文档内容
七年级数学·上 新课标[北师]
第五章 一元一次方程
1.了解方程、一元一次方程及其相关概念.
2.理解等式的基本性质,并利用等式的基本性质学习一元一次方程的解法.
3.熟练掌握移项、去括号、合并同类项等化简方程的方法,会解一元一次方程.
4.能根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程,并利用一元一次方程模型解决简单
的实际问题.
1.通过简单问题的思考和解决,使学生从中了解方程的一般概念以及用方程解决问题的
重要性.
2.经历一元一次方程从易到难的解法,掌握等式基本性质是一元一次方程化简和求解的
重要依据.
3.在教师的指导下,经历分析具体问题中的等量关系的过程,列方程进行求解,通过比较不
同状态下方程解的情况,从中探索出规律.
1.经历观察、归纳、应用等环节,形成良好的学习态度和方法.
2.通过各种具体的例子,感受数学知识在现实生活中的广泛应用,进一步提高学习数学的
信心.
3.在观察中思考问题,并选择适当的数学工具解决问题,初步培养分析问题、解决问题的
意识和能力.
方程是中学数学的重要内容,一元一次方程作为内容最基本、形式最简单的方程,在初中
数学中占有极其重要的地位.本章内容在整个代数知识的学习中起着承上启下的作用,一方面
是对已经学过的代数式、有理数的运算、整式的加减等知识的巩固和加深,另一方面又为今
后学习方程组、分式方程、函数等知识奠定基础,尤其是一元一次方程的应用,充分体现了数
学知识来源于实践,又指导实践的辩证关系.
本章通过各种实例,让学生体会方程作为一个解决问题的模型,在现实生活中的应用是十
分有效而且广泛的.学生在“建模”“理论联系实际”等数学思想的学习中,既可以增强应用
数学的意识,提高分析问题、解决问题的能力,又可以养成学以致用的好习惯.教材十分强调
具体问题具体分析,从而得到不同问题的不同解决方法.
本章重点是一元一次方程的解法和应用,学生习惯了应用算术方法解决实际问题,这给利
用方程模型解决实际问题的理解带来难度,教师应及时给予适当的指导,让学生感受到方程解
决问题所带来的方便.学好本章内容,不仅能使学生更好地理解和掌握代数的有关知识,对于
学生学习初中数学的其他知识也至关重要.[键入文字]
【重点】
1.理解等式的两条基本性质,会用字母表示它们,并能熟练运用.
2.熟练掌握一元一次方程的基本解法.
3.能根据实际生活背景列一元一次方程解决问题.
【难点】
1.一元一次方程的解法.
2.通过对实际问题的分析,正确理解题目中隐含的等量关系,列出方程.
1.教学应结合具体内容多采用“问题情景——建立模型——应用拓展”的模式展开,从
简单而具体的实例让学生经历方程的形成与应用的过程,从而更好地理解方程的基本概念及
意义,使学生从小学算术的思维方式逐渐过渡到用方程的思想思考和解决实际问题,发展应用
数学的意识和能力.
2.在讲解一元一次方程的化简及求解的时候,应该同时练习代数式的有关知识,让学生通
过所学的知识,学习和掌握新的知识.这样教学既有利于培养学生综合运用所学知识的能力,
又有利于通过知识间的内在联系,化解教学中的难点,使学生更加牢固地掌握知识.
3.有效的数学学习不是单纯的模仿和记忆,解方程的步骤也没有统一模式,教师应注意引
导学生选择合理的解方程步骤,关注他们的个性发展.
4.在讲解如何用一元一次方程解决实际问题的各节中,应该鼓励学生自己分析问题中的
量与量之间的关系,并寻找问题中的等量关系,经历从分析问题、解决问题到检验问题的完整
过程.教师在这个过程中只是起到一个引导的作用,不宜代替学生的思维过程.
5.运用方程解决实际问题时,注意启发学生从多角度寻找等量关系,关注他们能否恰当地
转化和分析量与量之间的关系,并鼓励学生大胆创新.
1 认识一元一次方程 2课时
2 求解一元一次方程 3课时
3 应用一元一次方程——水箱变高了 1课时
4 应用一元一次方程——打折销售 1课时
5 应用一元一次方程——“希望工程”义演 1课时
6 应用一元一次方程——追赶小明 1课时
本章概括整合 1课时
1 认识一元一次方程[键入文字]
1.在具体情景中,理解方程的意义和作用.
2.理解一元一次方程的概念.
3.掌握利用等式性质解一元一次方程的基本技能,进而熟练解简单的一元一次方程.
1.通过一元一次方程的引入,培养学生的建模思想,归纳、分析问题及解决问题的能力.
2.通过类似天平的实验,形象直观地展示等式的基本性质,通过观察、思考,归纳出等式的
基本性质.
3.体会解一元一次方程就是将方程利用等式的基本性质变形为x=a(a为常数)的形式.
1.通过观察、操作、归纳等数学活动,感受数学思考过程的条理性和数学结论的严密性.
2.使学生在分析实际问题情境的活动中体会数学与现实的密切联系.
【重点】 在实际背景中理解方程的概念,并运用等式的基本性质进行求解.
【难点】 能够运用等式的基本性质对一元一次方程进行求解.
第 课时
1.在具体情景中,理解方程的意义和作用.
2.理解一元一次方程的概念.
1.通过一元一次方程的引入,培养学生的建模思想,归纳、分析问题及解决问题的能力.
2.通过类似天平的实验,形象直观地展示等式的基本性质,通过观察、思考,归纳出等式的
基本性质.
1.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.
2.在分析实际问题情景的活动中体会数学与现实的密切联系.
3.经历观察、归纳、应用等环节,形成良好的学习态度和学习方法.
【重点】 建立一元一次方程的概念,会根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程,
体会数学的应用价值.
【难点】 能根据具体问题中的等量关系列出一元一次方程.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P .
130~131[键入文字]
导入一:
(出示投影)丢番图是古希腊数学家.人们对他的生平事迹知道得很少,但流传着一篇墓志
铭叙述了他的生平:坟中安葬着丢番图,多么令人惊讶,它忠实地记录了其所经历的人生旅程.
上帝赐予他的童年占六分之一,又过十二分之一他两颊长出了胡须,再过七分之一,点燃了新
婚的蜡烛.五年之后喜得贵子,可怜迟到的宁馨儿,享年仅及其父之半便入黄泉.悲伤只有用数
学研究去弥补,又过四年,他也走完了人生的旅途.——出自《希腊诗文选》第126题.
师:谁能用方程求出丢番图去世时的年龄?大家讨论、交流一下.
1 1 1 1
生:可以利用我们所学的知识设他去世时的年龄为x岁,列方程为 x+ x+ x+5+ x+4=x.
6 12 7 2
师生交流:
你对方程有什么认识?列方程解决实际问题的关键是什么?
本章将学习一元一次方程的概念、解法和应用,充分感受方程模型的思想,首先从第1节
一元一次方程开始.(板书课题)
[设计意图] 通过阅读章前图中的故事,激发同学们探索丟番图年龄的兴趣,进而引导学
生通过列方程解决问题,感受利用方程可以解决实际问题,感受方程是刻画现实世界有效的模
型.
导入二:
(出示投影)同学们请看大屏幕,小彬和小华在进行猜年龄游戏,我们来看一看,小华是怎样
猜出小彬的年龄的?他是利用什么样的方法呢?
分析:如果设小彬的年龄为x岁,那么“乘2再减5”就是 ,因此可以得到方程:
.
生:我知道是怎么回事,如果设小彬的年龄为x岁,那么“乘2再减5”就是2x - 5,因此可
以得到方程:2x - 5=21.根据我们小学所学的方程的解法x=13,所以小彬的年龄为13岁.
师:这位同学非常聪明,能够利用小学的知识把它解出来很好,而且非常正确,同学们给他
掌声鼓励.
那我们是否也可以用列方程的方式来解决生活中的实际问题呢?这节课我们开始学习一
元一次方程.(板书课题)
[设计意图] 通过小彬和小华进行的猜年龄游戏,把现实生活中的问题转化为数学中的
方程问题,从而认识一元一次方程的重要作用.
[过渡语] 同学们,生活中处处有数学,下面我们一起探究实际问题与数学的联系吧.
探究活动1 对实际问题通过列方程的形式表达
情景1:如图所示,小颖种了一株树苗,开始时树苗高为40 cm,栽种后每周树苗长高约15
cm,大约几周后树苗长高到1 m?[键入文字]
提示思考问题:
(1)原来高多少?40 cm.
(2)x周后长高了多少?15x cm.
(3)本题中的等量关系是什么?树苗开始的高度+长高的高度=树苗将达到的高度.
(4)如何列方程表达等量关系?
情景2:甲、乙两地相距22 km,张叔叔从甲地出发到乙地,每时比原计划多行走1 km,因
此提前12 min到达乙地,张叔叔原计划每时行走多少千米?
思路一
若设张叔叔原计划每时行走x km,则实际每小时走 km, 由此,我们可以列出方
程: .
师生活动:设未知数,根据题意列出方程,老师点评并分析如何建立一元一次方程的数学
模型,并整理.
思路二
小组活动,共同探究、思考:
(1)题中的已知条件是什么?
(2)题中的等量关系是什么?动手写出来.
(3)如何设未知数,根据题中等量关系怎样列方程?
[处理方式] 教师在巡视过程中及时解决疑难问题,学生讨论后小组展示讨论结果,教师
及时补充.
情景3:根据第六次全国人口普查统计数据,截至2010年11月1日0时,全国每10万人中
具有大学文化程度的人数为 8930 人,与 2000 年第五次全国人口普查相比增长了
147.30%.2000年第五次全国人口普查时每10万人中约有多少人具有大学文化程度?
思路一
如果设2000年第五次全国人口普查时每10万人中约有x人具有大学文化程度,那么可
以得到方程: .
思路二
(1)想一想:题目中的已知条件是什么?题目中各个量之间有什么关系?
(2)品一品:你能正确地找出题目中的等量关系吗?动手写一写.
(3)考一考:看谁能正确地列出方程?
学生活动,教师巡视发现问题,并及时解决.
[设计意图] 设置丰富的问题情景,使学生经历模型化的过程,激发学生的好奇心和主动
学习的欲望.
