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第五章 一元一次方程（题型清单）
01 思维导图
02 知识速记
知识点1 一元一次方程
1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程；
标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）；
2.方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值
知识点2 等式的性质
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；
如果a=b，那么a±c=b±c;
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；
1如果a=b，那么ac=bc;如果a=b，c 0，那么 ；
知识点3：含参一元一次方程
1、次数含参：主要考察一元一次方程定义
2、常数项含参：求解一个常数项含参的一元一次方程，依然采用常规的五步法解题
3、解已知或可求：将解代入参数方程，求出参数
知识点4： 解一元一次方程
解一元一次方程的步骤：
1.去分母
两边同乘最简公分母
2.去括号
（1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号
（2）乘法分配律应满足分配到每一项
注意 ：特别是去掉括号，符合变化
3.移项
（1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边；
（2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ．
4. 合并同类项
（1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax b ”的形式（ a 0 ）；
（2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变．
5. 系数化为 1
（1）定义： 方程两边同除以未知数的系数 a ，得 ；
（2）注意：分子、分母不能颠倒
知识点5： 一元一次方程的实际应用
审:弄清题意，分清已知量和未知量，明确各数量间的关系
设:设未知数，并且用含未知数的代数式表示与所列方程有关的数量列:根据题目中的数量关系、相等关
系、倍数关系以及若干倍多或少个数字列方程
解:解所列的方程，求出未知数的值以及题目中所要求的相关数量的值验:检验所求的解是否符合题意，
2是否符合实际意义。
03 题型归纳
题型一 一元一次方程的定义
例题：下列方程中是一元一次方程的是（ ）
A．2x=3 y B．x=9
1 1
C．x2+ (x−1)=1 D． −2=x
2 x
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1
且两边都为整式的等式．据此即可求解．
【详解】解：A：含有两个未知数，不符合题意；
B：为一元一次方程，符合题意；
C：未知数的最高次数为2，不符合题意；
D：含有分式，不符合题意；
故选：B ．
例题：已知方程(k−1)x|k|+1=0是关于x的一元一次方程，则方程的解等于（
）
1
A．1 B．0 C．−1 D．
2
【答案】D
【分析】本题考查的是解一元一次方程和一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义与求解是解
题的关键．根据一元一次方程的定义，即含有1个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程是一元
一次方程，据此求出k的值，然后再求解方程即可．
【详解】解：根据一元一次方程的定义可知，|k|=1且k−1≠0，
解得：k=−1，
原方程为：−2x+1=0，
1
解得：x= ，
2
故选：D
3巩固训练
1．下列方程是一元一次方程的是（ ）
1 1 1
A．3x−5 y=2 B． x= − x
3 3 3
7
C．2x2+9x=0 D．7x−2=
x
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程，根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最
高次数是1次的整式方程叫做一元一次方程即可判断求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：A、方程3x−5 y=2含有两个未知数，不是一元一次方程，该选项不合题意；
1 1 1
B、方程 x= − x是一元一次方程，该选项符合题意；
3 3 3
C、方程2x2+9x=0中未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，该选项不合题意；
7
D、方程7x−2= 的右边不是整式，不是一元一次方程，该选项不合题意；
x
故选：B．
x
2．把方程 =1.5的分母化为整数，可得方程（ ）
0.7
x x 10x 10x
A． =1.5 B． =15 C． =1.5 D． =15
7 7 7 7
【答案】C
【分析】本题考查的是利用分数的基本性质把一元一次方程中的分母化为整数，掌握分数的基本性质
是解题的关键．把分子，分母都乘以10，从而可得答案．
10x 10x
【详解】解： =1.5即 =1.5，
0.7×10 7
故选：C．
3．已知关于x的方程(3a+1)x2−ax+4=0是一元一次方程，则a的值为（ ）
1 1
A．0 B． C．1 D．−
3 3
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫
做一元一次方程，据此求解即可．
4【详解】解：∵关于x的方程(3a+1)x2−ax+4=0是一元一次方程，
∴¿，
1
∴a=− ，
3
故选：D．
4．已知(a−1)x|a|+3=10是关于x的一元一次方程，则a的值为 ．
【答案】−1
【分析】本题主要考查一元一次方程的概念，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
根据一元一次方程的概念可得a≠−1且|a|=1，求解即可．
【详解】解：∵(a−1)x|a|+3=10是关于x的一元一次方程，
∴a≠−1且|a|=1，
∴a=−1．
故答案为：−1．
题型二 等式的性质
例题：运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
a b
A．若ac=bc，则a=b B．若 = ，则a=b
c c
1
C．若2a−b=4，则b=4−2a D．若− x=6，则x=2
3
【答案】B
【分析】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；
性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，
即可得到答案．
【详解】解：A、若ac=bc，当c=0时，a≠b，原变形错误，不符合题意；
a b
B、若 = ，则a=b，原变形正确，符合题意；
c c
C、若2a−b=4，则b=2a−4，原变形错误，不符合题意；
1
D、若− x=6，则x=6×(−3)=−18，原变形错误，不符合题意；
3
故选：B．
5巩固训练
1．已知等式a=b，下列变形不正确的是（ ）
a b
A．3a−2=3b−2 B．−3a=−3b C． = D．a+1=b−1
5 5
【答案】D
【分析】本题考查了等式的性质．熟练掌握等式的性质是解题的关键．
根据等式的性质对各选项判断作答即可．
【详解】解：∵a=b，
a b
∴3a−2=3b−2，−3a=−3b， = ，a+1=b+1≠b−1，
5 5
∴A、B、C正确，故不符合要求；D错误，故符合要求；
故选：D．
U
2．在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间有以下关系：I= ，去分母得
R
IR=U，那么其变形的依据是（ ）
A．等式的基本性质1 B．等式的基本性质2
C．分数的基本性质 D．去括号法则
【答案】B
【分析】本题考查了等式的性质：等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数，等式仍然成立．根据
等式的性质2可得答案．
U
【详解】解：I= ，去分母得IR=U，
R
其变形的依据是等式的性质2，
故选：B．
3．如图，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放（ ）个〇．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了等式性质的应用，设1个△重a，1个〇重b，1个□重c，根据题意，得出
