第五章分式与分式方程知识归纳_北师大初中数学_8下-北师大版初中数学_旧版-可参考_07知识点总结_单元知识点

第五章 分式与分式方程 1. 分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式。 1) 分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含 字母。 2) 分式有意义的条件：分母不为零，即分母中的代数式的值不能为零。 3) 分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零 2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 用式子表示 其中A、B、C为整式（ ） 注：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。 （2）应用基本性质时，要注意C≠0，以及隐含的B≠0。 （3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或 避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。 3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式 1) 分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式 的值。 2) 最简分式：分子与分母没有公因式的分式 3) 分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式 的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。 4) 最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公 分母。 4. 分式的符号法则 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。用式子表示为 注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的部分项 的符号。 5.分式的运算： 1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 3）分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方 。 4）分式乘方、乘除混合运算：先算乘方，再算乘除，遇到括号，先算括号内的，不含括号的，按 从左到右的顺序运算 5）分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减 7. 整数指数幂. 1） 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即 ； a0 1(a0) 2） 任何一个不等于零的数的-n次幂（n为正整数），等于这个数的n次幂的倒数，即 1 an  （a0) an 注：分数的负指数幂等于这个分数的倒数的正整数指数幂。即3） 科学计数法：把一个数表示为a×10n (1≤∣a∣＜10,n为整数)的形式，称为科学计数法。 注：（1）绝对值大于1的数可以表示为a×10n 的形式，n为正整数； （2）绝对值小于1的数可以表示为a×10-n的形式，n为正整数. （3）表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是n1 （4）表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括 小数点前面的一个0) 4) 正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数) （1）同底数的幂的乘法：am an  amn；（2）幂的乘方：(am)n  amn;（3）积的乘方： (ab)n  anbn； a an （4）同底数的幂的除法：am an  amn( a≠0)；（5）商的乘方：( )n  ；(b≠0) b bn 8. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。 1) 增根：分式方程的增根必须满足两个条件： （1）增根是最简公分母为0；（2）增根是分式方程化成的整式方程的根。 2）分式方程的解法： (1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4) 验根． 注：解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了 增根，因此分式方程一定要验根。 分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式 方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解 。 3）烈分式方程解实际问题 （1）步骤：审题—设未知数—列方程—解方程—检验—写出答案，检验时要注意从方程本身 和实际问题两个方面进行检验。 （2）应用题基本类型； a.行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题． b.数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法． c.工程问题 基本公式：工作 量=工时×工效． d. 顺水逆水问题 v =v +v ． v =v -v ． 顺水 静水 水 逆水 静水 水 E．相遇问题 f追及问题 相遇路程＝速度和×相遇时间 追及距离＝速度差×追及时间 相遇时间＝相遇路程÷速度和 追及时间＝追及距离÷速度差 速度和＝相遇路程÷相遇时间 速度差＝追及距离÷追及时间 g流水问题 h浓度问题 顺流速度＝静水速度＋水流速度 溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量 逆流速度＝静水速度－水流速度 溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度 静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2 溶液的重量×浓度＝溶质的重量 水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2 溶质的重量÷浓度＝溶液的重量 m利润与折扣问题 利润＝售出价－成本 利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比 折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1)利息＝本金×利率×时间 税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)