探究活动2 什么是一元一次方程
1.问题导学
观察下面所列的方程,哪些是你熟悉的?有何共同特点?
22 22 1
2x - 5=21 40+15x=100 - = (1+147.30%)x=8930
x x+1 5
在学生共同分析总结的基础上,指出这些方程中含有未知数的个数有什么特点?未知数
的指数有什么特点?
上面方程中的第1,2,4个都具有以下特点:(1)都只含一个未知数x;(2)未知数的指数都是1;
(3)方程两边都是整式.
板书:在一个方程中,只含有一个未知数,而且方程中的代数式都是整式,未知数的指数都
是1,这样的方程叫一元一次方程.
[设计意图] 让学生通过观察、类比的方法得到定义,从而达到真正理解定义的目的,同
时培养学生归纳总结的能力.
[过渡语] 我们了解了一元一次方程的有关概念,现在同学们比一比谁理解得更透彻吧!
2.即时练习(课件展示)
判断以下哪些是一元一次方程.
(1) - 2+5=3; (2)3x - 1=7; (3)m=0;[键入文字]
(4)x>3; (5)x+y=8;
(6)2x2 - 5x+1=0; (7) 2a +b.
[处理方式] 以抢答的形式来完成此题,并让学生找出错误理由.教师应注意对学生给出
的答案作出点评和归纳.
[设计意图] 进一步强化一元一次方程的概念满足的条件,采取抢答的形式,提高学生学
习数学的兴趣和积极性.
探究活动3 什么是方程的解
[过渡语] 像开头的小游戏,当你告诉我计算结果是21时,我根据2x - 5=21,得出你的年
龄是13.在这里13是使这个方程成立的x的值,我们把它称为方程2x - 5=21的解.例如:a=2是
方程2a - 4=0的解;m=0是方程6m= - 0.7m的解.
板书:使方程左、右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解.
[知识拓展] 1.判定一个方程是不是一元一次方程需同时满足三个条件:(1)方程中的代
数式都是整式;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的指数都是1.
2.方程中解的意义和实际生活中问题的意义是有区别的,就是说方程的解不一定都在实
际生活中有意义.
1.一元一次方程:在一个方程中,只含有一个未知数,而且方程中的代数式都是整式,未知
数的指数都是1,这样的方程叫一元一次方程.
2.方程的解:使方程左、右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解.
1.在①2x - 1;②2x+1=3x;③|π - 3|=π - 3;④t+1=3中,等式有 ,方程有 .
(填序号)
解析:一元一次方程必须满足三个条件:(1)未知数的指数是1;(2)是整式方程;(3)含有一个
未知数.
答案:②③④ ②④
2.方程4x= - 4的解是x= .
解析:由题意可知x= - 1.故填 - 1.
1
3.根据“x的2倍与5的和比x的 小10”,可列方程为 .
2
x x
解析:由题意可知2x+5= - 10.故填2x+5= - 10.
2 2
4.若2x=6与3(x+a)= - 5x有相同的解,那么a - 1= .
解析:由2x=6,得x=3,因为2x=6与3(x+a)= - 5x有相同的解,所以把x=3代入3(x+a)= - 5x,解
得a= - 8,所以a - 1= - 9.故填 - 9.
5.若关于x的方程mxm - 2 - m+3=0是一元一次方程,则这个方程的解是 .
解析:由关于x的方程mxm - 2 - m+3=0是一元一次方程可知m - 2=1,解得m=3,所以把
m=3代入mxm - 2 - m+3=0,得3x - 3+3=0,解得x=0.故填x=0.
6.小明买了80分与2元的邮票共16枚,花了18元8角,求他买了80分的邮票和2元的邮
票各多少枚.(只需列出方程)
解:设他买了80分的邮票x枚,
则2元的邮票(16 - x)枚,
所以方程为0.8x+2(16 - x)=18.8.
第1课时
1.对实际问题通过列方程的形式表达
2.什么是一元一次方程
3.什么是方程的解
一、教材作业[键入文字]
【必做题】
教材第132页习题5.1的1题.
【选做题】
教材第132页习题5.1的2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列四个式子中,是一元一次方程的是 ( )
A.x2 - 1=0 B.x=y+1
1
C.y+1=0 D. =2
x
2.x=3满足下列方程中的 ( )
1
① - 2x - 6=0;②|x+2|=5;③(x - 3)(x - 1)=0;④ x=x - 2.
3
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.某车间有100个工人,每人平均每天加工螺栓18个或加工螺母24个,要使每天加工的螺栓
与螺母配套(一个螺栓要配两个螺母),则应分配多少工人加工螺母?如果设分配x个工人加工
螺母,则可列出方程( )
A.18x+24x=100
B.18x+2×24x=100
C.18×2x=(100 - x)×24
D.x×24=2(100 - x)×18
4.若3xn - 1=2是一元一次方程,则n= .
5.当n= 时,1 - n的值是5.
6.小明说小红的年龄比他大两岁,他俩的年龄和为18岁,求两人的年龄.若设小明x岁,则小红
的年龄为 岁.根据题意,列方程得: .
【能力提升】
7.已知2是关于x的方程mx=8的解,则m= .
【拓展探究】
8.父亲的年龄为50岁,儿子的年龄为20岁,则多少年后,父亲的年龄是儿子的两倍?(只需列出
方程即可)
【答案与解析】
1
1.C(解析:A,未知数x的指数是2;B,含有两个未知数;D,方程中 不是整式.故选C.)
x
2.C(解析:根据方程的解的定义,把x=3分别代入②③④符合题意,故选C.)
3.D(解析:如果设分配x个工人加工螺母,则有(100 - x)个工人加工螺栓,加工螺母24×x个,加工
螺栓18×(100 - x)个,由题意可列出方程x×24=2(100 - x)×18,故选D.)
4.2(解析:由3xn - 1=2是一元一次方程,可知n - 1=1,解得n=2,故填2.)
5. - 4(解析:由1 - n的值是5,可知1 - n=5,解得n= - 4,故填 - 4.)
6.(x+2) x+2+x=18(解析:小红比小明大2岁,所以若设小明x岁,则小红的年龄为(x+2)岁.根据
题意,列方程得x+2+x=18.)
7.4(解析:因为2是关于x的方程mx=8的解,所以把x=2代入mx=8得2m=8,解得m=4.)
8.解:设x年以后父亲的年龄是儿子的两倍,则x年后父亲的年龄为(50+x)岁,儿子的年龄为
(20+x)岁,由题意可列方程为50+x=2(20+x).
(1)以小游戏作为情景引入,让学生在一个轻松的环境中打开问题之门,由惊奇到好奇再到
激起解开疑惑的欲望,然后设置一系列的情景问题,引导学生借助游戏中的思维方法来辨析生
活中的实际问题,从而投入到认识一元一次方程上来,课堂达到了水到渠成的不错效果.
(2)在整个教学实施过程中,自始至终坚持以问题为主线,诱导学生思考问题,进而去解决
问题,问题的设计也遵循学生的思维特点,着重引导学生探索、归纳,注重过程教学,如此既有
利于培养学生的分析归纳能力,也真正体现了以学生为主体的教学理念.[键入文字]
(1)利用情景列方程时仍有部分同学不能及时地列出方程,达不到构建方程模型解决实际
问题的能力要求.
(2)小组学习活动效果不是太理想,部分同学不能全心参与,不明白自己的任务.
充分调动学生的积极性,小组学习要有具体的内容,教师跟踪到位,及时发现问题,解决问
题.
练习(教材第131页)
1
1.解:(1)设“它”为x,根据题意,得x+ x=19. (2)设甲队胜了x场,则它平了(10 - x)场,根据题
7
意,得3x+1×(10 - x)=22.
2.解:(1)不是. (2)是.
(1)数学来源于生活,又应用到生活中去,所以以三个不同的生活情景问题导入新课,通过
分析题意,构建方程数学模型,让学生掌握利用方程解决问题,既突破了本节课的难点,又很自
然地引出了本节课的课题即重点,从而归纳一元一次方程的概念,认识方程的解.
(2)本节课重难点、易错点的掌握通过不同形式的练习加以巩固,让学生积极参与,培养竞
争意识,激发学习兴趣,同时教师随时注意学生们出现的问题,及时引导和反馈,使学生在快乐
中掌握知识.
若方程3xm - 2+5=0是一元一次方程,则代数式4m - 5= .
〔解析〕 根据一元一次方程的条件,这里应有m - 2=1,解得m=3,从而4m - 5=4×3 -
5=7.故填7.
【针对训练】 若方程(a+6)x2+3x - 8=7是关于x的一元一次方程,则a= .
〔解析〕 根据定义需使x的二次项消失,即a+6=0,解得a= - 6.故填 - 6.
第 课时
理解等式的两个基本性质,并能利用它求解简单的一元一次方程.
1.通过类似天平的实验,形象直观地展示等式的基本性质,通过观察、思考,归纳出等式的
基本性质.
2.体会解一元一次方程就是将方程利用等式的基本性质变形为x=a(a为常数)的形式.[键入文字]
经历观察、归纳、应用等环节,形成良好的学习态度和学习方法,感受数学思考过程的条
理性和数学结论的严密性.
【重点】
1.等式的基本性质.
2.体验用等式的基本性质解方程.
【难点】 利用等式的基本性质对方程进行变形,直至变形成x=a(a为常数)的形式,并能
说出每步变形的根据.
【教师准备】 准备天平.
【学生准备】 预习教材P .
132~133
导入一:
上节课我们做的猜年龄游戏大家还记得吗?老师的年龄乘2减去5得数是65,设老师的
年龄为x岁,我们得方程2x - 5=65.为了更好地解决方程问题,今天我们就来继续学习认识一
元一次方程(第2课时).
导入二:
在小学,我们求解过方程,请大家回忆你会求解哪些方程,方程5x=3x+4你会解吗?我们曾
经利用逆运算求解形如ax+b=c的方程.(简单举例说明)
1 1
对于较为复杂的方程,例如这样一个问题:某数与2的和的 ,比某数的2倍与3的差的
4 6
x+2 2x - 3
大1,求某数.如果我们设某数为x,可以得到方程是 = +1.
4 6
怎样才能求出x呢?如果还用逆运算容易求出方程的解吗?
观察、思考,小组内简单交流后回答用逆运算不易求出方程的解.
