过关练
1．（2022秋·河北廊坊·八年级统考期末）如图．点P是∠BAC的角平分线AD上的一点，
PE⊥AC于点E，已知PE=9，则点P到AB的距离是（ ）
A．18 B．12 C．6 D．9
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质，可得点P到AB的距离=PE，即可求解．
【详解】解：AD平分∠BAC，PE⊥AC，
∴P到AB的距离=PE=9，
故选：D
【点睛】此题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角的两边距离
相等．
2．（2022秋·河北石家庄·八年级石家庄市第四十二中学校考期末）如图，在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）
1A．DE=DC B．AE=AC C．AD=BD D．∠BDE=∠BAC
【答案】C
【分析】根据尺规作图的痕迹，AD是∠BAC的角平分线，AB⊥DE，依据这两个条件
即可逐项判断
【详解】∵根据尺规作图的痕迹，AD是∠BAC的角平分线，AB⊥DE，
∴DE=DC，AE=AC，
∴∠BDE=90°−∠B，
∵△ABC是直角三角形，
∴∠BAC=90°−∠B，
∴∠BDE=∠BAC
故选：C
【点睛】本题考查了作角平分线和角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题
的关键
3．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE平分
∠ADC，∠B=55°，∠C=35°，则∠ADE=（ ）
A．50° B．55° C．60° D．62.5°
【答案】A
【分析】由三角形的内角和定理可得∠BAC=90°，再利用角平分线的性质得到
∠EDC=47.5°，最后利用三角形外角的性质得出结果．
【详解】解：∵∠B=55°，∠C=35°，
∴∠BAC=180°−55°−35°=90°，
∵AD平分∠BAC，
∠BAC
∴∠BAD= =45°
2
2∵∠ADC=∠B+∠BAD=55°+45°=100°，DE平分∠ADC，
∠ADC 100°
∴∠ADE= = =50°
2 2
故选A．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的性质及三角形外角的性质，解题的
关键是熟练掌握三角形的内角和及三角形外角的性质．
4．（2022秋·全国·八年级期末）如图，直线l 、l 、l 表示三条相互交叉的公路，现要建
1 2 3
一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【答案】D
【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路所
围成部分三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点
都满足要求．由此即可求解．
【详解】解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．
故选D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理的应用，熟练运用角平分线的性质定理是解决问
题的关键．
5．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期中）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，
BE平分∠ABC交CD于点E，BC=8,DE=3，则△BCE的面积等于（ ）
3A．24 B．12 C．8 D．4
【答案】B
【分析】过点E作EF⊥BC交BC于点E，根据角平分线的性质，得到EF=DE=3，再根
据三角形的面积公式，进行计算即可．
【详解】解：过点E作EF⊥BC交BC于点E，
∵CD是AB边上的高线，
∴DE⊥BD，
∵BE平分∠ABC，
∴EF=DE=3，
1 1
∴S = BC⋅EF= ×8×3=12；
△BCE 2 2
故选B．
【点睛】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解
题的关键．
6．（2022秋·山东聊城·八年级校考期末）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是
10、15、20．其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，
S ：S ：S 等于（ ）
△ABO △BCO △CAO
A．1：1：2 B．1：2：3 C．2：3：4 D．1：2：4
【答案】C
【分析】过O点作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，根据
角平分线的性质可知： OD=OE=OF，再利用三角形的面积公式计算可求解．
4【详解】解：过O点作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，
∵△ABC的三条角平分线交于点O，
∴OD=OE=OF，
∵AB=10，BC=15，AC=20，
∴S△ABO:S△BCO:S△CAO
1 1 1
= AB⋅OD: BC⋅OE: AC⋅OF
2 2 2
=10:15:20
=2:3:4
故选择：C
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，三角形的面积，利用角平分线的性质求得
OD=OE=OF是解题的关键．
7．（2022秋·湖北荆门·八年级统考期末）如图，点M是∠AOB平分线上的一点，点P、
点Q分别在射线OA、射线OB上，满足OP=2OQ，若△OQM的面积是2，则△OMP的
面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】过点M作ME⊥OP,MF⊥OB，先利用角平分线的性质说明EM与MF的关系，
再利用三角形的面积公式求出OP与EM的积，最后再利用三角形的面积公式得结论．
【详解】解：过点M作ME⊥OP,MF⊥OB，垂足分别为E、F．
5∵M是∠AOB平分线上的一点，
∴ME=MF，
1
∵S = OQ×MF=2，
△OQM 2
∴OQ×MF=4，
∵OP=2OQ，
∴OP×MF=OP×ME=8．
1
∴S = OP×MF=4．
△OPM 2
故选：D．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”、
三角形的面积公式是解决本题的关键．
