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第 04 讲 线段的垂直平分线和角平分线(8 类热点题型讲练)
1.理解线段垂直平分线，角平分线的概念；
2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；
3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算；
4.能够利用尺规作出三角形的垂直平分线和角平分线；
5.会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”.角平分线的性质
定理和判定定理的灵活运用.
知识点01 线段的垂直平分线
知识点02 角的平分线题型01 线段的垂直平分线的性质
【例题】（2023上·江苏常州·八年级校考阶段练习）如图，在 中， 是 的垂直平分线，
，D为 的中点．
(1)求证：
(2)若 ，则
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查线段的垂直平分线，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，灵活运用垂直
平分线的性质是解题的关键．
（1）连接 ，由题意可判定 垂直平分 ，由线段垂直平分线的性质可得 ，即可证明
结论；
（2）由等腰三角形的性质可求 ，由直角三角形的性质可得 的度数，即可求得 ，
的度数，进而可求解．
【详解】（1）证明：连接 ，如图所示：
∵ 于点D，且D为线段 的中点，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【变式训练】
1．（2023下·全国·八年级专题练习）如图，在 中， ， 分别垂直平分 和 ，交 于 ，
两点， 与 相交于点 ．
(1)若 的周长为 ，求 的长；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形
的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用．
（ ）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 ， ，然后求出
的周长 ；
（ ）根据三角形的内角和定理列式求出 ，再求出 ，根据等边对等角可得
， ，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解；
【详解】（1）解：∵ 、 分别垂直平分 和 ，
∴ ， ，
∴ 的周长 ，
∵ 的周长为 ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
2．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，在 中， 垂直平分 ，交 于点F， 于点
D， ，连接 ．
(1)若 平分 ，求 的度数；
(2)若 的周长为 ， ，求 的长．
【答案】(1)36°
(2)4cm
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线、线段垂直平分线、三角形内角和定理等，解答本
题的关键在于熟练掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等及等腰三角形的性质本题即可求解．
【详解】（1）解： ， 垂直平分 ，
∴ ，
，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 于点D， ，
∴ ，
∴ ，
根据三角形内角和等于 可得，
，
，
．
（2） 周长 ，
，
∴ ，
∴ ，
即， ，
∴ ，∴ ．
题型02 线段的垂直平分线的判定
【例题】如图， 中， ，连接 为是 上一点且 ．
(1)求证： 垂直平分 ．
(2)已知 求 的面积．
【详解】（1）证明： ， ，
∴点A在 垂直平分线上，点E在 垂直平分线上，
垂直平分 ；
（2）解： 中，
， ，
，
，
过点 作 于 ，
，
的面积 ．
【变式训练】
1.如图， 为等边三角形， ， ， 相交于点E．(1)求证： 垂直平分 ；
(2)求 的长；
(3)若点F为 的中点，点P在 上，则 的最小值为______．（直接写出结果）．
【详解】（1）证明：∵ 是等边三角形，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ；
（2）解：∵ ，
∴ 平分 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：连接 交 于点 ，连接 ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ 、 关于 对称，的最小值为
是 的中点，
故答案为：6．
2.如图， 是等边三角形， 是中线，延长 至 ，使 ．
(1)求证： ；
(2)过点A作 ，交 延长线于点 ，交 于 ，连接 ．
①若 ，则 ．
②求证： 垂直平分 ．
【详解】（1）证明： 是等边三角形， 是中线，
， ，
又 ，
，
又 ，
，
，
；
（2）解：①∵ 是等边三角形， 是中线，
∴ ， ，
根据解析（1）可知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
根据（1）可知， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ；
故答案为：8；
②证明：∵ ，
，
为 的中线，
∴
∵ ，
，
， ，
，
是等边三角形，
，
，
垂直平分 ．
【点睛】此题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，线段垂直平
分线的判定，直角三角形的性质，利用三角形外角的性质得到 是正确解答本题的关键．
题型03 线段的垂直平分线的实际应用
【例题】如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到
三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在( )
A． 三边垂直平分线的交点 B． 三条角平分线的交点
C． 三条高所在直线的交点 D． 三条中线的交点
【答案】A
【详解】解：∵猫所在的位置到A、B、C三个点的距离相等，
∴猫应该蹲守在 三边垂直平分线的交点处；