师:因此要想求出这些复杂的一元一次方程的解,我们有必要研究等式的基本性质,才可
以解决这个问题.(板书课题)
[设计意图] 通过问题串,让学生感受到自己原先具有的知识已不能够解决问题,学生遇
到了困难,从而激发学生的求知欲,产生了克服困难的决心和信心,更能积极投入到新课的学
习情境中去.
[过渡语] 同学们,到底如何解上面的方程呢?我们先来探究一下等式的基本性质.
探究活动1 等式的基本性质
小组合作交流展示.
(1)等式两边同时加(或减) ,所得结果仍是等式.
(2)等式两边同时乘同一个数(或除以同一个 的数),所得结果仍是等式.
(3)已知等式x=y,你能用数学符号表示等式的两个基本性质吗?
若x=y,则 , .(c为一代数式)[键入文字]
若x=y,则 , .(c为一不为0的数)
【学生活动】 小组合作交流:观察x=y的特征.
【师生活动】 复习学过的等式的基本性质,得出x±c=y±c,xc=yc,x÷c=y÷c(c≠0).
[设计意图] 交流讨论,并充分认识等式的基本性质,领会等式的基本性质的符号语言及
与小学学习的区别,同时训练了学生的思维和小组合作意识.
探究活动2 用等式的基本性质解方程
教师组织学生实践操作,演示天平称量过程.
思路一
教师引导学生思考并回答:
表示x, 表示2,将5x=3x+4用天平表示.
(1)天平在开始平衡时怎样由5x=3x+4变成2x=4,再变成x=2的呢?
(2)2x=4是在5x=3x+4的两边借助 都减去3x得到的;x=2是在2x=4的两边借助
都除以2得到的.
思路二
小组活动,共同探究,思考:
(1)观察天平①②可知,5x - =3x - +4,得到2x=4.
(2)观察天平②③可知,2x÷ =4÷ ,得到x=2.
(3)你能写出解方程的过程吗?
【师生活动】 教师在巡视过程中及时解决疑难问题,学生讨论后小组展示讨论结果,教
师及时补充.
【学生活动】 归纳概念.
在利用等式的两个基本性质时,需注意什么?
(1)等式两边每一项都要参加运算,是同一种运算,要加都加,要减都减,要乘都乘,要除都除,
并且等式两边加上或减去,乘或除以的数一定是同一个数.
(2)第一个基本性质所加(或减)不受限制,只要是同一个代数式即可,第二个基本性质除数
受限制,除数是不为0的同一个数.(教师板书应注意的问题)
[设计意图] 此探究活动既可以培养学生观察、思考、分析、总结、归纳能力,又培养
了学生的语言表达能力.
巩固练习
在横线上填写适当的代数式,并说明根据等式的哪一条性质.
(1)如果x - 3=2,那么x= ,根据 .
(2)如果x+y=0,那么x= ,根据 .
(3)如果4x= - 12y,那么x= ,根据 .
(4)如果a - b - c=0,那么a= ,根据 .
[设计意图] 运用等式的基本性质进行等式变形,这种变化对一些学生来说很难把握准
确,易于混淆.此处设计目的是鼓励学生区别清楚等式的两个基本性质,大胆做题,不要怕出错,
要让学生在解题中积累经验,及对知识有更深层次的掌握.
解下列方程:
(1)x+2=5;(2)3=x - 5.
解:(1)方程两边同时减去2,
得x+2 - 2=5 - 2.
于是x=3.
(2)方程两边同时加上5,得3+5=x - 5+5.
于是8=x.
习惯上,我们写成x=8.
[设计意图] 在实际变形的过程中,让学生体会等式的基本性质1的真正含义;让学生感
受到负数的引进及有理数运算的介入,用等式的基本性质解方程,相比小学的逆运算更具理性
思维;在经历等式变形的过程中,增强学生理性思维的意识.
解下列方程:[键入文字]
n
(1) - 3x=15;(2) - - 2=10.
3
【师生活动】 组织学生以小组为单位,先独立解方程,然后小组交流不同方法.
- 3x 15
解:(1)方程两边同时除以 - 3,得 = ,
- 3 - 3
化简,得x= - 5.
(2)方程两边同时加上2,
n
得 - - 2+2=10+2.
3
n
整理得 - =12.
3
方程两边同时乘 - 3,得n= - 36.
如何判断我们解得的值是不是方程的解呢?正确方法:把n= - 36代入原方程,左边= -
( 36)
- - 2=12 - 2=10,右边=10.因为左边=右边,所以n= - 36是原方程的解.
3
[设计意图] 在实际变形的过程中,让学生体会等式的基本性质1,2的真正含义;培养学
生严谨、科学的思维习惯,规范的数学书写格式.
[知识拓展] 方程是含有未知数的等式,所以可以利用等式的基本性质解方程.
利用等式的基本性质解一元一次方程,也就是通过正确的变形,将方程化成未知数的系数
为1的形式,即x=a的形式.
等式的基本性质1和2关键的两个词是“同时”“同一个”,性质1的含义是只有等式
两边同时加上(或减去)同一个代数式,才能保证所得结果仍是等式,否则所得结果不是等式.性
质2的含义要注意两点:(1)等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数),所得结果仍
是等式;(2)等式两边不能同时除以0,因为0不能作除数.
一元一次方程的几种形式及求解方法:
①x+a=b:方程两边都减去a,得x=b - a;
b
②ax=b(a≠0):方程两边都除以a,得x= ;
a
c - b
③ax+b=c(a≠0):方程两边都减去b,得ax=c - b,再在方程的两边都除以a,得x= .
a
等式的基本性质.
1.下列各选项中,根据等式的基本性质变形正确的是( )
1 2
A.由 - x= y,得x=2y
3 3
B.由3x=2x+2,得x=2
C.由2x - 3=3x,得x=3
D.由3x - 5=7,得3x=7 - 5
解析:选项A中,等式两边同时乘3,得 - x=2y,故选项A错误;选项B中,等式两边都减去2x,
得x=2,故选项B正确;选项C中,等式两边都减去2x,得 - 3=x,即x= - 3,故选项C错误;选项D中,
等式两边都加5,得3x=7+5,故选项D错误.故选B.
2.若ma=mb,那么下列等式不一定成立的是 ( )
A.a=b B.ma - 6=mb - 6
C. - 12ma= - 12mb D.ma+8=mb+8
解析:仔细观察、分析原等式与各选项中的等式的结构、系数有何变化,从而确定是应用
了等式的哪条基本性质.显然选项B和D应用了等式的基本性质1;选项C是运用了等式的基
本性质2;选项A中,只有当m≠0时,才能成立,故选项A中的等式不一定成立.故选A.[键入文字]
3.已知等式3a=2b+5,则下列等式中不一定成立的是 ( )
A.3a - 5=2b B.3a+1=2b+6
2 5
C.3ac=2bf+5f D.a= b+
3 3
解析:A项可由等式两边都减去5得到;B项可由等式两边都加上1得到;D项可由等式两
边同除以3得到;只有C项是不一定成立的.故选C.
4.在解方程3x - 3=2x - 3时,小华同学是这样解的:
方程两边同加3,得3x - 3+3=2x - 3+3.(1)
于是3x=2x.
方程两边同除以x,得3=2.(2)
所以此方程无解.
小华同学的解题过程是否正确?如果正确,请指出每一步的理由;如果不正确,请指出错在
哪里,并加以改正.
解:第(1)步符合等式的基本性质1,是正确的;第(2)步不符合等式的基本性质2,是错误的.
根据等式的基本性质2,方程两边同除以一个数时,要在这个数不为0的前提下进行,事实上,x
是等于0的,应改为:方程两边同减去2x,得3x - 2x=0.于是x=0.
5.解方程:(1)5x - 8=12;(2)4x - 2=2x.
解:(1)方程的两边同时加上8,得5x=20.
方程的两边同时除以5,得x=4.
(2)方程的两边同时减去2x,得2x - 2=0.
方程的两边同时加上2,得2x=2.
方程的两边同时除以2,得x=1.
第2课时
1.等式的基本性质
等式的基本性质1
等式的基本性质2
2.用等式的基本性质解方程
一、教材作业
【必做题】
教材第134页习题5.2的1题(2)(4).
【选做题】
教材第134页习题5.2的2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.已知关于x的方程2x - a - 5=0的解是x= - 2,则a的值为 ( )
A.1 B. - 1 C.9 D. - 9
2.已知方程2x+3=5,则6x+10等于( )
A.15B.16C.17D.34
3.若关于x的方程2x+a - 4=0的解是x= - 2,则a等于( )
A. - 8 B.0 C.2 D.8
4.如果关于x的方程3x+4=0与方程3x+4k=18是同解方程,则k= .
【能力提升】
5.若5x+2与 - 2x+9互为相反数,则x - 2的值为 .
6.已知x=2是方程3x - a=x+1的解,试求代数式a+5的值.
【拓展探究】
m
7.已知方程2x - 3= +x的解满足|x| - 1=0,则m= .
3
【答案与解析】
1.D(解析:将x= - 2代入方程,得 - 4 - a - 5=0,解得a= - 9.故选D.)
2.B(解析:解方程2x+3=5,可得x=1.将x=1代入6x+10,可得6×1+10=6+10=16.故选B.)
3.D(解析:将x= - 2代入方程,得 - 4+a - 4=0,解得a=8,故选D.)[键入文字]
11 4 4
4. (解析:由3x+4=0 可得 x= - .又因为 3x+4=0 与3x+4k=18是同解方程,所以 x= - 是
2 3 3
11 11
3x+4k=18的解,代入可求得k= ,故填 .)
2 2
17 11 11 17
5. - (解析:由题意可列方程5x+2= - ( - 2x+9),解得x= - ,所以x - 2= - - 2= - .故
3 3 3 3
17
填 - .)
3
6.解析:根据方程的解的定义,可知x=2一定使方程左、右两边的值相等,可将x=2代入方程3x
- a=x+1,得到关于a的方程,解方程求出a,再求代数式的值.解:把x=2代入方程3x - a=x+1,得
6 - a=2+1,两边同时减去6,得 - a= - 3,两边同时除以 - 1,得a=3,当a=3时,a+5=3+5=8.
m m
7. - 6或 - 12(解析:由|x| - 1=0,得x=±1.当x=1时,由2x - 3= +x,得2 - 3= +1,解得m= - 6;当
3 3
m m
x= - 1时,由2x - 3= +x,得 - 2 - 3= - 1,解得m= - 12.综上可知,m= - 6或m= - 12.)