3a=b,2a+b=c，再利用等式性质求解即可．
6【详解】解：设1个△重a，1个〇重b，1个□重c．
根据题意，得3a=b,2a+b=c，
b
将3a=b的两边同除以3，得a= ，
3
b 5b
将a= 代入2a+b=c，得c= ，
3 3
b 5b
∴a+c= + =2b，
3 3
∴“？”处应放2个〇．
故选：B．
4．将方程3x+ y=6写成用含x的代数式表示y为（ ）
y y
A．y=6−3x B．y=3x−6 C．x= −2 D．x=2−
3 3
【答案】A
【分析】本题考查了等式的性质，等式两边同时减去3x即可求解，掌握等式的性质是解题的关键．
【详解】解：∵3x+ y=6，
∴3x+ y−3x=6−3x
即y=6−3x，
故选：A．
题型三 一元一次方程的解
例题：已知x=2是关于x的一元一次方程2x+m−4=0的解，则m的值为（ ）
A．0 B．2 C．−1 D．1
【答案】A
【分析】此题考查了一元一次方程的解，将x=−1代入方程，再解方程即可，解题的关键是正确理解方
程的解的概念及应用．
【详解】把x=2代入方程2x+m−4=0得，2×2+m−4=0，
解得：m=0，
故选：A．
巩固训练
71
1．下列方程中，解是x= 的是（ ）
2
1 3 1 3
A．−2x=4 B．−2x−3=−1 C．− x−1=− D．− x+1=
2 4 2 4
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，牢记方程的解的定义“使方程中等号左右两边相等的未
知数的值，就是方程的解”是解题的关键．
1
分别将x= 依次代入每个方程，若等式左右两边相等，则为方程的解．
2
1
【详解】解：分别将x= 依次代入每个方程，
2
A. 左边=−1，右边=4，
∵左边≠右边，
1
∴x= 不是方程的解；
2
B. 左边=−4，右边=−1，
∵左边≠右边，
1
∴x= 不是方程的解；
2
5 3
C. 左边=− ，右边=− ，
4 4
∵左边≠右边，
1
∴x= 不是方程的解；
2
3 3
D. 左边= ，右边= ，
4 4
∵左边=右边，
1
∴x= 是方程的解；
2
故选：D．
2．整式mx−n的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同值时对应的整式的值：则关于x的方程
−mx+n=8的解为 ．
x −1 0 1 2 3
mx−n −8 −4 0 4 8
8【答案】−1
【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，等式的性质等知识，根据表格得到当x=−1时，
mx−n=8，再根据等式性质进行变形即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由表格得当x=−1时，mx−n=8，
等式两边同乘−1，得−mx+n=8，
所以关于x的方程−mx+n=8的解为x=−1，
故答案为：−1．
3．若x=2是方程8−3x=ax的解，则a= ．
【答案】1
【分析】本题考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解．将x=2
代入原方程进行解答即可．
【详解】解：把x=2代入8−3x=ax得：8−3×2=2a，
解得：a=1，
故答案为：1．
4．若x=0.5是关于x的方程2ax−3b−5=0的解，则代数式3a−9b−10= ．
【答案】5
【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解的概念，本题属于基础题
型．将x=0.5代入原方程即可求出a−3b=5，然后将其整体代入求值．
【详解】解：将x=0.5代入原方程可得：a−3b=5，
3a−9b−10=3(a−3b)−10=15−10=5，
∴故答案为：5
题型四 解一元一次方程
例题：解下列方程：
(1)3x=2x+1； (2)3x+2=4(2x+3)；
x−2 3x+1 0.2−x 1−3x
(3) − =2； (4) −1.5= ；
3 4 0.3 2.5
【答案】(1)x=1
(2)x=−2
(3)x=−7
937
(4)x=−
64
【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类
项、系数化为1，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解此题的关键
（1）先移项、合并同类项、最后合并同类项即可得到答案；
（2）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可得到答案；
（3）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可得到
答案；
（4）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可得到
答案．
【详解】（1）3x=2x+1
移项，得：3x−2x=1，
合并同类项，得：x=1，
（2）3x+2=4(2x+3)
去括号，得：3x+2=8x+12，
移项，得：3x−8x=12−2，
合并同类项，得：−5x=10，
系数化成1，得：x=−2；
x−2 3x+1
（3） − =2
3 4
去分母，得：4(x−2)−3(3x+1)=24，
去括号，得：4x−8−9x−3=24，
移项，得：4x−9x=24+3+8，
合并同类项，得：−5x=35，
系数化成1，得：x=−7；
0.2−x 1−3x
（4） −1.5=
0.3 2.5
2−10x 10−30x
整理，得： −1.5= ，
3 25
去分母，得：25(2−10x)−112.5=3(10−30x)，
去括号，得：50−250x−112.5=30−90x，
移项，得：−250x+90x=30−50+112.5，
10合并同类项，得：−160x=92.5，
37
系数化成1，得：x=− ；
64
巩固训练
1．下列各题正确的是 （ ）
A．由7x=4x−3移项得7x−4x=3
2x−1 x−3
B．由 =1+ 去分母得2(2x−1)=1+3(x−3)
3 2
C．由2(2x−1)−3(x−3)=1去括号得4x−2−3x−9=1
D．由2(x+1)=x+7去括号、移项、合并同类项得x=5
【答案】D
【分析】本题考查解一元一次方程，涉及解一元一次方程的方法步骤：去分母、去括号、移项、合并
同类项、系数化为1等，根据解一元一次方程的步骤逐项验证即可得到答案，熟记一元一次方程的解法
步骤是解决问题的关键．
【详解】解：A、由7x=4x−3移项得7x−4x=−3，选项移项变号错误，不符合题意；
2x−1 x−3
B、由 =1+ 去分母得2(2x−1)=6+3(x−3)，选项去分母漏项，不符合题意；
3 2
C、由2(2x−1)−3(x−3)=1去括号得4x−2−3x+9=1，选项去括号变号错误，不符合题意；
D、由2(x+1)=x+7去括号、移项、合并同类项得x=5；
故选：D．
2．将 3(x−1)−2(x−3)=5(1−x) 去括号得（ ）
A．3x−1−2x−3=5−x B．3x−1−2x+3=5−x
C．3x−3−2x−6=5−5x D．3x−3−2x+6=5−5x
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键．去
括号时，一是注意不要漏乘括号内的项，二是明确括号前的符号．
【详解】解：3(x−1)−2(x−3)=5(1−x) 去括号得3x−3−2x+6=5−5x．
故选D．
3．解方程：
(1)5x+2=−8； (2)3x−4(2x+5)=x+4；
x−1 x+2 4−x x−2 x+1
(3) − = ； (4) − =1．
3 6 2 0.2 0.3
11【答案】(1)x=−2
(2)x=−4
(3)x=4
(4)x=8.6
【分析】本题考查的知识点是解一元一次方程，根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
解题即可．
（1）根据移项、合并同类项、系数化为1解题即可；
（2）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1解题即可；
（3）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解题即可；
（4）先整理，然后根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解题即可．
【详解】（1）解：5x+2=−8
移项得：5x=−8−2，
合并得：5x=−10，
系数化为1得：x=−2；
（2）3x−4(2x+5)=x+4
去括号得：3x−8x−20=x+4，
移项得：3x−8x−x=20+4，
合并得：−6x=24，
系数化为1得：x=−4；
x−1 x+2 4−x
（3）解： − =
