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第五章 二元一次方程组
一、单选题
1．（2019·全国·八年级单元测试）下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二元一次方程组的定义判断逐项分析即可，方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且未
知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程．
【详解】A. 只含有一个未知数，故不是二元一次方程；
B. 是二元一次方程
C. 的分母含未知数，故不是二元一次方程
D. 含有二次项，故不是二元一次方程
故选B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解答本题的关键．
2．（2019·全国·八年级单元测试）将方程 中含x的项的系数化为正整数，下列结果正确的是（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等式基本性质2，观察答案，则等式两边同乘以-4即可.
【详解】 +y=1两边同乘以-4，得
2x-4y=-4，
故选A．
【点睛】本题考查了等式的基本性质．它是解方程的基本知识，必须熟练掌握．
3．（2020·陕西·西安市曲江第二中学八年级阶段练习）若直线 与直线 的交点在第一象
限，则 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】联立两直线解析式求出交点坐标，再根据交点在第一象限列出不等式组求解即可．
【详解】解：根据题意，联立方程组 ，
解得： ，则两直线交点坐标为 ， ，
两直线交点在第一象限，
，
解得： ,
故选：C．
【点睛】本题考查了两直线相交的问题，解二元一次方程组和一元一次不等式组，联立两函数解析式求交
点坐标是常用的方法．
4．（2020·内蒙古·呼和浩特市实验中学七年级期末）已知 是二元一次方程组 的解，则
m+n的值为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】B
【分析】根据方程组解的定义，方程组的解适合方程组中的每个方程，转化为关于m、n的方程组即可解
决问题．
【详解】解：∵ 是二元一次方程组 的解，
∴ ，
解得 ，
∴m+n=5．
故选：B．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，理解方程组解的定义是解决问题的关键．
5．（2021·福建·北京师范大学厦门海沧附属学校七年级）已知 ， 和 ， 是二元一次方
程 的两个解，则一次函数 的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知方程的解，可以把这对数值代入方程，得到两个含有未知数a，b的二元一次方程，联立方
程组求解，从而可以求出a，b的值，进一步得出解析式即可．
【详解】解：∵ ， 和 ， 是二元一次方程 的两个解，
∴ ，解得： ．
∴一次函数 的解析式为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了方程的解的意义和二元一次方程组的解法．解题关键是把方程的解代入原方程，使原
方程转化为以系数a和b为未知数的方程，再求解．
6．（2020·全国·七年级单元测试）方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】①+②+③得出x+y+z=0④，④-①、④-②、④-③，即可求出z、y、x的值．
【详解】 ，
①+②+③得：2x+2y+2z=0，
x+y+z=0④，
④-①得：z=1，
④-②得：y=0，
④-③得：x=-1，
所以原方程组的解为： ．
故选：D．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，能选择适当的方法正确消元是解此题的关键．
7．（2021·河南通许·七年级期末）如果方程组 的解中的x与y的值相等，那么a的值是（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，解出a的数值．
【详解】解：根据题意得 ，把③代入①得：3y+7y＝10，解得y=1
把y=1代入③得x=1
解得：y＝1，x＝1，
代入②得：a+（a﹣1）＝5，
解得：a＝3．
故选：C．
【点睛】此题主要考查三元一次方程组的应用，解题的关键是熟知代入消元法解方程．
8．（2021·甘肃·兰州市外国语学校八年级期末）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中有这样一
道题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几
何？”译文：今有醇酒（优质酒）1斗，价格50钱；行酒（勾兑酒）1斗，价格10钱．现有30钱，买2
斗酒，问能买醇酒、行酒各多少斗？设能买醇酒 斗，斗酒 斗，可列二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设能买醇酒 斗，行酒 斗，利用总价 单价 数量，结合用30钱共买2斗酒，即可得出关于 ，
的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设能买醇酒 斗，行酒 斗．