3 3
借助天平操作培养学生从实际操作中获取信息的能力.学生在师生、生生的交流碰撞中,
会适时调整自己对数学学习的方式及获取各种信息的途径.
多数同学对借助等式的基本性质解一元一次方程掌握很好,能够灵活运用;少数同学熟练
度不够,思维不够灵活,还需再完善;关于分层教学的问题感觉处理得还不够好,对于较差生的
辅导还要再耐心.
学生在小学学过用运算的逆运算关系解简单一元一次方程普遍掌握较好,但用小学方法
解方程比用等式的基本性质解方程理性思维要差些,所以教学过程中要着重引导学生体会代
数中处理类似小学且难于小学的内容时“代数化”方法的优越性、概括性及抽象性.
随堂练习(教材第133页)
17
1.(1)x=17. (2)y=21. (3)x= - . (4)x=9.
3
2.解:设小红x岁,根据题意,得2x+8=30,解得x=11.
习题5.2(教材第134页)
1 1 5
1.(1)x=15. (2)y= - . (3)x= . (4)x= .
2 5 6
2.A,B
3.解:等式两边不能同时除以0,而满足2x=5x的x恰好为0.
4.解:设陆地面积为x亿km2,则2.4x+x=5.1,所以x=1.5,所以2.4x=3.6.所以地球上的海洋面积约
为3.6亿km2,陆地面积约为1.5亿km2.
5.提示:84.
6.提示:12周.
7.解:设黑色皮块有3x个,则白色皮块有5x个,由题意得3x+5x=32,解得x=4.3x=12,5x=20,所以黑
色皮块有12个,白色皮块有20个.[键入文字]
(1)本节课方程的求解主要在于熟悉等式的基本性质,因此方程的形式不要太复杂.
(2)教学中要鼓励学生独立地解方程,并从中体会利用等式的基本性质解方程就是要将方
程中未知数的系数化为1.从逻辑上讲,解方程都需要检验,因为我们解方程的过程实际上是先
假定方程有解,所以必须检验所得的解是不是原方程的解.但由于解一元一次方程的每一步变
形都是同解变形,因此对于解一元一次方程来说,“检验”就不是必须的了.教学中,在开始阶
段可要求学生检验,待学生熟练后可省略检验.
育才中学七年级共有328名师生,十一黄金周组织秋游,需要租车.已知有2辆校
车可乘坐64人,还需要租用44个座位的客车多少辆?
〔解析〕 先找出题目中的相等关系,再根据相等关系列方程求解.本题的相等关系是:
乘坐校车的人数+乘坐客车的人数=师生总人数.
解:设还需要租用44个座位的客车x辆,
则客车可坐44x人.
根据题意列方程,得44x+64=328.
方程的两边同时减去64,得44x=264.
方程的两边同时除以44,得x=6.
答:还需要租用44个座位的客车6辆.
2 求解一元一次方程
1.掌握解一元一次方程的基本方法:移项、去分母等.
2.能熟练求解数字系数的一元一次方程,并根据实际问题判别解的合理性.
1.经历解一元一次方程的过程,了解解一元一次方程的一般步骤,并能灵活运用.
2.体会解一元一次方程的转化思想.
1.通过观察、归纳等数学活动,感受数学中的转化思想,培养学习数学的兴趣.
2.使学生在分析实际问题情境的活动中体会数学与现实生活的密切联系.
【重点】
1.掌握解一元一次方程的基本方法.
2.根据实际问题判别解的合理性.
【难点】 体会解一元一次方程的转化思想.
第 课时[键入文字]
1.进一步熟悉利用等式的基本性质解一元一次方程的基本技能.
2.在解方程的过程中分析、归纳出移项法则,并能运用这一法则解方程.
1.通过观察、归纳,独立发现移项的法则.
2.经历用移项的方法解方程的过程,并会解方程.
体会学习移项法则解一元一次方程的必要性,
使学生在动手、独立思考的过程中,进一步体会方程模型的作用,体会学习数学的实用性.
【重点】 理解移项法则,会解简单的一元一次方程.
【难点】 正确理解和使用移项法则.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P .
135~136
导入一:
上节课我们学习了等式的两个基本性质,并且根据这两个性质能够解一元一次方程.那么,
什么叫方程的解?方程变形为什么形式,就可以认为解出了方程的解了?小组交流:
(1)使方程左、右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解.
(2)需将方程变形为x=a(a为常数)的形式.
【师引导学生总结】 解方程就需要充分利用等式的两个基本性质设法将方程变形为
x=a(a为常数)的形式.那么,本节课我们一起来探究有没有其他的解一元一次方程的方法.
导入二:
观察下列方程:
(1)5x - 2=8;(2)2x+6=1;(3)3x+3=2x+7.
你会解上面的方程吗?
【学生活动】 先观察方程的特征,分析解方程的方法.(学生解方程,教师巡视适时指导)
[设计意图] 让学生复习上课时内容,为本节课的学习做铺垫.体会等式的基本性质在解
方程的过程中的作用.
[过渡语] 哪位同学来展示一下解得的结果?和同学们一起分享一下.
探究活动1 移项法则
(1)5x - 2=8
解:方程两边同时加上2,得5x - 2+2=8+2.
也就是 5 x =10 .
方程两边同除以5,得x=2.
(2)3x=2x+7[键入文字]
解:方程两边同时减去2x,
得3x - 2x=2x+7 - 2x,
也就是 3 x - 2 x =7 ,
化简得x=7.
【温馨提示】 (1)在变形过程中,比较画横线的方程与原方程,可以发现什么?
(2)上述变形过程中,有怎样的规律?
【归纳】
(1)部分项由方程的一边移到了另一边.
(2)使方程的一边含有未知数,方程的另一边不含有未知数.
像这样把原方程中的某一项改变符号后,从方程的一边移到另一边,这种变形叫做移项.
【思考】 (1)移项的依据是什么?(2)移项的目的是什么?
【归纳】 (1)等式的基本性质.(2)移项使含有未知数的项集中于方程的一边,常数项集
中于方程的另一边,便于合并同类项、化简.
因此,方程5x - 2=8也可以这样解.
移项,得5x=8+2.
化简,得5x=10.
方程两边同时除以5,得x=2.
[设计意图] 让学生在复习上节课的内容的基础上归纳出移项法则,在这个过程中,体会
用等式的基本性质解方程与用加减互为逆运算解方程的区别.
探究活动2 用移项法解一元一次方程
[过渡语] 下面我们用移项法则来求解一元一次方程.
解下列方程:(1)2x+6=1;(2)3x+3=2x+7.
思路一
用等式的基本性质解一元一次方程.教师将学生分组完成.
思路二
用移项法则解一元一次方程.
(1)移项法则是什么?
(2)移项要注意什么问题?
教师巡视发现问题,及时矫正.
解:(1)2x+6=1.
移项,得2x=1 - 6.
化简,得2x= - 5.
5
方程两边同时除以2,得x= - .
2
(2)3x+3=2x+7
移项,得3x - 2x=7 - 3.
合并同类项,得x=4.
【师生总结】 在利用移项法则解方程时,需注意什么?
(1)移项要变号.
(2)没有移项不要误认为是移项.
(3)通常把含有未知数的项移到方程的左边,把常数项移到方程的右边.
(教师板书应注意的问题)
[设计意图] 此探究活动既可以培养学生观察、思考、分析、总结、归纳能力,又培养
了学生的语言表达能力.
1 1
解方程: x= - x+3.
4 2
学生独立完成,小组交流解法.教师及时鼓励.
1 1
解:移项,得 x+ x=3.
4 2
3
合并同类项,得 x=3.
4
3( 4)
方程两边同时除以 或同乘 ,得x=4.
4 3[键入文字]
问题1
下列变形中,属于移项变形的是 ( )
3
A.由5x=3,得x=
5
B.2x+3y - 4x=2x - 4x+3y
x
C.由 =2,得x=2×3
3
D.由4x - 4=5 - x,得4x+x=5+4
(解析:选项A,方程两边同时除以5;选项B,加法交换律;选项C,方程两边同时乘3;选项D,符
合题意.故选D.)
问题2
解方程 - 3x+5=2x - 1,移项正确的是 ( )
A.3x - 2x= - 1+5
B. - 3x - 2x= - 5+1
C.3x - 2x= - 1 - 5
D. - 3x - 2x= - 1 - 5
(解析:选项A不符合移项法则;选项B, - 1没移项,却改变了符号;选项C, - 3x没移项,却改
变了符号;选项D符合题意.故选D.)
[知识拓展] 方程中任何一项都可以移项,移项法则是移项变号,不移项则不能变号.通常
把含有未知数的项移到方程的左边,把不含未知数的项(即常数项)移到方程的右边,这样做便
于合并同类项,使方程变成ax=b(a,b为常数,且a≠0)的形式,再把x的系数化为1就可得到方程
的解.
通过这节课我们学习了移项法则,利用移项法则解方程时需要注意:
(1)移项要变号.
(2)通常把含有未知数的项移到方程的左边,把常数项移到方程的右边.
1.下列方程中,解是x=4的方程是( )
A.x+5=2x+1 B.3x= - 2 - 10
C.3x - 8=5x D.3(x+2)=3x+2
解析:选项A中,x=4,故选项A正确;选项B中,x= - 4,故选项B不正确;选项C中,x= - 4,故选项
C错误;选项D中,方程无解,故选项D错误.故选A.
2.方程2x - 5=x - 2的解是 ( )
A.x= - 1 B.x= - 3
C.x=3 D.x=1
解析:解方程2x - 5=x - 2,移项,得x=3,故选C.
3.已知3x - 2与2x - 3的值相等,则x= .
解析:由题意,得3x - 2=2x - 3,解方程3x - 2=2x - 3,移项,得x= - 1,故填 - 1.
1 2
4.解方程 x - 2=5 - x.
3 3
解析:方程中的项包括其前面的符号,在移项时,移动的项要改变符号,不移动的项不变号;
把含有x的项移到方程的左边,把常数项移到方程的右边.
1 2
解:移项,得 x+ x=5+2,
3 3
合并同类项,得x=7.
