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第 07 讲 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助
线(3 类热点题型讲练)
目录
【考点一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】................................................................................................1
【考点二 等腰三角形中底边无中点时，作高】....................................................................................................9
【考点三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】................................................................................20
【考点一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】
例题：（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在 中， ， ，D为 的中
点， 于E．
(1)求 的度数；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的“三线合一”，含 角的直角三角形的性质等知识，
（1）连接 ，根据等腰三角形的“三线合一”即可作答；
（2）根据含 角的直角三角形的性质即可作答．
【详解】（1）连接 ，∵ ， ，
∴ ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ 于E，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
则 ．
【变式训练】
1．（2023下·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图， 中， ，D是BC的中点，E、F分别是
AB、AC上的点，且 ．求证： ．
【答案】见解析
【分析】连接 ，根据等腰三角形的性质可得 ，然后即可证明 ，进
而可得结论．
【详解】证明：连接 ，
，D是BC的中点，
，
在 和 中，
，
，
．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质，属于基础题目，熟练掌握上述知识是
解题的关键．
2．（2023上·宁夏吴忠·八年级校考期中）如图：在 中， ，D为 边的中点，过点D作
于点E， 于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，可得 平分 ，再根据 证明 ，即可得到结果；
（2）根据已知条件证明 为等边三角形，再根据直角三角形的性质得到 ，即可得到结果；
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ ， 为 边的中点，
∴ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又 ，∴ ，
∴ ；
（2）解： ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长为 ．
【点睛】本题主要考查了三线合一，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，含30度角的直
角三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
3．（2023上·北京·八年级期末）如图，在 中， ，D是 的中点，过A作 ，且
．求证：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接 ，利用等腰三角形“三线合一"的性质得 ，再利用平行线的性质得
，从而说明 垂直平分 ，则有 ；
（2）利用等角的余角相等 ，再利用 证明 ，从而证明结论．
【详解】（1）证明：连接AD，，点 为 的中点，
，
，
，
，
，
，
垂直平分 ，
∴ ；
（2）
在 和 中，
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，余角的
性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一"的性质是解题的关键．
4．（2023上·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，在 中， 的垂直平分线 交 于点E，交
于点F，D为线段 的中点，且 ．(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）连接 ，根据线段垂直平分线的性质得到 ，证明 ，根据等腰三角形的三
线合一证明结论；
（2）证明 为等边三角形，根据等边三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：连接 ，
是 的垂直平分线，
，
，
，
是等腰三角形，
为线段 的中点，
；
（2）解： ，
，
，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握等腰
三角形的三线合一是解题的关键．
5．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，已知 中， ， ，点D为 的中点，点 、 分别在直线 上运动，且始终保持 ．
(1)如图①，若点 分别在线段 上， 与 相等且 与 垂直吗？请说明理由；
(2)如图②，若点 分别在线段 的延长线上，（1）中的结论是否依然成立？说明理由．
【答案】(1) 且 ，见解析
(2)成立，见解析
【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质得到 和 ，再证
明 ，利用全等三角形的性质即可求解；
（2）利用等腰直角三角形的性质得到 和 ，再证明
，利用全等三角形的性质即可求解．
【详解】（1） 且 ，理由是：
如图①，连接 ，
∵ ， ，D为 中点，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．（2）若点 分别在线段 ， 的延长线上，（1）中的结论依然成立，如图②，连接 ，理由如
下：
∵ ， ，点D为 的中点，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ；
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线构造
全等三角形．
6．（2023上·浙江绍兴·八年级新昌县七星中学校考期中）两个同样大小的含 角的三角尺，按如图所示
的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点 ，且另三个锐角顶点 ， ，
在同一直线上， 为 中点，已知 ．(1)求 的长．
(2)求 的长．
【答案】(1)1
(2)
