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第 07 讲 解题技巧专题：等腰(直角)三角形中的分类讨论思
想
目录
【考点一 等腰三角形的边长未定求周长时未分类讨论】
【考点二 等腰三角形中腰和底未定求角度时未分类讨论】
【考点三 三角形的形状不明时与高线及其他线结合时未分类讨论】
【考点四 求有关等腰三角形中的边长时未分类讨论】
【考点五 求有关直角三角形中的边长时未分类讨论】
模型1、等腰三角形中的分类讨论模型
【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的
性质与三角形三边关系解题即可。
1）无图需分类讨论
①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；
③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。
2）“两定一动”等腰三角形存在性问题：
即：如图：已知 ， 两点是定点，找一点 构成等腰
方法：两圆一线
具体图解：①当 时，以点 为圆心， 长为半径作⊙ ，点 在⊙
上（ ， 除外）
②当 时，以点 为圆心， 长为半径作⊙ ，点 在⊙ 上（
， 除外）
③当 时，作 的中垂线，点 在该中垂线上（ 除外）
模型2、直角三角形中的分类讨论模型
【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性质或勾股定理解题即可。
1）无图需分类讨论：①已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论；②已知无法确定是哪个角
是直角时要分类讨论（常见与折叠、旋转中出现的直角三角形）。
2）“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
即：如图：已知 ， 两点是定点，找一点 构成
方法：两线一圆
具体图解：①当 时，过点 作 的垂线，点 在该垂线上（ 除
外）
②当 时，过点 作 的垂线，点 在该垂线上（ 除外）。
③当 时，以 为直径作圆，点 在该圆上（ ， 除外）。
【考点一 等腰三角形的边长未定求周长时未分类讨论】
例题：（23-24七年级下·全国·期末）等腰三角形的两边分别长 和 ，则它的周长是 ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·河南周口·期末）若等腰三角形的两边长分别为5和 ，则其周长为
．
2．（23-24七年级下·山东聊城·期末）若方程组 的解恰为等腰 的两边长，则
的周长为 ．
3．（23-24八年级上·云南红河·期末）在等腰三角形 中，顶点A，B，C所对的边分别用a，b，c
表示，已知a，b满足 ，则 的周长为 ．
4．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）（1）等腰三角形的两边长分别为 、 ，其周长为
；
（2）若等腰三角形的两条边长分别为 和 ，则它的周长为 ．
【考点二 等腰三角形中腰和底未定求角度时未分类讨论】
例题：（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）等腰三角形的两个内角的度数之比是 ，则它顶角的度数为 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）等腰三角形有一个角度数为 ，则这个等腰三角形的底角的度
数
为 ．
2．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）若等腰三角形其中两个内角的和为 ，则此等腰三角形的顶
角度数为 ．
3．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）如图， ， 平分 ，如果射线
上的点 满足 是等腰三角形， 的度数为 ．
4．（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，在 中， ， ，
， 是边BC上的动点，连接AP．当 是等腰三角形时， 度．
【考点三 三角形的形状不明时与高线及其他线结合时未分类讨论】
例题：（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在 中， 为钝角， ，如果经过
其中一个顶点作一条直线能把 分成两个等腰三角形，那么 的度数为
．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知等腰 ， ，过点B的一条直线把这
个三角形分成两个等腰三角形，则 ．
2．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）等腰三角形周长为 ，一中线将周长分成的两部
分差为 ，则这个三角形三边长为 ．
3．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）等腰三角形 中，高 与一腰所夹的锐角是
，则等腰三角形 底角的度数为 ．
4．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如果等腰三角形的周长等于16厘米，一条边长等于6厘米，那么这
个等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值等于 ．
5．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）用一条长为 的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的
长为 ，则该等腰三角形的腰长为 cm．
【考点四 求有关等腰三角形中的边长时未分类讨论】例题：（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，点 是射线 上一点， ，
，动
点 从点 开始出发沿射线 的方向以 的速度运动，动点 从点 出发
沿射线 以 的速度运动，点 ， 同时出发，设运动时间为 ，则当
为等腰三角形时，运动时间 的值为 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）如图，在 中， ， ，
，点P从B点出发沿射线 方向以每秒4个单位长度的速度向右运动，设点P的运动时
间为t，连接 ．当 是以 为腰的等腰三角形时，则t的值为 ．
2．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在 中， ， ，
，动点 从点 出发沿射线 以 的速度移动，设运动的时间为
秒．当 为等腰三角形时， 的值是 ．
3．（22-23八年级下·辽宁丹东·期中）如图， 中， ， ，
，点 为斜边上动点．连接 ，在点 的运动过程中，当 为等腰三
角形时， 的长为 ．
4．（24-25八年级上·江西九江·期中）如图，已知一次函数 的图象与 轴交于点
，交 轴于点 ．若点 在 轴正半轴上，且 为等腰三角形，则点
的坐标为 ．5．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，直线 与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C
是线段 上的一点，若将 沿 折叠，点A恰好落在x轴上的 处，若P是y轴
负半轴上一动点，且 是等腰三角形，则P的坐标为 ．
6．（2024·江西上饶·一模）如图，在三角形纸片 中， ，将三角形
纸片折叠，使点 的对应点 落在 上，折痕与 分别相交于点 、 ，
当 为等腰三角形时， 的长为 ．
【考点五 求有关直角三角形中的边长时未分类讨论】
例题：（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，等腰三角形 的底边 为 ，腰
为 ，一动点Q（与点A，C不重合）在底边上从点C以 的速度向点A移动．当
动点Q运动了 s时， 是直角三角形．
【变式训练】1．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在 中， ， ， 是
边上的动点，点 关于直线 的对称点为 ，连接 交 于 ，当
为直角三角形时， 的长是 ．
2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在 中， ， ，
，点 ， 分别是 ， 边上的动点，沿 所在直线折叠
，使点 的对应点 始终落在边 上，若 是直角三角形时，则
的长为 ．
3．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图，在 中， ， ，
，点 从点 出发以每秒 的速度向点 运动，点 从点 同时
出发以每秒 的速度向点 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设
运动时间为 秒，当 为直角三角形时， 的值为 ．
4．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在 中， ， ，
，D是边 上的一点（不与点B，C重合），连接 ，将 沿 折
叠，使点C落在点E处．当 是直角三角形时， 的长为 ．
5．（2024·河南商丘·模拟预测）把一副直角三角尺如图摆放， ，
斜边 ，且直角顶点连线 ．将 左右平移，当 恰为直角三角形时，
的长为 ．6．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，在 中， ，D是边 上
的动点，过点D
作 交 于点E，将 沿 折叠，点A的对应点为点F，当 是
直角三角形时， 的长为 ．