第1课时
1.移项法则[键入文字]
2.用移项法解一元一次方程
例1
例2
一、教材作业
【必做题】
教材第136页习题5.3的1题(2)(4).
【选做题】
教材第136页习题5.3的2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.当x= 时,式子4x+8与3x - 10相等.
1
2.某个体户到农贸市场进一批黄瓜,卖掉 后还剩48 kg,则该个体户卖掉 kg黄瓜.
3
3.若干本书分给某班同学,每人6本则余18本,每人7本则少24本.设该班有学生x人,或设共
有图书y本,分别得方程 ( )
y - 24 y - 18
A.6x+18=7x - 24与 =
7 6
y+24 y - 18
B.7x - 24=6x+18与 =
7 6
y+24 y - 18
C.7x+24=6x+18与 =
7 6
D.以上都不对
4.解下列方程:(用移项,合并同类项法)
(1)0.3x+1.2 - 2x=1.2 - 2.7x;
(2)40×10%·x - 5=100×20%+12x.
【能力提升】
5.已知2(a - b)=7,则5b - 5a= .
6.哥哥有存款300元,弟弟有存款120元,若从下月起哥哥每月存款100元,弟弟每月存款120
元,那么几个月后两人的存款数相等?
【拓展探究】
7.我国“嫦娥一号”发射成功,中国人实现千年的飞天梦想,卫星在绕地球飞行过程中进行了
三次变轨.已知第一次变轨后的飞行周期比第二次变轨后飞行周期少 8小时,而第三次变轨后
的飞行周期又比第二次变轨后的飞行周期扩大1倍.已知三次变轨后的飞行周期和为88小
时,求第一、二、三次变轨后飞行的周期各是多少小时.
【答案与解析】
1. - 18(解析:由题意得4x+8=3x - 10,解得x= - 18.故填 - 18.)
( 1) 1
2.24(解析:设进了x kg黄瓜,则 1 - x=48,解得x=72.所以72× =24(kg).故填24.)
3 3
3.B(解析:(1)设该班有学生x人,每人6本则余18本,可表示出图书有(6x+18)本;每人7本则少
24本,可表示出图书有(7x - 24)本.根据图书数量相等列方程得6x+18=7x - 24.(2)设共有图书y
y - 18
本,由每人6本则余18本,可表示出学生有 人;每人7本则少24本可表示出学生有
6
y+24 y - 18 y+24
人.根据学生人数相等列方程得 = .故选B.)
7 6 7
4.解:(1)移项,得0.3x+2.7x - 2x=1.2 - 1.2,合并同类项,系数化为1,得x=0.[键入文字]
25
(2)4x - 5=20+12x,移项,得4x - 12x=25,合并同类项,系数化为1,得x= - .
8
5. - 17.5(解析:因为2(a - b)=7,所以a - b=3.5,所以b - a= - 3.5,所以5b - 5a=5(b - a)=5×( -
3.5)= - 17.5.)
6.解:设 x 个月后两人的存款数相等,由题意,列方程得 300+100x=120+120x,移项得 300 -
120=120x - 100x,合并同类项得180=20x,系数化为1,得x=9.答:9个月后两人的存款数相等.
7.解:设第二次变轨后飞行的周期为x小时,则得方程x - 8+x+2x=88,解得x=24.所以第一、二、
三次变轨后飞行的周期分别是16小时、24小时、48小时.
引导学生得到移项法则,让学生体会新知识的学习与事物的发展变化总是由易到难的,而
解决新问题的方法往往是化“新”为“旧”,这样一个研究数学的方法,会对以后的数学学习
在思维方式、解决问题的策略等方面给予启发和帮助,明确学习移项法则的必要性.
在解题过程中出现“移项”与“项的换序”混淆,合并同类项中出现的符号错误,以及系
数化为1时,系数为分数易出错等问题.
将学生分成两人一组,一个出题,另一个解答,利用了学生好胜的心理,增加学生解答的趣
味性,从而提高学生的学习效率.
随堂练习(教材第136页)
1
(1)x=1.2. (2)x= - 5. (3)x= - 32. (4)x= - .
3
习题5.3(教材第136页)
2 5
1.(1)x=1. (2)x= . (3)x= - . (4)x=1.
3 3
2.提示:(1)x≈35701. (2)x=11.
3.解:设该旅客的机票票价为x元,则x+(35 - 20)×1.5%x=1323,解得x=1080.答:该旅客的机票票
价为1080元.
(1)本课时主要内容是在学生进一步熟悉运用等式的基本性质 1解方程的基础上,让学生
通过分析、观察、归纳得到移项法则,并能运用这一法则求方程的解.在方程的求解过程中体
现法则的简便,体会解一元一次方程中的转化思想.
(2)在移项时,针对学生常犯错误,有必要让学生用等式的基本性质和移项法两种方法解方
程,加以对照,进而加深对移项法则的理解.
设k为整数,且关于x的方程kx=6 - 2x的解为自然数,求k的值.
解:kx=6 - 2x,[键入文字]
kx+2x=6,
x(k+2)=6.
x为自然数,k为整数,k+2也为整数.
1×6=6 x=1时,k=4
2×3=6 x=2时,k=1
3×2=6 x=3时,k=0
6×1=6 x=6时,k= - 1
第 课时
1.能借助代数式的知识对方程进行去括号,合并同类项等化简步骤.
2.能够运用一元一次方程对实际问题进行求解.
3.通过观察、思考,探索方程的解法,经历和体验用多种方法解方程,提高解决问题的能力.
从观察中归纳出去括号、移项的方法,并通过练习,掌握一元一次方程的化简和求解.
1.经历方程求解步骤的探索和归纳,提高运算能力.
2.通过让学生参加探索与创造,获得参加数学活动成功的经验.
【重点】 熟练利用去括号的方法解一元一次方程,并能判别解的合理性.
【难点】 解方程时灵活运用去括号法则.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P .
137~138
导入一:
1.上节课我们学习了一元一次方程的解法,用到了哪几个步骤?要注意什么?
2.你能快速求出方程6x - 7=4x - 1的解吗?
3.去括号:
(1)(3a+2b)+(6a - 4b);(2)( - 3a+2b) - 3(a - b);(3) - (5a+4b)+2( - 3a+b).
想一想去括号有什么注意事项.
【师生活动】 先独立思考,再小组交流,三步:移项、合并同类项、系数化为1.移项要
变号;合并同类项时系数相加,字母部分不变;系数化为1时方程两边同时除以未知数的系数.
导入二:
师:你还记得乘法分配律吗?用字母怎样表示?
小小测试:
(1)2(x+8);(2) - 3(3x+4);(3) - (7y - 5).
找几名学生回答.(教师加以指导并补充)[键入文字]
师:目前我们会解什么样的一元一次方程?举例说明.
生:(举例:8=7 - 2y;5x - 2=7x+8)
师:看哪个同学做得又对又快.(解以上同学所举的两个例子)
学生独立完成解题.(两名同学板演,其余同学在练习本上做)
[设计意图] 通过问题串形式引导学生复习利用乘法分配律去括号及上一课时学习的
不含括号的一元一次方程的解法,既复习了旧知识,同时也为本节课的学习扫清障碍,奠定基
础.
导入三:
展示教材引例图片:
笑笑同学家里来了客人,妈妈让她拿10元钱到超市买1听果奶饮料和4听可乐,找回了3
元,并且1听可乐比1听果奶饮料多0.5元.你能从给出的信息算出1听果奶饮料多少钱吗?
(1)你用什么方法解决这个实际问题?直接计算方便吗?
(2)题目中有哪些量?这些量之间有什么样的等量关系式?如果设1听果奶饮料x元,可列
怎样的方程?
【师生活动】 让学生独立思考,可尝试不同的方法,只要说的有道理就给以鼓励.在发
现用算式不好解决的情况下引导使用方程来解决.等量关系式:1听果奶饮料的钱+4听可乐的
钱=10 - 3.解:设1听果奶饮料x元,那么1听可乐(x+0.5)元,由题意得x+4(x+0.5)=10 - 3.
探究活动1 列含有括号的一元一次方程
(1)我们刚才列出的方程4(x+0.5)+x=10 - 3对吗?你还能列出不同的方程吗?
(2)这个方程怎么解?能直接移项吗?它和前面学习的方程有什么不同?
【师生活动】 先让学生独立思考,抓住其中的等量关系“1听果奶饮料的钱+4听可乐
的钱=10元 - 3元”.鼓励学生用自己的方法列方程,并解释其中的道理,然后尝试独立解方程.
讨论结果.
解:设1听果奶饮料x元,那么1听可乐(x+0.5)元,由题意得4(x+0.5)+x=10 - 3.
[设计意图] 一是感受列方程解决实际问题,让学生感受方程的优越性,提高学生主动使
用方程的意识;二是激发学生学习的欲望.
探究活动2 解含有括号的一元一次方程
(教材例3) 解方程:4(x+0.5)+x=7.
【师生活动】 分组交流、讨论方程的结构特点,多了括号.用自己的语言和字母表述出
来,并回忆去括号法则:去括号,看符号.是“+”,不变号;是“ - ”,全变号.
师生共同解答.
解:去括号,得4x+2+x=7.
移项,得4x+x=7 - 2.
合并同类项,得5x=5.
方程两边同除以5,得x=1.
(教材例4) 解方程: - 2(x - 1)=4.
思路一
先去括号,再移项求解.
解法1:去括号,得 - 2x+2=4.
移项,得 - 2x=4 - 2.
化简,得 - 2x=2.
方程两边同时除以 - 2,得x= - 1.
思路二
先在方程的两边同时除以 - 2,再移项求解.
解法2:方程两边同时除以 - 2,[键入文字]
得x - 1= - 2.(整体思想)
移项,得x= - 2+1,即x= - 1.
[设计意图] 通过比较两种解法,初步渗透将x - 1作为一个整体进行思考的思想.
【师生活动】 方法提炼.
解带有括号的一元一次方程的一般步骤:①去括号;②移项;③合并同类项;④系数化
为1(即方程两边都除以未知数的系数).
[设计意图] 通过师生共同解决,进一步体会转化思想,规范解一元一次方程的步骤.
[知识拓展] 解方程的步骤一方面是让学生巩固含括号的一元一次方程的解法和注意
事项,同时理解解方程时不要生搬硬套步骤,可根据题目特点,灵活选择解题步骤.
