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第五章 分式与分式方程B卷压轴题考点训练
1．若 ， ．则 的值为______
【答案】
【分析】先由题意2x−y+4z=0 ，4x+3y−2z=0，得出用含x的式子分别表示y，z，然后带入要求的式中，化
简便可求出.
【详解】2x-y+4z= 0①，4x+3y- 2z= 0②，
将②×2得: 8x+ 6y-4z=0③．
①+③得: 10x+ 5y= 0，
∴y= -2x，
将y= - 2x代入①中
得:2x- (-2x)+4z=0
∴z=-x
将y= -2x，z=-x，代入上式
=
=
=
=
故答案为：
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是根据题目，得出用含x的式子表示y，z.本题较难，要
学会灵活化简.
2．已知非零实数x，y满足 ，则 的值等于_________．
【答案】4【分析】由条件 变形得，x-y=xy，把此式代入所求式子中，化简即可求得其值．
【详解】由 得：xy+y=x，即x-y=xy
∴
故答案为：4
【点睛】本题是求代数式的值，考查了整体代入法求代数式的值，关键是根据条件 ，变形为x-
y=xy，然后整体代入．
3．若关于x的分式方程 的解是非负数，则m的取值范围是________．
【答案】m≤6且m≠4
【分析】先求得分式方程的解，利用已知条件列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：关于x的分式方程 的解为：x＝6−m，
∵分式方程有可能产生增根2，
∴6−m≠2，
∴m≠4，
∵关于x的分式方程 的解是非负数，
∴6−m≥0，
解得：m≤6，
综上，m的取值范围是：m≤6且m≠4．
故答案为：m≤6且m≠4．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解分式方程一定要注意有可能产生增根的情
况，这是解题的关键．
4．已知 ，则 的值______．
【答案】为-1或3
【分析】根据题设知a≠0，b≠0，c≠0，d≠0，得到a+b+c=dm，a+b+d=cm，a+c+d=bm，b+c+d=am，推出
3(a+b+c+d)=m(a+b+c+d)，得到(a+b+c+d）(m-3)=0，当a+b+c+d=0时，得到a+b+c=-d，a+b+d=-c，a+c+d=-b，
b+c+d=-a，推出m=-1；当a+b+c+d≠0时，推出m-3=0，得到m=3．【详解】∵ ，
∴a≠0，b≠0，c≠0，d≠0，
∴a+b+c=dm，a+b+d=cm，a+c+d=bm，b+c+d=am，
∴3(a+b+c+d)=m(a+b+c+d)，
∴(a+b+c+d）(m-3)=0，
当a+b+c+d=0时，
a+b+c=-d，a+b+d=-c，a+c+d=-b，b+c+d=-a，
∴m=-1；
当a+b+c+d≠0时，
m-3=0，m=3，
综上，m=-1或m=3．
故答案为：为-1或3．
【点睛】本题主要考查了分式的值，解决问题的关键是熟练掌握分式有意义的条件，等式的基本性质，分
式值的意义及满足条件．
5．若关于 的分式方程 无解，则 的值为 __．
【答案】10或 或3
【分析】分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解．
【详解】解：（1） 为原方程的增根，
此时有 ，即 ，
解得 ；
（2） 为原方程的增根，
此时有 ，即 ，
解得 ．
（3）方程两边都乘 ，
得 ，
化简得： ．
当 时，整式方程无解．
综上所述，当 或 或 时，原方程无解．
故答案为：10或 或3．
【点睛】本题考查的是分式方程的解，解答此类题目既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．
6．若整数a既使得关于x的分式方程 有整数解，又使得关于x，y的方程组
的解为正数，则 ____．
【答案】5
【分析】先解分式方程，根据分式方程有整数解求出a的值，再解不等式组，根据不等式组解为正求出a
的取值范围，再综合得出结论．
【详解】解：解方程 得，
，
∵分式方程有整数解，且 ，
∴ 或 或 或1或2或4，且 ，
∴ 或1或2或4或5，
解方程组 得，
，
∵方程组的解为正数，
∴ ，
解得 ，
综上， ．
故答案为：5．
【点睛】本题考查解分式方程与不等式组，熟练掌握根据分式方程与不等式组解的情况求字母参数值是解
题的关键．
