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第五章真题训练
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列式子是分式的是( )
A. B. C. D．1＋x
【答案】C
2．使分式有意义的x的取值范围是( )
A．x≤4 B．x≥4 C．x≠4 D．x＝4
【答案】C
3．若的值为0，则x的值为( )
A．1 B．0 C．±1 D．－1
【答案】D
4．分式①，②，③，④中，最简分式有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
5．下列各式中，正确的是( )
A．－＝ B．－＝
C.＝ D．－＝
【答案】D
6．解分式方程－＝1，可知方程的解为( )
A．x＝1 B．x＝3 C．x＝ D．无解
【答案】D
7．当a＝2时，计算÷的结果是( )
A. B．－ C. D．－
【答案】D
8．对于非零的两个实数a，b，规定a*b＝－，若5*(3x－1)＝2，则x的值为( )
A. B. C. D．－
【答案】B
【解析】：根据题意得－＝2，解得x＝.经检验x＝是原方程的解．故选B.
9．解关于x的方程－＝不会产生增根，则k的值( )
A．为2 B．为1 C．不为±2 D．无法确定
【答案】C
【解析】：去分母，得x(x＋1)－k＝x(x－1)，解得x＝k.∵方程－＝不会产生增根，∴x≠±1，∴k≠±1，即k≠±2.故选C.
10．甲、乙两地之间的高速公路全长200 km，比原来国道的长度少了20 km.高速公路
通车后，某长途汽车每小时行驶的路程比在原来国道上多 45 km，从甲地到乙地的行驶时
间是原来的.设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为 x km/h，根据题意，下列方程正确
的是( )
A.＝· B.＝· C.＝· D.＝·
【答案】D
【解析】：由题意，得该长途汽车在高速公路上行驶的速度是(x＋45)km/h.从甲地到
乙地，在原来国道上的行驶时间为＝(h)，在高速公路上的行驶时间为 h，根据“从甲地到
乙地的行驶时间是原来的”可得＝·.
二、填空题(每题3分，共24分)
11.与的最简公分母是________．
【答案】.18a2b2c
12．计算·÷的结果是________．
【答案】－
13．若x＝1是分式方程－＝0的根，则a＝________．
【答案】1
【答案】：∵x＝1是分式方程－＝0的根，∴－＝0.解得a＝1.
14．若关于x的方程－1＝0无实数根，则a的值为________．
【答案】1或－1
15．关于x的分式方程＋＝1的解为正数，则m的取值范围是________．
【答案】m＞2且m≠3
16．小明同学在对分式方程＋＝1去分母时，方程右边的1没有乘x－2，若此时求得
方程的解为x＝2，则原方程的解为________．
【答案】x＝1
【解析】：小明去分母得到的整式方程是2x－(3－m)＝1，把x＝2代入，得4－(3－
m)＝1，解得3－m＝3.故原分式方程为＋＝1，解得x＝1，经检验，x＝1是原分式方程的
解．
17．已知＝＋，则A＝________，B＝________．
【答案】－；
【解析】：∵＝＋，∴＝＝，即解得
18．目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步数与
相应的能量消耗．对比手机数据发现小琼步行12 000步与小博步行9 000步消耗的能量相同．若小琼每消耗1千卡能量行走的步数比小博的多10步，则小博每消耗1千卡能量需要
行走________步．
【答案】30
【解析】：设小博每消耗1千卡能量需要行走x步，则小琼每消耗1千卡能量需要行
走(x＋10)步，根据题意得＝，解得x＝30，经检验，x＝30是原方程的解．故小博每消耗
1千卡能量需要行走30步．
三、解答题(19～21题每题10分，其余每题12分，共66分)
19．计算：(1)－； (2)÷.
【答案】解：(1)原式＝－＝＝.
(2)原式＝·＝－·＝－.
20 ．先化简，再求值：
(1)÷，其中x＝2－；
(2)÷，其中a＝3.
【答案】解：(1)原式＝÷＝·＝2－x.当x＝2－时，2－x＝2－(2－)＝.
(2)原式＝·＝·＝.当a＝3时，＝＝2.
21．解分式方程：
(1)＝； (2)＋＝1.
【答案】解：(1)方程两边都乘x(x＋2)，
得2(x＋2)＝3x，解得x＝4.
检验：当x＝4时，x(x＋2)≠0，所以原分式方程的解为x＝4.
(2)方程两边都乘(x＋1)(x－1)，得(x＋1)2＋4＝(x＋1)(x－1)，解得x＝－3.
检验：当x＝－3时，(x＋1)(x－1)≠0，所以原分式方程的解为x＝－3.
22．已知M＝，N＝，用“＋”或“－”连接M，N，有三种不同的形式：M＋N，M－N，
N－M，任选其中一种进行计算，并化简求值，其中x∶y＝5∶2.
【答案】解：选择一：M＋N＝＋＝＝.当x∶y＝5∶2时，x＝y，原式＝＝；
选择二：M－N＝－＝＝.当x∶y＝5∶2时，x＝y，原式＝＝－；
选择三：N－M＝－＝＝.当x∶y＝5∶2时，x＝y，原式＝＝.
点拨：任选一种即可．
23．阅读下面材料，解答后面的问题．
解方程：－＝0.
解：设y＝，则原方程可化为y－＝0，方程两边同时乘y，得y2－4＝0，解得y
1
＝2，y＝－2.
2
经检验，y＝2，y＝－2都是方程y－＝0的解．
1 2当y＝2时，＝2，解得x＝－1；当y＝－2时，＝－2，解得x＝.
经检验，x ＝－1，x ＝都是原分式方程的解．∴原分式方程的解为x ＝－1，x
1 2 1 2
＝.
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
(1)若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为________________；
(2)若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为________________；
(3)模仿上述换元法解方程：－－1＝0.
【答案】解：(1)－＝0 (2)y－＝0
(3)原方程可化为－＝0，
设y＝，
则原方程可化为y－＝0.
方程两边同时乘y，得y2－1＝0，解得y＝1，y＝－1.
1 2
经检验，y＝1，y＝－1都是方程y－＝0的解．
1 2
当y＝1时，＝1，该方程无解，
当y＝－1时，＝－1，解得x＝－，经检验，x＝－是原分式方程的解．
∴原分式方程的解为x＝－.
24．山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营 A型
车去年销售总额为5万元，今年每辆售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总
额将比去年减少20%.A，B两种型号车的进货和销售单价如下表：
A型车 B型车
进货单
1 100 1 400
价/元
销售单 今年的销售
2 000
价/元 单价
(1)今年A型车每辆售价为多少元？(用列方程的方法解答)
(2)该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型
车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
【答案】解：(1)设今年A型车每辆售价为x元，则去年每辆售价为(x＋400)元．
由题意，
得＝，
解得x＝1 600.
经检验，x＝1 600是所列方程的根．
答：今年A型车每辆售价为1 600元．
(2)设车行新进A型车m辆，获利y元，则新进B型车(60－m)辆．
由题意，得y＝(1 600－1 100)m＋(2 000－1 400)(60－m)，
即y＝－100m＋36 000.
∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，
∴60－m≤2m.∴m≥20.
由y与m的关系式可知，－100＜0，
∴y的值随m值的增大而减少．
∴当m＝20时，y有最大值．
∴60－m＝60－20＝40.
答：当车行新进A型车20辆，B型车40辆时，才能使这批车获利最多