故选A．
【变式训练】1．如图，某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为 ，且三个小区不在同一直线
上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等．这所中学应建在（ ）
A． 的三条中线的交点 B． 三边的垂直平分线的交点
C． 三条角平分线的交点 D． 三条高所在直线的交点
【答案】B
【详解】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
则学校应建在 三条边的垂直平分线的交点处．
故选：B．
题型04 线段的垂直平分线的尺规作图
【例题】如图，已知在 中， ．
(1)用尺规作 边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
(2) 边的垂直平分线分别交 于点D、E，连接 ，若 的周长是10，求 ．
【详解】（1）解：如图， 即为所求；
；
（2）解：∵ 是 边的垂直平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 的周长是10，
∴ ．∴ ．
【变式训练】
1．某公司招收职工的试卷中有道题：如图，有三条两两相交的公路，为便于及时进行监控，防止违章，
这个监控仪器应安装在什么位置可以使离三个路口的交叉点的距离相等你能找到这个监控安装的位置吗？
（尺规作图，不写过程，保留作图痕迹）
【详解】解：如图，点P这个监控安装的位置．
．
2．如图，已知点 、点 以及直线 ．
(1)用尺规作图的方法在直线 上求作一点 ，使 ．（保留作图痕迹，不要求写出作法）；
(2)在（1）中所作的图中，连接 ，若 ，过点 作 于点 ，过点 作 于
点 ．求证：
【详解】（1）解：点 如图所示，
；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
题型05 角平分线的性质定理
【例题】（2023上·江苏连云港·八年级校考阶段练习）已知：如图 平分 ， ，
垂足分别为E、F，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)22
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，本题中求证 和
是解题的关键．
（1）先证明 ，再根据 即可证明 ；
（2）先求出 ，再根据 即可证明 ，进而可求出 的长．
【详解】（1） 平分 ， 于 ， 于 ，
， ， ，
在 和 中，
，
；
（2）∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 和 中，
，
，
∴ ，∴ ．
【变式训练】
1．（2023上·辽宁营口·八年级校考阶段练习）如图， ，点E是 的中点． 平分 ．
(1)求证： 是 的平分线；
(2)已知 ， ，求四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质定理；
（1）根据角平分线的性质得出 ，根据中点定义得出 ，从而得出 ，证明
，得出 ，即可证明结论；
（2）证明 ，得出 ， ，根据 ，得出
， ，求出 ，根据
，得出 即可．
【详解】（1）证明：过点E作 于点F，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∵点E是 的中点，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的平分线；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ．
2．（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图， 的角平分线与 的垂直平分线相交于点D，
， ，，垂足分别为E、F．
(1)求证： ；
(2)若 ，则 的周长 ______．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟知角平分线
上的点到角两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到相等两端的距离相等是解题的关键．
（1）连接 ，根据线段垂直平分线的性质和角平分线性质得出 ， ，证明
，即可得出结论；
（2）证明 ，可得 ，然后求出 的周长为 ，计算即可．
【详解】（1）证明：连接 ，∵D在 的中垂线上，
∴ ，
∵ ， ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）可知 ，
∴ 的周长为： ，
故答案为： ．
题型06 角平分线的判定定理
【例题】如图， ， 两点分别在射线 ， 上，点 在 的内部且 ， ，
，垂足分别为 ， ，且 ．(1)求证： 平分 ；
(2)如果 ， ，求 的长．
【详解】（1）证明：由题意得：
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
平分 ．
（2）在 和 中，
，
，
，
设 ，
，
，
，
，
，
．
【变式训练】
1．如图， 于E， 于F，若 ．(1)求证： 平分 ；
(2)写出 与 之间的等量关系，并说明理由．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ 与 均为直角三角形，
∵在 与 中，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ 平分 ；
（2）解： ，理由如下：
∵ ， 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
2．如图，P是 上一点， 于点D， 于点E．F，G分别是 上的点．
．
(1)求证： 是 的平分线；
(2)若 ， ， ．求 的长．
【详解】（1）证明：在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∵ 于点D， 于点E，
∴： 是 的平分线
（2）解：∵ 平分 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ．
题型07 角平分线性质的实际应用
【例题】三条公路将 三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，
