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第一章 三角形的证明
第四节 角平分线
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期末）小丽同学要找到到三角形三个顶点距离相等的点，根据下列各
图中圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到此点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据角平分线的作图，三角形的高的作图，线段的垂直平分线的作图，逐一分析各选项即可．
【详解】解：∵到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边的垂直平分线的交点，
∴选项B中的作图是作的三角形的两边的垂直平分线，符合题意，
选项A中的作图，作的一个内角的平分线，作的一边的垂直平分线，不符合题意；
选项C中的作图作的是两个内角的平分线，不符合题意，
选项D中的作图作的一边的垂直平分线，作的一边上的高，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质再判断作图是解本题的关键．
2．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期中）如图，已知在 中， 是 边上的高线， 平分
交 于点E， ，则 的面积等于（ ）A．24 B．12 C．8 D．4
【答案】B
【分析】过点 作 交 于点 ，根据角平分线的性质，得到 ，再根据三角形的面
积公式，进行计算即可．
【详解】解：过点 作 交 于点 ，
∵ 是 边上的高线，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
故选B．
【点睛】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键．
3．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，在 中， 平分 ， 平分 ，
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由三角形的内角和定理可得 ，再利用角平分线的性质得到 ，最后利用
三角形外角的性质得出结果．
【详解】解： ，
，
平分 ，平分 ，
故选A．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的性质及三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握
三角形的内角和及三角形外角的性质．
4．（2022秋·全国·八年级期末）如图，直线 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，
要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【答案】D
【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路所围成部分三角形，
那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．由此即可求解．
【详解】解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．
故选D．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理的应用，熟练运用角平分线的性质定理是解决问题的关键．
5．（2022秋·北京平谷·八年级统考期末）如图， 中， ， 平分 交 于点P，
若 ， ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到线段两端的距离相等，可得 ，即可直接
求得 的面积．
【详解】解：过点P作 于点H，
平分 ，
，，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，解决本题的关键是作出垂线求得 的高．
6．（2022秋·八年级单元测试）如图， 是 的角平分线， 于点F，且 ，
， ，则 的面积为（ ）
A．7 B．12 C．8 D．14
【答案】A
【分析】过点D作 于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 ，然后利用“
”证明 和 全等，根据全等三角形的面积相等可得 ，设面积为S，然后
根据 列出方程求解即可．
【详解】解：如图，过点D作 于H，
∵ 是 的角平分线， ，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，设面积为S，
同理 ，
∴ ，
即 ，
解得 ，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，证明
．
二、填空题
7．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，点 是 的平分线上的一点，过点 作 交
于点 ， ，若 ， ，则 ___________
【答案】
【分析】作 ，则 ，由等腰三角形的性质可得， ，在 中，利用勾股
定理即可求解．
【详解】解：作 ，如下图：∵ 平分 ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
在 中， ， ，
∴
∴ ，
由勾股定理得， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了角平分线的性质，勾股定理，三角形外角的性质，二次根式的化简，等腰三角形的判
定与性质以及含 直角三角形的性质等，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．
