文档内容
《图形的轴对称》分课时教学设计
第4课时简单的轴对称图形（角平分线）教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是北师大版（024）七年级数学下册第五章《图形得到轴对称》的第2
节简单的轴对称图形的角平分线，了解角平分线的有关性质和用尺规作已知角的角
平分线。并运用角平分线性质解决实际问题，进一步体会轴对称的特征，发展空间
观念。
角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，同时也是全等三角形知
识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础。因此，本节内容在数
学知识体系中起到了承上启下的作用。本节课内容的安排由浅入深、由易到难，符
合学生的心理特点和认知规律。
学习者分析 本节课是学生在了解轴对称现象、探索轴对称的性质后，并学习了等腰三角
形和线段等轴对称图形后进行的. 因此，在探索角平分线过程中，经历画图、观
察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验.
本节课设置通过多次操作实践的研究活动，来引导学生自主探究角的轴对称
性和角平分线的性质。但学生归纳、运用数学的意识比较薄弱，这需要在课堂教学
中进一步加强引导。
教学目标 1．经历探索简单图形的轴对称性的过程，进一步理解轴对称的性质，积累数学活
动经验，发展空间观念；
2．探索并了解角的轴对称性性质及其画法；
3．角平分线性质的应用.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力.
教学重点 角平分的性质及其画法.
教学难点 角平分线性质的应用.
学习活动设计
教师活动 学生活动
环节一：复习引入
教师活动1： 学生活动1：
1.线段是 轴对称 图形，它的垂直平分线是它的一条 对称轴 . 回顾旧知
2.线段垂直平分线有什么性质？
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相
等.
如图：PA=PB
3、怎样画线段的垂直平分线？
①分别以点A、B为圆心，大于 AB长为半径画弧
交于点E、F
②过点E、F作直线。则直线EF就是线段AB的垂
直平分线(如图)4.角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
如图∠AOB沿射线OC对折，∠AOC和∠COB重合。
5.什么是角平分线？
角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线， A
它把这个角分成两个相等的角.
如上图，射线OC是∠AOB的平分线。 C
O B
则∠AOC = ∠COB = ∠AOB.
活动意图说明：
复习旧知，引入新课
环节二：探究新知
教师活动2： 学生活动2：
探究1：角平分线的性质 1、参与折纸活
动。
1、如图，0P是∠AOB的平分线，点C是OP上任意一点，在∠AOB中画出OP所在
直线为对称轴的一组对应点D和D 连接CD和C ,你认为CD和C 相等 2、探究并证明
吗？
角平分线的原定
理和逆定理。
证明： 在△COD和△CO 中
∴ ∠DOC= ∠ OC（角平分线的定
3、类比垂直平
义） 分线的画法，探
究角平分线的画
∵OD =O OC=OC 法。
∴ △COD ≌ △CO
（SAS）
∴CD=C （全等三角形的对应边相等）
2、当CD⊥OA,C 与OB有怎样的位置关系，此时CD和C 相等吗？
证明： 在△COD和△CO 中
∴ ∠DOC= ∠ OC（角平分线的定义）
∵OD =O OC=OC
∴ △COD ≌ △CO （SAS）
∠CDO=CD O=90° ∴CD
⊥OB
∴CD=C （全等三角形的对应边相
等）
由此得角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
用符号语言表示为：∵∠DOP= ∠EOP，PD⊥OA ，PE⊥OB ∴PD=PE.
注意：性质的三个条件必须齐全，缺一不可。
探究2;角的内部到角的两边距离相等的点在什么位置？
如图，点P 在∠AOB 的内部， 作PD⊥OA， PE⊥OB， 垂足分别为点D，E. 若
PD= PE， 那么点P在∠AOB的平分线上吗？
解：如图，过点O，P作射线OC.
∵ PD⊥OA， PE⊥OB，
∴ ∠PDO =∠PEO = 90°
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
∵ OP = OP，PD = PE，
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.
