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第五章 二元一次方程组单元测试
本试卷满分120分，试题共26题．答卷前，请认真读题！
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
1
A．y＝3x﹣1 B．xy＝1 C．x+ =2 D．x+y+z＝1
y
【答案】A
【解析】
A、该方程符合二元一次方程的定义，故本选项符合题意．
B、该方程属于二元二次方程，故本选项不符合题意．
C、该方程属于分式方程，故本选项不符合题意．
D、该方程属于三元一次方程，故本选项不符合题意．
故选A．
y
2．已知3x− =1，用含x的式子表示y下列正确的是（ ）
2
1 3
A．y＝6x﹣2 B．y＝2﹣6x C．y＝﹣1+3x D．y=− − x
2 2
【答案】A
y y
【解析】∵3x− =1，∴ =3x−1，∴y＝6x﹣2．故选A．
2 2
{2x+ y=7①
3．解方程组 的最佳方法是（ ）
x−y=2②
A．代入法消去y，由①得y＝7﹣2x
B．代入法消去x，由②得x＝y+2
C．加减法消去y，①+②得3x＝9
D．加减法消去x，①﹣②×2得3y＝3
【答案】C
{2x+ y=7①
【解析】解方程组 的最佳方法是加减法消去y，①+②得3x＝9．故选C．
x−y=2②
{ x=2
4．若 是二元一次方程mx+2y＝4的解，则m的值是（ ）
y=−1
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2【答案】A
【解析】把x＝2，y＝﹣1代入二元一次方程中，得2m+2×（﹣1）＝4，整理，得2m＝6，解得m＝3．故
选A．
{x−y=−1
5．一次函数y＝x+1和一次函数y＝2x﹣2的图象的交点坐标是（3，4），据此可知方程组 的
2x−y=2
解为（ ）
{x=3 {x=4 {x=−3 {x=−4
A． B． C． D．
y=4 y=3 y=−4 y=−3
【答案】A
【解析】∵一次函数y＝x+1和一次函数y＝2x﹣2的图象的交点坐标是（3，4），
∴x＝3，y＝4就同时满足两个函数解析式，
{x=3 { y=x+1 {x−y=−1
则 是二元一次方程组 即 的解．故选A．
y=4 y=2x−2 2x−y=2
6．对于实数x，y：规定一种运算：x△y＝ax+by（a，b是常数）．已知2△3＝11，5△（﹣3）＝10．则
a，b的值为（ ）
3 5
A．a＝3，b= B．a＝2，b＝3 C．a＝3，b= D．a＝3，b＝2
5 3
【答案】C
{a=3
{2a+3b=11
【解析】根据题中的新定义化简得： ，解得： 5．故选C．
5a−3b=10 b=
3
7．已知实数a，b满足：（a﹣b+3）2+√a+b−1=0，则a2022+b6等于（ ）
A．65 B．64 C．63 D．62
【答案】A
【解析】∵实数a，b满足：（a﹣b+3）2+√a+b−1=0，∴a﹣b+3＝0且a+b﹣1＝0，
{a−b=−3 {a=−1
即 ，解方程组得： ，∴a2022+b6＝（﹣1）2022+26＝65，故选A．
a+b=1 b=2
8．若二元一次方程组 和 解相同，则可通过解方程组（ ）求得这个解．
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】∵二元一次方程组 和 解相同，方程组的解同时满足这四个方程；
∴解方程组 即可求出方程组的解，故选C．
9．在解方程组 时，小明由于粗心把系数 抄错了，得到的解是 ．小亮把常数 抄
错了，得到的解是 ，则原方程组的正确解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于方程组 ，小明由于粗心把系数 抄错了，得到的解是
∴ ，解得
小亮把常数 抄错了，得到的解是
∴ ，解得
∴原方程组为 ，解得 ，故选C．
