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课堂知识梳理1.3 线段的垂直平分线
1.线段垂直平分线的性质及判定
（1）性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
（2）判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
（3）证明方法：①、证两点都在垂直平分线上
②、既是垂直又是平分
2.三角形三边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
注意：锐角三角形，交点在内：直角三角形，交点在斜边中点：钝角三角形交点在外
3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线
分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、
N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。
课后培优练
级练
培优第一阶——基础过关练
1．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）在△ABC的BC边上找一点P，使得
PA+PC=BC．下面找法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·河南信阳·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，
AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是（ ）
1A．15° B．20° C．30° D．25°
3．（2022秋·吉林长春·八年级长春市第四十五中学校考期末）如图，在△ABC中，AB边
上的垂直平分线分别交边AC于点E，交边AB于点D，若AC长为8cm，BE长为6cm，则
EC的长为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
4．（2022秋·河北石家庄·八年级石家庄市第四十二中学校考期末）如图，直线DE是
△ABC边AC的垂直平分线，且与AC相交于点E，与AB相交于点D，连接CD，已知
BC=12cm，AB=16cm，则△BCD的周长为（ ）
A．28cm B．22cm C．20cm D．18cm
5．（2022秋·四川绵阳·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分
别交BC于点E、F，若∠BAC=112°，则∠EAF为（ ）
A．38° B．42° C．44° D．48°
6．（2022秋·河北石家庄·八年级石家庄市第四十中学校考期末）三角形内到三个顶点的距
离相等的点是（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
27．（2022秋·吉林长春·九年级长春市实验中学校考期末）如图是按以下步骤作图：（1）
1
在△ABC中，分别以点B，C为圆心，大于 BC长为半径作弧，两弧相交于点M，N；
2
（2）作直线MN交AB于点D；（3）连结CD，若AB=4，∠ACB=90°，则CD的长为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，D、E是△ABC的BC边上的两点，
DM，EN分别垂直平分AB、AC，垂足分别为点M、N．若∠DAE=24°，则∠BAC的
度数为_______．
9．（2022秋·安徽合肥·八年级校联考阶段练习）在△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂
直平分线，∠A=40°，则∠CDB=______．
10．（2022秋·北京·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，
斜边AB的垂直平分线交AC于点E，交AB于点D，AE=8cm，则BC=______cm．
11．（2022秋·八年级单元测试）如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、
OB的对称点P ，P ，连接P P 交OA于M，交OB于N，P P =15，则△PMN的周长为
1 2 1 2 1 2
_______．
312．（2022秋·全国·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是
∠BAC的平分线，AD=4．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是
_____．
13．（2022秋·浙江杭州·八年级统考期中）如图，直线m表示一条公路，A，B表示两所大
学，要在公路旁修建一个车站P，使车站到两所大学的距离相等．请用尺规在图上找出点
P并说明理由．
14．（2022秋·河南新乡·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于
点D，∠B=60°，∠C=26°．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线；（要求：不写作法，保留作图痕
迹，使用2B铅笔作图）
(2)记（1）中所作AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点F，连接AE．求∠DAE的度
数．
415．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州高新区第二中学校考阶段练习）如图，已知AC⊥BC，
BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．
求证：
(1)BC=AD；
(2)点O在线段AB的垂直平分线上．
16．（2022·吉林长春·校考模拟预测）如图，AC=AB，DC=DB，AD与BC相交于O．
(1)求证：△ACD≌△ABD；
(2)求证：AD垂直平分BC．
培优第二阶——拓展培优练
17．（2021秋·四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图，等腰△ABC中
AB=AC，AD⊥BC，EF垂直平分AB，交AB于点E，交BC于点F，点G是线段EF
上的一动点，若△ABC的面积是6cm2，BC=6cm，则△ADG的周长最小值是_________.
18．（2022秋·河南周口·八年级校联考阶段练习）中日钓鱼岛争端持续，我国海监船加大
钓鱼岛海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA=45海里，OB=15海里，钓鱼岛位
于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向
5钓鱼岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，
结果在点C处截住了渔船．
(1)请用直尺和圆规作出C处的位置；
(2)求我国海监船行驶的航程BC的长．
19．（2022秋·辽宁大连·八年级统考期中）已知，△CBD中，CB=CD，点E是△ABD的
边AB上的点，且CE⊥BD于H．
(1)如图1，若DE∥BC，求证：BE=BC．
(2)如图2，DE与BC不平行，连接AC，交BD于点F．若DE恰好垂直平分AC，且
AF=AE．请先找出图中所有与BE相等的线段（不需另填字母），再进行证明．
20．（2022秋·广东中山·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC
的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于点H，分别交直
线AB、AC、BC于点N、E、M．
6(1)如图1，当点M与点C重合时，求证：BN=CD；
(2)如图2，当点M在BC的延长线上时，BN、CE、CD之间具有怎样的数量关系？并说明
理由．
21．（2022秋·重庆合川·八年级校考期末）如图，在等边△ABC中，D为BC边的中点，
点E为线段AD上一点，连接CE，以CE为边构造等边△CEF（点B，E，F不共线），连
接AF，BF．
(1)求证：BF垂直平分AC；
(2)如图2，作CE关于直线AC对称的线段CE'，连接E'F，猜想E'F与BC的位置关系并说
明理由．
培优第三阶——中考沙场点兵
22．（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，在 ABC中，AB=AC，∠A=120°．分别以点A
△
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和C为圆心，以大于 AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交
2
BC，AC于点D和点E．若CD=3，则BD的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
23．（2022·湖北黄石·统考中考真题）如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，大于
1
AC长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于
2
点D，E，若AE=2cm，△ABD的周长为11cm，则△ABC的周长为（ ）
A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm
24．（2022·湖北黄石·统考中考真题）如图，等边△ABC中，AB=10，点E为高AD上的
一动点，以BE为边作等边△BEF，连接DF，CF，则∠BCF=______________，
FB+FD的最小值为______________．
25．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，
BC=5．
8(1)作BC的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、H；（要求：尺规作图，不写作法，保
留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接CD，求△BCD的周长．
26．（2021·黑龙江绥化·统考中考真题）（1）如图，已知△ABC,P为边AB上一点，请用
尺规作图的方法在边AC上求作一点E．使AE+EP=AC．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在上图中，如果AC=6cm,AP=3cm，则△APE的周长是_______cm．
27．（2020·山西·统考中考真题）阅读与思考
下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
×年×月×日 星期日没有直角尺也能作出直角
今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，
他已经在木板上画出一条裁割线AB，现根据木板的情况，要过AB上的一点C，作出AB的
9垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？
办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD=30cm，然后分别以D
，C为圆心，以50cm与40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，作直线CE，则∠DCE必
为90°．
办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M，N两点，然后把
木棒斜放在木板上，使点M与点C重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q，
保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上，在木板上将点M对应的位置标记
为点R．然后将RQ延长，在延长线上截取线段QS=MN，得到点S，作直线SC，则
∠RCS=90°．
我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺
也能作出垂线呢？
……
任务：
（1）填空；“办法一”依据的一个数学定理是_____________________________________；
（2）根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS=90°；
（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点C作出AB的垂线（在木板上保留作图痕迹，
不写作法）；
②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）
1028．（2020·湖南·中考真题）已知D是Rt ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝
30°，过点D作Rt DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝
△
CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．
△
（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：
①EB＝EP；
②∠EFP＝30°；
（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．
11
