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课堂知识梳理1.3 线段的垂直平分线
1.线段垂直平分线的性质及判定
（1）性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
（2）判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
（3）证明方法：①、证两点都在垂直平分线上
②、既是垂直又是平分
2.三角形三边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
注意：锐角三角形，交点在内：直角三角形，交点在斜边中点：钝角三角形交点在外
3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线
分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、
N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。
课后培优练
级练
培优第一阶——基础过关练
1．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）在△ABC的BC边上找一点P，使得
PA+PC=BC．下面找法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先利用已知条件证明PA=PB，根据线段垂直平分线的性质得到P点为AB的垂直
平分线与BC的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断．
【详解】解：∵PA+PC=BC， 而BC=BP+PC，
∴PA=PB，
∴P点为AB的垂直平分线与BC的交点．
故选：D．
1【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结
合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线
的性质．
2．（2022秋·河南信阳·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，
AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是（ ）
A．15° B．20° C．30° D．25°
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质求得∠ABC，再根据垂直平分线的性质得到AD=BD，
则∠A=∠ABD=50°，求解即可．
【详解】解：在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，
1
则∠ABC=∠C= (180°−∠A)=65°，
2
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=50°，
∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=15°，
故选：A
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是灵活利用
相关性质进行求解．
3．（2022秋·吉林长春·八年级长春市第四十五中学校考期末）如图，在△ABC中，AB边
上的垂直平分线分别交边AC于点E，交边AB于点D，若AC长为8cm，BE长为6cm，则
EC的长为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【答案】C
【分析】根据线段的垂直平分线的性质即可得解
【详解】解：∵DE是AB垂直平分线，
2∴AE=BE=6(cm)，
∴EC=AC−AE=8−6=2(cm)
故选择：C
【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质（垂直平分线上的
点到线段两个端点的距离相等）是解决本题的关键．
4．（2022秋·河北石家庄·八年级石家庄市第四十二中学校考期末）如图，直线DE是
△ABC边AC的垂直平分线，且与AC相交于点E，与AB相交于点D，连接CD，已知
BC=12cm，AB=16cm，则△BCD的周长为（ ）
A．28cm B．22cm C．20cm D．18cm
【答案】A
【分析】由DE是△ABC边AC的垂直平分线，得到CD=AD，可得BD+CD=AB，即可
求得△BCD的周长
【详解】∵DE是△ABC边AC的垂直平分线，
∴CD=AD，
∴BD+CD=BD+AD=AB=16cm，
∴△BCD的周长为：BC+BD+CD=BC+AB=12+16=28cm，
故选：A
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，能熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端
点的距离相等是解此题的关键．
5．（2022秋·四川绵阳·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分
别交BC于点E、F，若∠BAC=112°，则∠EAF为（ ）
A．38° B．42° C．44° D．48°
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C+∠B=68°，根据线段垂直平分线的性质得到
EB=EA，FC=FA，根据等腰三角形的性质得到∠EAB=∠B，∠FAC=∠C，计算即
可．
【详解】解：∵∠BAC=112°，
3∴∠C+∠B=68°，