括号前是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉后,括号里各项的符号都不改变;括号
前是“ - ”号,把括号和它前面的“ - ”号去掉后,括号里各项都要改变符号.
去括号时勿漏乘,符号问题记心上,移项变号有目的,系数化1要仔细,等号两边乘倒数.
1.方程2(x - 1)+3=3x - 1的解是 .
解析:去括号,得2x - 2+3=3x - 1,移项、合并同类项,得 - x= - 2,解得x=2.故填x=2.
2.当x= 时,代数式6+x与x+2的值互为相反数.
解析:由题意得(6+x)+(x+2)=0,去括号,得6+x+x+2=0,解得x= - 4.故填 - 4.
3.解方程3x - 7(x - 1)=3 - 2(x+3)去括号得 .
答案:3x - 7x+7=3 - 2x - 6
4.解下列方程.
(1)2(x+8)=3(x - 1);(2)8x= - 2(x+4).
解:(1)去括号,得2x+16=3x - 3,
解得x=19.
4
(2)去括号,得8x= - 2x - 8,解得x= - .
5
5.当x取何值时,代数式3(2 - x)和2(3+x)的值相等?
解:由题意得3(2 - x)=2(3+x),
去括号,得6 - 3x=6+2x.
解得x=0.
第2课时
1.列含有括号的一元一次方程
2.解含有括号的一元一次方程
一、教材作业
【必做题】
教材第138页习题5.4的1题(2)(4).
【选做题】
教材第138页习题5.4的2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.去括号且合并含有相同字母的项.
(1)3x+2(x - 2)= .
(2)8y - 6(y - 2)= .
2.x=3和x= - 6中, 是方程x - 3(x+2)=6的解.
3.下列四组变形中,属于去括号的是 ( )
A.5x+3=0,则5x= - 3[键入文字]
1
B. x=6,则x=12
2
C.3x - (2 - 4x)=5,则3x+4x - 2=5
D.5x=1+4,则5x=5
4.解方程.
(1)3(x+2) - 2(x+2)=2x+4;
(2)2(10 - 0.5y)= - (1.5y+2);
(3)5(x - 1)=1;
(4) - 2(x - 2)=12.
【能力提升】
5.解方程2y - 5(3 - 2y)=10y.
6.全班同学去划船,如果减少一条船,每条船上恰好坐9位同学;如果增加一条船,每条船上恰好
坐6位同学,则这个班有多少位同学?
【拓展探究】
7.m为何值时,关于x的方程4x - 2m=3x - 1的解是关于x的方程x=2x - 3m的解的2倍?
【答案与解析】
1.(1)5x - 4(解析:先去括号,得3x+2x - 4,再合并同类项,得5x - 4,故填5x - 4.) (2)2y+12(解析:
先去括号,得8y - 6y+12,再合并同类项,得2y+12,故填2y+12.)
2.x= - 6(解析:去括号得x - 3x - 6=6,移项、合并同类项得 - 2x=12,系数化1得x= - 6,故填x= -
6.)
3.C(解析:选项A属于移项;选项B属于系数化1;选项C符合题意;选项D属于合并同类项.故选
C.)
4.解:(1)去括号,得3x+6 - 2x - 4=2x+4,移项,得3x - 2x - 2x=4+4 - 6,合并同类项,得 - x=2,系数化
为1,得x= - 2. (2)去括号,得20 - y= - 1.5y - 2,移项,得 - y+1.5y= - 20 - 2,合并同类项,得0.5y=
6
- 22,系数化为1,得y= - 44.(3)去括号,得5x - 5=1,移项,得5x=6,系数化为1,得x= . (4)方程两
5
边都除以 - 2,得x - 2= - 6,移项、合并同类项,得x= - 4.
5.解析:先去括号,再移项,然后合并同类项,最后利用等式的性质2将未知数的系数化为1.解:
去括号,得 2y - 15+10y=10y,移项,得 2y - 10y+10y=15,合并同类项,得 2y=15,系数化为 1,得
y=7.5.
6.解析:恰当地设出未知数是解决此题的关键,应设有x条船,根据班级人数相等,列方程为9(x -
1)=6(x+1),再解方程.解:设现在有 x 条船,由题意列方程为 9(x - 1)=6(x+1),解得 x=5,9(x -
1)=9×4=36,所以这个班有36位同学.
7.解析:首先求出关于x的方程4x - 2m=3x - 1和关于x的方程x=2x - 3m的解,再利用2倍关
系列出方程,最后求方程的解.解:关于x的方程4x - 2m=3x - 1的解为x=2m - 1.关于x的方程
x=2x - 3m的解为x=3m.因为关于x的方程4x - 2m=3x - 1的解是关于x的方程x=2x - 3m的
1
解的2倍,所以2m - 1=2×3m,所以m= - .
4
(1)先设计有关练习题加以巩固,查缺补漏.
(2)利用身边的实际生活问题,让学生列方程,得出有括号的方程,激起学生的学习欲望,通
过把未知转化为已知的解题思想,探究解方程的思想方法和步骤,并在练习题的解答中,发现
问题,解决问题,牢固知识,达到加深理解的效果.
(3)最后设计精炼的小测验,以达到最佳的预期效果.
本节课在移项的基础上进行去括号解方程的学习,学生之前已经学习了去括号法则,但仍
然存在不少问题,特别是括号前系数为“负数”时,应该用这个负数去乘括号里的每一项,学
生掌握不好.[键入文字]
在教学过程中注重学生主体能力的发挥及老师的引导作用,强调做题的基本技能和基本
技巧,对于较难一点的内容先让学生自主探究发现问题,有不懂的问题,教师再作指导,这样可
以让学生养成动手动脑的习惯.
随堂练习(教材第138页)
6 3
(1)x= . (2)x= - 3. (3)x=4. (4)x=9. (5)x= - 7. (6)x= - . (7)x= - 11. (8)x= - 4.
5 2
习题5.4(教材第138页)
1 10 3
1.(1)x= . (2)x= . (3)x=6. (4)x= .
2 9 2
2.提示:f=59 ℉.
3.解:设原两位数的个位数字为x,则十位数字为2x,根据题意得10×2x+x - 36=10x+2x,解得x=4,
所以十位数字为2x=8,所以这个两位数是84.
教法:教学时学生在老师的引导下,自主探究实际问题中的等量关系及含有括号的一元一
次方程的多种解法,提高学生解决问题的能力,在发现问题和解决问题的学习过程中,参与知
识的形成过程,使学生掌握知识并逐步体会相应数学思想方法.
学法:学生在学习过程中,要善于探究,勤于思考,努力发现含括号的一元一次方程的特征,
大胆尝试,在不断的解题过程中总结含有括号的一元一次方程的解法.
含有字母系数的一元一次方程的解法.
含有字母系数的一元一次方程的解法与一般一元一次方程的解法步骤完全相同:去分母
(下课时将会学到)→去括号→移项→合并同类项→系数化为1.要特别注意的是系数化为1时,
当未知数的系数是字母时,要分情况讨论.
关于x的方程ax=b的解的情况:
b
①当a≠0时,方程有唯一的解x= ;②当a=0,且b=0时,方程有无数个解;③当a=0,且
a
b≠0时,方程无解.
解关于x的方程3x - 2=mx.
〔解析〕 本题中未知数是x,m是已知数,先通过移项、合并同类项把方程变形为ax=b
的形式,再讨论.
解:移项,得3x - mx=2,
即(3 - m)x=2.
当3 - m≠0时,方程两边都除以3 - m,
2
得x= .
3 - m
当3 - m=0时,则有0·x=2,此时,方程无解.
【老师点评】 解含有字母系数的方程要不要讨论,关键是看解方程的最后一步,在系数
化为1的时候,当未知数的系数是数字时,不用讨论,当未知数的系数含有字母时,必须分情况
讨论.
第 课时[键入文字]
1.会用去分母的方法解一元一次方程;了解一元一次方程的解法的一般步骤.
2.会通过列方程解决实际问题,并会将含有分母的方程转化成已经熟悉的方程,逐步体会
转化的方法,掌握解方程的程序化方法.
1.掌握一元一次方程的解法、步骤,并灵活运用其解答相关题目,体验把复杂转化为简单,
把“陌生”转化为“熟知”的基本思想.
2.结合从实际问题中得出的方程,学会用“去分母”解一元一次方程,进一步体会转化的
思想.新情境引入新问题(如何去分母),使学生的探究欲望得到激发.
1.提倡学生自主地选择合理的方法解题,关注学生个性的发展.
2.探究通过“去分母”的方法解一元一次方程.
【重点】 学会去分母解一元一次方程;结合例题了解一元一次方程的解法的一般步骤.
【难点】 解方程时灵活运用去括号法则.
【教师准备】 制作课件.
【学生准备】 预习教材P .
138~139
导入一:
1 1
教材第138页的例5解方程 (x+14)= (x+20).
7 4
【思考】 (1)例5中的方程与前面求解的方程有什么不同?
(2)仔细观察,你会解这样的方程吗?
学生小组交流讨论解法,尝试解方程.教师巡视,及时解决学生出现的问题.
[设计意图] 通过小组间的交流合作,总结、归纳出不同的解法.体验解方程的方法和步
骤可以灵活多变.体会转化的基本思想,把“复杂”转化为“简单”,把“新”转化为“旧”.
导入二:
马思源同学今年的年龄为6岁,他的祖父是72岁.几年后马思源的年龄是他祖父年龄的
1 1
?如何列方程求几年后马思源的年龄是他祖父年龄的 ?
4 4
1 1
如果设x年后马思源的年龄是他祖父年龄的 .列方程为x+6= (x+72),这个方程和上节
4 4
课学习的方程有什么不同,你会解这个方程吗?
教师留给学生充足的时间去发现不同的解法,鼓励一道题用多种解法求解的同学.对于含
有分母的方程又如何求解呢?
[设计意图] 创设解带分数的一元一次方程的情景,调动学生的好奇心和积极性,能够水[键入文字]
到渠成地引出本节课的内容.
导入三:
毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家,有一次有位数学家问他:“尊敬的毕达哥拉斯先生,
1
请告诉我,有多少名学生在你的学校里听你讲课?”毕达哥拉斯回答说:“我的学生,现在有
2
1 1
在学习数学, 在学习音乐, 沉默无言,此外,还有三名妇女.”算一算:毕达哥拉斯的学生有多
4 7
少名?
