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专题突破练 10 三角函数与解三角形解答题
1.(2021·山东滨州期中)已知向量a=(cos x,sin x),b=(4√3sin x,4sin x),若f(x)=a·(a+b).
(1)求f(x)的单调递减区间;
[ π]
(2)求f(x)在区间 0, 上的最值.
2
2. (2021·北京丰台区模拟)如图, ABC中,∠B=45°,N是AC边的中点,点M在AB边上,且
MN⊥AC,BC=√6,MN=√3.
△
(1)求∠A;
(2)求BM.
3. (2021·山东潍坊二模)如图,D为△ABC中BC边上一点,∠B=60°,AB=4,AC=4√3.给出如下三种数值
方案:①AD=√5;②AD=√15;③AD=2√7.
判断上述三种方案所对应的△ABD的个数,并求△ABD唯一时,BD的长.
π
4.(2021·海南海口月考)在△ABC中,已知a,b,c分别是角A,B,C的对边,bcos C+ccos B=4,B= .请在下
4
列三个条件中,任意选择一个添加到题目的条件中,求△ABC的面积.
①(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=3asin B;②b=4√2;③√3csin B=bcos C.
5. (2021·辽宁大连一模)如图,有一底部不可到达的建筑物,A为建筑物的最高点.某学习小组准备了三
种工具:测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度).
(1)请你利用准备好的工具(可不全使用),设计一种测量建筑物高度AB的方法,并给出测量报告.
注:测量报告中包括你使用的工具,测量方法的文字说明与图形说明,所使用的字母和符号均需要解释
说明,并给出你最后的计算公式.(2)该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量,并将计算结果汇报给老师,发现计算结果与该建筑
物实际的高度有误差,请你针对误差情况进行说明.
2π
6.(2021·湖北武汉3月质检)在△ABC中,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B= ,b= .
√6
3
2
(1)若cos Acos C= ,求△ABC的面积.
3
1 1
(2)试问 + =1能否成立?若能成立,求此时△ABC的周长;若不能成立,请说明理由.
a c(b-c)sinC
7.(2021·湖南长沙模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 =sin B-sin A.
b+a
(1)求角A;
1 1
(2)若a=2,求 + 的最小值.
tanB tanC
8. (2021·江苏南京期中)如图,某景区内有一半圆形花圃,其直径AB为6,O是圆心,且OC⊥AB.在OC
上有一座观赏亭Q,其中∠AQC= 2π .计划在 ⏜ 上再建一座观赏亭P,记∠POB=θ ( 0<θ< π) .
BC
3 2
π
(1)当θ= 时,求∠OPQ的大小;
3
(2)当∠OPQ越大时,游客在观赏亭P处的观赏效果越佳,当游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时,求
sin θ的值.专题突破练 10 三角函数与解:三角形解:答题
1-cos2x
1.解: 由于f(x)=a·(a+b)=|a|2+a·b=1+4 sin xcos x+4sin2x=1+2 sin 2x+4· =2
√3 √3
2
√3sin 2x-2cos 2x+3=4sin( 2x- π)+3.
6
π π 3π π 5π
(1)由 +2kπ≤2x-
≤
+2kπ(k∈Z),解得 +kπ≤x≤ +kπ(k∈Z),
2 6 2 3 6
[π 5π ]
所以f(x)的单调递减区间是 +kπ, +kπ (k∈Z).
3 6
[ π] π [ π 5π]
(2)由于x∈ 0, ,所以2x- ∈ - , ,
2 6 6 6
π π π
故当2x- = ,即x= 时,函数f(x)取最大值7;
6 2 3
π π
当2x- =- ,即x=0时,函数f(x)取最小值1.
6 6
2. 解: (1)如图,连接MC,因为N是AC边的中点,且MN⊥AC,
所以MC=MA.
MN √3 √3
在Rt AMN中,MA= = ,所以MC= .
sin A sin A sin A
△
MC BC
在△MBC中,由正弦定理可得 = ,而∠BMC=2∠A,
sinB sin∠BMC
√3 √6
所以 √3 = √6 ,即 √2 = 2sin AcosA ,
sin A·sin45° sin2A sin A·
2
1
所以cos A= ,故∠A=60°.
2
√3
(2)由(1)知MC=MA= =2,∠BMC=2∠A=120°.
sin60°
在△BCM中,由余弦定理得BC2=BM2+MC2-2BM·MC·cos∠BMC,所以(√6)2=BM2+22-
2BM·2·cos 120°,
解得BM=√3-1(负值舍去).
3.解: 过点A作AE⊥BC,垂足为点E(图略),则AE=4·sin 60°=2√3,当AD=√5时,AD0),
所以在△ABD中由余弦定理得(2√7)2=42+x2-2×4×x×cos 60°,即x2-4x-12=0,解得x=6或
x=-2(舍去).
又因为在△ABC中易得BC=8,BD=6a,所以B>A,因此A= 不合题意舍去,故A= ,从而C=π- − = .
6 6 6 4 12
1 1 7π
故△ABC的面积S= absin C= ×4×4 ×sin =4( +1).