∵EG、FH分别为AB、AC的垂直平分线，
∴EB=EA，FC=FA，
∴∠EAB=∠B，∠FAC=∠C，
∴∠EAB+∠FAC=68°，
∴∠EAF=44°，
故选：C．
【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定
理等几何知识．熟知线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解答的关键．
6．（2022秋·河北石家庄·八年级石家庄市第四十中学校考期末）三角形内到三个顶点的距
离相等的点是（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】利用线段垂直平分线的性质定理的逆定理，即可解答．
【详解】解：三角形内到三个顶点的距离相等的点是三条垂直平分线的交点，
故选：D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理以及逆定理，熟练掌握线段垂直平分线的
性质定理的逆定理是解题的关键．
7．（2022秋·吉林长春·九年级长春市实验中学校考期末）如图是按以下步骤作图：（1）
1
在△ABC中，分别以点B，C为圆心，大于 BC长为半径作弧，两弧相交于点M，N；
2
（2）作直线MN交AB于点D；（3）连结CD，若AB=4，∠ACB=90°，则CD的长为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用基本作图可得出MN垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质得到
41
DB=DC，再证明DA=DC，从而得到CD= AB=2．
2
【详解】解：由作法得MN垂直平分BC，
∴DB=DC，
∴∠B=∠BCD，
∵∠B+∠A=90°，∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠A，
∴DA=DC，
1 1
∴CD= AB= ×4=2，
2 2
故选：B．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，作图-复杂作图：熟练掌握基本作图（作一条线段
等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；
过一点作已知直线的垂线）．
8．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，D、E是△ABC的BC边上的两点，
DM，EN分别垂直平分AB、AC，垂足分别为点M、N．若∠DAE=24°，则∠BAC的
度数为_______．
【答案】102°##102度
【分析】根据三角形内角和定理得到∠B+∠C=180°−∠BAC，根据线段垂直平分线的
性质得到DA=DB ，EA=EC，根据等腰三角形的性质得到∠DAB=∠B，
∠EAC=∠C，计算即可．
【详解】解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°，
则∠B+∠C=180°−∠BAC，
∵DM，EN分别垂直平分AB、AC，
∴DA=DB，EA=EC，
∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，
∴∠B+∠C=∠DAB+∠EAC，
∵∠DAE=24°，
∴∠BAC−(∠DAB+∠EAC)=24°，
∴∠BAC−(∠B+∠C)=24°，
∴∠BAC−(180°−∠BAC)=24°，
解得：∠BAC=102°，
5故答案为：102°．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的
两个端点的距离相等是解题的关键．
9．（2022秋·安徽合肥·八年级校联考阶段练习）在△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂
直平分线，∠A=40°，则∠CDB=______．
【答案】80°##80度
【分析】先利用三角形的内角和求出∠CBE的度数，再利用垂直平分线的性质求出
∠DBC的度数，最后利用三角形的内角和求出∠CDB的度数．
【详解】解：根据题意画出图如图所示：
∵△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，
∴∠CBE=180°−∠C−∠A=180°−90°−40°=50°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=DB，∠A=∠DBE=40°，
∴∠DBC=∠CBE−∠DBE=50°−40°=10°，
在△CBD中，∠C=90°，∠DBC=10°，
∴∠CDB=180°−∠C−∠CBD=180°−90°−10°=80°，
故答案为：80°．
【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质及三角形内角和定理等几何知识，线段的
垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
10．（2022秋·北京·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，
斜边AB的垂直平分线交AC于点E，交AB于点D，AE=8cm，则BC=______cm．
【答案】4
【分析】连接BE，根据垂直平分线的性质，得出AE=BE=8cm，再根据等边对等角，得
出∠A=∠ABE=15°，再根据三角形的外角的性质，得出∠CEB=∠A+∠ABE=30°，
再根据直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半，即可得出答案.