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题
关键．
（1）连接 ，首先利用勾股定理解得 ，再根据等腰三角形“三线合一”的性质可得 ，
然后证明 为等腰直角三角形，即可求得 的长；
（2）由题意可知 ，然后在 中，利用勾股定理解得 ，根据
即可求得答案．
【详解】（1）解：连接 ，如下图，
根据题意， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 中点，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）根据题意， ，
又∵ ， ，
∴在 中， ，∴ ．
【考点二 等腰三角形中底边无中点时，作高】
例题：（2023上·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，已知 ，点 在边 上， ，
点 在边 上， ，若 ，求 的长．
【答案】2
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含 角的直角三角形的性质．作 交 于 ，由等腰
三角形的性质可得 ，由含 角的直角三角形的性质得出 ，计算出 即可得到答
案．熟练掌握等腰三角形的三线合一以及直角三角形中 所对的直角边等于斜边的一半是解此题的关键．
【详解】解：如图，作 交 于 ，
，
， ，
，
在 中， ， ， ，
，
，
，
，
．
【变式训练】
1．（2023下·广东广州·八年级广州市番禺区钟村中学校考期中）如图，四边形 中，， ，求四边形 的面积．
【答案】
【分析】连接 ，过点C作 于点E，在 中根据勾股定理求出 的长，由等腰三角形
的性质得出 ，在 中根据勾股定理求出 的长，再由 即可
得出结论．
【详解】连接 ，过点C作 于点E，
∵ ，
∴ ．
在 中， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 中，
∴ ．
【点睛】本题考查的是勾股定理及三角形的面积公式，等腰三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，
构造出直角三角形是解答此题的关键．
2．（2023上·河南许昌·八年级统考期末）在 中， ， ，点D在 上（不与点
B，C重合）．(1)如图1，若 是直角三角形，
①当 时，求 的长；
②当 时，求 的长．
(2)如图2，点E在 上（不与点A，B重合），且 ．若 ，求证： ．
【答案】(1)①6；②
(2)见解析
【分析】（1）①过A作 于D，根据等腰三角形的性质和勾股定理求解即可；
②画出图形，过A作 于H，设 ，利用等腰三角形的性质和勾股定理求解即可；
（2）利用三角形的外角性质得到 ，再根据全等三角形的判定即可证的结论．
【详解】（1）解：①过A作 于D，如图，
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ；
②如图，过A作 于H，
由①得 ， ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，解得 ；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的外角性质、全等三角形的判定，熟练掌握相关
知识的联系和运用是解答的关键．
3．（2023上·江苏苏州·八年级统考期中）在 中， ， ，点 为边 上一动点，
连接 ．
(1) 边上的高的长度为 ；
(2)如图1，若点 从点 出发，以每秒2个单位的速度向点 运动，设运动时间为 秒 ．是否存在
值，使得 为等腰三角形？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，把 沿着直线 翻折，点 的对应点为点 ， 交边 于点 ，当 时，求
的长度．
【答案】(1)2
(2) 或
(3)
【分析】（1）过点A作 于D，利用等腰三角形“三线合一”性质求出 ，再利用勾股定理
即可求解．
（2）分两种情况∶当 时， 当 时，分别求解即可．
（3）过点A作 于D，过点A作 于G，由折叠性质得 ， ，再证明，得出 ， ，然后利用勾股定理求出 ，即可求解．
【详解】（1）解：过点A作 于D，如图1，
∵ ， ，
∴
由勾股定理，得
，
∴ 边上的高的长度为2．
（2）解∶分两种情况∶
当 时，
则 ，
∴
解得∶ ；
当 时，如图，
则 ， ，
由(1)知∶ ， ，
∴ ，
由勾股定理，得
，
解得∶ ，综上，当 为等腰三角形时，t值为 或 ．
（3）解：过点A作 于D，过点A作 于G，如图2，
由（1）知， ， ，
由折叠知： ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵
∴
在 中，由勾股定理，得
∴ ．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质．作等腰三角形
底边的高利用等腰三角形“三线合一”性质和构造直角三角形利用勾股定理求线段长是解题的关键．
4．（2023上·河南省直辖县级单位·八年级校联考期末）在 中，点 是边 上的两点．
(1)如图1，若 ， ．求证： ；
(2)如图2，若 ， ，设 ， ．
①猜想 与 的数量关系，并说明理由；②在①的条件下， ，请直接写出 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)① ；②
【分析】（1）过A作 于F，根据三线合一得到 ， ，利用线段的和差可得结果；
（2）①根据等边对等角和三角形内角和求出 ，再根据 ，整
理可得结果；②根据等边对等角和三角形内角和求出 ，再根据
，代入化简可得结果．
【详解】（1）解：如图，过A作 于F，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ；
（2）①猜想： ，理由是：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
整理得： ；
②∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等边对等角，三角形内角和，角的和差计算，解题的关
键是利用这些性质找出角的关系．
5．（2023上·河南商丘·八年级校考阶段练习）在 中， ，过点C作射线 ，使
（点 与点B在直线 的异侧）点D是射线 上一动点（不与点C重合），点E在线
段 上，且 ．
(1)如图1，当点E与点C重合时， 与 的位置关系是 ，若 ，则 的长为 ；（用含a的式
子表示）
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接 ．
①用等式表示 与 之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)互相垂直；
(2)① ，证明见解析；② ，证明见解析
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得 与 的位置关系是互相垂直，过点A作 于点M，
根据等腰三角形性质得到 ，利用 证明 ，根据全等三角形性质即
可得出 ；
（2）当点E与点C不重合时，①过点A作 于点M、 于点N，利用 证明
，根据全等三角形性质即可得到 ；
②在 上截取 ，连接 ，利用 证明 ，根据全等三角形性质得到 ，
，根据角的和差得到 ，再利用 证明 ，根据全等三角形
