文档内容
第一章 三角形的证明
第三节 线段的垂直平分线
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在 中， 是 的垂直平分线， ，
的周长为 ，则 的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线性质得出 ，求出 和 的长，即可求出答案．
【详解】解： 是 的垂直平分线，
，
的周长为 ，
，
，
的周长为： ；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点
的距离相等．
2．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）在 的 边上找一点P，使得 ．下面找法
正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先利用已知条件证明 ，根据线段垂直平分线的性质得到P点为 的垂直平分线与 的
交点，然后利用基本作图对各选项进行判断．
【详解】解：∵ ， 而 ，
∴ ，
∴P点为 的垂直平分线与 的交点．
故选：D．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基
本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
3．（2022秋·河北唐山·八年级校考期末）如图，锐角三角形 中，直线l为 的垂直平分线，直线m
为 的角平分线，l与m相交于P点，若 ，则 的度数是（ ）
A．31° B．22° C．43° D．32°
【答案】A
【分析】根据角平分线定义求出 ，根据线段的垂直平分线性质得出 ，求出
，根据三角形内角和定理得出方程 ，求出方程的解即可．
【详解】 平分 ，，
直线l是线段BC的垂直平分线，
，
，
，
，
，
解得： ．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能求出
是解此题的关键，数形结合思想的应用．
4．（2022秋·四川绵阳·八年级统考期中）如图，在 中， 、 的垂直平分线分别交 于点 、
，若 ，则 为（ ）
A．38° B．42° C．44° D．48°
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理求出 ，根据线段垂直平分线的性质得到 ， ，
根据等腰三角形的性质得到 ， ，计算即可．
【详解】解： ，
，
、 分别为 、 的垂直平分线，
， ，
， ，
，
，
故选：C．
【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等几何知识．
熟知线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解答的关键．5．（2022秋·河北石家庄·八年级石家庄市第四十中学校考期末）如图，在 中，分别以点A和点B为
圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线 ，交 于点 ，连接 ，若
的周长为 ， ，则 的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】根据题意可得， 是 垂直平分线，即可得到 ，结合 的周长为 ， ，
即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
是 垂直平分线，
∴ ，
∵ 的周长为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选A．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等．
6．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在 中， ，边BC的垂直平分线 交
于D，连结 ，下列说法不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理一一判断即可．
【详解】解：由题意可得， 垂直平分线段 ，
， ，
， ，
，
，
，
，
故选项A，B，D正确，
故选：C．
【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二、填空题
7．（2022秋·广东广州·八年级广州市天河中学校考期末） 中， 的垂直平分线交 于点D，垂足
为点E， 平分 ，若 ，则 为________度．
【答案】
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得 ，则 ，由 平分 可得，
，再根据三角形内角和，求解即可．
【详解】解：∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴
∴ ，即
由 可得 ，
解得 ，
故答案为：
【点睛】此题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和的性质，解题的关键是灵活运
用相关性质进行求解．
8．（2022秋·浙江丽水·八年级校联考期中）如图，在 中， 的中垂线 交 于点 ，已知， 的周长为25，则 ______________．
【答案】15
【分析】利用线段垂直平分线的性质可得 ，然后根据已知 的周长为25，可得 ，
最后进行计算即可解答．
【详解】解： 是 的中垂线，
，
的周长为25，
，
，
，
，
．
故答案为：15．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
9．（2021秋·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考阶段练习）如图， 中， ， ，AD是
的中线， ， ，且 ，则 的长___________．
【答案】6
【分析】延长 交 的延长线于 ，证明 ，根据全等三角形的性质解答．
【详解】解：延长 交 的延长线于 ，如图所示：， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
．
故答案为6
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系，掌握全等三角形的判定定理和性质
定理是解题的关键．
10．（2022秋·北京·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ，斜边 的垂直平分
线交 于点 ，交 于点 ， ，则 ______cm．
【答案】
【分析】连接 ，根据垂直平分线的性质，得出 ，再根据等边对等角，得出
，再根据三角形的外角的性质，得出 ，再根据直角三角形
所对的直角边等于斜边的一半，即可得出答案.