3 6 2
去分母得：2(x−1)−(x+2)=3(4−x)，
去括号得：2x−2−x−2=12−3x，
移项得：2x−x+3x=12+2+2，
合并得：4x=16，
系数化为1得：x=4；
x−2 x+1
（4） − =1
0.2 0.3
10(x+1)
整理得：5(x−2)− =1，
3
去分母得：15(x−2)−10(x+1)=3，
去括号得：15x−30−10x−10=3，
12移项得：15x−10x=3+30+10，
合并得：5x=43，
系数化为1得：x=8.6．
4．解下列方程
(1)3x−4=29 (2)3x−2=−5(x+2)
x+1 3x−2
(3)4x−3(20−x)+4=0 (4) =
3 2
【答案】(1)x=11
(2)x=−1
(3)x=8
8
(4)x=
7
【分析】本题主要考查了解一元一次方程：
（1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（3）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（4）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．
【详解】（1）解：3x−4=29
移项得：3x=29+4，
合并同类项得：3x=33，
系数化为1得：x=11；
（2）解：3x−2=−5(x+2)
去括号的：3x−2=−5x−10，
移项得：3x+5x=−10+2，
合并同类项得：8x=−8，
系数化为1得：x=−1；
（3）解：4x−3(20−x)+4=0
去括号的：4x−60+3x+4=0，
移项得：4x+3x=60−4，
合并同类项得：7x=56，
系数化为1得：x=8；
13x+1 3x−2
（4）解： =
3 2
去分母的：2(x+1)=3(3x−2)，
去括号的：2x+2=9x−6，
移项得：2x−9x=−6−2，
合并同类项得：−7x=−8，
8
系数化为1得：x= ．
7
5．解方程：
x+1 x 2x+1
(1)5(y+6)=9−3(1−3 y) (2) − =1−
3 2 4
【答案】(1)y=6
5
(2)x=
4
【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解答本题的关键：
（1）运用去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出y的值即可；
（2）运用去分母、去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出x的值即可；
【详解】（1）解：5(y+6)=9−3(1−3 y)，
5 y+30=9−3+9 y，
5 y−9 y=9−3−30，
−4 y=−24，
解得，y=6；
x+1 x 2x+1
（2）解： − =1− ，
3 2 4
4(x+1)−6x=12−3(2x+1)，
4x+4−6x=12−6x−3，
4x+6x−6x=12−4−3，
4x=5，
5
解得，x=
4
6．解方程：
2x−1 x x+3
(1)4−3(x−1)=9−x； (2) −1= − ．
3 6 4
14【答案】(1)x=−1
7
(2)x=
9
【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
（1）根据解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行求解即可；
（2）根据解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行求解即可．
【详解】（1）解：4−3(x−1)=9−x
去括号，得4−3x+3=9−x，
移项，得−3x+x=9−4−3，
合并同类项，得−2x=2，
系数化为1，得x=−1；
2x−1 x x+3
（2）解： −1= −
3 6 4
去分母，得4(2x−1)−12=2x−3(x+3)
去括号，得8x−4−12=2x−3x−9，
移项，得8x−2x+3x=−9+4+12，
合并同类项，得9x=7，
7
系数化为1，得x= ．
9
题型五 同解方程
( 5)
例题：已知方程2x=1−2(2x−3)的解和关于x的方程8−k=2 x+ 的解相同，求k的值．
6
【答案】k=4
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，根据同解方程，可得关于k的方程，
根据解方程可得答案．
【详解】解：2x=1−2(2x−3)
2x=1−4x+6
2x+4x=7
6x=7
157
x= ，
6
7 ( 5)
把x= 代入8−k=2 x+ ，可得出：
6 6
(7 5)
8−k=2 +
6 6
8−k=4，
k=4
巩固训练
1．若关于x的方程2x+3m−1=0和方程5−3(x+1)=2同解，则m的值等于 ．
1
【答案】
3
【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，先根据题意，得x=0，再把x=0代入
2x+3m−1=0，即可求出m的值作答．
【详解】解：∵关于x的方程2x+3m−1=0和方程5−3(x+1)=2同解，
∴由5−3(x+1)=2解得x=0
则把x=0代入2x+3m−1=0，
得2×0+3m−1=0
1
解得m=
3
1
故答案为：
3
2．若关于x的方程2x+3m−1=0和方程5−3(x−1)=2同解，则m的值等于 ．
【答案】－1
【分析】先求出方程5−3(x−1)=2的解，然后把这个解代入到方程2x+3m−1=0中得到关于m的方
程，由此求解即可．
【详解】解：解方程5−3(x−1)=2得x=2，
∵关于x的方程2x+3m−1=0和方程5−3(x−1)=2同解，
∴方程2x+3m−1=0的解是x=2，
∴2×2+3m−1=0，
解得m=−1，
16故答案为：－1．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，正确得到关于m的方程是解题的关键．
3．关于x的方程6x+7=19与3x=18−3m的解相同，则m等于（ ）
A．−4 B．−2 C．−1 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次方程的解法、以及两个方程同解的问题．先通过移项、合并同类项、系
数化为1求出方程6x+7=19的解，再将x的值代入方程3x=18−3m可得一个关于m的方程，求解即
可．
【详解】解：6x+7=19
6x=12
x=2，
∵关于x的方程6x+7=19与3x=18−3m的解相同，
∴ 3×2=18−3m，即6=18−3m，
解得：m=4，
故选：D．
题型六 一元一次方程之利润问题
例题：某超市为了吸引消费者，将甲种商品降价30%，乙种商品降价20%开展优惠促销活动，已知甲、
乙两种商品的原销售单价之和为2000元，某顾客参加活动购买甲、乙两种商品各一件，共付1520元．
(1)甲、乙两种商品的原销售单价各是多少元？
(2)若在这次促销活动中乙种商品仍可获利20%，求乙种商品每件的进价是多少？
【答案】(1)甲种商品原销售单价是800元，乙种商品原销售单价是1200元
(2)乙种商品每件的进价是800元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题是关键是：
（1）设甲种商品原销售单价是x元，乙种商品原销售单价是(2000−x)元．再根据等量关系“参加活
动购买甲、乙两种商品各一件，共付1520元，”建立方程，即可解题；
（2）设乙种商品每件的进价是m元，根据“这次促销活动中乙种商品仍可获利20%” 建立方程，即
可解题．
【详解】（1）解：设甲种商品原销售单价是x元，乙种商品原销售单价是(2000−x)元，
根据题意，得(1−30%)x+(1−20%)(2000−x)=1520，
17解得x=800，
∴2000−x=1200，
答：甲种商品原销售单价是800元，乙种商品原销售单价是1200元；
（2）解：设乙种商品每件的进价是m元，
根据题意，得1200×(1−20%)−m=20%m，
解得m=800，
答：乙种商品每件的进价是800元．
巩固训练
1．商店里把一件上衣按进价加 20%作为定价，可总卖不出去，后来又按定价降价20%，以192元出售．
卖出后，这次生意盈亏为（ ）
A．亏48元 B．亏8元 C．不亏也不赚 D．亏12元
【答案】B
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用中的经济问题，充分理解题意并列出方程是求解本题的关
键.
设进价为x元，那么第一次定价为x(1+20%)，在此基础上求出第二次减价后的价钱为
x(1+20%)(1−20%)，列出方程即可求解；
【详解】设进价为x元
由题意可得：x(1+20%)(1−20%)=192
解得：x=200
200−192=8（元）
∴ 亏了8元
故选：B.