10．同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶 210km，它们各自单独行驶并返回的最远距离是
105km．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远可距离A
地（ ）
A．120km B．140km C．160km D．180km
【答案】B
【解析】设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，如图：
{2x+2y=210×2 {x=140
设AB＝xkm，AC＝ykm，根据题意得： ，解得： ．
x−y+x=210 y=70
∴乙在C地时加注行驶70km的燃料，则AB的最大长度是140km．故选B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
{x+m=−4
11．由方程组 可得x与y之间的关系式是 （用含x的代数式表示y）．
y−3=m
【答案】y＝﹣1﹣x
{x+m=−4①
【解析】 ，把②代入①得：x+y﹣3＝﹣4，
y−3=m②
x+y＝﹣1，y＝﹣1﹣x，故答案为：y＝﹣1﹣x．
{x=a
12 ． 已 知 是 二 元 一 次 方 程 4x﹣ 7y ＝ 8 的 一 个 解 ， 则 代 数 式 17﹣ 8a+14b 的 值 是
y=b
．
【答案】1
{x=a
【解析】∵ 是二元一次方程4x﹣7y＝8的一个解，∴4a﹣7b＝8，
y=b
∴17﹣8a+14b＝17﹣2（4a﹣7b）＝17﹣2×8＝1．故答案为：1．
2
13．如果4a2x﹣3yb4与− a3bx+y是同类项，则xy＝ ．
3
【答案】3
2 {2x−3 y=3 {x=3
【解析】∵4a2x﹣3yb4与− a3bx+y是同类项，∴ ，解得： ，
3 x+ y=4 y=1
则xy＝3．故答案为：3．
14．已知直线 y＝x+b 和 y＝ax﹣3 交于点 P（2，1），则关于 x 的方程 x+b＝ax﹣3 的解为
．
【答案】x＝2
【解析】∵直线y＝x+b和y＝ax﹣3交于点P（2，1），∴当x＝2时，x+b＝ax﹣3＝1，即关于x的方程x+b＝ax﹣3的解为x＝2．故答案为x＝2．
{ x+ y=5 {x=2
15．二元一次方程组 的解为 ，则一次函数 y＝5﹣x 与 y＝2x﹣1 的交点坐标为
2x−y=1 y=3
．
【答案】（2，3）
{ x+ y=5 {x=2
【解析】∵二元一次方程组 的解为 ，
2x−y=1 y=3
∴一次函数y＝5﹣x与y＝2x﹣1的交点坐标为（2，3）.
16．在关于m，n的方程 中，能使 无论取何值时，方程恒成立的m，n的和
为 ．
【答案】3
【解析】由题意，得： ，解得： ，所以m+n=3.
17．一次函数y＝kx+b（k、b是常数）当自变量x的取值为1≤x≤5时，对应的函数值的范围为﹣
2≤y≤2，则此一次函数的解析式为 ．
【答案】y＝x﹣3或y＝﹣x+3
【解析】当k＞0时，y值随x的增大而增大，
{k+b=−2 { k=1
∴ ，解得： ，∴一次函数的解析式为y＝x﹣3；
5k+b=2 b=−3
当k＜0时，y值随x的增大而减小，
{ k+b=2 {k=−1
∴ ，解得： ，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+3．
5k+b=−2 b=3
综上所述：一次函数的解析式为y＝x﹣3或y＝﹣x+3．故答案为：y＝x﹣3或y＝﹣x+3．
18．如图，两个形状、大小完全相同的大长方形内放入五个如图③的小长方形后分别得到图①、图②，已
知大长方形的长为 ，则图①中阴影部分的周长与图②中阴影部分的周长的差是______．（用含 的式
子表示）【答案】
【解析】设图③中的小长方形的长和宽分别为： ，大长方形的宽为
由图①可知 ，解得：
由图②可知：
设图①的阴影部分周长为 ，设图②的阴影部分周长为
，故答案为 ： .