∴ ∠AOC =∠BOC.
∴ OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上.
由此得角平分线的性质定理的逆定理：
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
用符号语言表示为：
∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB，PD=PE ∴ ∠DOP= ∠EOP .
探究3，尺规作角平分线
1.已知：∠AOB. 求作：射线OC，使
∠AOC=∠BOC.
作法：
①.在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE．
②.分别以D,E为圆心、以大于 的长为半
径作弧，两弧在∠AOB内交于点C.
③.作射线OC．OC就是∠AOB的平分线．
2.已知在∠AOB中，OD=OE，DC=EC. 求证：OC
是∠AOB的平分线．
证明：由已知得，OD=OE、 DC=EC
在⊿OCD和⊿OCE中，
OD=OE（已知）DC=EC（已知）
OC=OC（公共边）
∴⊿OCD ≌⊿OCE（SSS）
∴∠COD =∠COE
∴OC是∠AOB的平分线．
规作图注意事项：
1、初中阶段，尺规作图不要求学生写作法，但学生应能说明其中的道理，即以
操作和理解为主；
2、保留作图痕迹；
3、在空白处注明：“如图，xxx为所求作。”
活动意图说明：
通过折纸方法可以将一个角平分。培养学生的抽象思维能力和运用三角形全等的知识解决问题的能
力，让学生体验成功。经历实践→猜想→证明→归纳的过程，符合学生的认知规律。类比垂直平分线
的画法，探究角平分线的画法。
环节三：典例精析
教师活动3： 学生活动3
例1 如图，∠BAD =∠BCD = 90°，∠1=∠2. 自学例题，提出质
疑。
（1）求证：点B在∠ADC的平分线上；
（2）求证：BD是∠ABC的平分线.
证明 （1）在△ABC中，
∵ ∠1=∠2，
∴ BA = BC.
又∵BA⊥AD， BC⊥CD，
∴ 点B在∠ADC的平分线上.
(2） 在Rt△BAD和Rt△BCD中，
∵ BA = BC， BD = BD，
∴ Rt△BAD≌Rt△BCD.
∴ ∠ABD =∠CBD.
∴ BD是∠ABC的平分线.
活动意图说明：
通过例题的学习，进一步理解并掌握角平分线的性质，.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问
题的能力。
板书设计1、角平分线的性质定理：
∵∠DOP= ∠EOP，PD⊥OA ，PE⊥OB
∴PD=PE.
2、角平分线的性质定理逆定理：
∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB，PD=PE
∴ ∠DOP= ∠EOP .
课堂练习 【知识技能类作业】
A
必做题：
1、填空： 2
1
(1). ∵∠1= ∠2，DC⊥AC， DE⊥AB
E
∴DE=DC,(角平分线上的点到角的两边的距离相)
(2). ∵DC⊥AC ，DE⊥AB ，DC=DE
C B
∴ ∠ 1 = ∠ 2，(到角的两边的距离相等的点在角平分线上)
D
2.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的 A
平分线交BC于D，BC=15，且DB=10，则点D到AB的
距离为 5 。
3.如图①，已知 ，用尺规作它的角平分线
（如图②）．
C D B
尺规作图具体步骤如下，
第1步：以 为圆心，以 为半径画弧，分别交射线 于点 ；
第2步：分别以 为圆心，以 为半径画弧，两弧在 内部交于点 ；
第3步：画射线 ．射线 即为所求．
下列说法正确的是（ B ）
A． 有最小限制， 无限制 B． 的长
C. D．连接 ，则 垂
直平分
4．如图，在 ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，BG
的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂
直，交AD于△点H，则下面判断正确的有（ B ）
①AD是 ABE的角平分线；②BE是 ABD的边AD上
△ △的中线；
③CH是 ACD的边AD上的高；④AH是 ACF的角平分线和高
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
△ △
选做题：
5、如图，BD是∠ABC的平分线，BA=BC,点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD,垂足分别
为M，N. 试说明 PM=PN.