2．某商店一件衣服标价280元，以七五折售出可获利25%，则这件衣服的进价是 元．
【答案】168
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意．
设这件服装的进价为x元，然后根据题意可列方程进行求解．
【详解】解：设这件服装的进价为x元，
依题意得：(1+25%)x=280×75%，
解得：x=168，
则这件服装的进价是168元．
故答案为：168．
183．列一元一次方程解实际问题：重庆某水果超市销售沃柑和纽荷尔两种柑橘类水果，该超市第一次用
6300元购进沃柑和纽荷尔两种水果，其中纽荷尔的件数比沃柑件数的一半还多25件．沃柑和纽荷尔两
种水果的进价和售价如下表：
类别 沃柑 纽荷尔
进价（元/件） 22 30
售价（元/件） 29 40
(1)该超市购进沃柑和纽荷尔两种水果各多少件？当这次购进的水果全部销售后，共获利多少元？
(2)该超市第二次购进沃柑和纽荷尔两种水果的进价与第一次相同，其中沃柑的件数不变，纽荷尔的件
数是第一次的3倍，沃柑按原价销售，纽荷尔打折销售，第二次购进的两种水果都销售完所获得的总利
润比第一次获得的总利润多800元，求第二次纽荷尔是按原价打几折销售．
【答案】(1)该超市购进沃柑150件，纽荷尔100件，全部销售后，共获利2050元
(2)第二次纽荷尔是按原价打9折销售
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键：
(1 )
（1）设超市购进沃柑x件，则购进纽荷尔 x+25 件，根据超市用6300元购进沃柑和纽荷尔两种水
2
果，列出方程进行求解即可；
（2）设第二次纽荷尔是按原价打y折销售，根据第二次购进的两种水果都销售完所获得的总利润比第
一次获得的总利润多800元，列出方程进行求解即可．
(1 )
【详解】（1）解：设超市购进沃柑x件，则购进纽荷尔 x+25 件，由题意，得：
2
(1 )
22x+30 x+25 =6300，
2
解得：x=150，
1
∴ x+25=100；
2
∴该超市购进沃柑150件，纽荷尔100件；
全部售出的利润为：(29−22)×150+(40−30)×100=2050（元）；
答：该超市购进沃柑150件，纽荷尔100件，全部销售后，共获利2050元．
（2）设第二次纽荷尔是按原价打y折销售，由题意，得：第二次购进沃柑150件，纽荷尔300件，由
19题意，得：
( 1 )
(29−22)×150+ 40× y−30 ×300=2050+800，
10
解得：y=9；
答：第二次纽荷尔是按原价打9折销售．
4．商品甲的成本是定价的80% ；商品乙的定价是275元，成本是220元．现在商店把1件商品甲与2件
商品乙配套出售，并且按它们的定价之和的90%定价出售．这样每套可获得利润80元．问商品甲的成
本是多少元？
【答案】商品甲的成本是200元
【分析】本题考查一元一次方程解应用题，解题的关键是找到等量关系式．设商品甲的定价为x元，则
成本是80%x元，根据利润等于售价减成本列方程解即可得到答案．
【详解】解：设商品甲的定价为x元，则成本是80%x元，
依题意，得：90%(x+275×2)−(80%x+220×2)=80，
解得：x=250．
∴250×80%=200，
答：商品甲的成本是200元．
5．近年来，随着人们对健康生活的追求，体育健身越来越受到人们的喜爱和追捧，某体育器材专卖店的A、
B两款体育器材非常畅销，进货价和销售价如下表：
A款器 B款器
材 材
进货价/（元/个） 40 30
销售价/（元/个） 56 45
(1)该专卖店用1100元购进了A，B两款器材共30个，求两款器材分别购进多少个？
(2)该专卖店进货时，A款器材的进货量是B款器材的一半，将进货的体育器材全部售出，共获利润
1380元．求两款器材分别购进多少个？
【答案】(1)购进A款玩具20个，B款玩具10个
(2)购进A款玩具30个，则购进B款玩具60个
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
（1）设购进A款玩具x个，根据购进A，B两款玩具费用和=1100列方程求解即可；
（2）设购进A款玩具y个，根据单件利润=售价－进价和A，B两款玩具的利润和=1380列方程求解即
20可．
【详解】（1）解：设购进A款玩具x个，则购进B款玩具30−x个
由题意得：40x+30(30−x)=1100
解得：x=20，
30−20=10
答：购进A款玩具20个，B款玩具10个．
（2）解：设购进A款玩具y个，则购进B款玩具2y个
由题意得：(56−40)y+(45−30)×2y=1380
解得：y=30
2×30=60
答：购进A款玩具30个，则购进B款玩具60个．
题型七 一元一次方程之工程问题
例题：列一元一次方程解应用题
新蒲新区某校举办体育文化艺术节，七（2）班为了宣传班上开展的活动，由甲、乙两位同学制作宣传
展板．已知甲同学单独完成需要4天，乙同学单独完成需要6天．
(1)甲、乙合作需要______天完成；
(2)若由乙同学先做1天，再由甲、乙两位同学合作完成．问还需几天可以完成展板的制作？
【答案】(1)2.4
(2)2
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找
出合适的等量关系列出方程，再求解．
（1）设工作总量为1，根据工作时间=工作总量÷工作效率和，列式即可求解．
（2）设乙先做1天，再两人一起做，还需x天完成这项工作，根据等量关系：甲完成的工作量+乙完成
的工作量=工作总量，列出方程即可求解．
1 1 5
【详解】（1）1÷( + )=1÷ =2.4（天)．
4 6 12
答：两个人一起做，需要2.4天可以完成．
故答案为2.4；
（2）设乙先做1天，再两人一起做，还需x天完成这项工作，
21x+1 x
由题意可得： + =1，
6 4
解得：x=2．
答：还需2天可以完成这项工作．
巩固训练
1．完成某项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成.现在甲先做了3天，乙再参加合做，求
完成这项工程甲、乙合做了多少天.若设完成此项工程甲、乙合做了x天，则下列方程中正确的是 （
）
x+3 x x+3 x−3
A． + =1 B． + =1
12 8 12 8
x x 3 x−3 x−3
C． + =1 D． + + =1
12 8 12 12 8
【答案】A
【分析】本题考查了列一元一次方程解决实际问题，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
1 1
将这项工程的工程量看作为“1”，从而可得甲每天完成的工程量为 ，乙每天完成的工程量为 ，再
12 8
根据题意列出方程即可得．
1 1
【详解】解：将这项工程的工程量看成“1”，则甲每天完成的工程量为 ，乙每天完成的工程量为 ，
12 8
x+3 x
由题意得： + =1
12 8
故选：A．
2．一项工程，由甲、乙两个工程队合作完成．已知甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6
天．
(1)甲、乙合作需要______天完成；
(2)若先由乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成．问还需几天可以完成这项工程？
12
【答案】(1)
5
(2)2天
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，涉及工作总量、工作时间、工作效率等知识内容，正确掌
握相关性质内容是解题的关键．
22（1）设甲乙合作需要x天完成，因为甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天，则
(1 1)
+ x=1，解出即可作答．
4 6
y+1 y
（2）依题意，设还需要y天，因为乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成，所以 + =1，
6 4
解出即可作答．
【详解】（1）解：设甲乙合作需要x天完成，
(1 1)
依题意： + x=1，
4 6
12
解得x= ，
5
12
所以需要 天；
5
（2）解：设还需要y天：
y+1 y
依题意， + =1，
6 4
解得y=2，
故还需要2天．
3．哈佳高铁建设工程中，有一路段由甲、乙两个工程队负责完成．甲工程队单独完成此项工程需60天，
比乙工程队单独完成此项工程多用30天，若甲先施工6天，再由甲、乙合作完成剩余工程．