8．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，在 中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长
为半径作弧，分别交 于点D、E；②分别以点D、E为圆心，大于 的同样长为半径作弧，两弧
交于点F；③作射线 交 于点G．如果 ， ， 的面积为12，则 的面积为
________．【答案】16
【分析】由作图步骤可知： 为 的角平分线，过G作 ，可得 ，然
后再结合已知条件和三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：由作图作法可知： 为 的角平分线
过G作 ，
∴
∴ ,
故答案为16．
【点睛】本题考查了角平分线定理和三角形面积公式的应用，通过作法发现角平分线并灵活应用角平分线
的性质定理是解答本题的关键．
9．（2022秋·浙江绍兴·八年级校联考期中）已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，
过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示，若DE=3，则DF=_______．【答案】6
【分析】过点 作 ，垂足为 ，则 ，在 中，利用三角形内角和定理可求
出 ，在 中，由 角所对的直角边等于斜边的一半可求出 的长，此题得解．
【详解】解：过点 作 ，垂足为 ，如图所示．
是 的平分线，
．
在 中， ， ，
，即 ．
在 中， ， ，
．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分线的性
质及 角所对的直角边等于斜边的一半，求出 的长是解题的关键．
10．（2021春·贵州贵阳·八年级贵阳市第十七中学校考期中）如图，在 中， ， 平分
， ， ，则点 到 的距离为______．
【答案】4【分析】过点D作 于点E，再根据角平分线的性质，即可进行解答．
【详解】解：过点D作 于点E，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，即点 到 的距离为4，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边的距离相等．
三、解答题
11．（2022秋·天津南开·八年级校考期末）如图， 于 ， 于 ， 平分 ，若
， ， ，求 的长．
【答案】 ，
【分析】先证明 与 全等得 ，再证明 与 全等得 ，设
，通过等量代换列方程即可求解．
【详解】解： ， 平分
在 与 中在 与 中
设 ，
， ，
∴ ，
即
【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质和
直角三角形全等的判定．
12．（2022秋·广东江门·九年级统考阶段练习）已知：如图， 为 的角平分线， ⊥ 于点 ，
⊥ 于点 ，连接 交 于点 ，
求证： 垂直平分
【答案】见解析
【分析】根据 平分 ， ， ，可得 ， ，则可证
，并得 ，可证得 ，根据 ， ，得到点 、点 在
的垂直平分线上，可证 垂直平分 ．
【详解】证明∵ 平分 ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴∴ ，
∵ ， ，
∴点 、点 在 的垂直平分线上，
∴ 垂直平分 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
提升篇
一、填空题
1．（2022秋·河南安阳·八年级统考期中）如图， 平分 ，若 ，则
________．
【答案】
【分析】根据角平分线上的点到两边的距离相等可得两个三角形的高一样，再根据三角形面积公式即可求
得．
【详解】∵ 平分 ，
∴ D到 、 的距离相等，
又∵
根据三角形面积等于底乘以高，
∴ ，
答案为∶ ．
【点睛】此题考查了角平分线的性质和三角形面积，解题的关键是熟悉角平分线的性质和三角形面积公式．
2．（2021秋·四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图，在 中，E为 的中点， 平分
， 与 相交于点O，若 的面积比 的面积大2，则 的面积是
_____【答案】20
【分析】过点D作 于M， 于N，证明 ，设 的面积为S，则
， ，结合 的面积比 的面积大2，可得 的面积比 的面积大
2，再列方程求解即可得到答案．
【详解】解：过点D作 于M， 于N，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
设 的面积为S，则 ，
为 的中点，
∴ ，
∵ 的面积比 的面积大2，
∴ 的面积比 的面积大2，
∴ ，
∴ ,∴ ，
故答案为：20．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质定理，中线的性质，以及利用方程思想解决三角形的面积问题，掌
握以上知识是解题的关键．
3．（2022秋·八年级单元测试）如图， 是 的角平分线，点B在射线 上， 是线段 的
中垂线交 于 ， ，若 ， ，则 ___________．
【答案】39°
【分析】连接 ，过 作 于 ，交 于 ， 交 于 ，根据角平分线性质和线段垂直平
分线的性质得出 ， ，根据全等求 ，求出 ，求出
，求出 的度数，再求出 ，求出 ，根据三角形的外角性质求出
，再求出答案即可．
【详解】解：连接 ，过 作 于 ，交 于 ， 交 于 ，
∵ 是线段 的中垂线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，平分
在 和 中，
平分
，
故答案为：39°．
【点睛】本题考查角平分线性质、中垂线性质、三角形内角和180°、三角形外角等于与它不相邻内角和、
