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专题1.4 等腰三角形（培优篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂
足为E．若DE=1，则BC的长为（ ）
A．2+ B． C． D．3
2．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上
一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．不能确定
3．如图，点C为线段AB上一点，△ACM和△CBN是等边三角形．下列结论：
①AN=BM;②CE=CF;③△CEF是等边三角形;④∠ECF=60°∘．其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
4．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1＋∠2等于( )A．90° B．100° C．130° D．180°
5．如图， 中， ， ， 的平分线 交 于点F， 平分
．给出下列结论：① ；② ；③ ；④
．正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，
AD=AE，AB=AC．给出下列结论：
①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的
是（ ）
A．①②③④ B．②④ C．①②③ D．①③④
7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的
平分线相交于点D，则∠D的度数为（ ）A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
8．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE
的度数是（ ）
A．20° B．35° C．40° D．70°
9．如图，一次函数 的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线 绕点B顺
时针旋转 交x轴于点C，则线段 长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：
①∠PBC＝15°，②AD∥BC，③PC⊥AB，④四边形ABCD是轴对称图形，其中正确的个数
为（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．在等边三角形ABC所在的平面内存在点P，使⊿PAB、⊿PBC、⊿PAC都是等腰三角
形.请指出具有这种性质的点P的个数（ ）
A．1 B．7 C．10 D．15
12．如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、
O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
13．如图，点 的坐标是 ，若点 在 轴上，且 是等腰三角形，则点 的坐标
不可能是（ ）
A．（2，0） B．（4，0）
C．（－ ，0） D．（3，0）
14．如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若 ，则下列说法正确的是
（ ）
① 平分 ；② 长为 ；③ 是等腰三角形；④ 的周长等于
的长．
A．①②③ B．②④ C．②③④ D．③④15．如图，AB⊥AC，CD、BE分别是△ABC的角平分线，AG∥BC，AG⊥BG，下列结论：
①∠BAG＝2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG＝∠ACB；④∠CFB＝135°，其中正确的
结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
16．如图， ．点 ， ， ， ，在射线 上，点 ， ， ， ，在射
线 上， ， ， ， 均为等边三角形，若 ，则
的边长为（ ）
A． B． C． D．
17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C的坐
标分别为A（10，0 ），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP
是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为（ ）
A．（3，4），（2，4） B．（3，4），（2，4），（8，4）
C．（2，4），（8，4） D．（3，4），（2，4），（8，4），
（2.5，4）18．在一个 的正方形网格中， ， 是如图所示的两个格点，如果 也是格点，且
是等腰三角形，则符合条件的 点的个数是（ ）
A． B． C． D．
19．如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交
BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论
①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝35°；④AM＝AN．其中不正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
20．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线
OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（ ）
A．140° B．100° C．50° D．40°
二、填空题
21．如图，点P是AOB内任意一点，OP=5cm，点P与点C关于射线OA对称，点P与点
D关于射线OB对称，连接CD交OA于点E，交OB于点F，当△PEF的周长是5cm时，
∠AOB的度数是_____度．22．如图，等边△ABC中，BD⊥AC于点D，AD＝3.5cm，点P、Q分别为AB、AD上的
两个定点且BP＝AQ＝2cm，若在BD上有一动点E使PE＋QE最短，则PE＋QE的最小值
为_____cm
23．如图，在等边三角形ABC中，BD=CE,AD,BE交于点F,则 _________;
24．如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接
OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为__________ ．
25．如图，已知∠AOB=60°，点P是OA边上，OP=8cm，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2cm，则OM =___cm
26．如图，在 中， ，M、N为边AB、BC上的两个动点，将 沿MN
翻折，翻折后点B的对应点D落在直线BC上方，连接CD， ，且
，则当 是等腰三角形时， _____________度．
27．如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且
AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度．
28．如图，已知以点A(0，1)、C(1，0)为顶点的△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=90°，在
坐标系内有一动点P（不与A重合），以P、B、C为顶点的三角形和△ABC全等，则P点
坐标为____________.
29．如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝_______°．
30．如图，已知△ABC的两边AB=5，AC=8，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O
作DE∥BC，则△ADE的周长等于________________．
31．如图，已知O为直线BC上一定点，点A在直线外一定点．在直线BC上取点P，使得
以O、A、P为顶点的三角形为等腰三角形．
(1)当∠AOC=30°时，如果我们通过分类讨论、画图尝试可以找到满足条件的点P共有
______个．
(2)若在直线BC上有且只有两个满足条件的点P，则∠AOC=______．
32．如图，在平面直角坐标系xOy中，三角板的直角顶点P的坐标为(2，2)，一条直角边
与x轴的正半轴交于点A，另一直角边与y轴交于点B，三角板绕点P在坐标平面内转动的
过程中，当△POA为等腰三角形时，请写出所有满足条件的点B的坐标__________．33．如图，直线 与坐标轴分别交于点 ，与直线 交于点 是线段
上的动点，连接 ，若 是等腰三角形，则 的长为___________．
34．如图，∠MON＝30°，点A、A、A…在射线ON上，点B、B、B…在射线OM上，
1 2 3 1 2 3
△ABA、△ABA、△ABA…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为
1 1 2 2 2 3 3 3 4
a，第2个等边三角形的边长记为a，以此类推．若OA＝1，则a ＝_____．
1 2 1 2020
35．如图，RtΔABC，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将边BC沿CE翻折，使点B落在
AB上的点D处；再将边AC沿CF翻折，使点A落在CD的延长线上的点A'处，两条折痕与
斜边AB分别交于点E、F，则线段A'F的长为______.
