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数学试题参考答案及评分标准
一!选择题"本题共#小题#每小题$分#共%&分$在每小题给出的四个选项中#只有一项是符合
题目要求的$
!!#命题意图$本小题主要考查不等式解集%集合的交集运算等基础知识%考查化归与转化等数学
思想%考查数学抽象等数学核心素养&
#答案$’
’ ! (
#解析$依题意%得"( ##" %##! %则$$"(’!%)%*(!
%
)!#命题意图$本小题主要考查同角三角函数的基本关系%考查化归与转化等数学思想%考查数学
运算等数学核心素养&
#答案$+
* % %
#解析$因为,-.!(/ %且!为第二象限角%所以.01!( %则231!(/ !
$ $ *
*!#命题意图$本小题主要考查全称量词和特称量词%命题的否定等基础知识%考查逻辑推理等数
学核心素养&
#答案$4
#解析$命题)%##!%#*"#)5#/)*的否定是&##!%#*’#)5#/)!
%!#命题意图$本小题主要考查充分条件与必要条件+象限角+三角函数性质等基础知识%考查数
学抽象等和数学核心素养&
#答案$+
#解析$由角"为第三象限角%则231""&,反之%若231""&%则"为第一或第三象限角%故)角"
为第三象限角*是)231""&*成立的充分不必要条件!
$!#命题意图$本小题主要考查函数图象和性质的等基础知识%考查数学抽象+直观想象等数学核
心素养&
#答案$+
#解析$依题意%%!/#"(/%!#"%则%!#"是奇函数%其图象关于原点对称%故选项4%6错误,
由于#"&时%%!#""&%故选项’错误%故选+7
8!#命题意图$本小题主要考查指数函数+对数函数+幂函数的图象和性质%考查数学抽象+数学建
模+数学运算等数学核心素养&
#答案$4
#解析$对于选项+%函数&( !%"# 是减函数%由于 ) ( * %则 !%" ) * " !%" * %%故选项+错误,
$ * % $ $
对于选项’%因为!9"&9*"!9"&(!%&9:*9!(&9:&(!%所以!9"&9*"&9:*9!%选项’错误,对于选
高一数学答案 第!!!!!页!共"页"
书书书;<" ;<"
项4%;-<"( " (;-<"%故选项4正确,对于选项6%;-<*(;-<:";-<"%故选项6
* ;<* ;<$ $ ) % %
错误!
"!#命题意图$本小题主要考查同角三角函数的基本关系等数学基础知识%考查化归与转化等数
学思想%考查推理论证等数学能力&
#答案$6
!5.01! !/.01! !!5.01!") !!/.01!") !5.01! !/.01!
#解析$槡 /槡 (槡 /槡 ( / %因为!是
!/.01! !5.01! !/.01)! !/.01)! ),-.!) ),-.!)
!5.01! !/.01!
第三象限角%所以原式( / (/)231!!
/,-.! /,-.!
#!#命题意图$本小题主要考查函数奇偶性+对称性等函数性质%考查数学抽象+逻辑推理+数学运
算等数学核心素养&
#答案$6
#解析$函数%!#"是定义域为!的偶函数%则%!#"(%!/#"%由%!!5#"5%!!/#"(&可知
%!)5#"5%!/#"(&%所以%!)5#"(/%!/#"(/%!#"%进而有%!%5#"(/%!)5#"(
!$"" !$" " !$" " !$" " !$" "
%!#"!从而% (% /% (% /%/% (% /%/%/% (-(% /"=% (
) ) ) ) )
!!" ! !"
% (% / (;-<)(!!
) ) )
二!选择题"本题共*小题#每小题8分#共计!#分$在每小题给出的选项中#有多项符合题目要
求$全部选对的得8分#部分选对的得部分分#有选错的得&分$
:!#命题意图$本小题主要考查不等式性质及函数的单调性等基础知识%考查数学抽象+逻辑推理
等数学核心素养&
#答案$+4
! ! (/’ ! ! ! !
#解析$对于+% / ( %由于&(’((%则(/’"&%’("&%则 / "&%所以 " %选
’ ( ’( ’ ( ’ (
项+中不等式一定成立,对于’%’)/()(!’5("!’/("(&%则’)(()%选项’中不等式不成
’ ’5) )!’/(" ’ ’5)
立,对于4% / ( %由于&(’((%则’/((&%得 ( %故选项4中的不等式
( (5) (!(5)" ( (5)
一定成立,对于选项6%由于&(’((%则’5!((5!%因为幂函数&(槡#在区间.&%5>"上为
增函数%所以槡’5!(槡(5!%故选项6中的不等式不成立!