7．若关于 的一元一次不等式组 的解集为 ，且关于 的分式方程 的解是负整数，则所满条件的整数 之和是_______．
【答案】
【分析】解不等式组 得出 ，解分式方程 得出 ，结合题意得出
或 ，进而即可求出答案．
【详解】解：解不等式组 ，
解 得， ，
解得： ，
解 得， ，
，
不等式的解为 ，
关于 的一元一次不等式组 的解集为 ，
，
，
解分式方程 得，
，
，
，
，
，
关于 的分式方程 的解为负整数且 ，是负整数且 ，
或 ，
所有满足条件的整数 的值的和为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，正确求解分式方程和一元一次不等式组是解决问
题的关键．
8．11月份以来，重庆疫情形势不容乐观，山城人民众志成城，抗击疫情．某物流公司为保证居民正常生
活，将派大中小三种车型为甲、乙两个小区配送物资．大中小三种车型每辆车每趟配送的物资数量比为
，每种车型每小时跑的趟数之比为 ．经两个小区的物业反馈发现乙小区的总物资数量是甲小区
总物资数量的1.1倍，所有工人用9小时给甲小区送完物资后，计划将其中2辆大车和3辆中型车换成小车，
发现给乙小区配送完物资也是9小时，因时间紧迫，实际运送物资时公司又额外派了若干辆大车（派送大
车不超过20辆），最终乙小区完成的时间也是整数，则额外派送的大车是___________辆．
【答案】
【分析】首先根据题干条件，设派大车a辆，中型车b辆，小车c辆，每辆小车配送物资x吨，大车每小
时跑的次数为y次，然后列出等量关系，整理计算；最后用列举法找出符合题意的值．
【详解】解：设大车a辆，中型车b辆，小车c辆，每辆小车配送物资x吨，大车每小时跑的次数为y次，
则：
整理得： ，
即甲地需物资为：
设增加大车n辆，则每小时运送物资为
即 为整数，整理得 为整数，
∵
解得
故答案为： ．
【点睛】本题考查方程的应用和整数解问题，利用方程找到数量关系是解题的关键．
9．用换元法解方程 时，如果设 ，那么得到关于 的整式方程为_____．【答案】
【分析】将分式方程中的 换，则 = ，代入后去分母即可得到结果．
【详解】解：根据题意得： ，
去分母得： ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方
程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化．
10．关于 的方程 的解为正整数，且关于 的不等式组 有解且最多有 个整数解，
则满足条件的所有整数 的值为_______．
【答案】﹣2，﹣1
【分析】表示出分式方程的解，由分式方程的解为正整数确定出a的值，表示出不等式组的解集，由不等
式组最多有7个整数解，即可得到a的取值范围，从而得出满足条件的所有整数a的值．
【详解】解：分式方程去分母得：8﹣4x＝ax﹣x，
解得：x＝ ，
由分式方程解为正整数，得到a＋3＝1，2，4，8，
解得：a＝﹣2，﹣1，1，5，
又∵x≠2，
∴a≠1，
∴a＝﹣2，﹣1，5，
不等式组整理得： ，
解得：a≤x＜5，
由不等式组有解且最多有7个整数解，得到整数解为4，3，2，1，0，﹣1，﹣2，∴﹣3＜a＜5，
∴整数解为4，3，2，1，0，﹣1，﹣2，
则满足题意a的值为﹣2，﹣1，
故答案为：﹣2，﹣1．
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关
键．
11．已知三个数，x，y，z满足 ，则y的值是______
【答案】
【分析】将 变形为 ，得到
，利用 ，求出 ，代入 即可求出答
案．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
得 ，
∴ ，
将 代入 ，得 ，
∴y= ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查分式的性质，分式的变形计算，根据分式的性质得到 是解题的关键．
12．已知 ，则 的值为__________．
【答案】5
【分析】将方程 同除以 ，得到 ，进而求出 ，将 进行化简，利
用整体思想代入求值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查分式求值，完全平方公式．熟练掌握完全平方公式，以及利用整体思想，进行求值，是
解题的关键．
13．疫情期间，人们的体温倍受关注．某商场计划购进一批 ， 两种型号的体温测量仪器，每台 种仪器价格比每台 种仪器价格多 元，花 元购买 种仪器和花 万元购买 种仪器的数量相同．