36．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为
MN，连接CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1：3，则 的值为______________．
37．如图，在平面直角坐标系中，点 A,B 的坐标分别是（1,5）、（5,1）， 若点 C 在 x
轴上，且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的 C 点共有_____________个
38．如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图
中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有________个。
39．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线且AD＝4，F是AD上
的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为_____．40．已知： ， ， ， ，则 的度数为______．
41．如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP =P P=P P=…=P P =P A，则
1 1 2 2 3 13 14 14
∠A的度数是__
三、解答题
42．如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，
AD=AC，
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE=30°，则∠ADC= °．
43．如图，在 中， ， 于点D．
（1）若 ，求 的度数；（2）若点E在边AB上， 交AD的延长线于点F．求证： ．
44．如图，已知△ABC中，AB＝BC，D为AC中点，过点D作DE∥BC，交AB于点E．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若∠C＝65°，求∠BDE的度数．
45．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，
得到线段CQ，连接BP，DQ．
（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；
（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．
① 如图b，求证：BE⊥DQ；
② 如图c，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由；
③ 若正方形ABCD的边长为10，DE=2,PB=PC,直接写出线段PB的长．46．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为
一边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，AD=AE，∠DAE=90º.解答下列问题：
(1) 如果AB=AC，∠BAC=90º．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CE、BD之间的位置关系为，
数量关系为．（不用证明）
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
(2) 如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动．
试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CE⊥BD（点C、E重合除外）？画出相应的图形，
并说明理由．参考答案
1．A
【分析】
如图，过点D作DF⊥AC于F，由角平分线的性质可得DF=DE=1，在Rt△BED中，根据30
度角所对直角边等于斜边一半可得BD长，在Rt△CDF中，由∠C=45°，可知△CDF为等
腰直角三角形，利用勾股定理可求得CD的长，继而由BC=BD+CD即可求得答案.
【详解】
如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DF=DE=1，
在Rt△BED中，∠B=30°，
∴BD=2DE=2，
在Rt△CDF中，∠C=45°，
∴△CDF为等腰直角三角形，
∴CF=DF=1，
∴CD= = ，
∴BC=BD+CD= ，
故选A.
【点拨】本题考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，
正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
2．B【分析】
过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质
求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE= AC即可．
【详解】
过P作PF∥BC交AC于F. 如图所示：
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ.
∵在△PFD和△QCD中,
∴△PFD≌△QCD(AAS)，
∴FD=CD，
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DE= AC，
∵AC=1，
∴DE= .
故选B.3．D
【分析】
由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由SAS得到△CAN≌△CMB，再
由△CAN≌△CMB可得∠CAN=∠CMB，进而得出∠MCF=∠ACE，由ASA得出
△CAE≌△CMF，即CE=CF，又ECF=60°，所以△CEF为等边三角形结论得以验证．
【详解】
解：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=60°=∠NCB=60°，
∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN, 即∠ACN=∠MCB
在△CAN和△MCB中，
，
∴△CAN≌△CMB（SAS），
∴AN=BM，①正确；
∵△CAN≌△CMB，
∴∠CAN=∠CMB，
又∵∠ECF=180°-∠ACM-∠NCB=180°-60°-60°=60°，
∴∠ECF=∠ACE，
在△CAE和△CMF中，
，
∴△CAE≌△CMF（ASA），
∴CE=CF，
∴△CEF为等腰三角形，
又∵∠ECF=60°，
∴△CEF为等边三角形，所以②③④正确，
故选：D．【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定及等边三角形的判定，注意：全等三角形的
判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
4．B
【详解】
试题分析：如图，∠1=90°-∠BAC；
∠2=120°-∠ACB；
∠3=120°-∠ABC；
∴∠1+∠2+∠3=90°-∠BAC+120°-∠ACB+120°-∠ABC=150°
∵∠3=50°
∴∠1+∠2=100°
故选B
考点：1．特殊角的度数；2．三角形内角和
5．C
【分析】
根据同角的余角相等求出∠BAD=∠C，再根据等角的余角相等可以求出∠AEF=∠AFE；根
据等腰三角形三线合一的性质求出AG⊥EF．
【详解】