【详解】解：如图，连接BE，
6∵DE是AB的垂直平分线，
∵AE=BE=8cm，
∴∠A=∠ABE=15°，
∴∠CEB=∠A+∠ABE=30°，
∵∠C=90°，
1
∴BC= BE=4(cm)，
2
故答案为：4．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形的外角的性质、含30度
角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解本题的关键．
11．（2022秋·八年级单元测试）如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、
OB的对称点P ，P ，连接P P 交OA于M，交OB于N，P P =15，则△PMN的周长为
1 2 1 2 1 2
_______．
【答案】15
【分析】根据对称的性质可知，OA是PP 的垂直平分线，OB是PP 的垂直平分线，由此
1 2
即可求解．
【详解】解：∵P点关于OA的对称是点P ，P点关于OB的对称点P ，
1 2
∴PM=P M，PN=P N，
1 2
∴△PMN的周长为PM+PN+MN=MN+P M+P N=P P =15．
1 2 1 2
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查对称的性质，垂直平分线的性质，掌握对称的性质，垂直平分线的
性质是解题的关键．
12．（2022秋·全国·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是
∠BAC的平分线，AD=4．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是
_____．
724
【答案】
5
【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，
BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在ΔABC中，利用面积
法可求出BQ的长度，此题得解．
【详解】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP=CP．
如图，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值
为BQ的长，
1 1
∵S ❑ = BC⋅AD= AC⋅BQ，
△ ABC 2 2
BC×AD 24
∴BQ= = ，
AC 5
24
即PC+PQ的最小值是 ．
5
24
故答案为： ．
5
【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，凡是
涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要
作点关于某直线的对称点．
13．（2022秋·浙江杭州·八年级统考期中）如图，直线m表示一条公路，A，B表示两所大
学，要在公路旁修建一个车站P，使车站到两所大学的距离相等．请用尺规在图上找出点
P并说明理由．
8【答案】作图见解析，理由见解析
【分析】连接AB．根据“到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”知，点P
应是线段AB的垂直平分线与直线m的交点．
【详解】解：如图所示，点P是AB的垂直平分线与直线m的交点．
作线段AB的中垂线．
∵MN垂直平分线段AB，
∴PA=PB（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等）．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质和作图能力，属基础题，熟练掌握垂直平分线的
性质及作图方法是解题关键．
14．（2022秋·河南新乡·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于
点D，∠B=60°，∠C=26°．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线；（要求：不写作法，保留作图痕
迹，使用2B铅笔作图）
(2)记（1）中所作AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点F，连接AE．求∠DAE的度
数．
【答案】(1)见解析；(2)21°
【分析】（1）按照线段垂直平分线的作法作出即可；
（2）根据线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理解答即可．
9【详解】（1）解：如图所示：EF即为线段AC的垂直平分线；
（2）∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C=26°，
∵∠B=60°，∠C=26°，
∴∠BAC=180°−26°−60°=94°，
∵AF平分∠BAC，
1
∴∠FAC= ∠BAC=47°，
2
∴∠DAE=21°．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的作法、线段的垂直平分线的性质、三角形内角和
定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州高新区第二中学校考阶段练习）如图，已知AC⊥BC，
BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．
求证：
(1)BC=AD；
(2)点O在线段AB的垂直平分线上．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【分析】（1）根据HL可证明Rt△ACB≌Rt△BDA，由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质可得∠CAB=∠DBA，由等角对等边可得OA=OB，进而可得
结论．
【详解】（1）证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C=∠D=90°，
∴在Rt△ACB和Rt△BDA中，¿，
∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL)，
∴BC=AD；
10（2）证明：∵Rt△ACB≌Rt△BDA，
∴∠CAB=∠DBA，
∴OA=OB，
∴点O在线段AB的垂直平分线上．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等角对等边以及线段垂直平分线的判定，
解答时证明Rt△ACB≌Rt△BDA(HL)是关键．
16．（2022·吉林长春·校考模拟预测）如图，AC=AB，DC=DB，AD与BC相交于O．
(1)求证：△ACD≌△ABD；
(2)求证：AD垂直平分BC．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【分析】（1）直接根据“SSS”即可证明△ACD≌△ABD；
（2）由三角形全等的性质可得出∠CAO=∠BAO，即可利用“SAS”证明
△CAO≌△BAO，得出∠COA=∠BOA=90°，CO=BO，即说明AD垂直平分BC．
【详解】（1）∵AC=AB，DC=DB，AD=AD，
∴△ACD≌△ABD(SSS)；
（2）∵△ACD≌△ABD，
∴∠CAO=∠BAO．
又∵AC=AB，AO=AO，
∴△CAO≌△BAO(SAS)，
∴∠COA=∠BOA=90°，CO=BO，
∴AD垂直平分BC．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定．熟练掌握三角形全
等的判定定理是解题关键．
培优第二阶——拓展培优练
17．（2021秋·四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图，等腰△ABC中
AB=AC，AD⊥BC，EF垂直平分AB，交AB于点E，交BC于点F，点G是线段EF
上的一动点，若△ABC的面积是6cm2，BC=6cm，则△ADG的周长最小值是_________.