8．（2022秋·广东韶关·八年级统考期中）如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距
离相等，则P点是（ ）
A．线段CD的中点 B．OA与OB的垂直平分线的交点
C．CD与∠AOB的平分线的交点 D．OA与CD的垂直平分线的交点
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质定理求解即可．
【详解】解：∵角平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴P点是CD与∠AOB的平分线的交点．
故选：C．
【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理．
9．（2022秋·广东肇庆·八年级统考期末）如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，对于结论：①DE=DF；②BD=CD；③AD上
任一点到AB、AC的距离相等；④AD上任一点到B、C的距离相等．其中正确的是（ ）
6A．仅①② B．仅③④ C．仅①②③ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”和等腰三角形的三
线合一“等腰三角形底边上的中线、顶角的角平分线和底边上的高这三条线在一条直线
上”来求得结果．
【详解】解：∵ AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，
∴ DE=DF，且AD上任一点到AB、AC的距离相等，故①③正确；
又∵ AB=AC，根据三线合一的性质，
可得AD垂直平分BC，
∴ BD=CD，故②正确；
AD上任一点到B、C的距离相等，故④正确；
故选：D．
【点睛】此题主要考查角平分线的性质和等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握相关
的几何定理并能熟练运用．
10．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，点P是∠AOB的平分线上的一点，过点
P作PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA，若∠AOB=60°，OC=8，则PD=___________
【答案】4√3
【分析】作PE⊥OB，则PD=PE，由等腰三角形的性质可得，OC=PC=8，在
Rt△PCE中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：作PE⊥OB，如下图：
7∵OP平分∠AOB，PE⊥OB，PD⊥OA，
1
∴PD=PE，∠AOP=∠BOP= ∠AOB=30°，
2
∵PC∥OA，
∴∠DOP=∠OPC=30°=∠POC，
∴OC=PC=8，∠PCE=∠POC+∠OPC=60°，
在Rt△PCE中，PC=8，∠PCE=60°，
∴∠CPE=30°
1
∴CE= CP=4，
2
由勾股定理得，PE=√PC2−CE2=4√3，
∴PD=PE=4√3．
故答案为：4√3．
【点睛】此题考查了角平分线的性质，勾股定理，三角形外角的性质，二次根式的化简，
等腰三角形的判定与性质以及含30°直角三角形的性质等，解题的关键是灵活运用相关性
质进行求解．
11．（2022秋·陕西渭南·八年级统考期中）如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且
点O到△ABC三边的距离相等，∠BOC=130∘，则∠A的度数为_______°．
【答案】80
【分析】由题意，BO、CO分别为∠ABC和∠ACB的角平分线，可得∠ABC=2∠OBC，
∠ACB=2∠OCB，再利用∠A=180°−(∠ABC+∠ACB)逐步计算即可求得∠A．
【详解】解：∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴∠A=180°−(∠ABC+∠ACB)
=180°−2(∠OBC+∠OCB)
8=180°−2(180°−∠BOC)
=180°−2×(180°−130°)
=80°．
故答案为：80．
【点睛】本题主要考查角平分线的判定定理的应用，三角形角平分线的性质，三角形内角
和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
12．（2022秋·广东江门·八年级广东省江门市实验中学校考期中）如图，已知
∠AOB=30°，OC 平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA，交OB于D，
PE⊥OA于E．如果OD=4cm，则PE的长为______cm．
【答案】2
【分析】过P作PF⊥OB于F，根据角平分线的定义可得∠AOC=∠BOC=15°，根据
平行线的性质可得∠DPO=∠AOP=15°，从而可得PD=OD，再根据30度所对的边是
斜边的一半可求得PF的长，最后根据角平分线的性质即可求得PE的长．
【详解】解：过P作PF⊥OB于F，
∵∠AOB=30°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=15°，
∵PD∥OA，
∴∠DPO=∠AOP=15°，
∴∠BOC=∠DPO，
∴PD=OD=4，
∵∠AOB=30°，PD∥OA，
∴∠BDP=30°，
1
∴在Rt△PDF中，PF= PD=2，
2
∵OC为角平分线，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE=PF，
9∴PE=PF=2(cm)．
故答案为：2 ．
【点睛】本题主要考查：（1）含30°度的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所
对的直角边等于斜边的一半．（2）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离
相等，掌握相关性质是解题的关键．
13．（2022秋·黑龙江大庆·九年级校联考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD
平分∠BAC，交BC于点D，若AB=10，CD=3，则△ABD的面积_________．
【答案】15
【分析】过D作DE⊥AB垂足为E，根据角平分线定理可得DE=CD=4，然后根据三角
形的面积公式计算即可．
【详解】解：如图：过D作DE⊥AB垂足为E，
∵∠C=90°，
∴DC⊥AC，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DE=CD=3，
1 1