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）解方程组：
{2x−3 y=5
（1） ；
4x−5 y=7
{ x+3 y 3
=
（2） 2 5 ．
5(x−2y)=−4
{2x−3 y=5①
【解析】（1） ，
4x−5 y=7②
由①得，2x＝3y+5③，
将 ③代入 ②中，得 2（3y+5）﹣5y＝7，
整理，得 y＝﹣3，
把 y＝﹣3代入③，得 2x＝﹣9+5，
解得，x＝﹣2．
{x=−3
∴ ；
y=−2
{ 5x+15 y=6
（2）原方程组变为 ，
5x−10 y=−42
①﹣②，得y= ，
5
2 2
将y= 代入①，得5x+15× =6，解得x＝0，
5 5
{x=0
所以原方程组的解为 2．
y=
5
20．（6分）《九章算术》中有记载：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦
1
钱五十，问甲、乙持钱各几何？大意是：今有甲、乙两人持钱不知有多少．若甲得到乙所有钱的 ，则
2
2
有50钱；若乙得到甲所有钱的 ，则也有50钱，问甲、乙各持钱多少？请解答此问题．
3
【解析】设甲、乙的持钱数分别为x，y，
1
{x+ y=50
2
根据题意可得： ，
2
y+ x=50
3
{x=37.5
解得： ，
y=25
答：甲、乙的持钱数分别为37.5，25．
21．（6分）直线l ：y＝2x+1与直线l ：y＝mx+4相交于点P（1，b）．
1 2
{2x−y=−1
（1）求b、m的值，并结合图象求关于x、y的方程组 的解．
mx−y=−4
（2）垂直于x轴的直x＝a与直线l ，l 分别交于点C、D，若线段CD的长为2，求a的值．
1 2
【解析】（1）∵点P（1，b）在直线l ：y＝2x+1上，
1
∴b＝2×1+1＝3；
∵点P（1，3）在直线l ：y＝mx+4上，
2∴3＝m+4，
∴m＝﹣1．
{2x−y=−1 {x=1
∴关于x、y的方程组 的解为 ；
mx−y=−4 y=3
（2）当x＝a时，y ＝2a+1；
C
当x＝a时，y ＝4﹣a．
D
∵CD＝2，
∴|2a+1﹣（4﹣a）|＝2，
1 5
解得：a= 或a= ．
3 3
1 5
∴a的值为 或a= ．
3 3
22．（6分）已知关于x，y的二元一次方程组 的解互为相反数，求k 的值．
【解析】∵x，y的二元一次方程组 的解互为相反数，
∴x+y=0．
解方程组 ，得 ．
把x=3，y=-3代入方程3x+2y=k+1，得9-6=k+1，
解得k=2．
23．（8分）如图，直线l ：y＝x+1与直线l ：y＝mx+n相交于点P（1，b）．
1 2
（1）求b的值；
{ y=x+1
（2）不解关于x、y的方程组 ，请你直接写出它的解；
y=mx+n
（3）直线l ：y＝nx+m是否也经过点P？请说明理由．
3【解析】（1）把P（1，b）代入y＝x+1得b＝1+1＝2；
（2）由（1）得P（1，2），
{ y=x+1 {x=1
所以方程组 的解为 ；
y=mx+n y=2
（3）直线l ：y＝nx+m经过点P．理由如下：
3
因为y＝mx+n经过点P（1，2），
所以m+n＝2，
所以直线y＝nx+m也经过P点．
{2x+5 y=3①
24．（10分）阅读材料：善于思考的小强同学在解方程组 时，采用了一种“整体代换”
4x+11y=5②
解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5…③，把方程①代入③得：2×3+y＝5即y＝﹣
{ x=4
1，把y＝﹣1代入方程①，得x＝4，所以方程组的解为 ．
y=−1
请你解决以下问题
{3x+4 y=16
（1）模仿小强同学的“整体代换”法解方程组 ；
6x+9 y=25