11【答案】5cm##5厘米
【分析】如图所示，连接BG，根据线段垂直平分线的性质得到AG=BG，进而证明当
B、D、G三点共线，即点G与点F重合时，BG+DG最小，最小值为BD，利用三线合
一定理和三角形面积公式求出BD、AD即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接BG，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AG=BG，
∴△ADG的周长=AD+AG+DG=AD+BG+DG，
∴要使△ADG的周长最小，即要使BG+DG最小，
∴当B、D、G三点共线，即点G与点F重合时，BG+DG最小，最小值为BD，
∵AB=AC，AD⊥BC，BC=6cm，
1
∴BD=CD= BC=3cm，
2
∵△ABC的面积是6cm2，
1
∴ BC⋅AD=6，
2
∴AD=2cm，
∴△ADG的周长最小值是3+2=5cm，
故答案为：5cm．
【点睛】本题主要考查了三线合一定理，三角形面积，线段垂直平分线的性质，正确根据
题意得到当B、D、G三点共线，即点G与点F重合时，BG+DG最小，最小值为BD是
解题的关键．
18．（2022秋·河南周口·八年级校联考阶段练习）中日钓鱼岛争端持续，我国海监船加大
钓鱼岛海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA=45海里，OB=15海里，钓鱼岛位
于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向
钓鱼岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，
结果在点C处截住了渔船．
12(1)请用直尺和圆规作出C处的位置；
(2)求我国海监船行驶的航程BC的长．
【答案】(1)见解析；(2)我国渔政船行驶的航程BC的长为25海里．
【分析】（1）根据题意，作出线段AB的垂直平分线，交OA于点C，即可；
（2）连接BC，利用第（1）题中作图，可得BC=AC，设BC为x海里，则CA也为x海里，
利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，作线段AB的垂直平分线，交OA于点C，
（2）解：设BC=x海里，则CA=x海里
∵∠O=90°
∴在Rt△OBC中，OB2+OC2=BC2
即：152+(45−x) 2=x2
解得：x=25
答：我国渔政船行驶的航程BC的长为25海里．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的实际应用，解题的关键是熟练掌
握相关基础性质．
19．（2022秋·辽宁大连·八年级统考期中）已知，△CBD中，CB=CD，点E是△ABD的
边AB上的点，且CE⊥BD于H．
(1)如图1，若DE∥BC，求证：BE=BC．
(2)如图2，DE与BC不平行，连接AC，交BD于点F．若DE恰好垂直平分AC，且
13AF=AE．请先找出图中所有与BE相等的线段（不需另填字母），再进行证明．
【答案】(1)见解析；(2)DE，CF，理由见解析
【分析】（1）根据垂直平分线的判定和性质，可得∠DEH=∠BEH，再由两直线平行内
错角相等，可得∠DEC=∠BCE，再根据等腰三角形的性质即可证明；
（2）由垂直平分线的性质，易得DE=BE，再由AAS证得△ABF≌△ACE，即可得到
BE=CF．
【详解】（1）证明：∵CB=CD，CE⊥BD，
∴DH=BH，∠DCH=∠BCH，
∴CE垂直平分BD，
∴ED=EB，
∴∠DEH=∠BEH，
∵DE∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∴∠BEC=∠BCE，
∴BE=BC．
（2）DE，CF，
理由：∵DE垂直平分AC，
∴AE=EC，DA=DC，
∴∠AED=∠CED，∠ACE=∠EAC
又∵CD=CB且CE⊥BD，
∴HB=HD，CE垂直平分DB，
∴CB=CD=DA，DE=BE，
∴∠DEC=∠BEC，
∴∠AED=∠CED=∠BEC，
又∵∠AED+∠CED+∠BEC=180°，
1
∴∠AED=∠CED=∠BEC= ×180°=60°；
3
∴∠ACE=∠EAC=∠EBD=∠EDB=30°，
在△ACE与△ABF中，
¿，
∴△ABF≌△ACE(AAS)，
14∴AC=AB，
又∵AE=AF，
∴AB−AE=AC−AF，
即BE=CF．
【点睛】本题考查了线段垂直平分的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定
和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
20．（2022秋·广东中山·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC
的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于点H，分别交直
线AB、AC、BC于点N、E、M．
(1)如图1，当点M与点C重合时，求证：BN=CD；
(2)如图2，当点M在BC的延长线上时，BN、CE、CD之间具有怎样的数量关系？并说明
理由．
【答案】(1)见解析；(2)BN=CD+CE，理由见解析
【分析】连接DN，根据AO平分∠BAC，l⊥AO，可得∠ANH=∠ACH，从而得到
AN=AC，进而得到NH=CH，可得到DN=DC，进而得到∠∧=∠ACB，再由
∠ACB=2∠B，可得∠B=∠BDN，从而得到DN=BN，即可；
（2）过点C作CF⊥AD交AB于点F，交AD于点G，连接DF，根据AO平分∠BAC，
l⊥AO，可得AN=AE，同理∠AFC=∠ACF，从而得到AF=AC，进而得到FG=CG，
FN=CE，可得到∠AFD=∠ACB，再由∠ACB=2∠B，可得DF=BF，从而得到
CD=BF，即可．
【详解】（1）证明：如图，连接DN，
15∵AO平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵l⊥AO，
∴∠AHN=∠AHC=90°，
∴∠ANH=∠ACH，
∴AN=AC，
∴NH=CH，
∴DN=DC，
∴∠DNH=∠DCH，
∴∠∧=∠ACB，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠∧=2∠B，
∵∠∧=∠B+∠BDN，
∴∠B=∠BDN，
∴DN=BN，
∴CD=BN；
（2）解：BN=CD+CE，理由如下：
如图，过点C作CF⊥AD交AB于点F，交AD于点G，连接DF，
∵AO平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵l⊥AO，
∴∠AHN=∠AHE=90°，
∴∠ANH=∠AEH，
∴AN=AE，
16同理∠AFC=∠ACF，
∴AF=AC，
∴FG=CG，FN=CE，
∴DF=DC，
∴∠DFC=∠DCF，
∴∠AFD=∠ACB，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠AFD=2∠B，
∵∠AFD=∠B+∠BDF，
∴∠B=∠BDF，
∴DF=BF，
∴CD=BF，
∴BN=BF+FN=CD+CE．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角
的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，
利用类比思想解答是解题的关键．
21．（2022秋·重庆合川·八年级校考期末）如图，在等边△ABC中，D为BC边的中点，
点E为线段AD上一点，连接CE，以CE为边构造等边△CEF（点B，E，F不共线），连
接AF，BF．
(1)求证：BF垂直平分AC；
(2)如图2，作CE关于直线AC对称的线段CE'，连接E'F，猜想E'F与BC的位置关系并说
明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)E'F∥BC，理由见解析
【分析】（1）连接BE，首先证明出△BCE≌△ACF(SAS)，得到EB=FA，然后根据等
腰三角形三线合一性质和线段垂直平分线的性质得到EB=EC，然后利用等量代换得到
FA=FC，然后根据垂直平分线的判定求解即可；
（2）首先根据对称性得到CE=CE',∠1=∠2，然后由等边三角形的性质得到CE=CF，
17∠BCA=∠FCE=60°，根据角度之间的转化可得到∠BCE'=60°+∠2，最后利用内错
角相等，两直线平行求解即可．
【详解】（1）如图1，连接BE，
∵△ABC和△CEF都是等边三角形，
∴AB=BC=AC,CE=CF，∠BCA=∠FCE=60°，
∴∠BCA−∠ECA=∠FCE−∠ECA，
即∠BCE=∠ACF，
在△BCE和△ACF中，
¿，
∴△BCE≌△ACF(SAS)，
∴EB=FA，
∵AB=AC，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴EB=EC，
∴EC=FA，
又∵EC=FC，
∴FA=FC，
∴点F在线段AC的垂直平分线上，
∵BA=BC，
∴点B在线段AC的垂直平分线上，
∴BF垂直平分AC，
（2）如图2，E'F∥BC，理由如下：
由CE关于直线AC对称的线段CE'可知：CE=CE',∠1=∠2，
∵△ABC，△CEF都是等边三角形，
∴CE=CF，∠BCA=∠FCE=60°，
∴CF=CE'，∠BCE'=∠BCA+∠2=60°+∠2，
∠3=∠ECF−∠1−∠2=60°−2∠2，
∴∠CE'F=∠CFE'，
18∵∠CE'F+∠CFE'+∠3=180°，
180°−∠3
180°−(60°−2∠2)
∴∠CE'F= = =60°+∠2，
2 2
又∵∠BCE'=60°+∠2，
∴∠CE'F=∠BCE'，