∴△ABD 的面积为： AB⋅DE= ×10×3=15．
2 2
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，正确作出辅助线、构造角平分线定理所需
条件是解题的关键．
14．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E．
1
②分别以点D、E为圆心，大于 DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F．
2
③作射线BF交AC于点G．
AB 2 S
如果 = ，求 ΔABG =________．
BC 3 S
ΔBGC
102
【答案】
3
【分析】由作图步骤可知BG为∠ABC的角平分线，过G作GM⊥AB于M，GN⊥BC
于N，可得GM=GN，最后运用三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：如图，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N．
由作图可知，BG平分∠ABC，
∵GM⊥BA，GN⊥BC，
∴GM=GN，
1
AB×GM
S 2 AB 2
∴ ΔABG = = = ，
S 1 BC 3
ΔBCG BC×GN
2
2
故答案为： ．
3
【点睛】本题考查角平分线定理和三角形面积公式的应用，通过作法发现角平分线并灵活
应用角平分线定理是解答本题的关键．
15．（2022秋·江苏泰州·八年级泰州市姜堰区第四中学校考阶段练习）如图，AD是
△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF．
【答案】见解析
【分析】根据三角形的角平分线的性质定理得到DE=DF，再证明
Rt△ADE≌Rt△ADF得到AE=AF即可证明结论．
【详解】证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE=DF．
11∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
¿，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF．
∴AD是线段EF的垂直平分线．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的
判定，证明Rt△ADE≌Rt△ADF得到AE=AF是解题的关键．
16．（2022秋·北京东城·七年级景山学校校考期末）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，请
利用尺规作图法在线段BC上作一点D，使点D到边AB的距离等于CD．（不写作法，保
留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】根据题意可得，点D在∠A的角平分线上，作出∠A的角平分线即可．
【详解】解：如图，①以点A为圆心，任意长为半径画弧，交AC,AB于两点；
②分别以这两点为圆心，大于这两点间的距离为半径画弧，两弧相交于一点；
③连接点A和两弧交点，并延长，延长线与BC相交于点D，点D即为所求．
【点睛】本题主要考查了作图——角平分线，解题的关键是熟练掌握作角平分线的方法，
以及角平分线上的点到两边距离相等．
17．（北京市顺义区2022-2023学年八年级上学期数学期末试卷）如图，在△ABC中，
∠C=90°，BD分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥AB交BC于点E，DF⊥AB，
垂足为点F．
12(1)求证：BE=DE；
(2)若DE=2，DF=√3，求BD的长．
【答案】(1)见解析；(2)2√3
【分析】（1）利用角平分线平分角，得到∠CBD=∠FBD，利用平行线的性质，得到
∠EDB=∠FBD，从而得到：∠EDB=∠CBD，即可得到：BE=DE；
（2）利用角平分线的性质，得到DC=DF=√3，利用勾股定理求出CE的长，再根据
BE=DE，BC=CE+BE，求出BC的长，再利用勾股定理，求出BD的长即可．
【详解】（1）证明：∵BD分∠ABC交AC于点D，
∴∠CBD=∠FBD，
∵DE∥AB，
∴∠EDB=∠FBD，
∴∠EDB=∠CBD，
∴BE=DE；
（2）解：∵∠C=90°，BD分∠ABC交AC于点D，DF⊥AB，
∴DC⊥BC，
∴DC=DF=√3，
在Rt△DCE中，CE=√DE2−DC2=√22−(√3) 2=1，
∵BE=DE=2，
∴BC=CE+BE=1+2=3，
在Rt△DCB中，BD=√BC2+DC2=√32+(√3) 2=2√3．
【点睛】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，以及勾股
定理．熟练掌握有角平分线和平行线，必有等腰三角形，是解题的关键．
18．（2022秋·广东广州·八年级广州四十七中校考期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，
∠B=30°，DE是AB的垂直平分线，垂足为点E，DE交BC于点D，连接AD．
(1)求证：AD平分∠CAB；
13(2)若CD=3，求BD的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)6
【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，则∠BAD=∠B=30°，再根
据直角三角形两锐角互余求出∠BAC=60°，即可得到∠CAD=∠BAD，从而证明结论；
（2）先根据角平分线的性质得到DE=CD=3，再根据含30度角的直角三角形的性质求解
即可．
【详解】（1）证明：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠B=30°，
∵∠C=90°，
∴∠BAC=90°−∠B=60°，
∴∠CAD=∠BAC−∠BAD=30°，
∴∠CAD=∠BAD，
∴AD平分∠CAB；
（2）解：∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=3，∠DEB=90°，
又∵∠B=30°，
∴BD=2DE=6．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角
形的性质，等边对等角，直角三角形两锐角互余，灵活运用所学知识是解题的关键．
培优第二阶——拓展培优练
19．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，
OC=OD(OA