如果设毕达哥拉斯的学生有x名.
1 1 1
根据题意得 x+ x+ x+3=x.(教师板书)
2 4 7
通过解方程求出x的值,即可得到答案.
【师生活动】 让大家观察这个方程同上节课学习的方程有什么不同,尝试解这个方程.
【学生活动】 这个方程含有分数系数,但同样可以用移项、合并同类项的方法来解,只
不过合并起来要通分,计算量较大.
【师生探讨】 那有什么办法避免繁琐的通分合并吗?这节课我们就来共同研究这种含
有分数系数的一元一次方程的解法.(板书课题:第3课时)
[设计意图] 用数学小故事引入新知,激发学生的学习兴趣,让学生自然地展开对含有分
数系数的一元一次方程的学习.利用列方程解决实际问题,让学生感受方程的优越性,提高学
生主动使用方程的意识.通过设问,让学生发现问题,把学生引入探究新解法的情境中,自然地
引入本节课的课题——用去分母法解一元一次方程.
[过渡语] 同学们,对于带分母的一元一次方程应如何求解呢?
探究活动1 解带分母的一元一次方程
1 1
(教材例5) 解方程: (x+14)= (x+20).
7 4
【师生活动】 先让学生独立思考,抓住如何去掉分母这一问题来探究,去掉分母,并解
释其中的道理,然后尝试独立解方程.
展示学生解方程的过程:
思路一
1 1
解:去括号,得 x+2= x+5.
7 4
1 1
移项,得2 - 5= x - x.
4 7
3
合并同类项,得 - 3= x.
28
3 ( 28)
两边同时除以 或同乘 ,
28 3
得 - 28=x.即x= - 28.
思路二
解:去分母,得4(x+14)=7(x+20).
去括号,得4x+56=7x+140.
移项、合并同类项得 - 3x=84.
方程两边同除以 - 3,得x= - 28.
1 1 1
(教材例6) 解方程: (x+15)= - (x - 7).
5 2 3
【师生活动】 让大家观察这个方程的特点,思考先去分母,还是先去括号?尝试解这个[键入文字]
方程.
解:去分母,得6(x+15)=15 - 10(x - 7).
去括号,得6x+90=15 - 10x+70.
移项、合并同类项,得16x= - 5.
5
方程两边同除以16,得x= - .
16
学生独立完成,两名学生在黑板上板书,做完后集体纠正.
问题总结:如何去掉分母?去分母时,应注意什么问题?
(1)去分母时,方程两边所乘的数应该是各分母的最小公倍数.不能漏乘,特别是不含有分
母的项.
(2)解方程的方法、步骤可以灵活多样,解方程时要灵活掌握.
[设计意图] 一方面引导学生利用以往的知识尝试解决陌生的题目的习惯和勇气,另一
方面考查学生在互助学习中,彼此间的督促、帮助、启发的作用如何.
探究活动2 总结解一元一次方程的一般步骤
[过渡语] 同学们在这几节课中顺利求解了各式各样的一元一次方程,结合今天的学习
谁能够总结一下解一元一次方程的一般步骤?
解一元一次方程,一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为
1等步骤,把一个一元一次方程“转化”成x=a的形式.
师:通过刚才的做题,同学们对解一元一次方程应该有了更深的认识,哪位同学能够把求
解过程中易错的地方和大家交流一下?或者说给大家提个醒,避免大家犯同样的错误?
1 1 1 1
生1:乘最小公倍数时易漏项,例如 (x+15)= - (x - 7)中的 易漏乘30.
5 2 3 2
生2:有时移项时还是忘改变符号.
16
生3:老师,我到最后一步时经常出现这样的情况,例如16x= - 5,x= - ,也就是化系数为1
5
时放松自己,分子与分母颠倒,很容易出错.
生4:我有时找最小公倍数时,找不准.
生5:我遇到分子是多项式的题目时,易错符号.如果刚开始时就给分子的多项式加上括号,
就不错了.
师:同学们说得太好了,我们大家共勉!
[设计意图] 让学生在自己的摸索、探究、合作的基础上得出解一元一次方程的步骤.
给学生提供充分从事数学活动的机会,激发他们的学习积极性.
[知识拓展] 1.解一元一次方程的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系
数化1.
2.在每一步需要注意的地方:
(1)去分母时,防止漏乘,即方程两边每一项都要乘,当分子是几个数的和或差的形式时,要
用括号把分子括起来.
(2)去括号时,括号前是负号的,不要忘记变号,括号前有系数的,不要漏乘.
(3)移项时,不要忘记变号.
(4)合并同类项要遵循合并同类项法则.
(5)系数化为1时,要遵循等式的基本性质.
解一元一次方程一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1等步骤,
把一个一元一次方程化成x=a的形式.另外解方程时,有些步骤可能用不到,可根据方程的特点
灵活应用.
x 8 - 2x
1.方程6+ = 去分母,得 ( )
3 2
A.6+2x=3(8 - 2x) B.18+2x=3(8 - 2x)
C.36+2x=3(8 - 2x) D.36+2x=2(8 - 2x)
解析:选项A常数项6没有乘6;选项B常数项6乘6,得36,而不是18;选项C符合题意;选
项D中2(8 - 2x),应为3(8 - 2x).故选C.[键入文字]
2.解下列方程:
7x - 5 3 2x - 1 5x+1
(1) = ;(2) = .
4 8 6 8
解:(1)去分母,得2(7x - 5)=3,
去括号、移项、合并同类项,得14x=13,
13
解得x= .
14
(2)去分母,得4(2x - 1)=3(5x+1),
去括号、移项、合并同类项,得 - 7x=7,
解得x= - 1.
第3课时
1.解系数带分母的一元一次方程
例5
例6
2.总结解一元一次方程的一般步骤
一、教材作业
【必做题】
教材第140页习题5.5的1题(1)(3).
【选做题】
教材第140页习题5.5的2题.
二、课后作业
【基础巩固】
t - 2
1.方程t - =5,去分母得4t - =20,解得t= .
4
2x - 4 x - 7
2.方程2 - = 去分母得 ( )
3 6
A.2 - 2(2x - 4)= - (x - 7)
B.12 - 2(2x - 4)= - x - 7
C.12 - 4x - 8= - (x - 7)
D.12 - 2(2x - 4)=x - 7
2x - 3
3.与方程x - = - 1的解相同的方程是( )
3
A.3x - 2x+2= - 1 B.3x - 2x+3= - 3
1
C.2(x - 5)=1 D. x - 3=0
2
2x+1 5x - 1 3 2 9
4.解方程:(1) - =1;(2) (200+x) - (300 - x)=300× .
3 6 10 10 25
【能力提升】
5.一天晚上停电了,小胖点上两根粗细不同的蜡烛看书,若干分钟后,电来了,小胖将两根蜡烛
同时熄灭,已知两根新蜡烛中,粗蜡烛全部点完要2 h,细蜡烛要1 h,开始时两根蜡烛一样长,熄
灭时粗蜡烛长却是细蜡烛的2倍,则停电多少分钟?
【拓展探究】
6.小江今天出差回来,发现日历好几天没翻,就一次撕了6张,这6天的日期数字之和是123,今
天的日期是多少?
【答案与解析】
1.(t - 2) 6(解析:去分母得4t - (t - 2)=20,解得t=6.)[键入文字]
2x - 4 x - 7
2.D(解析:方程2 - = ,去分母,得12 - 2(2x - 4)=x - 7.故选D.)
3 6
2x - 3
3.B(解析:方程x - = - 1,去分母、去括号,得3x - 2x+3= - 3.故选B.)
3
4.解:(1)去分母,得2(2x+1) - (5x - 1)=6,去括号、移项、合并同类项,得 - x=3,解得x= - 3. (2)
去分母,得3(200+x) - 2(300 - x)=1080,去括号,移项合并同类项,得5x=1080,解得x=216.
1 ( 1 )
5.解:设停电x分钟,由题意列方程:1 - x=2 1 - x ,解方程,得x=40.答:停电40分钟.
120 60
6.解:设最后一天日期为a,则a+(a - 1)+(a - 2)+(a - 3)+(a - 4)+(a - 5)=123,即6a - 15=123,解得
a=23.答:今天的日期是24日.
(1)从创设问题情境入手,让学生了解数学家的有关知识,明确一元一次方程在生活中的相
关应用,从而激发学生的学习兴趣.通过学生自学,培养学生的自学能力及归纳能力.
(2)从课堂练习反馈看,学生对解一元一次方程的方法掌握很好,相当一部分同学解题过程
规范、解法灵活、计算准确,尤其是采用本课时的授课方式,较以前由教师直接讲出效果要好.
在解题过程中仍然有个别同学对分母的实质理解不够,对分数线的作用把握不好,出现如
3 - x x+4 2x - 1 x+2
下的错误: = 变形为9 - x=2x+4; = - 1变形为8x - 4=3x+2 - 12.将
2 3 3 4
分数线的括号作用忽略了,这方面仍需教师给予同学足够的关注,使他们尽快提高.
在教学过程中注重去分母的讲解,强调做题的基本技能和基本技巧,对于较难一点的内容
先让学生自主探究发现问题,有不懂的问题,教师再作指导,这样可以让学生养成动手动脑的
习惯.
随堂练习(教材第139页)
1 2
(1)x= . (2)x= - 16. (3)x=8. (4)x=7. (5)x= - . (6)x=3.
5 5
习题5.5(教材第140页)
13 20 25 7
1.(1)x=5. (2)x= . (3)x= - 1. (4)x= - . (5)x= . (6)x= - 3. (7)x= . (8)x=216.
14 3 12 8
1 1
2.解:设x年后小川的年龄是他祖父年龄的 ,则6+x= (72+x),解得x=16.答:16年后小川的年龄
4 4
1
是他祖父年龄的 .
4
3.解:设有x只蜘蛛,则有2x只蜻蜓,因此8x+6×2x=120,解得x=6,所以2x=12.答:有蜘蛛6只,蜻蜓
12只.
教法:采用让学生回顾、自学、探究、反思、自评的教学方式,让学生的主体地位得到充
分体现;把理论与实际的应用合为一体,帮助学生在学习的过程中理解、掌握新知识,提高他[键入文字]
们的自学能力和解决实际问题的能力.