∴E'F∥BC．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，
垂直平分线的判定，平行线的判定，，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
培优第三阶——中考沙场点兵
22．（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，在 ABC中，AB=AC，∠A=120°．分别以点A
1
和C为圆心，以大于 AC的长度为半径作弧，两△弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交
2
BC，AC于点D和点E．若CD=3，则BD的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】连接AD，由作图知：DE是线段AC的垂直平分线，得到AD=CD=3，
∠DAC=∠C=30°，求得∠BAD=90°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：连接AD，
由作图知：DE是线段AC的垂直平分线，
∴AD=CD=3，
∴∠DAC=∠C，
∵AB=AC，∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°，则∠DAC=∠C=30°，
∴∠BAD=120°-∠DAC=90°，
∴BD=2AD=6，
19故选：C．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了
线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质．
23．（2022·湖北黄石·统考中考真题）如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，大于
1
AC长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于
2
点D，E，若AE=2cm，△ABD的周长为11cm，则△ABC的周长为（ ）
A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm
【答案】C
【分析】根据作法可知MN垂直平分AC，根据中垂线的定义和性质找到相等的边，进而可
算出三角形ABC的周长．
【详解】解：由作法得MN垂直平分AC，
∴DA=DC，AE=CE=2cm，
∵△ABD的周长为11cm，
∴AB+BD+AD=11，
∴AB+BD+DC=11，即AB+BC=11，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=11+2×2=15（cm），
故选：C．
【点睛】本题考查线段的中垂线的定义以及性质，三角形的周长，能够熟练运用线段中垂
线的性质是解决本题的关键．
24．（2022·湖北黄石·统考中考真题）如图，等边△ABC中，AB=10，点E为高AD上的
一动点，以BE为边作等边△BEF，连接DF，CF，则∠BCF=______________，
FB+FD的最小值为______________．
20【答案】 30°##30度 5√3
【分析】①△ABC与△BEF为等边三角形，得到BA=BC，BE=BF，∠ABE=∠CBF，
从而证△BAE≌△BCF(SAS)，最后得到答案．
②过点D作定直线CF的对称点G，连CG，证出△DCG为等边三角形，CF为DG的中垂
线，得到FD=FG， FB+FD=FB+FG≥BG，再证△BCG为直角三角形，利用勾股定
理求出BG=5√3，即可得到答案．
【详解】解：①∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，AD⊥BC，
1
∴∠BAE= ∠BAC=30°，
2
∵△BEF是等边三角形，
∵∠EBF=∠ABC=60°，BE=BF，
∴∠ABE=∠ABC−∠EBC=60°−∠EBC，
∠CBF=∠EBF−∠EBC=60°−∠EBC，
∴∠ABE=∠CBF，
在△BAE和△BCF中
¿
∴△BAE≌△BCF(SAS)，
得∠BAE=∠BCF=30°；
故答案为：30°．
②（将军饮马问题）
过点D作定直线CF的对称点G，连CG，
∴△DCG为等边三角形，CF为DG的中垂线，FD=FG，
∴FB+FD=FB+FG，
连接BG，
∴FB+FD=FB+FG≥BG，
1
又DG=DC= BC，
2
∴△BCG为直角三角形，
21∵BC=10，CG=5，
∴BG=5√3，
∴FB+FD的最小值为5√3．
故答案为：5√3．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，将军饮马，线段垂直
平分线的判定及性质，勾股定理等内容，熟练运用将军饮马是解题的关键，具有较强的综
合性．
25．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，