要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）
A．三条高的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
【答案】C
【详解】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，
根据角平分线的性质，集贸市场应建在 的角平分线的交点处，
故选：C．
【变式训练】
1．如图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，
这个货物中转站可选的位置有（ ）A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【详解】解：如图所示，
分别作直线交点处的角平分线，根据角平分线的性质，可得点 共 个点，
故选： ．
题型08 作角平分线（尺规作图）
【例题】已知：如图，在 中， ， ．
(1)求作 的平分线，交 于点P．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，求 的角度？
【详解】（1）解：以点 为圆心，适当长为半径画弧交 ， 于两点，再分别以两点为圆心，适当长
为半径画弧交于一点，连接点 与该点所在直线交 于点P，如图所示： 即为所求；
（2）解：∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ．
【变式训练】
1．如图所示，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村坐落在两相交公路内（如图所
示）．医疗站必须满足下列条件：①使其到两公路距离相等；②到张、李两村的距离也相等．请你通过作
图确定点P的位置．
【详解】解：如图所示，点P即为所要求作的点．一、单选题
1．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，在 中， ， ， 的垂直平分线交
于点 ，交 于点 ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的知识点是垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含 角的直角三角形的性质，解
题关键是利用垂直平分线的性质添加辅助线构造等腰三角形．
连接 ，根据垂直平分线性质可得 ，则等腰三角形 中 ，可推得直角三角
形 中 ， ，又因为含 角的直角三角形中，较短直角边是斜边的一半，故
．
【详解】连接 ，
是 的垂直平分线，
，
，
又 ，
，
，
则在直角三角形 中， ．
故选：C．
2．（2023上·河南信阳·八年级统考期中）如图，射线 是 的平分线， ， ，若点
Q是射线 上一动点，则线段 的长度不可能是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的
关键．
过点D作 于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 ，再根据垂线段最短解答．
【详解】解：如图，过点D作 于E，
是 的角平分线， ，
，
由垂线段最短可得 ，
，
．
故选：A．
3．（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）在联合会上，有 、 、 三名选手站在一个三角形的三个
顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，
则凳子应放的最适当的位置是在 的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边中垂线的交点 D．三边上高的交点
【答案】C
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质定理的逆定理，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键，利用
要使游戏公平，凳子就需要放在到 、 、 三名选手距离相等的位置即可得到答案．
【详解】解：由题可得：要使游戏公平，凳子就需要放在到 、 、 三名选手距离相等的位置，
则凳子所在的位置是 的外接圆圆心，
三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，
凳子的位置应该放在 三边中垂线的交点．
∵
∴故选：C．
4．（2023上·山东·九年级专题练习）如图，在 中， ， ，直线 垂直平分 ，
分别交 于点D，交 于点E，连接 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定
理， 根据 ，直线 垂直平分 ，，得到 ， ，结合 ，得到
，结合 计算即可．
【详解】解：∵ ，直线 垂直平分 ，垂足为D，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴
故选B．
5．（2023上·浙江金华·八年级统考阶段练习）如图， 中， ， 的平分线 与边
的垂直平分线 相交于 ， 交 的延长线于 ， 于 ，下列结论：① ；
② ；③ 平分 ；④ ；正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【分析】由角平分线的性质可知①正确；由题意可知 ，故此可知 ，，从而可证明②正确；若 平分 ，则 ，与 矛盾，可得③错误；连
接 、 ，然后证明 ，从而得到 ， ，从而证明④．
【详解】解：∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
∴①正确；
∵ ， 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
同理： ，
∴ ，
∴②正确；
∵ ，
∴若 平分 ，则 ，与 矛盾，
∴③错误；
如图所示：连接 、 ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 中， ， 中， ，
∴ ，∴ ，
∴④正确；
综上可知，正确的有①②④，
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，含30度角的直
角三角形的性质，勾股定理等，有一定难度，能够综合运用上述知识点是解题的关键．