!&!#命题意图$本小题主要考查一元二次不等式的解法等基础知识%考查化归与转化等数学思
想%考查运算求解等数学能力&
#答案$+’6
#解析$由题知’!#/)"!#5!"5!(’#)/’#/)’5!"&的解集为!#%#"%所以’(&%且
! )
+#
!
5#
)
(!%
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* ##( ! /)% 所以# ! 5# ) (!%# ! # ) 5)( ’ (&%故选项+%’正确,原不等式可化为%!#"(
,! ) ’
高一数学答案 第!!!!)页!共"页"’!#/)"!#5!""/!的解集为!#%#"%而%!#"的零点分别为/!%)且%!#"的图象开口向
! )
下%又#(#%%!#"的大致图象如图所示/
! )
由图知%#(/!()(#%)#/#)"*%故选项4错误%选项6正确!
! ) ! )
!!!#命题意图$本小题主要考查分段函数+函数图形和性质+函数零点等基础知识%考查数形结
合+化归与转化等数学思想%考查数学抽象+直观想象等数学核心素养&
#答案$+46
#解析$由于%.%!/*"0(%!""(/*$%故选项 +正确,如图可知
%!#"(#有*个不相等实数根时%满足&(#(!%选项’错误,对于
选项4%易得’#!/!%&"%由二次函数对称性知(5)()%故’5(5
)#!!%)"%故选项4正确,对于选项6%转化为方程%.%!#"0(#根
的个数问题%令*(%!#"%则%!*"(#%根据选项’的解析可知%##
!&%!"%方程%!*"(#有*个互不相等实数根*%*%*%且*#!/!%
! ) * !
&"%*#!&%!"%*#!!%)"%结合图象可知/方程%!#"(*#!/!%&"有!个大于)的实数根,方
) * !
程%!#"(*#!&%!"在区间!/!%&"%!&%!"%!!%)"上各有!个的实数根,方程%!#"(*#
) *
!!%)"有!个小于/!的实数根%故方程%.%!#"0(#共有$个相异实数根%选项6正确!
三!填空题"本题共*小题#每小题$分#共!$分$
!)!#命题意图$本小题主要考查基本不等式的应用%考查化归与转化等数学思想%考查逻辑推理+
数学运算等数学核心素养!
#答案$%
% % %
#解析$依题意%%!#"(#5 -)槡#1 (%%当且仅当#( %即#()时)(*成立%故函数
# # #
%!#"最小值为%!
!*!#命题意图$本小题主要考查同角三角函数基本关系%考查化归与转化等数学思想%考查数学
运算等数学核心素养&
*
#答案$
!&
!
.01!1,-.! 231! * *
#解析$因为.01!1,-.!( ( ( ( !
.01)!5,-.)! 231)!5! ! !&
!5
:
!%!#命题意图$本小题主要考查指数+对数的运算%指数函数的性质等基础知识%考查化归与转
化+数形结合等数学思想%考查数学抽象+数学运算+数学建模等数学核心素养&
高一数学答案 第!!!!*页!共"页"#答案$*8
#解析$根据题中所给模型%代入有关数据%注意以)&)%年的为初始值%则)&*&年底该地区新
!&)& !&)&
能源汽车的保有量为&( ( %因为;1&9$$./&98%所以
!!&)& " !5$&?/&98
!5 /!?/&9!&=8
)&
!&)& !&)&
?/&98.&9$$%则&( . .*8%所以)&*&年底该市新能源汽车的保有量
!5$&?/&9$ !5$&=&9$$
约为*8万辆!
四!解答题"本题共$小题#共""分$解答应写出文字说明!证明过程或演算步骤$
!$!!!*分"
#考查意图$本小题主要考查不等式的解法%集合间的关系%交集+并集与补集等必备知识,考
查运算求解能力%逻辑思维能力%应用意识&
#解析$对于集合+(’#)#)/#/8-&(%
不等式#)/#/8-&即为!#/*"!#5)"-&%……………………………………………… )分
解得#’/)%或#-*%
所以%集合+(’#)#’/)%或#-*(!……………………………………………………… $分
!!"/+(’#)/)(#(*(%………………………………………………………………… "分
!
当’(&时%,(’#)/$(#(!(!…………………………………………………………… #分
所以!/+"$,(’#)/)(#(!(!………………………………………………………… :分
!