解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠C+∠ABC=90°，
∠BAD+∠ABC=90°，
∴∠BAD=∠C，故①正确；
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF=90°，
∠CBE+∠BFD=90°，
∴∠AEF=∠BFD，又∵∠AFE=∠BFD（对顶角相等），
∴∠AEF=∠AFE，故②正确；
∵∠ABE=∠CBE，
∴只有∠C=30°时∠EBC=∠C，故③错误；
∵∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∵AG平分∠DAC，
∴AG⊥EF，故④正确．
综上所述，正确的结论是①②④．
故选：C．
【点拨】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，同角的余角相等的
性质以及等角的余角相等的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解
题的关键．
6．A
【详解】
分析：只要证明△DAB≌△EAC，利用全等三角形的性质即可一一判断；
详解：∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAB=∠EAC
∵AD=AE，AB=AC，
∴△DAB≌△EAC，
∴BD=CE，∠ABD=∠ECA，故①正确，
∴∠ABD+∠ECB=∠ECA+∠ECB=∠ACB=45°，故②正确，
∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=45°+45°=90°，
∴∠CEB=90°，即CE⊥BD，故③正确，
∴BE2=BC2-EC2=2AB2-（CD2-DE2）=2AB2-CD2+2AD2=2（AD2+AB2）-CD2．故④正确，
故选A．
点睛：本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解
题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
7．A
【分析】
先根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据三角形外角性质得∠1＋∠2＝∠3＋∠4＋∠A，∠1＝∠3＋∠D，则2∠1＝2∠3＋∠A，利用等式的性质得到∠D＝ ∠A，
然后把∠A的度数代入计算即可．
【详解】
解答：解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠ACE＝∠A＋∠ABC，
即∠1＋∠2＝∠3＋∠4＋∠A，
∴2∠1＝2∠3＋∠A，
∵∠1＝∠3＋∠D，
∴∠D＝ ∠A＝ ×30°＝15°．
故选A．
【点拨】点评：本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形
外角性质进行分析．
8．B
【分析】
先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=
（180°-∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE= ∠ACB=35°．
【详解】
∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，
∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB= （180°-∠CAB）=70°．
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE= ∠ACB=35°．故选B．
【点拨】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边
上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出
∠ACB=70°是解题的关键．
9．A
【分析】
根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过
点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，结合旋转的度
数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．
【详解】
解：∵一次函数 的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x=0，则y= ，令y=0，则x= ，
则A（ ，0），B（0， ），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°，
∴AB= =2，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠CAD=∠OAB=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，
∴AC= = x，
∵旋转，
∴∠ABC=30°，
∴BC=2CD=2x，
∴BD= = x，
又BD=AB+AD=2+x，
∴2+x= x，
解得：x= +1，∴AC= x= （ +1）= ，
故选A．
【点拨】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角
三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，
构造特殊三角形．
10．D
【分析】
根据周角的定义先求出∠BPC的度数，再根据对称性得到△BPC为等腰三角形，∠PBC即
可求出；根据题意：有△APD是等腰直角三角形；△PBC是等腰三角形；结合轴对称图形
的定义与判定，可得四边形ABCD是轴对称图形，进而可得②③④正确．
【详解】
根据题意， ，
，
， 正确；
根据题意可得四边形ABCD是轴对称图形，④正确；
∵∠DAB+∠ABC=45°+60°+60°+15°=180°，
∴AD//BC，②正确；
∵∠ABC+∠BCP=60°+15°+15°=90°，
∴PC⊥AB，③正确，
所以四个命题都正确，
故选D．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性
质、轴对称图形的定义与判定等，熟练掌握各相关性质与定理是解题的关键.11．C
【详解】
分析：本题利用了等边三角形是轴对称图形，三条高所在的直线也是对称轴，也是边的中
垂线．
解：
（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点，是三角形的外
心；
（2）分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的．每
条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．故具有这种性质的点P共有
10个．
故选C．
12．C
【详解】
以O点为圆心，OA为半径作圆与x轴有两交点，这两点显然符合题意．以A点为圆心，
OA为半径作圆与x轴交于两点（O点除外）．以OA中点为圆心OA长一半为半径作圆与
x轴有一交点．共4个点符合，
13．D
【详解】
解：（1）当点P在x轴正半轴上，
①以OA为腰时，∵A的坐标是（2，2），
∴∠AOP=45°，OA= ，
∴P的坐标是（4，0）或（ ，0）；
②以OA为底边时，
∵点A的坐标是（2，2），
∴当点P的坐标为：（2，0）时，OP=AP；
（2）当点P在x轴负半轴上，
③以OA为腰时，
∵A的坐标是（2，2），
∴OA= ，