全等三角形的性质与判定，掌握这些并正确添加辅助线才能解答正确．
4．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考阶段练习）如图，在 和 中， ， ，
， ．连接 ， 交于点 ，连接 ．下列结论：① ，②
，③ 平分 ，④ 平分 ．其中正确的结论有______．（填序号）【答案】①②④
【分析】由 证明 得出 ， ，②正确；由全等三角形的性质得
出 ，由三角形的外角性质得： ，得出 ，
①正确；作 于G， 于H，如图所示：则 ，利用全等三角形对应边
上的高相等，得出 ，由角平分线的判定方法得出 平分 ，④正确；假设 平分 ，
则 ，由全等三角形的判定定理可得 ，得 ，而 ，所以
，而 ，故③错误；即可得出结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，故②正确；
同时 ，
由三角形的外角性质得：
，
∴ ，故①正确；
作 于G， 于H，如图所示，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 平分 ，故④正确；
假设 平分 ，则 ，在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
而 ，故③错误；
正确的个数有3个，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形
全等是解题的关键．
5．（2022秋·山东聊城·八年级校考期末）如图， 的角平分线与线段 的垂直平分线 交于点 ，
， ，垂足分别为点E、F．若 ， ，则 ______．
【答案】1
【分析】先根据角平分线性质定理得到 ，再利用中垂线性质得到 ．进而证明
，通过线段之间的数量关系即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，∵ 是 的平分线， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
故答案为：1
【点睛】本题考查了三角形中垂线的性质，角平分线的性质定理，还有用 证明两三角形全等．综合性
较强，中等难度．合理的作出辅助线是解决这类图形问题的有效方法和解题关键．
二、解答题
6．（2022秋·辽宁大连·八年级统考期中）如图，点 是 的平分线上一点， 于 ， 、
分别在 、 上，且 ．求证： ．【答案】见解析
【分析】作 于 ,根据角平分线的性质可得 ，由 ， ，等量
代换可得 ，则 ，由全等的性质得 ，再由 是平角，即可得证．
【详解】证明：作 于 ，
， ，
， ．
， ， ，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的
关键．
7．（2022秋·八年级单元测试）如图，已知 中， ， 、 分别平分 、 ，交 于点F，连接 ．
(1)当 时，求 的度数．
(2)请直接写出 与 的数量关系，并给出证明．
(3)求证： ．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出 ，再利用邻补角的定
义得到 ，然后根据角平分线的定义可计算出 ， ，
再利用三角形外角性质可计算出 ；
（2）由外角的性质得到 ， ，即可得出
；
（3）作 于M， 于N， 于H，根据角平分线的定义以及平行线的判定即可得
到结论．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 分别平分 ， ，
∴ ， ，
∴ ；（2）解： ．理由如下：
∵ 、 分别平分 、 ， 交 于F，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）证明：作 于M， 于N， 于H，如图所示，
∵ 、 分别平分 、 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 平分 ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质的应用，等腰三角形的性质，角
平分线的定义与性质与判定，平行线的判定，熟练的利用角平分线的性质与判定进行证明是解本题的关键．
8．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）己知 为等边三角形，取 的边 中点 ，连
接 ，如图1，易证 为等边三角形，将 绕点 顺时针旋转，设旋转的角度 ，其中
．(1)如图2，当 时，连接 ，求证： ；
(2)在 旋转过程中，当 超过一定角度时，如图3，连接 会交于一点，记交点为点 ， 交
于点 ， 交 于点 ，连接 ，求证： 平分 ；
(3)在第（2）问的条件下，试猜想线段 和 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3) ，理由见解析
【分析】（1）根据等边三角形性质，利用两个三角形全等的判定定理得到 ，利用全
等性质即可得到答案；
（2）过点 作 于 ，过点 作 于 ，如图所示，根据等边三角形性质，利用两个三角
形全等的判定定理得到 ，利用全等性质即可得到 ， ，
，利用等面积得到 ，再根据角平分线的判定定理即可得到答案；
（3）在 上截取 ，连接 ，如图所示，根据等边三角形的判定与性质，利用两个三角形全等
的判定定理得到 ，利用全等的性质即可得到答案．
【详解】（1）证明： ， 都是等边三角形，
， ， ，
，
在 和 中，，
；
（2）证明：过点 作 于 ，过点 作 于 ，如图所示：
， 都是等边三角形，
， ， ，
，
在 和 中，
，
， ， ，
，
，
， ，
平分 ；
（3）解： ．
理由如下：在 上截取 ，连接 ，如图所示：， ，
是等边三角形，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分线
的判定等知识，根据题意，添加恰当辅助线构造全等三角形是解决本题的关键．