BC=5．
(1)作BC的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、H；（要求：尺规作图，不写作法，保
留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接CD，求△BCD的周长．
【答案】(1)见解析；(2)13
【分析】（1）利用基本作图，作BC的垂直平分线分别交AB、BC于点D、H即可；
（2）由作图可得CD=BD，继而可得AD=CD，再结合三角形周长的求解方法进行求解即可．
（1）
如图所示，点D、H即为所求
22（2）
∵DH垂直平分BC，
∴DC=DB，
∴∠B=∠DCB，
∵∠B+∠A=90°，∠DCB+∠DCA=∠ACB=90°，
∴∠A=∠DCA，
∴DC= DA，
∴△BCD的周长=DC+DB+BC=DA+DB+BC=AB+BC=8+5=13．
【点睛】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质等，解
决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解
成基本作图，逐步操作．
26．（2021·黑龙江绥化·统考中考真题）（1）如图，已知△ABC,P为边AB上一点，请用
尺规作图的方法在边AC上求作一点E．使AE+EP=AC．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在上图中，如果AC=6cm,AP=3cm，则△APE的周长是_______cm．
【答案】（1）见解析；（2）9．
【分析】（1）直接根据垂直平分线-尺规作图方法作图即可；
（2）根据（1）中可知AE+EP=AC，即可求得△APE的周长．
【详解】（1）作法：如图所示，
①连接PC（用虚线），
②作PC的垂直平分线交AC于E，
③标出点E即为所求，
23（2）∵PE=CE，
∴AE+EP=AC，
∴△APE的周长＝AP+AE+PE=AP+AC=3+6=9．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的做法－尺规作图，熟知垂直平分线的性质是解题的关
键．
27．（2020·山西·统考中考真题）阅读与思考
下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
×年×月×日 星期日没有直角尺也能作出直角
今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，
他已经在木板上画出一条裁割线AB，现根据木板的情况，要过AB上的一点C，作出AB的
垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？
办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD=30cm，然后分别以D
，C为圆心，以50cm与40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，作直线CE，则∠DCE必
为90°．
办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M，N两点，然后把
木棒斜放在木板上，使点M与点C重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q，
保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上，在木板上将点M对应的位置标记
为点R．然后将RQ延长，在延长线上截取线段QS=MN，得到点S，作直线SC，则
∠RCS=90°．
24我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺
也能作出垂线呢？
……
任务：
（1）填空；“办法一”依据的一个数学定理是_____________________________________；
（2）根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS=90°；
（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点C作出AB的垂线（在木板上保留作图痕迹，
不写作法）；
②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）
【答案】（1）勾股定理的逆定理；（2）详见解析；（3）①详见解析；②答案不唯一，详
见解析
【分析】（1）利用302+402=502说明△DCE是直角三角形，说明∠DCE=90°，进而得
出利用的原理是勾股定理逆定理即可；
（2）由作图的方法可以得出：QR=QC，QS=QC，得出∠QCR=∠QRC，