买2斗酒，
；
醇酒1斗，价格50钱；行酒1斗，价格10钱，且共花费30钱，
．
联立两方程组成方程组 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次
方程组．
二、填空题
9．（2019·全国·八年级单元测试）在《九章算术》的“方程”一章中，一次方程组是由算筹布置而成的，
若图1所示的算筹图表示的方程组为 ，则图2所表示的方程组的解为__________．【答案】
【分析】类比图1所示的算筹的表示方法解答即可．
【详解】解：根据图1所示的算筹的表示方法，可推出图2所示的算筹的表示的方程组为
解得:
故答案为:
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意、正确列出方程组是关键．
10．（2019·全国·八年级单元测试）已知 是关于 、 的二元一次方程组 的解，则
的值为__________．
【答案】7
【分析】把 代入 ，求出m和n的值，然后可求m+2n的值．
【详解】解：∵ 是关于x、y的二元一次方程组 的解 ，
∴ ，
解得： ，
∴m+2n=-4+11=7．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了对二元一次方程组的解的理解与应用，理解与掌握二元一次方程组的解的概念以及能
熟练解二元一次方程组是解决此题的关键．
11．（2020·广东高州·八年级期末）若直线 经过直线 与 的交点，则b的值为
____________．
【答案】-5【分析】先求出直线y=x-2与直线y=-x+4的交点坐标，再代入直线y=2x+b，求出b的值．
【详解】解：解方程组 ，
得 ．
∴直线 与 的交点为（3，1）
把（3，1）代入y=2x+b，
得：1=2×3+b，
解得：b=-5．
故答案为-5．
【点睛】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上
的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
12．（2019·全国·八年级单元测试）若方程组 是关于 ， 的二元一次方程组，则代数式
______．
【答案】 或
【分析】根据二元一次方程组的定义：（1）含有两个未知数；（2）含有未知数的项的次数都是1．
【详解】解：若方程组 是关于x，y的二元一次方程组，
则c＋3＝0，a−2＝1，b＋3＝1，
解得c＝−3，a＝3，b＝−2．
所以代数式a＋b＋c的值是−2．
或c＋3＝0，a−2＝0，b＋3＝1，
解得c＝−3，a＝2，b＝−2．
所以代数式a＋b＋c的值是−3．
综上所述，代数式a＋b＋c的值是−2或−3．
故答案为：−2或−3．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，利用它的定义即可求出代数式的解．
13．（2019·全国·八年级单元测试）若函数y＝2x+b的图象与两坐标轴围成的三角形面积为4，那么b＝
_______．
【答案】±4
【分析】利用一次函数y＝2x+b的图象与x轴交点和与y轴交点的特点求出坐标，以及图象与坐标轴所围
成的三角形是直角三角形求解．
【详解】解：∵当y＝0时，0＝2x+b，∴ ；
当x＝0时，y＝b，
∴一次函数y＝2x+b的图象与坐标轴所围成的三角形面积： ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了一次函数的图像与性质，涉及了三角形面积的求解，解题的关键是根据函数解析式求
得与坐标轴的交点．
14．（2020·贵州·水城实验学校八年级阶段练习）如图，点A是一次函数 图象上的动点，作AC⊥x
轴与C，交一次函数 的图象于B． 设点A的横坐标为 ，当 ____________时，AB=1．
【答案】 或
【分析】分别用m表示出点A和点B的纵坐标，用点A的纵坐标减去点B的纵坐标或用点B的纵坐标减去
点A的纵坐标得到以m为未知数的方程，求解即可．
【详解】解：∵点A是一次函数 图象上的动点，且点A的横坐标为 ，
∴
∵AC⊥ x轴与C，
∴
∴
∵
∴
解得， 或
故答案为 或
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据A点横坐标和点的坐标特征求得A、B点纵坐标
是解题的关键．
三、解答题
15．（2019·全国·八年级单元测试）解下列方程组：（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据代入消元法计算即可；
（2）根据加减消元法计算即可；
【详解】解：（1） ，
把①代入②中，得到 ，
解得： ，
把 代入①中，得： ，
∴方程组的解集为 ；
（2） ，
得： ，
解得： ，
把 代入②中，得： ，
∴方程组的解为 ．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的求解，准确计算是解题的关键．
16．（2019·全国·八年级单元测试）在解关于x，y的方程组 时，可以用①×7-②×3消
去未知数 ，也可以用①×2+②×5 消去未知数 ．
（1）求 和 的值：
（2）求原方程组的解
【答案】（1）m=2，n=5；（2）
【分析】（1）根据题意得出 ，求解即可；
（2）将（1）中的解代回原方程求解即可．
【详解】（1）由题意可得方程组：整理此方程组得：
，
① 得， ③，
② 得， ④，
③-④得， ，
解之得， ，
把 代入②中，得 ，