二、填空题
6．（2023上·江苏淮安·八年级校考阶段练习）如图， 的垂直平分线分别交 于点D和点E，连
接 ，则 的度数是 ．
【答案】 /80度
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．根据线段垂直平分线的性质可得
，从而得到 ，再根据三角形外角的性质可得 ，然后根据等腰三角
形的性质可得 ，即可求解．
【详解】解：∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
7．（2023上·辽宁鞍山·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ， 平分 ， ，
，则点D到 的距离是 ．
【答案】3
【分析】此题考查了角平分线的性质定理，熟记角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键．过点
D作 于点H，先求出 ，由角平分线上的点到角的两边距离相等可得，即可得到点 到 的距离．
【详解】解：过点D作 于点H，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴点 到 的距离是3，
故答案为：3．
8．（2023上·辽宁大连·八年级校考阶段练习）如图，在 中，分别以点 和点 为圆心，大于 的
为半径画弧，两弧交于点 ， ，作直线 ，交 于点 ，连接 ，若 的周长为 ，
，则 的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查垂直平分线画图及性质，三角形周长公式．根据题意可知 是直线 的垂直平分线，
利用垂直平分线可知 ，再利用三角形周长公式进行边的转化即可得到本题答案．
【详解】解：∵分别以点 和点 为圆心，大于 的为半径画弧，两弧交于点 ， ，作直线 ，
交 于点 ，连接 ，
∴ 是直线 的垂直平分线，
∴ ，
∵若 的周长为12，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 的周长为： ，故答案为： ．
9．（2023上·浙江宁波·八年级校考阶段练习）从一个角的顶点出发的两条射线， 如果把这个角分成三个
相等的角， 则这两条射线就叫这个角的三等分线．如图， 在 中， 点 是 与 三
等分线的交点， 若 ，则 的度数是 ．
【答案】50
【分析】本题考查了角的等分线计算，正确理解定义是解题的关键．设 ， ，根据三
等分线的性质，角的平分线的判定，三角形内角和定理计算即可．
【详解】设 ， ，
∵点 是 与 三等分线的交点，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图，过点N作 于G， 于E， 于F，
∵点 是 与 三等分线的交点，
∴ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，
∴ ，
故答案为：50．10．（2023上·河北廊坊·八年级校联考期中）如图，已知在 中， ，点 ， 分别在边
， 上， 于 ， ， ．
（1）若 ，则 ；
（2）已知 ， ，则 的长是 ．
【答案】 6
【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以
上知识点，证明三角形全等是解此题的关键．
（1）先证明 得到 平分 ，由三角形内角和定理计算出 ，即
可得到答案；
（2）先计算出 ，证明 得到 ，最后由 即可得到
答案．
【详解】解：（1） ， ，
，
在 和 中，
，
，
，
平分 ，
，
， ，
，
，
故答案为： ；
（2） ，
，
，
在 和 中，，
，
，
，
故答案为：6．
三、解答题
11．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，在 中， 边的垂直平分线分别交 于
点E、F，连接 ，作 于点D，且D为 的中点．
(1)试说明： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查的是三角形内角和定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质．
（1）根据等腰三角形的判定得出 ，根据垂直平分线的性质得出 ，等量代换即可得出结
论；
（2）根据等边对等角得出 ，再根据三角形的外角的性质得出 ，
再根据等边对等角得出 ，根据三角形内角和定理得出 ，进而得出答案．
【详解】（1）∵D为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
12．（2023上·河南周口·八年级校联考阶段练习）如图，已知 中， 按下列要求作图（尺规
作图，保留作图痕迹，不必写作法）．
(1)作 边的垂直平分线，交 于点E，交 于点F；
(2)连接 ；
(3)作 的平分线，交 于点G．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了作线段的垂直平分线，作角平分线，掌握基本作图是解题的关键．根据题意作 边
的垂直平分线，交 于点 ，交 于点 ，连结 ，作 的平分线，交 于 ．
【详解】（1）解：如图，
（2）解：如图，
（3）解：如图，13．（2023上·河南信阳·八年级统考期中）如图，在 中，D是 上一点， 于点F，连接
， 垂直平分 ．
(1)求证： 是 的平分线；
(2)若 的周长为18， 的面积为24， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，角平分线的判定定理，熟知垂直平分线的性质是解题的关键．
（1）根据垂直平分线的性质得到 ，然后利用角平分线的判定定理即可证明结论；
（2）首先求出 ，然后根据等面积法进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵ 垂直平分 ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ 是 的平分线；
（2）解：∵ 的周长为18， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴
∴ ．
14．（2023上·四川南充·八年级四川省南充高级中学校考阶段练习）如图， 中，D为 的中点，
交 的平分线于E， ，交 于F， ，交 的延长线于G．(1)试问： 与 的大小如何？证明你的结论．
(2)若 ，试求 的长．