∴OA=AP=
∴P的坐标是（- ，0）．
故选D．
14．B
【分析】
根据折叠前后得到对应线段相等，对应角相等判断①③④式正误即可，根据等腰直角三角形性质求BC和DE的关系．
【详解】
解：根据折叠的性质知，△ ，且都是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴
不能平分 ①错误；
， ，
，
， ，
②正确；
，
，
，
，
不是等腰三角形，
故③错误；
的周长 ，
故④正确．
故选： ．
【点拨】本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称
的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②等腰直角
三角形，三角形外角与内角的关系，等角对等边等知识点．
15．C
【分析】
由已知条件可知∠ABC+∠ACB=90°，又因为CD、BE分别是△ABC的角平分线，所以得
到∠FBC+∠FCB=45°，所以求出∠CFB=135°；有平行线的性质可得到：∠ABG=∠ACB，
∠BAG=2∠ABF．所以可知选项①③④正确．
【详解】
∵AB⊥AC．
∴∠BAC＝90°，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°
∵CD、BE分别是△ABC的角平分线，
∴2∠FBC+2∠FCB＝90°
∴∠FBC+∠FCB＝45°
∴∠BFC＝135°故④正确．
∵AG∥BC，
∴∠BAG＝∠ABC
∵∠ABC＝2∠ABF
∴∠BAG＝2∠ABF 故①正确．
∵AB⊥AC，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∵AG⊥BG，
∴∠ABG+∠GAB＝90°
∵∠BAG＝∠ABC，
∴∠ABG＝∠ACB 故③正确．
故选C．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质．掌握相关的判定定理和性
质定理是解题的关键．
16．B
【分析】
根据等边三角形的性质和 ，可求得 ，进而证得 是等腰三
角形，可求得 的长，同理可得 是等腰三角形，可得 ，同理得规律
，即可求得结果．
【详解】
解：∵ ， 是等边三角形，
∴ ，∴ ，
∴ ，则 是等腰三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ =1， ，
同理可得 是等腰三角形，可得 =2，
同理得 、 ，
根据以上规律可得： ，即 的边长为 ，
故选：B．
【点拨】本题属于探索规律题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，
掌握等边三角形的三个内角都是60°、等角对等边和探索规律并归纳公式是解题的关键．
17．B
【解析】
试题解析：有两种情况：①以O为圆心，以5为半径画弧交BC于P点，此时OP=OD=5，
在Rt△OPC中，OC=4，OP=5，
由勾股定理得PC=3，
则P的坐标是（3，4）；
②以D为圆心，以5为半径画弧交BC于P′和P″点，此时DP′=DP″=OD=5，
过P′作P′N⊥OA于N，
在Rt△OP′N中，设CP′=x，则DN=5-x，P′N=4，OP=5，由勾股定理得：42+（5-x）2=52，
x=2，
则P′的坐标是（2，4）；
过P″作P″M⊥OA于M，
设BP″=a，
则DM=5-a，P″M=4，DP″=5，
在Rt△DP″M中，由勾股定理得：（5-a）2+42=52，
解得：a=2，
∴BP″=2，CP″=10-2=8，
即P″的坐标是（8，4）；
假设0P=PD，则由P点向0D边作垂线，交点为Q则有PQ2十QD2=PD2，
∵0P=PD=5=0D，
∴此时的△0PD为正三角形，于是PQ=4，QD= 0D=2.5，PD=5，代入①式，等式不成立．
所以排除此种可能．
故选B．
18．C
【解析】
【分析】
根据题意、结合图形，画出图形即可确定答案.
【详解】
解：根据题意，画出图形如图：共8个.
故答案为C.
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的判定，根据题意、画出符合实际条件的图形是解答
本题的关键.
19．D
【分析】①根据三角形的内角和定理判定∠CAM=∠CMA，由等腰三角形的判定和三线合一的性质
可得结论正确；②根据BN=AB=6，CM=AC=5，及线段的和与差可得BC的长；③根据三
角形的内角和定理及角的和与差可得结论；④要想得到AM=AN，必有∠AMN=∠ANM，
而AB≠AC，可知∠ABC≠∠ACB，从而得AM≠AN．
【详解】
解：①∵CE平分∠ACE，
∴∠ACP=∠MCP，
∵AM⊥CE，
∴∠APC=∠MPC=90°，
∴∠CAM=∠CMA，
∴AC=CM，
∴AP=PM，①正确；
②同理得：BN=AB=6，
∵CM=AC=5，
∴BC=BN+CM-MN=6+5-2=9，②正确；
③∵∠BAC=∠MAC+∠BAN-∠MAN=110°，
由①知：∠CMA=∠CAM，∠BNA=∠BAN，
△AMN中，∠CMA+∠BNA=180°-∠MAN=∠BAN+∠MAC，
∴180°-∠MAN-∠MAN=110°，
∴∠MAN=35°，③正确；
④当∠AMN=∠ANM时，AM=AN，
∵AB=6≠AC=5
∴∠ABC≠∠ACB，
∴∠AMN≠∠ANM，则AM与AN不相等，④不正确；
所以本题不正确的有④，
故选：D．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此
题的关键．
20．B
【详解】如图，分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，
连接OC、OD、PM、PN、MN，此时△PMN周长取最小值.根据轴对称的性质可得
OC=OP=OD，∠CON=∠PON，∠POM=∠DOM；因∠AOB=∠MOP+∠PON＝40°,即可得
∠COD=2∠AOB=80°，在△COD中，OC=OD，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和
定理可得∠OCD=∠ODC=50°；在△CON和△PON中，OC=OP，∠CON=∠PON，
ON=ON，利用SAS判定△CON≌△PON，根据全等三角形的性质可得∠OCN=∠NPO=50°,
同理可得∠OPM=∠ODM=50°,所以∠MPN=∠NPO+∠OPM=50°+50°=100°.故选B.
点睛：本题考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、全等三角形
的判定与性质等知识点，根据轴对称的性质证得△OCD是等腰三角形，求得得
∠OCD=∠ODC=50°，再利用SAS证明△CON≌△PON，△ODM≌△OPM，根据全等三角形
的性质可得∠OCN=∠NPO=50°,∠OPM=∠ODM=50°,再由∠MPN=∠NPO+∠OPM即可求解．
21．30
【分析】
根据轴对称得出 为 的垂直平分线， 是 的垂直平分线，根据线段垂直平分线
性质得出 ， ， ， ，
， ，求出 是等边三角形，即可得出答案.
【详解】
连接 、 ，点 与点 关于射线 对称，点 与点 关于射线 对称，
为 的垂直平分线， 是 的垂直平分线，
，
， ， ， ， ，
，
的周长是 ，
，
，
是等边三角形，
，
.
故答案为： .
【点拨】本题考查了线段垂直平分线性质，轴对称性质和等边三角形的性质和判定，能求
出 是等边三角形是解此题的关键.
22．5
【分析】
过BD作P的对称点 ,连接P ，Q ，Q 与BD交于一点E，再连接PE，根据轴对称
的相关性质以及两点之间线段最短可以得出此时PE＋QE最小，并且等于Q ，进一步利
用全等三角形性质求解即可.