所以 ；
（2）将 代入原方程组即为，
① 得： ③，
② 得， ④，
③＋④得，
解得： ，
把 代入②中，得 ，
所以原方程的解为 ．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，根据题意求出 的值是解题的关键．
17．（2019·全国·八年级单元测试）已知等式 对于一切有理数 都成立，求
A，B的值．
【答案】
【分析】本题根据关键语“等式（2A-7B）x+（3A-8B）=8x+10对一切实数x都成立”，只要让等式两边x
的系数和常数分别相等即可列出方程组求解．
【详解】解：由题意可得：
解得： ．答：A、B的值分别为 ， ．
【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求
解．
18．（2020·山东东昌府·九年级学业考试）1号仓库与2号仓库共存粮 ．现从1号仓库运出存粮的
60%，从2号仓库运出存粮的40%，结果2号仓库所余粮食比1号仓库所余粮食多 ．1号仓库与2号仓
库原来各存粮多少吨？
【答案】1号仓库原来存粮240 ，2号仓库原来存粮210 ．
【分析】设1号仓库原来存粮 ，2号仓库原来存粮 ，根据题意列二元一次方程组解答．
【详解】解：设1号仓库原来存粮 ，2号仓库原来存粮 ．
根据题意，得 ．
解得 ．
【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
19．（2020·江苏·睢宁县古邳中学七年级阶段练习）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年02月04日至
2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会．
冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”陶制品分为小套装和大套装两种．已知购买2个小套装比购买1个
大套装少用20元；购买3个小套装和2个大套装，共需390元．
（1）求这两种套装的单价分别为多少元？
（2）太原市某校计划用不多于1500元的资金购买这种陶制品小套装和大套装共20个作为奖品，则该校最
多可以购买大套装多少个？
【答案】（1）小套装的单价为50元，大套装的单价为120元；（2）7个
【分析】（1）设小套装的单价为x元，大套装的单价为y元，根据“购买2个小套装比购买1个大套装少
用20元；购买3个小套装和2个大套装，共需390元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可
得出这两种套装的单价；
（2）设该校购买大套装m个，则购买小套装（20﹣m）个，利用总价＝单价×数量，结合总价不多于1500
元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出该
校最大可以购买大套装的数量．
【详解】解：（1）设小套装的单价为x元，大套装的单价为y元，
依题意得： ，解得： ．
答：小套装的单价为50元，大套装的单价为120元．
（2）设该校购买大套装m个，则购买小套装（20﹣m）个，
依题意得：120m＋50（20﹣m）≤1500，
解得：m≤ ．
又∵m为正整数，
∴m的最大值为7．
答：该校最多可以购买大套装7个．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量
关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
20．（2018·山东·八年级期末）某大酒店客房部有三人间、双人间和单人间客房，收费数据如下表（例如
三人间普通间客房每人每天收费50元）.为吸引客源，在“十一黄金周”期间进行优惠大酬宾，凡团体入
住一律五折优惠.一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间普通客房，并
且每个客房正好住满，一天一共花去住宿费1510元.
普通间 豪华间（元/人/天） 贵宾间
（元/人/天） （元/人/天）
三人间 50 100 500
双人间 70 150 800
单人间 100 200 1500
（1）三人间、双人间普通客房各住了多少间？
（2）设三人间共住了x人，则双人间住了 人，一天一共花去住宿费用y元表示，写出y与x的函数关
系式；
（3）如果你作为旅游团团长，你认为上面这种住宿方式是不是费用最少？为什么？
【答案】（1）三人间、双人间普通客房各住了8间，13间．（2） ; （3）不是.理由
见解析
【分析】（1）分别设三人间和双人间为x，y，根据人数和钱数列方程组求解；
（2）根据收费列出表达式整理即可；
（3）利用（2）一次函数的性质，可得到y随着x的增大而减小，x最大为48，而题中安排方式x=24，故不是
【详解】（1）设三人间普通客房住了x间，双人间普通客房住了y间，由题意可得
，解得x=8，y=13
故三人间、双人间普通客房各住了8间，13间．
（2）设三人间共住了x人，则双人间住了50-x人，一天一共花去住宿费用y= [50x
+70（50-x）]=-10x+1750（0≤x＜50）
（3）不是，因为在一次函数中y随着x的增大而减小，因为x应该为3的倍数，所以x最大为48，故y取
最小值时x=48，题中住宿方式三人间人数为24人，故不是费用最少，费用最少为x=48时，y=1270元
【点睛】本题主要考查一次函数的简单应用，解题关键在于能够读懂题意，解出函数解析式.