√2 √3
2 2 12
若选择条件③,因为bcos C+ccos B=4,a2+b2-c2 a2+c2-b2
所以b· +c· =4,所以a=4.
2ab 2ac
√3 π
因为 csin B=bcos C,所以 sin Csin B=sin Bcos C,所以tan C= ,于是C= ,从而A=π-
√3 √3
3 6
π π 7π
− = ,
6 4 12
a b
所以由正弦定理可得 = ,
sin A sinB
π
4sin
所以b=asinB 4 =4( -1),
= √3
sin A 7π
sin
12
1 1 π
故△ABC的面积S= absin C= ×4×4( -1)×sin =4( -1).
√3 √3
2 2 6
5.解: (1)选用测角仪和米尺,如图所示.
①选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上.
②在H,G两点用测角仪测得A的仰角分别为α,β,HG=a,即CD=a.测得测角仪器的高是
h.
AC CD
③(方法一)在△ACD中,由正弦定理,得 = ,
sinα sin(β-α)
CDsinα asinα
所以AC= = ,
sin(β-α) sin(β-α)
asinαsinβ
在Rt ACE中,有AE=ACsin β= ,
sin(β-α)
△
asinαsinβ
所以建筑物的高度AB=AE+h= +h.
sin(β-α)
AE
(方法二)在Rt ADE中,DE= ,
tanα
△
AE
在Rt ACE中,CE= ,
tanβ
△
AE AE AE(tanβ-tanα)
所以CD=DE-CE= − = ,
tanα tanβ tanαtanβ
atanαtanβ
所以AE= ,
tanβ-tanαatanαtanβ
所以建筑物的高度AB=AE+h= +h.
tanβ-tanα
(2)①测量工具问题;
②两次测量时位置的间距差;
③用身高代替测角仪的高度.
2π π 1
6.解: (1)由B= ,得A+C= ,cos(A+C)=cos Acos C-sin Asin C,即 =cos Acos C-sin Asin
3 3 2
C.
2 1
因为cos Acos C= ,所以sin Asin C= .
3 6
a c √6
= =
因为 =2 ,所以a=2 sin A,c=2 sin C.
sin A sinC √3 √2 √2 √2
2
1 1 √3 √3
所以S ABC = ·2 √2 sin A·2 √2 sin C·sin B=4sin A·sin Bsin C=4× × = .
2 6 2 3
△
1 1
(2)假设 + =1能成立,所以a+c=ac.
a c
由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B,所以6=a2+c2+ac.
所以(a+c)2-ac=6,所以(ac)2-ac-6=0,所以ac=3或ac=-2(舍去),此时a+c=ac=3.
1 1
不满足a+c≥2 √ac ,所以 + =1不成立.
a c
(b-c)sinC
7.解: (1)由 =sin B-sin A,可得(b-c)sin C=(sin B-sin A)(b+a),
b+a
由正弦定理得(b-c)c=(b-a)(b+a),即b2+c2-a2=bc,
b2+c2-a2 1
由余弦定理,得cos A= = ,
2bc 2
π
因为00),可得2R= = ,
3 sin A 3
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc≥bc,
即bc≤a2=4,当且仅当b=c=2时取等号,
又
1 1 cosB cosC cosBsinC+sinBcosC sin(B+C) sin A 2R·2Rsin A 2R·a 8√3 8√3 2√3
+ = + = = = = = = ≥ =
tanB tanC sinB sinC sinBsinC sinBsinC sinBsinC 2RsinB·2RsinC bc 3bc 3×4 3
1 1 2√3
所以 + 的最小值为 .
tanB tanC 32π π
8.解: (1)在△POQ中,因为∠AQC= ,所以∠AQO= .
3 3
又OA=OB=3,所以OQ=√3.
π
设∠OPQ=α,则∠PQO= -α+θ.
2
3 √3
=
由正弦定理,得
(π )
sinα,即
√3
sin α=cos(α-θ),
sin -α+θ
2
整理得tan α= cosθ ,其中θ∈( 0, π) .
√3-sinθ 2
当θ= π 时,tan α= √3 .因为α∈( 0, π) ,所以α= π .
3 3 2 6
π π
故当θ= 时,∠OPQ= .
3 6
(2)设f(θ)= cosθ ,θ∈( 0, π) ,
√3-sinθ 2
-sinθ(√3-sinθ)+cos2θ 1-√3sinθ
则f'(θ)= = .
(√3-sinθ)2 (√3-sinθ)2
√3 √3
令f'(θ)=0,得sin θ= ,记锐角θ 满足sin θ = .
0 0
3 3
π
当0<θ<θ 时,f'(θ)>0;当θ <θ< 时,f'(θ)<0.
0 0
2
所以f(θ)在θ=θ 处取得极大值亦即最大值.
0
由(1)可知tan α=f(θ)>0,则α∈( 0, π) ,又y=tan α单调递增,则当tan α取最大值时,α也取
2
得最大值.
√3
故游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时,sin θ= .
3