【详解】
如图，过BD作P的对称点 ,连接P ，Q ，Q 与BD交于一点E，再连接PE，此时
PE＋QE最小.
∵ 与P关于BD对称，
∴PE= E，BP=B =2cm，
∴PE＋QE= Q ，又∵等边△ABC中，BD⊥AC于点D，AD＝3.5cm，
∴AC=BC=AB=7cm，
∵BP＝AQ＝2cm，
∴QC=5cm，
∵B =2cm，
∴C =5cm，
∴△Q C 为等边三角形，
∴Q =5cm.
∴PE＋QE=5cm.
所以答案为5.
【点拨】本题主要考查了利用对称求点之间距离的最小值以及等边三角形性质，熟练掌握
相关概念是解题关键.
23．60°
【分析】
根据等边三角形的性质可得AB=BC，∠ABC=∠C=60°，然后利用“边角边”证明△ABD
和△BCE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CBE，再根据三角形的一个外角
等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AFE=∠ABC，从而得解．
【详解】
解：在等边△ABC中，AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
在△ABD和△BCE中，
∵ ，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
在△ABF中，∠AFE=∠BAD+∠ABF=∠CBE+∠ABF=∠ABC=60°，
即∠AFE=60°．
故答案为：60°．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等
于与它不相邻的两个内角的和的性质，证明△ABD和△BCE全等是解本题的难点，也是关键．
24．
【详解】
试题分析：根据题意得，等腰△ABC中，OA=OB=3,由等腰三角形的性质可得OC⊥AB，
根据勾股定理可得OC= ，又因OM=OC= ，于是可确定点M对应的数为 ．
考点：勾股定理；实数与数轴．
25．3
【分析】
过P作PC垂直于MN，由等腰三角形三线合一性质得到MC＝CN，求出MC的长，在直角
三角形OPC中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出OC的长，由OC−MC求出
OM的长即可．
【详解】
解：过P作PC⊥MN，
∵PM＝PN，
∴C为MN中点，即MC＝NC＝ MN＝1cm，
在Rt△OPC中，∠AOB＝60°，
∴∠OPC＝30°，
∴OC＝ OP＝4 cm，
则OM＝OC−MC＝4−1＝3cm，
故答案为3.
【点拨】此题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是
解本题的关键．
26．40【分析】
连接BD，根据折叠的性质可得 ，得
，再分DN=DC，DN=NC，NC=DC三种情况讨
论可得结果．
【详解】
解：连接BD，如图，
由折叠可得，MB=MD，BN=DN，
∴ ，
∵
∴
∴
∵
∴
∵ 是等腰三角形，
∴分三种情况讨论：
①当NC=DC时，
又
∴
整理得，
故此种情况不存在；
②当DN=DC时，
∴
解得，
∴ ；∵∠AMD＞20°，
∴此种情况须舍去；
③当DN=NC时，
∵
∴
解得，
∴
综上， 的度数为
故答案为：
【点拨】此题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知
识，灵活掌握分类讨论思想是解答此题的关键．
27．70
【分析】
先利用HL证明△ABE≌△CBF，可证∠BCF=∠BAE=25°，即可求出∠ACF=45°+25°=70°.
【详解】
∵∠ABC=90°，AB=AC，
∴∠CBF=180°-∠ABC=90°，∠ACB=45°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)，
∴∠BCF=∠BAE=25°，
∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°，
故答案为70.
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三
角形的判定与性质是解题的关键.
28．（2，-1）、 、
【详解】
解：由勾股定理得：AC= ，
∵∠BAC=60°，∠ACB=90°，∴AB= ，BC= ，
分为三种情况：
①如图1，延长AC到P，使AC=CP，连接BP，过P作PM⊥x轴于M，此时PM=OA=1，
CM=OC=1，OM=1+1=2，即P的坐标是（2，﹣1）；
②如图2，过B作BP⊥BC，且BP=AC= ，此时PC=AB= ．过P作PM⊥x轴于M，此
时∠PCM=15°，在x轴上取一点N，使∠PNM=30°，即CN=PN，设PM=x，则
CN=PN=2x，MN= x，
在Rt△CPM中，由勾股定理得：（ ）2=（2x+ x）2+x2，x= ，即PM= ，
MC=2x+ x= ，OM=1+ = ，
即P的坐标是（ ， ）；
③如图3，过B作BP⊥BC，且BP=AC= ，过P作PM⊥x轴于M，此时∠PCM=30°+45°=75°，∠CPM=15°，和③解法类似求出CM= ，PM=2x+ x= ，OM=1+
= ，即P的坐标是（ ， ）．
故答案为（2，﹣1）或（ ， ）或（ ， ）．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，含30度角的直角三角形等知识
点的应用，注意要进行分类讨论，题目比较好，但是有一定的难度．
29．105°
【分析】
如图，作辅助线，构建全等三角形，证明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，将CE转化为FH，
与BF在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点F的位置，即F为AC与BH的
交点时，BF＋CE的值最小，求出此时∠AFB＝105°．
【详解】
解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AC＝BC，∠DAC＝30°，
∴AC＝CH，
∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ACH＝90°−60°＝30°，
∴∠DAC＝∠ACH＝30°，
∵AE＝CF，
∴△AEC≌△CFH，
∴CE＝FH，BF＋CE＝BF＋FH，
∴当F为AC与BH的交点时，BF＋CE的值最小，
此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，
∴∠AFB＝105°，
故答案为105°.