(1)求 、 两种仪器每台各多少元？
(2)根据销售情况，需要购进 、 两种仪器共 台，总费用不超过 万元．求 种仪器至少要购买多少
台？
(3)若每台 种仪器售价为 元，每台 种仪器售价 元，在（2）的情况下商场应如何进货才能使这批
体温测量仪器售完后获利最多？
【答案】(1) 种仪器每台 元， 种仪器每台 元
(2) 种仪器至少要购买 台
(3)购买 台 种仪器， 台 种仪器售完后获利最大
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以求得 、 两种仪器每台各多少元，注意分
式方程要检验；
（2）根据题意，可以得到相应的不等式，从而可以得到 种仪器至少要购买多少台；
（3）根据题意，可以得到利润与购买 种仪器数量的函数关系式，然后根据一次函数的性质，即可得到
商场应如何进货才能使这批体温测量仪器售完后获利最多．
【详解】（1）解：设 种仪器每台 元，则 种仪器每台 元，依题意，
解得，
经检验， 是原分式方程的解，
，
答： 种仪器每台 元， 种仪器每台 元；
（2）设购买 种仪器 台，则购买 两种仪器 台，依题意，
，
解得， ，
答： 种仪器至少要购买 台；
（3）设获利 元，依题意，
，
，
随着 的增大而减少，，
当 时， 取得最大值，此时 ， ，
即购买 台 种仪器， 台 种仪器售完后获利最大．
【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题
意，列出相应的分式方程，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
14．2022年某地桑葚节于4月5日到4月20举行，热情的当地居民为游客准备了桑葚茶、桑葚酒、桑葚酱、
桑葚膏等等，在当地举行的“桑葚会”上，游客不仅可以品尝纯正的桑葚茶、桑葚酒、桑葚酱、桑葚音，
而且还能体验制作它们的过程．各类桑葚产品均对外销售，游客们可以买一些送给亲朋好友．已知桑葚酒
是桑葚酱单价的 ，预计桑葚节期间全镇销售桑葚酒和桑葚酱共7500千克，桑葚酒销售额为200000元，
桑葚酱销售额为125000元．
(1)求本次桑葚节预计销售桑葚酒和桑葚酱的单价；
(2)今年因受“新冠”疫情的影响，前来参加桑葚节的游客量比预计有所减少，当地镇府为了刺激经济，减
少库存，将桑葚酒和桑葚酱降价促销．桑葚酱在预计单价的基础上降低 销售，桑葚酒比预计单
价降低 元销售，这样桑葚酱的销量跟预计一样，桑葚酒的销量比预计减少了a%，桑葚酒和桑葚酱的销
售总额比预计减少了3500a元．求a的值
【答案】(1)预计销售桑葚酱的单价为50元/千克，销售桑葚酒的单价为40元/千克
(2)20
【分析】（1）设预计销售桑葚酱的单价为x元/千克，则销售桑葚酒的单价为 元/千克，根据销售桑菩
酒和桑菩酱共7500千克，桑葚酒销售额为200000元，桑葚酱销售额为125000元，列分式方程，解此分式
方程即可解答；
（2）根据题意分别计算出降价后，桑葚酱的销售单价、销售量，桑葚酒的销售单价、销售量，再由销售
总额比预计减少了3500a元列方程，解此方程即可解答．
【解析】（1）解：设桑葚节预计销售桑葚酱的单价为x元/千克，则销售桑葚酒的单价为 元/千克，
根据题意得： ，解得：
经检验， 是方程的解，
答：预计销售桑葚酱的单价为50元/千克，则销售桑葚酒的单价为40元/千克．
（2）
桑葚酱降价后的单价为 ，桑葚酒降价后的单价为 元，
桑葚酱的销量为 千克，桑葚酒的销量为 千克，
∴
解得：a=20或a=0（舍去），
∴a=20
【点睛】本题考查分式方程的应用、一元二次方程的应用等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
15．阅读下列三份材料：
材料1：我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之
为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式”
如 ， 这样的分式就是假分式；再如 ， 这样的分式就是真分式；
类似的，假分式也可以化为带分式．如： ；
材料2：在学了乘法公式“ ”的应用后，王老师提出问题：求代数式 的最
小值．要求同学们运用所学知识进行解答．
同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法：
解： ，
∵ ，∴ ．
当 时， 的值最小，最小值是1．∴ 的最小值是1．