(1)甲、乙还需要合作多少天完成？
(2)如果甲工程队每天需工程费500元，乙工程队每天需工程费700元，若甲队先单独工作若干天再由乙
工程队完成剩余的任务，支付工程队总费用24000元，求甲队工作的天数．
【答案】(1)甲、乙还需要合作30天完成
(2)甲队工作20天
【分析】此题考查了一元一次方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系，列出方程是解决问题的
关键．
（1）设甲、乙还需要合作x天完成，根据“甲先施工6天，再由甲、乙合作完成剩余工程”列出方程即
可求解；
23( y ) 1 ( 1 )
（2）设甲队工作的天数为y，则乙工作的天数为 1− ÷ = 30− y ，根据“支付工程队
60 60−30 2
总费用24000元”列出方程即可求解．
【详解】（1）解：设甲、乙还需要合作x天完成，
1 ( 1 1 )
由题意得， ×6+ + x=1，
60 60 60−30
解得：x=18，
答：甲、乙还需要合作18天完成；
( y ) 1 ( 1 )
（2）设甲队工作的天数为y，则乙工作的天数为 1− ÷ = 30− y ，
60 60−30 2
( 1 )
由题意得，500 y+700 30− y =24000，
2
解得：y=20，
答：甲队工作20天．
4．劳动教育课程已经成为中小学生的必修课，被纳入人才培养的全过程．云南某中学整理学生的劳技作
品，由一名老师整理要45h完成．现计划由一部分老师先做1h，然后再增加3名老师与他们一起做5h，
可完成这项整理工作．假设每位老师的工作效率相同，应先安排多少名老师整理？
【答案】应先安排5人工作
【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的
x
知识解答．根据题意，设应先安排x人工作，则x人先做1h完成这项工作的 ， 增加3人与他们一起
45
5(x+3)
做5h，完成这项工作的 ，由相等关系：x人先做1h完成的工作+增加3人与他们一起做5h，完
45
成的工作=1，可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【详解】解：设应先安排x老师整理，
x 5(x+3)
+ =1，
45 45
解得，x=5，
答：应先安排5人工作．
24题型八 一元一次方程之行程问题
例题：周末，小明和爸爸在3000m的环形绿道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发，骑
行结束后两人有如图所示的对话．
(1)请根据他们的对话内容，求出小明的骑行速度；
(2)爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过多少分钟，小明和爸爸在跑道上相距1000m？
【答案】(1)300m/min
10 20
(2) min或 min
3 3
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，读懂题意找准等量关系列出一元一次方程是解题关键．
（1）设小明的骑行速度xm/min，则爸爸的骑行速度2xm/min，根据题意列一元一次方程，解方程
即可；
（2）设在第二次相遇前，再经过ymin，小明和爸爸在跑道上相距1000m，分两种情况讨论，再根据
题意列一元一次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设小明的骑行速度为xm/min，则爸爸的骑行速度为2xm/min
根据题意，得：10(2x−x)=3000
解得：x=300
答：小明的骑行速度为300m/min．
（2）解：设在第二次相遇前，再经过ymin，小明和爸爸在绿道上相距1000m
①爸爸又比小明多骑了1000m
根据题意，得：2×300 y−300 y=1000
10
解得：y= ；
3
②爸爸又比小明多骑了(3000−1000)m
根据题意，得：2×300 y−300 y=3000−1000
20
解得：y= ．
3
2510 20
答：在第二次相遇前，再经过 min或 min，小明和爸爸在跑道上相距1000m．
3 3
巩固训练
1．如图，沿着边长为90米的正方形，按A→B→C→D→A⋅⋅⋅⋅⋅⋅方向，甲从A以63米/分的速
度，乙从B以72米/分的速度同时行走，当乙第一次追上甲时是在正方形的某个顶点处，则这个顶点是
（ ）
A．顶点A B．顶点B C．顶点C D．顶点D
【答案】B
【分析】设乙第一次追上甲用了x分钟，则有乙行走的路程等于甲行走的路程加上90×3，根据其相等
关系列方程得72x=63x+90×3，再根据72=7×360+4×90可得出答案．本题考查了一元一次方程
的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．
【详解】解︰设乙第一次追上甲用了x分钟，
由题意得∶72x=63x+90×3，
解得∶x=30，
而72×30=5×360+4×90．
所以乙第一次追上甲时是在正方形的顶点B处．
故选∶B．
2．轮船往返A、B两港之间，逆水航行需要3小时，顺水航行需要2小时，水流速度为3千米/时，则船在
静水中的速度是 千米/时．
【答案】15
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，逆水速度=静水速度−水流速度；顺水速度=静水速度+水流
速度是船航行之类的题中的必备内容．设船在静水中的速度是x千米/时，则逆水航行的速度为(x−3)
千米/时，顺水航行的速度为(x+3)千米/时，根据逆水航行需要3小时，顺水航行需要2小时，列出方
程求解即可．
【详解】解：设船在静水中的速度是x千米/时，则逆水航行的速度为(x−3)千米/时，顺水航行的速度
26为(x+3)千米/时，根据题意得：
3(x−3)=2(x+3)，
解得：x=15，
故答案为：15．
3．A、B两地相距64千米，甲从A地出发，每小时行14千米，乙从B地出发，每小时行18千米．若两人
同时出发相向而行，则需几小时两人相距16千米？
【答案】1.5或2.5小时
【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握相遇问题和追及问题的列式方法．设两人
同时出发相向而行，需x小时两人相距16千米，分两种情况进行解答：第一种情况：当两人没有相遇
他们相距16千米，列出方程：(14+18)x+16=64；第二种情况：当两人相遇之后他们相距16千米，
列出方程：(14+18)x=64+16，再解方程即可．
【详解】解：设两人同时出发相向而行，需x小时两人相距16千米．
第一种情况：当两人没有相遇他们相距16千米，
依题意可得：(14+18)x+16=64，解得：x=1.5；
第二种情况：当两人相遇之后他们相距16千米，
依题意可得：(14+18)x=64+16，解得：x=2.5，
答：若两人同时出发相向而行，则需1.5或2.5小时两人相距16千米．
4．一群驴友排成一列在野外旅游，队长在队伍中，数了一下他前后的人数，发现前面的人数是后面的两
倍，他往前超了7位驴友，发现前面的人数和后面的人数一样．
(1)这群驴友一共有多少人？
(2)这群驴友要过一座320米长的独木桥，为安全起见，相邻两个驴友间保持固定的距离，行走速度为5
米/分，从第一位驴友刚上桥到全体通过独木桥用了106分钟时间，请问相邻两位驴友间的距离是多少
米？
【答案】(1)43人
(2)5米
【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出正确的等量关系是解题关键．
（1）根据题意假设队长前面有2x人，则后面有x人，利用他往前超了7位驴友，发现前面的人数和后
面的人数一样得出等式求出即可；
（2）设相邻两个驴友间的距离是y米，根据题意，表示出这群驴友行走的总距离进而得出等式求出即
可．
27【详解】（1）解：设队长前面有2x人，则后面有x人，由题意，得：
2x−7=x+7，
解得：x=14，
∴2×14+1+14=43（人）；
答：这群驴友一共有43人；
（2）设相邻两个驴友间的距离是y米，由题意，得：
320+42y=5×106，
解得：y=5；
答：相邻两位驴友间的距离是5米．
5．一只救生船从港口开到出事地点要行 840 千米，船速每小时 20 千米，船上一架直升飞机，每小时可
飞行 220 千米，中途飞机起飞，提前到出事地点，这样从船离港到飞机到达出事地点一共用了 10 小
时，飞机在船离港后多长时间起飞？
【答案】6.8 小时