性质及线段和差即可得到 ．【详解】（1）解：当点E与点C重合时， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 与 的位置关系是互相垂直，
若 ，过点A作 于点M，如图：
则 ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
∴ ，
∴ ，
即 的长为 ，
故答案为：互相垂直； ；
（2）解：①当点E与点C不重合时，用等式表示 与 之间的数量关系是： ，
证明如下：
过点A作 于点M、 于点N，如图：
则 ，∴ ，
∵ ，
即 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②用等式表示线段 ， ， 之间的量关系是： ，证明如下：
在 上截取 ，连接 ，如图：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
由①知： ，
即 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、
垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关
键．
【考点三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】
例题：（2022春·上海普陀·八年级校考期中）如图，在 中， 平分 ， 是 的中点，过点
作 交 的延长线于 ，交 于 ，交 的延长线于 ．
求证：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据 证明 ，即可得出 ；
（2）过点C作 交 于点M，由 可得 ，根据平行线的性质得出，可得 ，进而得出 ，再根据据 证明 ，得出
，等量代换即可得到 ．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：过点C作 交 于点M，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵E是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，熟记全等三角形的判定定理、性质定理及作出合适的辅助线是解此题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·河北石家庄·八年级校考期中）
(1)【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1， 平分 ．点A为 上一点，过点A作
，垂足为C，延长 交 于点B，可根据 证明 ，则 ，
（即点C为 的中点）．
(2)【类比解答】
如图2，在 中， 平分 ， 于E，若 ， ，通过上述构造全等
的办法，可求得 ．
(3)【拓展延伸】
如图3， 中， ， ， 平分 ， ，垂足E在 的延长线上，试
探究 和 的数量关系，并证明你的结论．
(4)【实际应用】
如图4是一块肥沃的三角形土地，其中 边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地
进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取 的角平分线 ；②过点A作 于D．已知
， ， 面积为20，则划出的 的面积是多少？请直接写出答案．
【答案】(1)
(2)
(3) ，证明见解析
(4) 的面积是
【分析】（1）证 （ ），得 ， 即可；（2）延长 交 于点F，由问题情境可知， ，再由等腰三角形的性质得 ，
然后由三角形的外角性质即可得出结论；
（3）拓展延伸延长 、 交于点F，证 （ ），得 ，再由问题情境可知，
，即可得出结论；
（4）实际应用延长 交 于E，由问题情境可知， ， ，则 ，再由
三角形面积关系得 ，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ （ ），
∴ ， ，
故答案为： ；
（2）解：如图2，延长 交 于点F，
由可知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（3）解： ，证明如下：如图3，延长 、 交于点F，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ （ ），
∴ ，
由问题情境可知， ，
∴ ；
（4）解：如图4，延长 交 于E，
由问题情境可知， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
答： 的面积是 ．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性
质、角平分线定义以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等
是解题的关键，属于中考常考题型．
2．（2023上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）【情境建模】学校数学社团活动时遇到下面一个问题：
如图1，点 在 的角平分线上，过点 作 的垂线分别交 、 于点 、 ．求证：
．请你帮助完成此证明．【应用实践】请尝试直接应用“情境建模”中的结论解决下列问题：
（1）将图1沿着过点 的直线 折叠，得到图2，使点 正好与边 上的点 重合，此时测得
．求 的度数．
（2）如图3， ， 平分 交 于 ，若 ， ，求边 的长度．
【拓展提升】
（3） 如图4， 是某小区绿化施工的一块区域示意图，其中 ， 米， 米．
该绿化带中修建了健身步道 、 、 、 、 ，其中入口 、 分别在 、 上，步道 、
分别平分 和 ， ， ．现要用围栏完全封闭 区域，修建地下排水
和地上公益广告等设施，试求至少需要围栏多少米？（步道宽度忽略不计）
【答案】【情景建模】见解析；（1） ；（2） ；（3）至少需要围挡40米．
【分析】情景建模：利用角平分线的性质和全等三角形的性质和判定，求证 即可解题．
（1）利用角平分线的性质和等腰三角形的性质“等边对等角”将边的关系转化为角的关系，再应用第一
问的条件和结论结合方程即可解题．
（2）延长 和 相交于点 ，利用勾股定理和第一问的结论得出 ,即可解题．
（3）延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，得三角形全等，利用全等得性质，将 转化为 ，
再用代数式表示出 、 、 即可解题．
【详解】情境建模
证明： 点 在 的角平分线上，
，
由题知 ，
，，
，
，
（1）解： 点 、点 关于直线 对称，
直线 垂直平分 ，
，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
（2）解：延长 和 相交于点 ，如图所示：
，
，
平分 ， ，
，
，
在 中 ，
（3）解：延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，如图所示：、 分别平分 和 ， ， ，
由“情境建模”的结论得： ， ，
， ，
在 和 中，
，
，
， 米， 米，
米
设 ， ，则 ， ，
， ，
， ， ，
，
，
的周长
答：至少需要围挡40米．
【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和勾股定理，本题的关
键在于灵活应用角平分线性质结合全等三角形的性质，求解角和边．