【点拨】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是
作出辅助线，当BF＋CE取得最小值时确定点F的位置，有难度．
30．13
【分析】
根据BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且ED∥BC，可得出OD=OB，OE=OC，所以三角
形ADE的周长是AB+AC.
【详解】
解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，
∴∠DBO=∠OBC，∠OCE=∠OCB，
由∵MNlBC，
∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，
∴∠DBO=∠DOB，∠EOC=∠ECO，
∴MO=MB，NO=NC，·
又∵AB=5，AC=8，
∴ADE的周长=AD+DE+AE=AB+AC=13
【点拨】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的判定，其
中运用角平分线的定义和平行线的性质创造等腰三角形的条件是关键．
31．（1）4； （2）60°、120°或90°.
【分析】
（1）分OA为腰或底分别讨论画出图形即可．
（2）若在直线BC上有两个满足条件的点P，则∠AOC=60°或120°或90°．
【详解】解：（1）如图所示，
若OA为腰时，点P、P、P 即为所求；
4 1 2
若OA为等腰三角形的底，点P 即为所求；
3
故答案为4．
（2）若在直线BC上有两个满足条件的点P，则∠AOC=60°或120°或90°
故答案为60°、120°或90°．
【点拨】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会由分类讨
论的思想思考问题，属于中考常考题型．
32．(0，2)，(0，0)，(0，4－2 )
【详解】
由P坐标为（2，2），可得∠AOP=45°，然后分别从OA=PA，OP=PA，OA=OP去分析求解
即可求得答案．
解：∵P坐标为(2,2)，
∴∠AOP=45°，
①如图1,若OA=PA,则∠AOP=∠OPA=45°，
∴∠OAP=90°，
即PA⊥x轴，
∵∠APB=90°，∴PB⊥y轴，
∴点B的坐标为：(0,2)；
②如图2,若OP=PA,则∠AOP=∠OAP=45°，
∴∠OPA=90°，
∵∠BPA=90°，
∴点B与点O重合，
∴点B的坐标为(0,0)；
③如图3,若OA=OP,则∠OPA=∠OAP= (180°−∠AOP)=67.5°，
过点P作PC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥OP于点D，
则PC∥OA，
∴∠OPC=∠AOP=45°，
∵∠APB=90°，
∴∠OPB=∠APB−∠OPA=22.5°，
∴∠OPB=∠CPB=22.5°，
∴BC=BD，
设OB=a，
则BD=BC=2−a，
∵∠BOP=45°，
在Rt△OBD中,BD=OB⋅sin45°，即2−a= a，
解得：a=4－2 .
综上可得：点B的坐标为：(0,2),(0,0),(0, 4－2 ).
故答案为(0,2),(0,0),(0, 4－2 ).
点睛：本题主要考查等腰三角形的性质.按题意画出所在符合条件的图形是解题的关键.
33．2或 或4
【分析】
先求出直线 与直线 交点C的坐标，若使 是等腰三角形，分三种情
况讨论，即OQ=CQ或OC=OQ或OC=CQ，在直角三角形中利用勾股定理，根据等腰三角
形的性质即可求出OQ．
【详解】
①如图，当OQ=CQ时，过点C作CE⊥OA于点E，
直线 与直线 交于点C，
得x=2，
y=x=2
∴C(2,2)
设OQ=CQ=x，QE=2-x
在Rt△CEQ中
解得x=2②当OC=OQ时，过点C作CE⊥OA于点E，C(2,2)
在Rt△CEO中，
OC=
③当OC=CQ时， 过点C作CE⊥OA于点E
∵OC=CQ
∴OE=EQ=2
∴OQ=2OE=4
综上所示，若 是等腰三角形，OQ的长为2或 或4
故答案为：2或 或4
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，在直角三角形中可用勾股定理解直角三角形，已知两条直线解析式可求出交点坐标．
34．22019
【分析】
根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出AB ∥AB ∥AB ，以及a=2a，得出
1 1 2 2 3 3 2 1
a=4a=4，a=8a=8，a=16a…进而得出答案．
3 1 4 1 5 1
【详解】
解：如图，
∵△A B A 是等边三角形，
1 1 2
∴AB =A B ，∠3=∠4=∠12=60°，
1 1 2 1
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA =A B =1，
1 1 1
∴AB =1，
2 1
∵△A B A、△AB A 是等边三角形，
2 2 3 3 3 4
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴AB ∥AB ∥AB ，B A∥B A，
1 1 2 2 3 3 1 2 2 3
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴a=2a，a=4a=4，a=8a=8，a=16a，
2 1 3 1 4 1 5 1
以此类推：a =22019．
2020
故答案是：22019
【点拨】此题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30°的直角三角形的性质，根据已知得出a=4a=4，a=8a=8，a=16a…进而发现规律是解题关键．体现了由
3 1 4 1 5 1
特殊到一般的数学思想.
4
35．
5
【解析】
【分析】
1 1
由翻折的性质可得CD=BC，AC=A′C，AF=A′F，CE⊥AB，∠FCD= ∠ACD，∠DCE=
2 2
∠DCB，可得∠FCE=45°，可知△FCE是等腰直角三角形，利用面积公式可求出CE的长，
利用勾股定理可求出AE的长，进而求出AF的长即可得答案.