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系，正确列出方程是解题的关键．
设飞机在船离港后x小时起飞，则飞机飞行时间为(10−x)小时，根据飞机坐船航行路程+飞行路程=总
路程列方程为20x+220(10−x)=840，求解即可．
【详解】解：设飞机在船离港后x小时起飞，则飞机飞行时间为(10−x)小时，根据题意，得
20x+220(10−x)=840，
解得：x=6.8，
答：飞机在船离港后6.8小时起飞．
题型九 一元一次方程之方案设计问题
例题：当今社会，随着生活水平的提高，人们越来越重视自己的身心健康，开始注重锻炼身体．某公
司计划购买50个羽毛球拍和x个羽毛球，某体育用品商店每个羽毛球拍定价80元，每个羽毛球定价5
元，经协商拟定了如下两种优惠方案（两种优惠方案不可混用）：
方案一：每买一个羽毛球拍就赠送2个羽毛球；
方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的90%付款．
(1)若x=100，请计算哪种方案划算；
(2)若x>100，请用含x的代数式分别把两种方案的费用表示出来；
(3)请你帮助公司写出x取值不同时的所有划算的购买方案．
28【答案】(1)方案一划算
(2)方案一、方案二的费用用代数式分别表示为(5x+3500)元，(4.5x+3600)元
(3)当0200时，方案二划算
【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，列代数式，一元一次方程的应用，理解题意是解题
关键．
（1）分别求出x=100时，两种优惠方案的费用，比较即可求解；
（2）根据两种优惠方案分别列式即可；
（3）若方案一和方案二的费用相等，当x≤100时，方案一不需要单独再购买羽毛球，列方程求得
800
x= ；当x>100时，方案一和方案二都需要单独购买羽毛球，列方程求得x=200，再进行讨论即可
9
求解．
【详解】（1）解：当x=100时，
方案一：80×50=4000（元）．
方案二：80×50×90%+5×100×90%=4050（元）．
因为4000<4050，
所以当x=100时，方案一划算．
答：若x=100，方案一划算．
（2）解：当x>100时，
方案一：80×50+(x−100)×5=(5x+3500)元．
方案二：80×50×90%+5x×90%=(4.5x+3600)元．
答：方案一、方案二的费用用代数式分别表示为(5x+3500)元，(4.5x+3600)元．
（3）解：若方案一和方案二的费用相等，
当x≤100时，方案一不需要单独再购买羽毛球，可得50×80=(50×80+5x)×90%，
800
解得x= ．
9
800
因为88< <89，
9
所以，当0100时，方案一和方案二都需要单独购买羽毛球，可得
50×80+5(x−100)=(50×80+5x)×90%，
29解得x=200．
所以，当100200时，方案
二划算．
综上可知，当0200时，方案二划算．
巩固训练
1．某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房
客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有63人，大人比小孩多21人．
(1)求该房客大人，小孩各有多少人？
(2)假设店主李三公推出两种订房方案：
方案一：房客超过40人，超过的按原价八折优惠，
方案二：大人原价，小孩半价．
若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？
【答案】(1)房客中大人有42人，小孩有21人
(2)方案二
【分析】本题考查一元一次方程解实际应用题，最优方案选择等知识，读懂题意，列出方程求解，进
而由方案计算费用比较大小是解决问题的关键．
（1）设房客中小孩有x人，则大人有(x+21)人，由总人数为63人列一元一次方程求解即可得到答案；
（2）设每人收费相同，为a元，根据两种方案，求出费用比较大小即可得到答案．
【详解】（1）解：设房客中小孩有x人，则大人有(x+21)人，
∴x+(x+21)=63，解得x=21，
则x+21=42，
答：房客中大人有42人，小孩有21人；
（2）解：设每人收费相同，为a元，
方案一费用：40a+0.8a×(63−40)=58.4a元；
1
方案二费用：42a+21× a=52.5a元；
2
∵58.4a>52.5a，
∴若诗中“众客”再次一起入住，他们选择方案二订房更合算．
2．甲地欲往外地运输一批水果，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为200元/时，其它主
要参考数据如下：
30运输工
途中平均速度（千米/时） 运费（元/千米） 装卸费（元）
具
火车 100 15 2000
汽车 80 20 900
(1)如果运往乙地，汽车的费用比火车的费用多1100元，求甲、乙两地间的路程；（费用包含损耗、运
费和装卸费）
(2)如果运往丙地，已知甲、丙两地间的路程为100千米，通过计算选择哪种运输方式比较合算．
【答案】(1)400千米；
(2)选择汽车运输比较合算．
【分析】（1）设甲、乙两地间的路程为x千米，根据题意列出方程即可求解；
（2）分别求出两种方式的运输费用，再比较即可求解；
本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出一元一次方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设甲、乙两地间的路程为x千米，
x x
由题意得，200× +15x+2000+1100=200× +20x+900，
100 80
解得x=400，
答：甲、乙两地间的路程为400千米；
100
（2）解：选择火车运输的费用为200× +15×100+2000=3700元，
100
100
选择汽车运输的费用为200× +20×100+900=3150元，
80
∵3150<3700，
∴选择汽车运输比较合算．
3．2024年4月1日−15日，是第41届中国洛阳牡丹文化节，某旅游酒店计划印制一批彩色宣传册．现有
甲、乙两个广告公司提供印制业务．甲公司的收费方式为每套彩色宣传册按定价5元的九折收费，另收
取1500元的服务费；乙公司的收费方式为每套彩色宣传册按定价5元收费，1500元的服务费按六折优
惠，且甲、乙两个广告公司都规定一次印制数量不少于1000册．
(1)设共印制彩色宣传册x(x≥1000)套．甲广告公司收费 元乙广告公司收费 元（用含x的式子表示） ；
(2)该旅游酒店选用哪个广告公司所需费用较少? 请通过计算说明．
【答案】(1)(4.5x+1500)，(5x+900)
(2)当印制数量多与1200册时，甲广告公司费用较少；当印制数量为1200册时，甲、乙广告公司费用相
31同；当印制数量大于等于1000册且少与1200册时，乙广告公司费用最少
【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，找准熟练
关系，正确列出一元一次方程或一元一次不等式是解此题的关键．
（1）由甲、乙公式的收费方式分别进行计算即可得出答案；
（2）分三种情况：若甲广告公司收费少，若甲、乙广告公司收费相同，若乙广告公司收费少，分别列
出一元一次方程或一元一次不等式，求解即可．
【详解】（1）解：设共印制彩色宣传册x(x≥1000)套．
甲广告公司收费5×0.9x+1500=(4.5x+1500)元，
乙广告公司收费5x+1500×0.6=(5x+900)元；
（2）解：若甲广告公司收费少，则4.5x+1500<5x+900，
解得：x>1200；
若甲、乙广告公司收费相同，则4.5x+1500=5x+900，
解得：x=1200，
若乙广告公司收费少，则4.5x+1500>5x+900，
解得：1000≤x<1200；
综上所述，当印制数量多与1200册时，甲广告公司费用较少；当印制数量为1200册时，甲、乙广告公
司费用相同；当印制数量大于大于1000册且少与1200册时，乙广告公司费用最少．
4．小王看到两个商场的促销信息如图所示．
(1)当一次性购物标价总额是200元时，在甲、乙商场实际付款分别是多少元？
(2)当标价总额是多少元时，在甲、乙商场购物实际付款一样多？
(3)小王两次到乙商场分别购买标价98元和150元的商品，如果他想只去一次该商场购买这些商品，你
能帮他计算可以节省多少元吗？
【答案】(1)甲超市付款180元，乙超市付款190元
32(2)240元
(3)18.1元
