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1.4 角平分线
第1课时 角平分线
教学内容 第1课时 角平分线 课时 1
1.经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要
性，增强证明意识和能力.
核心素养 2.证明角平分线的性质定理，探索并证明角平分线的判定定理，进一步发展推
目标 理能力.
3.有意识地培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能力，关注证明
过程及其表达的合理性.
1.会叙述角平分线的性质及判定；
知识目标 2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定
理和它的逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.
教学重点 会叙述角平分线的性质及判定.
教学难点 能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定
理和它的逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境 一、创设情境，导入新知
导入 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中 设计意图：用生活情境导
点 M，N 表示大学，OA，OB 表示公路，现计 入，提高学生的分析问题
划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距 和用数学语言总结生活问
离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出 题的能力，让学生体会数
仓库 P 应该建在什么位置吗？请在图中画出你 学的应用价值.
的设计．
(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
师生活动：教师分析，
仓库到两所大学的距离相同读成数学语言：
到一条线段 MN 两个端点距离相等的点在哪？
预设1：在这条线段的垂直平分线上.
仓库到两条公路的距离相同读成数学语言：
到∠AOB 两边的距离相等的点在哪？
学生独立思考.
二、探究
新知
二、小组合作，探究概念和性质
知识点一：角平分线的性质
合作探究：
在∠AOB 的角平分线上任意取一点 C，分
别折出过点 C 且与∠AOB 的两边垂直的直线，
垂足分别为D， E，将∠AOB 再次对折，线段
CD 与 CE 能重合吗?
改变点 C 的位置，线段 CD 和 CE 还相等吗?
1设计意图：学生在七年级
曾经探索并认识了这一结
活动探究：教师引导学生通过折纸的活动，自主
论，这里应先让学生回忆
探究线段 CD 和 CE 的数量关系.
探索过程，然后自主思考
师追问：对此你能得出什么结论？动手证一证.
证明的思路和方法，并尝
结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 试写出证明过程.
已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在
OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.
求证：PD = PE.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，
E，
∴∠PDO =∠PEO = 90°.
设计意图：通过学生的知
∵OC 是∠AOB 的平分线，
识回顾：命题证明的一般
∴∠1 =∠2.
步骤及线段垂直平分线性
∵OP = OP，
质的证明方法. 能够利用
∴△PDO≌△PEO (AAS).
三角形全等进行命题证
∴ PD = PE (全等三角形的对应边相等).
明，从而获得角平分线的
性质定理.
性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距
离相等.
应用所具备的条件：
(1) 角的平分线；
(2) 点在该平分线上；
(3) 垂直距离.
定理的作用：证明线段相等.
应用格式：∵ OP 是∠AOB 的平分线，
设计意图：角平分线的性
PD⊥OA，PE⊥OB，
质定理与线段垂直平分线
∴ PD = PE(角平分线上的点到这个角的两边的
的性质定理中都提到“距
距离相等).
离相等”，但这两个“距
师强调：推理的理由有三个，必须写完全，不能 离”有区别.线段垂直平
少了任何一个.
分线性质定理中的“距
离”是两点之间的距离，
典例精析 而角平分线性质定理中的
例1 如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM “距离”是点到线(射线)
上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D、E，PD 的距离，在教学中，要引
=4cm ， 则 PE = 导学生区分这两个“距
______cm. 离”的不同.
师生活动：学生独
立思考，学生代表发言并阐述思路，教师给予适
当评价.
知识点二：角平分线的判定
定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
师提问：你能写出上面这个定理的逆命题吗？它
2是真命题吗？
预设1：在一个角的内部，到角的两边距离相等
的点在这个角的平分线上.
设计意图：在上一节学习
师追问：它是真命题吗？你能证明吗？
中，学生已经历了构造线
段垂直平分线性质定理的
逆命题的过程，因此学生
已知：如图，点 P 为是∠AOB 内一点，
容易用类比的方法构造角
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E，且 PD =
平分线性质定理的逆命
PE. 题，在叙述其逆命题时，
求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 可不加什么条件，但验证
其真假时，教师应引导学
生注意角平分线是在角的
内部的射线，所以就要附
加“在角的内部”这个条
件了.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，
E，
∴∠ODP =∠OEP = 90°.
∵PD = PE ，OP = OP ，
∴ Rt△DOP≌Rt△EOP (HL).
∴∠1 =∠2 (全等三角形的对应角相等).
∴ OP 平分∠AOB.
师生活动：教师引导学生写出已知和求证，学生
独立完成证明过程，教师进行定义总结：
角的平分线判定定理：角的内部到角的两边的距
离相等的点在角的平分线上.
老师强调：角的内部指的是位置关系；距离相等
指的数量关系.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
几何语言：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.
典例精析
例2 如图，在△ABC中，∠BAC= 60°，点 D
在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分
别为 E，F，且DE = DF，求 DE 的长.
师生活动：学生独立完成证
明过程，学生代表板书：
3设计意图：结合之前学过
的直角三角形的有关知识
和刚刚学习的角平分线的
性质定理和判定定理，解
决实际问题，同时在解决
中引导学生明确知识应用
的条件和注意事项，深一
步解读知识，明确应用条
件.
例3 如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交
于点F.
求证：点 F 在∠DAE 的平分线上．
师生活动：学生独立完成
证明过程，学生代表板
书：
回顾导入：根据以上的知识，则可解决导入中的
问题.
三、当堂 师生活动：学生独立完
练习，巩 成证明过程，学生代表
固所学 展示，教师引导学生方
法总结：到角两边距离
相等的点在角的平分线
上，到两点距离相等的
点在两点连线的垂直平分线上.
设计意图：首尾呼应，让
学生感悟数学知识在生活
归纳总结： 中的重要性，在问题的引
导下，理解作图过程的合
理性，提高作图能力.
4师生活动：学生相互交流，师生共同完成表格.
三、当堂练习，巩固所学
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是 E，F，
DE = DF，∠EDB = 60°，则∠EBF =
°，BE = .
题1 题2
2. △ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠CAB，且
BC = 8，BD = 5，则点D 到 AB 的距离是
设计意图： 考查学生对
.
角的平分线性质的掌握.
3. (西安期中)如图，若∠ABC 的平分线与△ABC
的外角∠ACD 的平分线相交于点 P，若∠BAC =
62°，∠PAC 等于_______°.
设计意图： 考查学生运
用角的平分线的性质进行
简单运算的能力.
设计意图： 考查学生对
角的平分线判定定理的掌
握.
1.4.1 角平分线
性质：∵ OP 是∠AOB 的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ PD = PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
板书设计
判定：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.
课后小结
5本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法,从而有效地增强了
学生对角以及角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感
教学反思 悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教
学的目的.不足之处是少数学生在性质的运用上还存在问题，需要在今后的教
学与作业中进一步的加强巩固和训练.
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