【详解】
∵AC=4，BC=3，∠ACB=90°，
∴AB=√32+42=5，
∵将边BC沿CE翻折，使点B落在AB上的点D处，
1
∴CE⊥BD，∠DCE= ∠DCB，
2
∵将边AC沿CF翻折，使点A落在CD的延长线上的点A'处，
1
∴∠FCD= ∠ACD，
2
1 1
∴∠DCE+∠FCD= （∠DCB+∠ACD）= ∠ACB=45°，即∠CEF=45°，
2 2
∴△FCE是等腰直角三角形，CE=EF，
1 1
∵S = AC⋅BC= AB⋅CE，
△ABC 2 2
AC⋅BC 12
∴EF=CE= = ，
AB 5
√ 12 2 16
∴AE=√AC2−CE2= 42−( ) = ，
5 5
16 12 4
∴A′F=AF=AE-EF= - = ，
5 5 5
4
故答案为：
5
【点拨】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由直角三角形的性质和勾股定理求出CE、AE的长是解决问题的关键．
36．12
【解析】
如图，过点N作NG⊥BC于点G，连接CN，根据轴对称的性质有：
MA=MC，NA=NC，∠AMN=∠CMN.
因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC，所以∠ANM=∠CMN.
所以∠AMN=∠ANM，所以AM=AN.
所以AM=AN=CM=CN.
因为△CDN的面积与△CMN的面积比为1：3，所以DN:CM=1:3.
设DN=x，则CG=x，AM=AN=CM=CN=3x，
由勾股定理可得NG= ，
所以MN2= ，BM2= .
所以 =12.
枚本题应填12.
点睛：矩形中的折叠问题，其本质是轴对称问题，根据轴对称的性质，找到对应的线段和
角，也就找到了相等的线段和角，矩形中的折叠一般会伴随着等腰三角形(也就是基本图形
“平行线+角平分线→等腰三角形”)，所以常常会结合等腰三角形，勾股定理来列方程求
解.
37．5
【分析】
分别以A、B为圆心，AB为半径画圆，及作AB的垂直平分线，数出在x轴上的点C的数
量即可
【详解】解：由图可知：点 C 在 x 轴上，且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的
C 点共有5个
故答案为:5
【点拨】本题考查了等腰三角形的存在性问题，掌握“两圆一线”找等腰三角形是解题的
关键
38．8
【分析】
分别以A、B点为圆心，AB为半径作圆，找到格点即可（A、B、C共线除外）；此外加
上在AB的垂直平分线上有两个格点，即可得到答案.
【详解】
解：以A点为圆心，AB为半径作圆，找到格点即可，（A、B、C共线除外）；以B点为
圆心，AB为半径作圆，在⊙B上的格点为C点；在AB的垂直平分线上有两个格点．故使
△ABC是等腰三角形的格点C有8个．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．39．
【分析】
作BM⊥AC于M，交AD于F，根据三线合一定理求出BD的长和AD⊥BC，根据三角形面
积公式求出BM，根据对称性质求出BF＝CF，根据垂线段最短得出CF+EF≥BM，即可得
出答案．
【详解】
解：作BM⊥AC于M，交AD于F，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，
∴BD＝DC＝3，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴B、C关于AD对称，
∴BF＝CF，
根据垂线段最短得出：CF+EF＝BF+EF≥BF+FM＝BM，
即CF+EF≥BM，
∵S ＝ ×BC×AD＝ ×AC×BM，
△ABC
∴BM＝ ＝ ＝ ，
即CF+EF的最小值是 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一
定的代表性，是一道比较好的题目．
40．39°
【分析】
作点D关于AB的对称点E，连接AE、BE，如图，根据轴对称的性质可得AE=AD，
BE=BD，∠BAE=∠BAD=30°，进而可得△ADE是等边三角形，于是得AD=DE，∠ADE=60°，进一步即可根据SSS证明△DBE≌△DBC，从而得∠EDB=∠CDB，设
∠ACD=x，则根据等腰三角形的性质可得∠BDC=∠BCD=x+18°，然后在△ADC中根据三
角形的内角和可得关于x的方程，求出x后进一步即可求出答案．
【详解】
解：作点D关于AB的对称点E，连接AE、BE，如图，
则AE=AD，BE=BD，∠BAE=∠BAD=30°，
∴∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=DE，∠ADE=60°，
∵ ， ，
∴DE=DC，BE=BC，
又∵DB=DB，
∴△DBE≌△DBC（SSS），
∴∠EDB=∠CDB，
设∠ACD=x，
∵AD=CD，∴∠DAC=∠ACD=x，
∴∠BCD=x+18°，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=x+18°=∠EDB，
∴∠ADC=60°+2∠BDC=60°+2（x+18°）=2x+96°，
在△ADC中，∵∠DAC+∠ACD+∠ADC=180°，
∴x+x+2x+96°=180°，解得：x=21°，
∴∠BDC=21°+18°=39°；
故答案为：39°．
【点拨】本题考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理等知识，考查的知识点多、综合性强、难度
较大，属于试卷压轴题，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．
41．12°．
【详解】
设∠A=x，
∵AP=P P=P P=…=P P =P A，
1 1 2 2 3 13 14 14
∴∠A=∠AP P=∠AP P =x．
2 1 13 14
∴∠P PP=∠P P P =2x，
2 1 3 13 14 12
∠P PP=∠P P P =3x，
2 3 4 13 12 10
……，
∠P PP=∠P PP=7x．
7 6 8 8 9 7
∴∠APP=7x，∠AP P=7x．
7 8 8 7
在△AP P 中，∠A+∠APP+∠AP P=180°，即x+7x+7x=180°．
7 8 7 8 8 7
解得x=12°，即∠A=12°．
42．（1）证明见解析；（2）75．
【分析】
（1）根据等边对等角可得∠B=∠ACF，然后利用SAS证明△ABE≌△ACF即可；
（2）根据△ABE≌△ACF，可得∠CAF=∠BAE=30°，再根据AD=AC，利用等腰三角形的性
质即可求得∠ADC的度数.