【分析】本题考查一元一次方程的应用．
（1）根据图中的信息，可以分别计算出在两家超市需要付款的金额；
（2）根据题意和图中的信息，可以列出相应的方程，然后求解即可；
（3）根据题意可以计算两种情况下的实际付款金额，然后作差即可．
解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
【详解】（1）解：由题意可得，
当一次性购物标价总额是200元时，
在甲超市需付款：200×0.9=180（元），
在乙超市需付款：200×0.95=190（元），
答：当一次性购物标价总额是200元时，甲超市付款180元，乙超市付款190元；
（2）由图中的信息可知，只有当购物标价总额超过200元时，两家超市才可能付款总金额相等，
设当标价总额是x元时，甲、乙超市实付款一样，
由题意可得：0.9x=200×0.92+(x−200)×0.8，
解得x=240，
答：当标价总额是240时，甲、乙超市实付款一样；
（3）由题意可得，
小王两次到乙超市分别购物标价98元和150元时，需要付款：98+150×0.95=240.5（元），
小王一次性到乙超市购物标价98+150=248元的商品，需要付款：
200×0.92+(248−200)×0.8=222.4（元），
240.5﹣222.4=18.1（元），
答：可以节省18.1元．
题型十 一元一次方程之数轴动点问题
例题：如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在点A左侧的一点，且A，B两点间的距离为
10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒．
(1)数轴上点B表示的数是______；
(2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求：
33①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
【答案】(1)−4
(2)①5秒；②运动1秒或9秒．
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离和一元一次方程的应用，
（1）根据数轴上两点间的距离即可解答；
（2）①根据数轴上两点间的距离结合行程问题的特点列出方程求解；②根据数轴上两点间的距离结合
行程问题的特点分情况列出方程求解．
【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6，
∴OA=6，
则OB=AB−OA=4，
∵点B在原点左边，
∴数轴上点B所表示的数为−4，
故答案为：−4；
（2）解：①点P运动t秒时追上点Q，
根据题意得6t=10+4t，解得t=5，
答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；
②当P不超过Q时，则10+4t−6t=8，解得t=1；
当P超过Q时，则10+4t+8=6t，解得t=9；
答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．
巩固训练
1．如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B是数轴上在点A左侧的一点，且A、B两点间的距离为
8，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．
（1）数轴上点B表示的数是 ；
（2）运动1秒时，点P表示的数是 ；
（3）动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，当
点P运动 秒时，点P与点Q相遇．
【答案】（1）−4
（2）2
34（3）8
【分析】本题考查了数轴的应用和一元一次方程的应用——行程问题，
（1）由AB的长、点A表示的数及点B在点A的左侧，可求出点B表示的数；
（2）利用1秒后点P表示的数=点A表示的数−点P运动的速度×运动时间，即可求出结论；
（3）设当运动时间为t秒时，点P表示的数为4−2t，点Q表示的数为−4−t，由点P与点Q相遇，
即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：∵点A表示的数为4，点B是数轴上在点A左侧的一点，且A、B两点间的距离为
8，
∴点B表示的数为4−8=−4，
故答案为：−4；
（2）∵动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴运动1秒时，点P运动了2×1=2个单位长度，
此时点P表示的数为4−2=2，
故答案为：2
（3）设当运动时间为t秒时，点P与点Q相遇，
此时点P表示的数为4−2t，点Q表示的数为−4−t，
由题意得4−2t=−4−t，
解得：t=8，
∴当运动时间为8秒时，点P与点Q相遇，
故答案为：8．
2．【知识背景】数轴是初中数学的一个重要工具，如图①，若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b
(b>a)，则线段AB的长（点A到点B的距离）可表示为b−a．
【问题情境】数轴上三点A，B，C表示的数分别为a，b，c，其中A在原点左侧，距原点4个单位，b
是最大的负整数，C在原点右侧，且AC=9，如图②，动点M从A出发，以每秒1个单位长度的速度
沿数轴向左匀速运动，与此同时，动点N从点C出发，以每秒2个单位长度速度沿数轴向右匀速运动，
一只电子狗Q从B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设移动时间为t秒(t>0)．
【问题探究】
(1)a=______，b=______，c=______．
35(2)在数轴上是否存在一点P，使得AP=2BP，若存在，求点P对应的数；若不存在，说明理由．
(3)如果在C处竖立一块挡板，当电子狗Q到达C时，被挡板弹回，以同样的速度向相反的方向运动，
问：当t为何值时，电子狗Q到M，N的距离相等？并求出此时电子狗Q的位置．
【答案】(1)−4，−1，5
(2)点P对应的数为2或−2；
3 4
(3)t= ，Q表示的数是 ；t=3，Q表示的数是2．
5 5
【分析】本题考查一元一次方程的应用、数轴上的动点问题、整式的加减应用，解题的关键是读懂题
意，正确列出方程解决问题．
（1）A在原点左侧，距原点4个单位，b是最大的负整数，C在原点右侧，且AC=9，可得a=−4，
b=−1，c=−4+9=5，
（2）设点P对应的数为x，可得AP=|x−(−4)|=|x+4|，BP=|x−(−1)|=|x+1|，结合AP=2BP，再
建立方程求解可得答案；
（3）Q从B到C需[5−(−1)]÷3=2（秒），分两种情况：①0≤t≤2时，M表示的数是−4−t，N表
3 4
示的数是5+2t，Q表示的数是−1+3t，2(−1+3t)=−4−t+5+2t，解得t= ，Q表示的数是 ；
5 5
②当t>2时，Q表示的数是5−3(t−2)=−3t+11，2(−3t+11)=−4−t+5+2t，解得t=3，Q表示
的数是2．
【详解】（1）解：∵A在原点左侧，距原点4个单位，b是最大的负整数，C在原点右侧，且AC=9，
∴a=−4，b=−1，c=−4+9=5，
（2）解：设点P对应的数为x，
∴AP=|x−(−4)|=|x+4|，BP=|x−(−1)|=|x+1|，
∵AP=2BP，
∴|x+4|=2|x+1|，
解得：x=2或x=−2，
∴点P对应的数为2或−2；
（3）解：Q从B到C需[5−(−1)]÷3=2（秒），
①0≤t≤2时，M表示的数是−4−t，N表示的数是5+2t，Q表示的数是−1+3t，
36∴2(−1+3t)=−4−t+5+2t，
3
解得t= ，
5
9 4
此时−1+3t=−1+ = ，
5 5
4
∴Q表示的数是 ；
5
②当t>2时，Q表示的数是5−3(t−2)=−3t+11，
∴2(−3t+11)=−4−t+5+2t，
解得t=3，
∴−3t+11=−3×3+11=2，
∴Q表示的数是2；
3 4
综上所述，t= ，Q表示的数是 ；t=3，Q表示的数是2．
5 5
3．数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，
则称该点是其它两个点的“关联点”．
(1)如图，数轴上点A，B，C三点所表示的数分别为1，3，4，点B到点A的距离AB= ，点B到点C
的距离是 ，因为AB是BC两倍，所以称点B是点A，C的“关联点”．