解析：先证明⊿ABD ≌⊿CBD（SAS）,
得∠ADB ＝∠CDB，
根据角平分线的性质，得
PM ＝ PN.
6.如图，已知⊿ABC内一点P到∠A的两边
的距离相等，且PA=PB，则P点如何确定？
解析：先作出∠BAC的平分线,再作 ·P
出线段AB的中垂线，两线交点P就
是所要确定的点.
7.如图，在⊿ABC中，BD是三角形的角平分线，
BC=12cm，BA=8cm，点D到直线BC的距离等于4cm，求⊿ABC的面积.
解析：过D作DF垂直AB，垂足为F，
则，DF=DE=4
∴S⊿ABC = S⊿ABD+S⊿CBD
=(AB×DF+BC×DE)÷2
=40(cm2)
【综合拓展类作业】
8.如图， 已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF 的中点. 需添加一个什么条件，
就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？
解析：可以添加条件MN =ME （或MN =MF）
∵ ME⊥CD， MN⊥CA.
∴ M在∠ACD的平分线上，
即CM是∠ACD的平分线.
同理可得AM是∠CAB的平分线.
作业设计 【知识技能类作业】
必做题：
1. 如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA 于点C，
ED⊥OB 于点D. 求证：（1）∠ECD=∠EDC。（2）
OC=OD.
证明 （1）∵ 点E在∠BOA的平分线上，
EC⊥AO，ED⊥OB ，∴ ED =EC.
∴ △EDC 是个等腰三角形.
∴ ∠ECD=∠EDC.
（2）在Rt△OED和Rt△OEC中，
∵ OE= OE， ED = EC，
∴ Rt△OED≌Rt△OEC(HL).
∴ OD=OC.
2．如图， ， ， 分别是 的中线，角
平分线，高，下列各式中错误的是（ D ）
A． B．
C． D．
3．如图，在 中，BE平分 ， 于点E， 的面积为2，则
的面积是 4 ．
第3题 第4题
4.如图， 平分 交 于点 ， 于点 ，
若 ， ， ，则 的长为 5 ．
5．如图，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分线BP、CP相交于点P，PE⊥BC于E且
PE＝3cm，若△ABC的周长为14cm，S ＝7.5，则△ABC的面积为 6 cm2．
△BPC
第5题 第6题
6.如图， 是 的平分线上一点， 于点
， 是射线 上一个动点，若 ，则 的最
小值为 8 ．
选做题：
7.如图，点 M 和点 N 在 ∠AOB 内部．
（1）请你作出点 P，使点 P 到点 M 和点 N 的
距离相等，且到 ∠AOB 两边的距离也相等（保留作
图痕迹，不写作法）；（2）请说明作图理由．
解：（1） 如图所示．
（2） 作图的理由：点 P 在 ∠AOB 的平分线上，又在线段 MN 的垂直平分
线上，∠AOB 的平分线和线段 MN 的垂直平分线的交点即为所求．
【综合拓展类作业】
8. 如图，在△ABC 的外角∠DAC 的平分线上任取一点P，作PE⊥DB， PF⊥AC，
垂足分别为点E，F. 试探索BE + PF与PB的大小关系.
解析∵ AP是∠DAC的平分线，
又PE⊥DB， PF⊥AC，
∴ PE=PF.
在△EBP中，BE+PE>PB
∴ BE+PF>PB.
9.如图，在△ABC 中，AD⊥DE， BE⊥DE，
AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE，点 C在
线段DE上. 求证：AB=AD+BE.
证明 作CM⊥AB于点M.
∵ AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE，
∴ CD = CM，CE = CM.
在Rt△ACD和Rt△ACM中，
∵ CM = CD，AC = AC，
∴ Rt△ACD ≌Rt△ACM.
∴ AD = AM.
同理， BE = BM.
又 AB=AM+BM，∴AB=AD+BE
教学反思