【详解】
（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°，
∴∠CAF=∠BAE=30°，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，∴∠ADC= =75°，
故答案为75．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质与
定理是解题的关键.
43．（1）48°；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质得到 ，根据三角形的内角和即可得到
；
（2）根据等腰三角形的性质得到 根据平行线的性质得到 ，等
量代换得到 ，于是得到结论．
【详解】
解：（1）∵ ， 于点D，
∴ ， ，
又 ，
∴ ；
（2）∵ ， 于点D，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
44．（1）证明见解析；（2）25°．
【分析】
（1）由等腰三角形的性质可得∠C＝∠A，由平行线的性质可得∠C＝∠ADE，从而∠A＝
∠ADE；
（2）先由三角形内角和求出∠ABC＝50°，再由三线合一的性质可求出∠EBD＝∠DBC=
∠ABC＝25°，然后根据平行线的性质求解即可.
【详解】
证明：（1）∵DE∥BC，∴∠C＝∠ADE，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠A，
∴∠A＝∠ADE，
∴AE＝DE；
（2）∵△ABC中，AB＝BC，∠C＝65°，
∴∠ABC＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵AB＝BC，D为AC中点，
∴∠EBD＝∠DBC= ∠ABC＝25°，
∵DE∥BC，
∴∠BDE＝∠DBC＝25°.
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，三角形内角和定理等知识.
熟练掌握等腰三角形的性质和平行线的性质是解答本题的关键.
45．（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②△DEP为等腰直角三角形，证明见解析；
③PB= 或
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质得到∠BCP=∠DCQ，即可证明△BCP≌△DCQ；
（2）①由全等的性质和对顶角相等即可得到答案；
②由等边三角形的性质和旋转的性质求出∠EPD=45°，∠EDP=45°，即可判断△DEP的形
状．
③由（1）结论，根据等腰三角形三线合一性质和相似三角形性质及勾股定理可得.
【详解】
(1):如图a
证明：∵∠BCD=90°，∠PCQ=90°，
∴∠BCP=∠DCQ，
在△BCP和△DCQ中，
，∴△BCP≌△DCQ
（2）①如图b，∵△BCP≌△DCQ，
∴∠CBF=∠EDF，又∠BFC=∠DFE，
∴∠DEF=∠BCF=90°，
∴BE⊥DQ；
②△DEP为等腰直角三角形
∵△BCP为等边三角形，
∴∠BCP=60°，∴∠PCD=30°，又CP=CD，
∴∠CPDF=∠CDP=75°，又∠BPC=60°，∠CDQ=60°，
∴∠EPD=45°，∠EDP=45°，
∴△DEP为等腰直角三角形．
③PB= 或
【点睛】本题考核知识点：1．四边形综合题；2．正方形的性质；3．旋转的性质；4．全
等三角形的判定与性质；5．综合题．
46．（1）①位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE=BD；②结论仍成立，理由见解析；
（2）当∠BCA=45°时，CE⊥BD，理由见解析
【分析】
（1）①根据∠BAD=∠CAE，BA=CA，AD=AE，运用“SAS”证明△ABD≌△ACE，根据全等
三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系；②先根据
“SAS”证明△ABD≌△ACE，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得
到①中的结论仍然成立；
（2）先过点A作AG⊥AC交BC于点G，画出符合要求的图形，再结合图形判定
△GAD≌△CAE，得出对应角相等，即可得出结论．
【详解】
（1）①CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE=BD.
理由：如图乙,∵∠BAD=90°−∠DAC,∠CAE=90°−∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE.
又BA=CA，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴∠ACE=∠B=45°且CE=BD.
∵∠ACB=∠B=45°，
∴∠ECB=45°+45°=90°，即CE⊥BD.
故答案为CE⊥BD；CE=BD.
②当点D在BC的延长线上时,①的结论仍成立.
如图丙,
∵∠DAE=90°,∠BAC=90°，
∴∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC，
又AB=AC，AD=AE，
∴△DAB≌△EAC，
∴CE=BD，且∠ACE=∠ABD.∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
即 CE⊥BD；
（2）如图丁所示,当∠BCA=45°时,CE⊥BD.
理由：过点A作AG⊥AC交BC于点G，
∴AC=AG,∠AGC=45°，
即△ACG是等腰直角三角形，
∵∠GAD+∠DAC=90°=∠CAE+∠DAC，
∴∠GAD=∠CAE，
又∵DA=EA，
∴△GAD≌△CAE，
∴∠ACE=∠AGD=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
即CE⊥BD.
【点拨】此题为三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形
的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等，对
应角相等进行求解.