(2)若点A表示数−2，点B表示数1，下列各数−1，2，4，6所对应的点分别是C ,C ,C ,C ，其中是
1 2 3 4
点A，B的“关联点”的是 ；
(3)点A表示数−15，点B表示数为20，P数轴上一个动点．
①若点P在点B的左侧，且点P是点A、B的“关联点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P、A、B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请直接写出此时
点P表示的数．
【答案】(1)2，1
(2)C ,C
1 3
10 25 75
(3)①−50或− 或 ；②55或90或
3 3 2
37【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴及数轴上两点的距离、动点问题，认真理解关联点的
概念，分情况讨论列式是解题关键．
（1）利用数轴上两点之间的距离公式直接可求得；
（2）根据题意求得CA与BC的关系，得到答案；
（3）①根据PA=2PB或PB=2PA列方程求解；②分当P为A、B关联点、A为P、B关联点、B为
A、P关联点三种情况列方程解答．
【详解】（1）解：∵ A,B,C三点所表示的数分别为1,3,4，
∴ AB=3−1=2,BC=4−3=1，
故答案是：2，1；
（2）解：∵点A表示的数为−2，点B表示的数为1，C 表示的数为−1
1
∴ AC =1 ，BC =2，
1 1
∴BC =2AC ，
1 1
∴ C 是点A，B的“关联点”
1
∵点A表示的数为−2，点B表示的数为1，C 表示的数为2
2
∴ AC =4，BC =1，不满足2倍关系，
2 2
∴ C 不是点A，B的“关联点”
2
∵点A表示的数为−2，点B表示的数为1，C 表示的数为4
3
∴ AC =6，BC =3，
3 3
∴AC =2BC ，
3 3
∴ C 是点A，B的“关联点”
3
∵点A表示的数为−2，点B表示的数为1，C 表示的数为6
4
∴ AC =8，BC =5，不满足2倍关系
4 4
∴ C 不是点A，B的“关联点”
4
故答案为：C ,C ；
1 3
（3）解：①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，设点P表示的数为x
当P在点A的左侧时，则有：2PA=PB，即2(−15−x)=20−x
解得：x=−50，
当点P在A，B之间时，有2PA=PB或PA=2PB
有2(x+15)=20−x或2(20−x)=x+15
10 25
解得：x=− 或x=
3 3
3810 25
因此点P表示的数为：−50或− 或 ；
3 3
②若点P在点B的右侧
若点P是A，B的“关联点”则有2PB=PA，即2(x−20)=x+15
解得：x=55；
若点B是A，P的“关联点”则有2AB=PB或AB=2PB
即x−20=2[20−(−15)]或2(x−20)=20−(−15)
75
解得：x=90或x= ；
2
若点A是B，P的“关联点”则有2AB=AP
即x−(−15)=2[20−(−15)]
解得：x=55
75
因此点P表示的数为55或90或 ．
2
4．根据所学的数轴知识，解答下面的问题：
(1)知识呈现：在数轴上有A，B两个点，如图1所示，A点表示的数是__________；B点表示的数是
__________．
(2)知识迁移，如图2，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右
端与数轴上的点B重合．
①若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所应的数为40；若
将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为7，由此可
得这根木棒的长为__________cm；
②图中点A所表示的数是__________，点B所表示的数是__________．
(3)知识应用：由（2）中①、②的启发，请你借助“数轴”这个工具解决下列问题：
一天，玲玲去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这
么大，我已经125岁，是老寿星了．哈哈！”请问爷爷现在多少岁了？
39【答案】(1)−3；3
(2)①11，②18，29
(3)70岁
【分析】本题主要考查了有理数与数轴，数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用：
（1）根据数轴上点的位置即可得到答案；
（2）①木棒移动2次，最左端和最右端的距离是木棒长的3倍，设木棒长度为xcm，列方程，求值；
根据数轴，A点在7的右侧11个单位长度，可以求出A点的数值为18，B点在A点右侧11个单位长度，
也可以求出B点的数值．
（3）设年龄差为x岁，仿照（2）列方程，求解，得出年龄即可．
【详解】（1）解：由数轴上点的位置可知，点A表示的数是−3，点B表示的数是3，
故答案为：−3；3；
（2）解：①设木棒长度为xcm，
由题意可得：3x=40−7，
解得x=11cm．
故答案为：11．
②点A表示的数是：7+11=18，
点B所表示的数是：18+11=29，
故答案为：18，29；
（3）解：借助数轴，把玲玲和爷爷的年龄差看做木棒，爷爷像小明这样大时，可看做点B移动到点
A，此时点A向左移后所对应的数为−40，
你若是我现在这么大，可看做点A移动到点B，此时点B向右移后所对应的数为125，
设年龄差为x岁，
得：3x=125−(−40)，
解得x=55，
∴玲玲的年龄即点A的值为：−40+55=15岁，爷爷的年龄即点B的值为：15+55=70岁，
故玲玲现在的年龄为15岁，爷爷现在的年龄为70岁．
5．已知数轴上点A表示的数为−5，点B是数轴上在点A右侧的一点，且A、B两点间的距离为8个单位长
度，点P为数轴上的一个动点，其对应的数为x．
(1)写出点B所表示的数为 ；
(2)①若点P到点A，点B的距离相等，则点P所表示的数为 ；
40②数轴上是否存在点P，使点P到点A，点B的距离之和为10，若存在，求出x的值，若不存在，说明
理由；
(3)若点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向左作匀速运动，点Q从B出发，以每秒5个单位长
度的速度向左作匀速运动，P，Q同时运动：
①当点P运动多少秒时，点P和点Q重合？
②当点P运动多少秒时，P，Q之间的距离为3个单位长度？
【答案】(1)3
(2)①−1；②−6或4
(3)①4秒；②2.5秒或5.5秒
【分析】（1）由−5+8=3，得点B所表示的数为3；
（2）①根据点P到点A，点B的距离相等，有3−x=x−(−5)，即可解得答案；
②当x<−5时，−5−x+(3−x)=10，当−5≤x≤3时，[x−(−5)]+(3−x)=8，此时P不存在；当x>3
时，[x−(−5)]+(x−3)=10，可解得答案；
（3）①设运动时间为t秒，知P表示的数为−5−3t，Q表示的数为3−5t，故−5−3t=3−5t，得
t=4；②由P，Q之间的距离为3个单位长度，得|(3−5t)−(−5−3t)|=3，可解得答案．
【详解】（1）解：∵−5+8=3，
∴点B所表示的数为3．
故答案为：3；
（2）①∵点P到点A，点B的距离相等，
∴3−x=x−(−5)，
解得x=−1；
故答案为：−1；
②数轴上存在点P，使点P到点A，点B的距离之和为10，理由如下：
当x<−5时，可有−5−x+(3−x)=10，
解得x=−6，
当−5≤x≤3时，[x−(−5)]+(3−x)=8，此时P不存在；
41当x>3时，[x−(−5)]+(x−3)=10，
解得x=4，
∴x的值为−6或4；
（3）①设运动时间为t秒，则P表示的数为−5−3t，Q表示的数为3−5t，
当点P和点Q重合时，−5−3t=3−5t，
解得t=4，
∴当点P运动4秒时，点P和点Q重合；
②∵P，Q之间的距离为3个单位长度，
∴|(3−5t)−(−5−3t)|=3，
∴8−2t=3或8−2t=−3，
解得t=2.5或t=5.5，
∴当点P运动2.5秒或5.5秒时，P，Q之间的距离为3个单位长度．
【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题、一元
一次方程的应用、绝对值方程等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．
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