【答案】(1) ，证明见解析
(2)7
【分析】本题考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质：
（1）连接 、 ，利用角平分线的性质和垂直平分线的性质可得 、 ，然后借助“
”证明 ，由全等三角形的性质可证明 ；
（2）先证 ，推出 ，结合（1）中结论，可得 ，求出 ，
进而可求出 的长．
【详解】（1）解： ，证明如下：
如图，连接 、 ，
平分 ， ， ，
，
D为 的中点， ，
垂直平分 ，
，
在 和 中，
，
，
；（2）解：在 和 中，
，
，
，
，
由（1）知 ，
，
，
．
15．（2023上·北京·八年级期末）在 中， ， 的垂直平分线交 于N，交 的延长线
于M， 度．
(1)求 的度数；
(2)若将 的度数改为80°，其余条件不变，再求 的大小；
(3)你发现了怎样的规律？试证明；
(4)将（1）中的 改为钝角，（3）中的规律仍成立吗？若不成立，应怎样修改．
【答案】(1)20°
(2)40°
(3)等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半，见解析
(4)成立
【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质．
（1）等边对等角求出 的度数，利用三角形的内角和定理求出 的度数即可；
（2）同（1），进行求解即可；
（3）同法（1）求出 的度数即可；
（4）同法，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵ ， 度，∴ ，
∵ 为 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ， 度，
∴ ，
∵ 为 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ；
（3）等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ；
（4）成立，当 为钝角时，如图：
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ；
故成立．
16．（2023上·四川内江·八年级四川省内江市第二中学校考阶段练习）如图，在 中， 分别
垂直平分 和 ，交 于 两点， 与 相交于点 ．(1)若 ，则 的度数为 ；
(2)若 ，则 的度数为 ；（用含 的代数式表示）
(3)连接 ， 的周长为 ， 的周长为 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理及等腰三角形的性质，熟练掌握以上
知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由三角形内角和定理得出 ，由线段垂直平分线的性质可得 ， ，由等
边对等角可得 ， ，最后根据 进行计算即可；
（2）由线段垂直平分线的性质可得 ， ，由等边对等角可得 ， ，
根据三角形内角和定理可得 ，再由对顶角相等结合三角形内角和定理进行计算即可得
出答案；
（3）由线段垂直平分线的性质可得 ， ，由 的周长为 ，可得出 ，
再由 的周长为 得出 ，再由线段垂直平分线的性质可得 ， ，从
而得到 ，即可得解．
【详解】（1）解： 在 中， ，
，
分别垂直平分 和 ，
， ，
， ，
，
，
故答案为： ；
（2）解： 分别垂直平分 和 ，， ，
， ，
，
，即 ，
，
， ， ，
，
故答案为： ；
（3）解：如图，连接 、 、 ，
分别垂直平分 和 ，
， ，
的周长为 ，
，
，即 ，
的周长为 ，
，
，
分别垂直平分 和 ，
， ，
，
．
17．（2023上·湖南衡阳·八年级校考期末）如图， ， 平分 交 于D， ，点M在 的垂直平分线上， 交 于O， 于点G， 于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长；
(3)若点D在 的垂直平分线上，试判断 的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2)2；
(3) 是等边三角形，理由见解析．
【分析】（1）由角平分线的性质可得 ，由余角的性质可得结论；
（2）由“ ”可证 ，可得 ， ，由“ ”可证
，可得 ，即可求解；
（3）由线段垂直平分线的性质可求 ，由等腰三角形的性质可求 ，
由三角形内角和定理可求解．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵点M在 的垂直平分线上，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；（3）∵点D在 的垂直平分线上，
∴ ，
∴ ，且 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的
性质等知识，证明全等三角形是本题的关键．
18．（2023上·新疆和田·八年级统考期末）数学活动：如图1，角的平分线的性质的几何模型，已知 平
分 ， 于点 ， 于点 ．
(1)探究：如图2，点 是 上任意一点（不与 、 重合），连接 、 ，问题：请判断 与 的
数量关系，并证明你的结论．
(2)如图3，连接 ．问题：
① 垂直平分 吗？请说明理由．
②若 ， ，求 的周长．
【答案】(1) ，证明见解析
(2)① 垂直平分 ，理由见解析；②18
【分析】（1）证明 ，则 ，证明 ，进而可得 ．
（2）①如图3，记 与 的交点为 ，由（1）可知 ，则 ，证明
，则 ， ，进而可得 垂直平分 ；②由题意知，可证 是等边三角形，则 ，然后求 的周长即可．
【详解】（1）解： ，证明如下：
∵ 平分 ， ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
（2）①解： 垂直平分 ，理由如下：
如图3，记 与 的交点为 ，
由（1）可知 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 垂直平分 ．
②解：∵ 平分 ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ 的周长为 ，
∴求 的周长为18．
【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质．解题的关键在于对
知识的熟练掌握与灵活运用．