+’/$’/)%
!)"由+0,(!%得* ………………………………………………………… !)分
,)’5!-*%
解得’的取值集合为’’)!’’’*(! ……………………………………………………… !*分
!8!!!$分"
#命题意图$本小题主要考查任意三角函数定义+诱导公式等数学基础知识%考查化归与转化
等数学思想%考查推理论证等数学能力&
#解析$!!"由已知可得%
)槡$ 槡$ !
,-.!(/ %.01!(/ %231!( !……………………………………………………… 8分
$ $ )
槡$ ! )槡$ "
/ / /
.01!/,-.! $ $ )槡$
所以 ( ( ! ……………………………………………… #分
231! ! $
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!/.01!"!/.01!".01!%!5!/!",-.!$!5 /!"
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!)"原式( …………………… !&分
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高一数学答案 第!!!!%页!共"页".01)!.01!!/.01!"
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,-.!.01!.01!,-.!
(/231)! …………………………………………………………………………………… !%分
!
(/ !……………………………………………………………………………………… !$分
%
!"!!!$分"
#考查意图$本小题设置分数指数幂和对数式相关运算的数学学习情境%主要考查分数指数幂
和对数式的运算法则等基础知识,考查化归与转化等数学思想,考查数学运算+逻辑推理等数
学核心素养&
#解析$!!")槡*=*槡 * !9$=槡 8 !)
!
()=* ! )=*= !*"* =!))=*"! 8 …………………………………………………………… )分
)
()=* ! )=*=* ! *=)/! *=) ! *=* ! 8 …………………………………………………………… %分
()!/! *5! *=* ! )5!5! *5! 8 ………………………………………………………………………… 8分
()=*)(!#9 ………………………………………………………………………………… "分
!)";-<)$/;-%;-<*"!…………………………………………… !&分
% )
!/)# !! ) "
!*"由!)"知%%!#"( ( /! %
)5)=)# ) )#5!
可知%!#"在!上单调递减! ……………………………………………………………… !)分
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因为%!#"是奇函数%
所以%!)-)/*""/%!!/*-"(%!*-/!"%
所以)-)/*(*-/!%即)-)/*-/)(&%……………………………………………… !%分
!
即!-/)"!)-5!"(&%所以/ (-()!
)
! ! "
所以%-的取值范围是 / %) !………………………………………………………… !"分
)
!:!!!"分"
#命题意图$本小题主要考查函数图象和性质等基础知识%考查化归与转化+数形结合等数学
思想%考查数学抽象+逻辑推理+数学运算+直观想象等数学核心素养&
!!"证明/
)5#
方法!/函数%!#"(’#5!/;1 的定义域为!/)%)"! ……………………………… !分
)/#
)5#
设.!#"(’#/;1 %##!/)%)"!
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)/# )5#
&##!/)%)"%.!/#"(/’#/;1 (/’#5;1 (/.!#"%…………………… *分
)5# )/#
所以.!#"为奇函数%函数.!#"的图象关于原点对称!…………………………………… %分
所以%函数%!#"的图象关于点!&%!"对称!
所以%函数%!#"的图象是中心对称图形! ………………………………………………… $分
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方法)/函数%!#"(’#5!/;1 的定义域为!/)%)"! ……………………………… !分
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)/# )5# !)/# )5#"
因为%!/#"5%!#"(/’#5!/;1 5’#5!/;1 ()/;1 1 ()% …
)5# )/# )5# )/#
…………………………………………………………………………………………… %分
所以%函数%!#"的图象关于点!&%!"对称!
所以%函数%!#"的图象是中心对称图形! ………………………………………………… $分
!)"#证明$
)5#
由已知%%!#"(’#5!/;1 !/)(#(&"%
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高一数学答案 第!!!!8页!共"页"设&#%##!/)%&"%且#(#%
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则只需.%!#"0 ’..!#"0 即可! ……………………………………………………… !)分
@3A @3A
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所以%!#"在区间!/)%)"上单调递减%%!#"在区间./!%!0上单调递减!
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@3A
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则/!*"//!*"(*5 5)’/!*5 5)’"(*/*5 / ( !) ! ) %
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当*%*# %! 时%/!*"//!*""&%故/!*"在区间 %! 单调递减,
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当*%*#!!%)0时%/!*"//!*"(&%故/!*"在区间 %! 单调递增!
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因为/ (/!)"( 5)’%所以%/!*" ( 5)’%即.!#" ( 5)’!…………… !$分
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所以%’的取值范围是 / 5 %& !…………………………………………………… !"分
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高一数学答案 第!!!!"页!共"页"