{ x2+xy+3 y2=11
（2）已知x，y满足方程组 ；
3x2−5xy+9 y2=49
（i）求xy的值；
（ii）求出这个方程组的所有整数解．
{3x+4 y=16①
【解析】（1） ，
6x+9 y=25②
将方程②变形：6x+8y+y＝25，
即2（3x+4y）+y＝25③，
把方程①代入③得：2×16+y＝25，
解得y＝﹣7，
44
把y＝﹣7代入方程①，得x= ，
3
{ 44
x=
所以方程组的解为 3 ；
y=−7{ x2+3 y2+xy=11①
（2）（i）原方程组化为 ，
3(x2+3 y2 )−5xy=49②
由①得：x2+3y2＝11﹣xy③，
将③代入方程②得：﹣8xy＝16，
∴xy＝﹣2；
（ii）由（i）得xy＝﹣2，
∵x与y是整数，
{x=−1 { x=1 {x=−2 { x=2
∴ 或 或 或 ，
y=2 y=−2 y=1 y=−1
由（i）可求得x2+3y2＝13，
{x=−1 { x=1
∴ 和 符合题意，
y=2 y=−2
{x=−1 { x=1
故原方程组的所有整数解是 或
y=2 y=−2
25．（12分）某商场计划用50000元从厂家购进60台新型电子产品，已知该厂家生产三种不同型号的电
子产品，设甲、乙型设备应各买入x，y台，其中每台的价格、销售获利如下表：
甲型 乙型 丙型
价格（元/台） 900 700 400
销售获利 200 160 90
（元/台）
（1）购买丙型设备 6 0 ﹣ x ﹣ y 台（用含x，y的代数式表示）；
（2）若商场同时购进三种不同型号的电子产品（每种型号至少有一台），恰好用了 50000元，则商场
有哪几种购进方案？
（3）在第（2）题的基础上，则应选择哪种购进方案，为使销售时获利最大？并求出这个最大值．
【解析】（1）购买丙型设备的台数为60﹣x﹣y．
故答案为60﹣x﹣y．
（2）由题意得，900x+700y+400（60﹣x﹣y）＝50000
化简整理得：5x+3y＝260
3
∴x＝52− y，
5
当y＝5时，x＝49，60﹣x﹣y＝6；
当y＝10时，x＝46，60﹣x﹣y＝4；
当y＝15时，x＝43，60﹣x﹣y＝2．∴购进方案有三种，分别为：
方案一：甲型49台，乙型5台，丙型6台；
方案二：甲型46台，乙型10台，丙型4台；
方案三：甲型43台，乙型15台，丙型2台．
（3）方案一的利润为49×200+160×5+6×90＝11140元，
方案二的利润46×200+160×10+4×90＝11160元
方案三的利润43×200+160×15+2×90＝11180元
所以方案三获利最大，为11180元，即甲型43台，乙型15台，丙型2台．
26．（12分）已知点A（0，4）、C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b上，l和函数y＝﹣4x+a的图象交于点B
（1）求直线l的表达式；
{ y=kx+b
（2）若点B的横坐标是1，求关于x、y的方程组 的解及a的值．
y=−4x+a
（3）若点A关于x轴的对称点为P，求△PBC的面积．
【解析】（1）由于点A、C在直线l上，
{ b=4
∴
−2k+b=0
∴k＝2，b＝4
所以直线l的表达式为：y＝2x+4
（2）由于点B在直线l上，当x＝1时，y＝2+4＝6
所以点B的坐标为（1，6）
因为点B是直线l与直线y＝﹣4x+a的交点，
{ y=kx+b {x=1
所以关于x、y的方程组 的解为
y=−4x+a y=6
把x＝1，y＝6代入y＝﹣4x+a中，
得a＝10．
（3）因为点A与点P关于x轴对称，所以点P（0，﹣4）
所以AP＝4+4＝8，OC＝2所以S ＝S +S
△BPC △PAB △PAC
1 1
= ×8×1+ ×8×2
2 2
＝4+8
＝12．