∠QCS=∠QSC，利用三角形内角和得出∠QCR+∠QCS=90°，即∠RCS=90°，说
明垂直即可；
（3）①以点C为圆心，任意长为半径画弧，与AB有两个交点，分别以这两个交点为圆心，
以大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，这两段弧交于一点P，连接PC即可；
②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，即可说明垂直．
【详解】（1）勾股定理的逆定理（或如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这
个三角形是直角三角形）；
（2）证明：由作图方法可知：QR=QC，QS=QC，
∴∠QCR=∠QRC，∠QCS=∠QSC．
又∵∠SRC+∠RCS+∠RSC=180°，
∴∠QCR+∠QCS+∠QRC+∠QSC=180°．
∴2(∠QCR+∠QCS)=180°．
∴∠QCR+∠QCS=90°
即∠RCS=90°．
25（3）解：①如图，直线CP即为所求；
图③
②答案不唯一，如：三边分别相等的两个三角形全等（或SSS）；等腰三角形顶角的平分
线、底边上的高、底边上的中线重合（或等腰三角形“三线合一”）；到一条线段两个端
点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上等．
【点睛】本题主要考查了垂直的判定，熟练掌握说明垂直的方法是解决本题的关键．
28．（2020·湖南·中考真题）已知D是Rt ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝
30°，过点D作Rt DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝
△
CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．
△
（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：
①EB＝EP；
②∠EFP＝30°；
（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．
【答案】（1）①见解析 ②30°（2）见解析
【分析】（1）①本题主要考查通过角度计算求证平行，继而证明△CBP是直角三角形，
根据直角三角形斜边中线可得结论．
②本题以上一问结论为解题依据，考查平行线以及垂直平分线的应用，根据同位角相等可
得BC∥EF，由平行线的性质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三
角形三线合一的性质可得∠PFE＝∠BFE＝30°．
（2）本题主要考查辅助线的做法以及垂直平分线性质的应用，需要延长DE到Q，使EQ
＝DE，连接CD，PQ，FQ，证明△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，由QE＝
26DE，∠DEF＝90°，知EF是DQ的垂直平分线，证明△FQP≌△FDB（SAS），再由EF是
DQ的垂直平分线，可得结论．
【详解】证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°
∴∠A＝90°﹣30°＝60°
同理∠EDF＝60°
∴∠A＝∠EDF＝60°
∴AC∥DE
∴∠DMB＝∠ACB＝90°
∵D是Rt ABC斜边AB的中点，AC∥DM
BM BD 1
∴ = △ =
BC AB 2
即M是BC的中点
∵EP＝CE，即E是PC的中点
∴ED∥BP
∴∠CBP＝∠DMB＝90°
∴△CBP是直角三角形
1
∴BE＝ PC＝EP
2
②∵∠ABC＝∠DFE＝30°
∴BC∥EF
由①知：∠CBP＝90°
∴BP⊥EF
∵EB＝EP
∴EF是线段BP的垂直平分线
∴PF＝BF
∴∠PFE＝∠BFE＝30°
（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ
∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP
∴△QEP≌△DEC（SAS）
27则PQ＝DC＝DB
∵QE＝DE，∠DEF＝90°
∴EF是DQ的垂直平分线
∴QF＝DF
∵CD＝AD
∴∠CDA＝∠A＝60°
∴∠CDB＝120°
∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP
∴△FQP≌△FDB（SAS）
∴∠QFP＝∠BFD
∵EF是DQ的垂直平分线
∴∠QFE＝∠EFD＝30°
∴∠QFP+∠EFP＝30°
∴∠BFD+∠EFP＝30°
【点睛】本题考点较多，涉及平行与角等的互推，垂直平分线的应用，全等的证明，特殊
角度的利用，难度主要在于辅助线的构造，该类型题目必须多做专题训练以培养题感．
28