21．（2015·河北·模拟预测）如图，l 表示某产品一天的销售收入与销售量的关系；l 表示该产品一天的销
1 2
售成本与销售量的关系．
（1）求销售收入y 与销售量之间的函数关系式；
1
（2）求销售成本y 与销售量之间的函数关系式；
2
（3）当一天的销售量超过多少时，生产该产品才能获利．（提示：利润＝收入﹣成本）
【答案】（1）y＝x；（2）y＝ x+2；（3）当x＞4时，生产该产品才能获利
1 2
【分析】（1）根据函数图象中的数据，利用待定系数法计算出销售收入y 与销售量x之间的函数关系式；
1
（2）根据函数图象中的数据，利用待定系数法计算出销售成本y 与销售量之间的函数关系式；
2
（3）根据函数图象，可以得到当一天的销售量超过多少时，生产该产品才能获利．
【详解】解：（1）设销售收入y 与销售量x之间的函数关系式是y＝kx，
1 1
∵点（4，4）在该函数图象上，
∴4＝4k，
解得k＝1，
即销售收入y 与销售量x之间的函数关系式是y＝x；
1 1
（2）设销售成本y 与销售量x之间的函数关系式是y＝ax+b，
2 2
∵点（0，2），（4，4）在该函数图象上，
∴ ，解得 ，
即销售成本y 与销售量x之间的函数关系式是y＝ x+2；
2 2
（3）由图象可得，当x＞4时，生产该产品才能获利．
【点睛】此题考查函数的图象，利用待定系数法求函数解析式，比较函数值的大小，正确理解函数图象
及掌握待定系数法求函数解析式的步骤是解题的关键．
22．（2019·全国·八年级单元测试）小明和小亮进行百米赛跑，小明比小亮跑得快．如果两人同时起跑，
小明肯定赢．现在小明让小亮先跑若干米．图中 ， 分别表示两人的路程与小明追赶时间的关系．
（1）哪条线表示小明的路程与时间之间的关系？
（2）小明让小亮先跑了多少米？
（3）谁将赢得这场比赛？
（4） 对应的一次函数表达式中，一次项系数是多少？它的实际意义是什么？
【答案】（1） ；（2） ；（3）小明将赢得这场比赛；（4）6，小亮每秒跑
【分析】（1）根据图像，得 到 时间段内， ， 对应的路程增加量，结合题意，路程增加多的
线即表示小明的路程与时间之间的关系；
（2）根据图像，当 时，得 ， 分别对应的路程，即可得到答案；
（3）根据（1）的结论，分别计算得小明和销量跑到 终点对应的时间，再根据有理数大小比较的性
质分析，即可得到答案
（4）结合题意，根据一次函数的性质分析，即可得到答案．
【详解】（1）根据题意， 到 时间段内， ， 对应的路程增加量为： 、
∴ 对应的路程增加较多
∵小明比小亮跑得快
∴ 表示小明的路程与时间之间的关系；（2）根据图像，当 时， ， 分别对应的路程为： 、
∴小明让小亮先跑了 ；
（3）根据（1）的结论，小明跑到 终点对应的时间为：
小亮跑到 终点对应的时间为：
∵
∴小明将赢得这场比赛；
（4）根据题意， 对应的一次函数表达式中，一次项系数是6，它的实际意义是：小亮每秒跑 ．
【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数图像的性质，从而完成求解．
23．（2020·全国·八年级专题练习）先阅读，再解方程组.
解方程组 时，设 ， ，
则原方程组变为 ，整理，得 ，解这个方程组，得 ，即 .
解得 .
请用这种方法解下面的方程组： .
【答案】
【分析】根据举例，结合换元法a=x+y，b=x-y，可得方程组 ；解方程，可以得到a，b的值，
代入所设，组成关于x，y的方程组，解方程组即可.
【详解】解：设 ， ，则原方程组变为 ，解得 ，所以 ，解得
.
【点睛】此题考查二元一次方程组的解法，解题关键在于可以根据举例的换元法，结合加减消元法进行解
答.