【详解】解：如图，连接 ，∵ 是 的垂直平分线，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形的外角的性质、含30度角的直角三角形，
根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解本题的关键．
三、解答题
11．（2022秋·浙江杭州·八年级统考期中）如图，直线 表示一条公路，A， 表示两所大学，要在公路旁
修建一个车站 ，使车站到两所大学的距离相等．请用尺规在图上找出点 并说明理由．
【答案】作图见解析，理由见解析
【分析】连接 ．根据“到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”知，点P应是线段 的
垂直平分线与直线m的交点．
【详解】解：如图所示，点P是 的垂直平分线与直线m的交点．作线段 的中垂线．
∵ 垂直平分线段 ，
∴ （线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等）．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质和作图能力，属基础题，熟练掌握垂直平分线的性质及作图方法
是解题关键．
12．（2022秋·浙江丽水·八年级校联考期中）如图，已知在 中，
的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，连接 ，求 的长．
【答案】
【分析】连接AE，由垂直平分线的性质可得 ，设 ，则 ，在 中利用勾
股定理可得 的长，即得 的长．
【详解】解： 是 的垂直平分线，
，
设 ，
，
，
，
，
即 ，解得
故
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质和勾股定理，利用方程思想是解答此题的关键．
提升篇
一、填空题
1．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期中）等腰三角形一腰的中垂线与另一腰所在直线夹角为 ，该等腰
三角形的底角的度数是___________．
【答案】 或
【分析】作出图形，分①三角形是锐角三角形，根据直角三角形两锐角互余求出顶角，再根据等腰三角形
两底角相等列式计算即可得解；②三角形是钝角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内
角的和求出顶角度数，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．
【详解】解：①如图1，三角形是锐角三角形时， ，
底角为： ，
②如图2，三角形是钝角三角形时， ，
底角为： ，
综上所述，底角为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的性质，三角形外角的性质等，难点在于分情
况讨论，作出图形更形象直观．
2．（2022秋·河南周口·八年级校考期末）如图，在等边 中，CP是AB边上的高，Q是BC的中点，
O是CP上的一动点，当OB和OQ的和最小时， 的度数是_______．【答案】 ## 度
【分析】连接 、 ，设 交 于 ，连接 ，根据等边三角形的性质和线段垂直平分线的性质
得到 ，则 ，当 与 重合时取等号，此时OB和OQ的和最小，求解
即可．
【详解】解：如图，连接 、 ，设 交 于 ，连接 ，
∵在等边 中，CP是AB边上的高，
∴ 垂直平分 ， ，
∴ ， ，
∴ ，当 与 重合时取等号，此时OB和OQ的和最小，
∵Q是BC的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即当OB和OQ的和最小时， 的度数是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短，
得出 与 重合时OB和OQ的和最小是解答的关键．
3．（2022秋·全国·八年级期末）如图，等腰 的底边 长为 ，面积为 ， 边的垂直平分线分别交 于点 ，若点 为 的中点，点 为线段 上一动点，则 的周长的最小值为
_____．
【答案】
【分析】连接 ，由于 是等腰三角形，点 是 边的中点，可得出 ，再由 ，
即可得出 ，由 是线段 的垂直平分线，可知点 关于直线 的对称点为点 ，故 的长为
的最小值，即可得出答案．
【详解】解：连接 ，
∵ 是等腰三角形，点 是 边的中点，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∵ 是线段 的垂直平分线，
∴点 关于直线 的对称点为点 ，
∴ 的长为 的最小值，
∴ 的周长最短 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质，垂直平分线的性质是解
答此题的关键．4．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，已知 ， 是角平分线且 ，作 的垂直平
分线交 于点F，作 ，则 的周长为 ______．
【答案】
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质求出 、根据勾股定理求出 ，根据线段垂直平分线的性质、
三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵ ， 是角平分线，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
∵ 的垂直平分线交 于点F，
∴ ，
∴ 的垂直 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上
的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
5．（2022秋·江苏南京·八年级统考阶段练习）如图，在 中， ，以AC为边，作
，满足 ，E为BC上一点，连接AE， ，连接DE，下列结论中① ；
② ；③若 ，则 ；④ ．正确的有______．【答案】②③④
【分析】通过延长 至 ，使 ，连接 ，构造出全等三角形，再利用全等三角形的性质依次
分析，可得出正确的结论是②③④．
【详解】解：如图，延长 至 ，使 ，连接 ，
∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ （即②正确），
∴ ；
当 时， ，
此时， ，
当 时， ，
此时， ，
∴①不正确；
若 ，
则 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
由 ，
∴ ，
∴ （即③正确）， （即④正确）；
故正确的为：②③④．
故答案为：②③④．
【点睛】本题综合考查了线段的垂直平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、
平行线的性质等内容；要求学生能够根据已知条件通过作辅助线构造出全等三角形以及能正确运用全等三
角形的性质得到角或线段之间的关系，能进行不同的边或角之间的转换，考查了学生的综合分析和数形结
合的能力．
二、解答题
6．（2022秋·河南三门峡·八年级统考期中）如图， 中， ， ， 的平分线
与 的垂直平分线交于点O，E在 边上，F在 边上，将 沿直线 翻折，使点A与点O恰好重
合，求 的度数．【答案】
【分析】连接 ，根据角平分线的定义求出 ，根据等腰三角形两底角相等求出
，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 ，根据等边对
等角可得 ，从而求得 ，然后证明 ，于是得到
，根据翻折的性质可知 ， ，从而可求得 ．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ ， 为 的平分线，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ．
∴ ，
在 和 中，
∴ ．
由翻折的性质可知： ．∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，
等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题
的关键．
7．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）在 中， ， 平分 ，交 于点D，
．
(1)如图1，求 的度数；
(2)如图2，E是 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点F，连接AF．求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）设 ，根据等边对等角和角平分线推出 ， ，利用三角形
内角和列方程求出x，可得 ；
（2）依据E是 的中点，即可得到 ， ，可得 垂直平分 ，进而得出
，依据 ，即可得到 ，再根据
，可得 ，进而得到 ，从而证明结论．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，∵ 平分 ，
∴ ， ，
在 中， ，
解得： ，∴ ；
（2）∵E是 的中点， ，
∴ ，即 ；
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，解决问题的关键是综合运用等腰三角形的判定与性质，线
段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质．
8．（2022秋·全国·八年级期中）在 中， 的垂直平分线分别交线段 ， 于点M，P， 的
垂直平分线分别交线段 于点N，Q．
(1)如图，当 时，求 的度数；
(2)当 时，求 的度数．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理求得 ，再根据等边对等角的性
质可得 ，然后代入数据进行计算即解答；
（2）根据垂直平分线的性质可得 ，分当P点在Q点右侧和左侧两种情况：分别利用三角形内角和可得∠BAC的度数．
【详解】（1）解：∵ 分别是 的垂直平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ 分别是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当P点在Q点右侧时，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
当P点在Q点左侧时，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ．
综上 或 ．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用
相关性质定理是解答本题的关键．