材料3：由 得， ；如果两个正数a，b，即 ， ，则有下面的不等式：
，当且仅当a=b时取到等号．
例如：已知 ，求式子 的最小值．
解：令a=x， ，则由 ，得 ，当且仅当 时，即x=2时，式子有最小
值，最小值为4．
请你根据上述材料，解答下列各题：
(1)已知 ，填空：
①把假分式 化为带分式的形式是________；
②式子 的最小值为________；
③式子 的最小值为________；
(2)用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长
方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
(3)已知 ，分别求出分式 和 的最值．（若有最大值，则求最大值，若有最小值，
则求最小值）．
【答案】(1)① ；② ；③24
(2)当长为8，宽为4时，所用篱笆最短16米；
(3) 有最小值 ， 有最小值
【分析】（1）①根据已知材料1，将分子改写成x+2-3，进一步计算即可；
②根据材料2，将原式化成完全平方式加常数的形式，即可可到答案；
③根据材料3，将原式进行改写，即可得到答案；
（2）首先设长方形的长为x，然后根据材料3 进行计算即可得到答案；（3）根据材料1和材料3，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；
（1）
①解： ；
故答案为 ；
②解： ，
∵ ，
∴ ，
∴当x=-4时，原式的最小值为-1；
故答案为-1；
③解：∵ ，设 ，
则： ，
∴ ，
∴ ，当仅当 时，即x=3时取等号，
∴当x=3时，原式的最小值为24；
故答案为24；
（2）
设长为x，宽为y．则xy=32，欲使x+2y最小，
∵x＞0，y＞0，
∴ ，
当且仅当x=2y时取得等号，
由 ，解得，x=8，y=4，
即长为8，宽为4时，所用篱笆最短．
最短篱琶为16米．（3）
解：
，
∵ ，
∴ ，当仅当 时取等号，
∴ ，
∴ ，
故当 时， 有最小值 ；
=
=
= ，
∵
∴ ，当且仅当 时，即x=2时取等号，
∴
∴∴
∴
故当x=2时， 有最小值 ．
【点睛】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等
式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计
算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键．
16．为了防疫，师大一中需购买甲、乙两种品牌的温度枪，已知甲品牌温度枪的单价比乙品牌温度枪的单
价低40元，且用 元购买甲品牌温度枪的数量是用 元购买乙品牌温度枪的数量的 倍．
(1)求甲、乙两种品牌温度枪的单价．
(2)若学校计划购买甲、乙两种品牌的温度枪共 个，且乙品牌温度枪的数量不小于甲品牌温度枪数量的2
倍，购买两种品牌温度枪的总费用不超过 元．设购买甲品牌温度枪m个，则该校共有几种购买方案？
(3)在（2）条件下，采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少？
【答案】(1)甲、乙两种品牌温度枪的单价分别为： 元， 元；
(2)该校共有两种购买方案：方案一：购买甲种 个，乙种 个；方案二：购买甲种 个，乙种 个；
(3)购买甲种 个，乙种 个费用最低，最低为 元．
【分析】（1）设甲品牌温度枪的单价为x元，则乙品牌温度枪的单价为 元，根据用 元购买甲
品牌温度枪的数量是用 元购买乙品牌温度枪的数量的 倍列方程即可得到答案；
（2）根据总费用不超过15000元及乙品牌温度枪的数量不小于甲品牌温度枪数量的2倍列不等式组求解即
可得到答案；
（3）根据（2）代入求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设甲品牌温度枪的单价为x元，则乙品牌温度枪的单价为 元，由题意可得，
，
解得： ，
经检验 是原方程的解，则 ，
答：甲、乙两种品牌温度枪的单价分别为： 元， 元；
（2）解：由题意可得，
且m为整数，
解得： ，且m为整数，
∴m为： 或 ，
∴该校共有两种购买方案，
方案一：购买甲种 个，乙种 个；
方案二：购买甲种 个，乙种 个；
（3）解：由（2）得，
方案一费用为： （元），
方案二费用为： （元），
∵ ，
∴方案二：购买甲种 个，乙种 个费用最低，最低为 元．
【点睛】本题考查分式方程解决应用题，不等式组择优方案选取问题，解题的关键是根据题意找到等量关
系式及不等关系式．