学法:引导学生主动探索、发现问题;互动合作,解决问题;归纳概括,形成能力.
本课时主要让学生分析、观察、归纳出利用等式的基本性质 2,让学生进一步解答方程
中系数为分数时,如何使其“整数化”,从而化归到上课时见过的方程类型上去.以学生活动
为主线,通过精心设计的问题导语启发、点拨,引导学生参与活动的综合形式教学.
阅读下列材料再解方程:|x+2|=3,我们可以将x+2视为一个整体,由于绝对值为3
的数有两个,所以x+2=3或x+2= - 3,解得x=1或 - 5.
|2 |
请按照上面解法解方程x - x+1 =1.
3
2 2
解:①当 x+1是非负数时,x - x - 1=1,x=6.
3 3
2 2 2
②当 x+1是负数时,x+ x+1=1,x=0.此时 ×0+1=1,不是负数,不符合题意,舍去.
3 3 3
所以x=6.
3 应用一元一次方程——水箱变高了
1.通过计算进一步思考量与量的关系,从中获得有用的信息.
2.学会通过分析图形问题中的基本等量关系,并由此关系列方程解相关的应用题.
在老师的指导下,经历分析具体问题中的等量关系的过程,列方程进行求解.通过比较不
同状态下方程的解的情况,从中探索出规律.
1.在观察中思考问题,并选择适当的数学工具解决问题,初步培养分析问题、解决问题的
意识和能力.
2.了解方程模型对于解决实际问题的有效性,并增强学生学习数学的信心和决心.
【重点】 根据实际问题中等量关系列出一元一次方程,利用方程解决实际问题.
【难点】 在具体实例中准确地找出等量关系,设出适当的未知数,列方程进行求解.
【教师准备】 教材引例(课件1)和例题(课件2).
【学生准备】 预习教材P .
141~142[键入文字]
导入一 :
成语“朝三暮四”的故事.
从前有个叫狙公的人养了一群猴子.每一天他都拿足够的栗子给猴子吃,猴子高兴他也快
乐.有一天他发现如果再这样喂猴子的话,等不到下一个栗子的收获季节,他和猴子都会饿死,
于是他想了一个办法,并且把这个办法说给猴子听,当猴子听到只能早上吃四个,晚上吃三个
栗子的时候很是生气,龇牙咧嘴的.没办法狙公只好说早上三个,晚上四个,没想到猴子一听高
兴得直打筋斗.
请回答:猴子为什么高兴了?事实又是怎样的呢?
【师生活动】 学生先思考,后回答.教师给予积极的评价.
[设计意图] 通过故事引入,激发学生的兴趣,也为本节课后面“寻找不变的量”做铺垫.
导入二:
教师从讲台下拿出了两瓶矿泉水(容量一样,一个短且粗,另一个长且细).
请大家说一说哪瓶矿泉水多,为什么?
【师生活动】 让学生亲自动手操作,在动手操作的过程中,体会哪些量发生了变化,哪
些量没有变化?教师对基础差的同学可适当引导.
导入三:
用一块橡皮泥先捏出一个“瘦长”的圆柱体,然后再让这个“瘦长”的圆柱“变矮”,变
成一个又矮又粗的圆柱,请思考下列几个问题:
(1)在你操作的过程中,圆柱由“高”变“矮”,圆柱的底面直径是否变化?还有哪些量改
变了?
(2)在这个变化过程中,什么量没有变化呢?
[设计意图] 让学生在愉快地玩的过程中体会等体积变化的现象中蕴涵的不变量.同时
分析出不变量与变量间的等量关系.
探究活动1 体积相等问题
[过渡语] 本节课我们将利用一元一次方程知识解决与体积变化有关的问题.(教师板书
课题)
【课件1】 某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆柱形储水箱.现该楼进行维
修改造,为减少楼顶原有储水箱的占地面积,需要将它的底面直径由4 m减少为3.2 m.那么
在容积不变的前提下,水箱的高度将由原先的4 m变为多少米?
思路一
列方程解决实际问题的关键是找等量关系,请大家根据提示完成下面的知识.
问题1
在这个问题中水箱的 不变.根据题意,可以找出如下的等量关系:[键入文字]
.
问题2
设水箱的高变为x m,试填写下表:
旧水箱 新水箱
底面半径(m) 4 3.2
高(m) 4 x
体积(m3)
问题3
根据等量关系,列出方程: .
解得x= .因此,水箱的高变成了 m.
【师生活动】 让学生独立读题并思考,然后再根据分析完成填空内容,教师适时点拨引
导,并给予肯定性评价.
思路二
小组活动,共同探究,思考:
(1)分析题意,水箱在改造前后有何变化?哪些量变了?
(2)分析题意,不变的量是什么?从题中哪句话可以看出?
(3)在这个问题中有如下的等量关系: .
(4)如何设未知数?根据题中等量关系怎样列方程?
【师生活动】 教师在巡视过程中及时解决疑难问题,学生讨论后小组展示讨论结果,教
师及时补充.
[设计意图] 利用生活中熟知的情境,使学生感受到数学与生活的紧密联系,让学生经历
从实际问题中抽象出方程的过程,激发学生的学习热情.同时利用表格法培养学生分析问题的
方法,提高解决问题的能力.
探究活动2 周长相等问题
【课件2】
用一根长为10 m的铁丝围成一个长方形.
(1)若该长方形的长比宽多1.4 m,此时长方形的长、宽各为多少米?
(2)使得该长方形的长比宽多0.8 m,此时长方形的长、宽各为多少米?它所围成的长方形
与(1)中所围长方形相比,面积有什么变化?
(3)使得该长方形的长与宽相等,即围成一个正方形,此时正方形的边长是多少米?它围成
的正方形的面积与(2)中相比又有什么变化?
【师生活动】 学生分组完成前面三个小题.小组讨论解题过程中,教师巡视课堂,指导、
参与学生的讨论制作,帮助有学习困难的个人或小组.在讨论解答完成后,让小组选代表阐述
解题的步骤、思路,并展示自己小组所做的长方形(或正方形).
通过猜测、验证说明三个长方形面积变化的规律.同时用多媒体展示解题步骤,进一步规
范学生的解题格式.
解:(1)设此时长方形的宽为x m,则它的长为(x+1.4)m.
1
根据题意,得x+x+1.4=10× .
2
解这个方程,得x=1.8.
1.8+1.4=3.2.
此时长方形的长为3.2 m,宽为1.8 m.
问题:本题还有其他方法吗?
生:设长为x m,则宽为(x - 1.4)m.
1
(2)此时长方形的宽为x m,则它的长为(x+0.8)m.根据题意,得x+x+0.8=10× .解这个方程,
2
得x=2.1.2.1+0.8=2.9.[键入文字]
此时长方形的长为 2.9 m,宽为2.1 m,面积为 2.9×2.1=6.09(m2),(1)中长方形的面积为
3.2×1.8=5.76(m2).此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大6.09 - 5.76=0.33(m2).
1
(3)设正方形的边长为x m.根据题意,得x+x=10× .解这个方程,得x=2.5.正方形的边长为
2
2.5 m,正方形的面积为2.5×2.5=6.25(m2),比(2)中面积增大6.25 - 6.09=0.16(m2).
【思考】 解决这道题的关键是什么?从解这道题中你有何收获和体验?
[设计意图] 鼓励学生通过独立思考发现:围成的长方形的长和宽在发生变化,但在围的
过程中,长方形的周长不变,由此建立“等量关系”.通过分组解决问题,提高学生解决问题的
能力,发展同学合作意识,提高课堂效率,并培养学生做好解题反思的能力和习惯.
【探究总结】 通过探究活动,我们知道了如何去解决生活中的实际问题:
(1)物体锻压或液体更换容器题,体积(或容积)不变.
(2)固定长度,虽然围成的图形形状及面积不同,但是应抓住图形的周长不变.
(3)图形的拼接、割补、平移、旋转等类型题,应抓住图形的面积或体积不变.
即时演练
把一块长、宽、高分别为5 cm,3 cm,3 cm的长方体铁块,浸入半径为4 cm的圆柱形玻
璃杯中(盛有水),水面将增高多少?(不外溢)
【师生活动】 独立思考,解决问题,积极发言,阐述自己的解题思路,计算后说出答案.相
等关系:水面增高体积=长方体体积.
解:设水面增高x cm,由题意,得5×3×3=π×42·x.
45
解得x= ≈0.9.因此,水面增高约0.9 cm.
16π
[设计意图] 通过分析、演示、观察、思考,让学生直观地感受图形的变化过程中各个
量的变与不变,从而逐步地领悟到寻找等量关系是列方程解决应用型问题的关键.
[知识拓展] 1.通过对“水箱变高了”的了解,我们知道:物体锻压或液体更换容器题,体
积(或容积)不变.固定长度,虽然围成的图形形状及面积不同,但是应抓住图形的周长不变.图形
的拼接、割补、平移、旋转等类型题,应抓住图形的面积或体积不变,这是解决此类问题的关
键,即变的是什么,不变的是什么.
2.遇到较为复杂的实际问题时,我们可以借助表格分析问题中的等量关系,借此列出方程.
3.解出的数学问题要联系生活实际问题来检验它的结果的合理性.
本节课通过分析一些几何图形,如圆柱、长方形的变化,寻找不变的量作为列方程中的等
量关系做依据,从而用方程解决实际问题.列方程解决实际问题的关键是找等量关系,认识方
程是解决实际问题的有效数学模型.
1.有一块长、宽、高分别为4 cm,3 cm,5 cm的长方体橡皮泥,要用它来捏一个底面半径
为1.5 cm的圆柱,若设它的高为x cm,则可列方程为 .
解析:由题意列方程为3×4×5=π×1.52·x.故填3×4×5=π×1.52x.[键入文字]
2.直径为30 cm,高为50 cm的圆柱形瓶里存满了饮料,现将饮料倒入底面直径为10 cm
的圆柱形水杯,刚好倒满30杯.则水杯的高度是多少?
解:设水杯的高度是x cm,根据题意,列方程得152×50π=52×30πx,解方程,得x=15.
所以水杯的高度是15 cm.
3.一块长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体橡皮泥,要用它来捏一个底面半
径为1.5 cm的圆柱,圆柱的高是多少?
32
解:设圆柱的高是x cm,根据题意,得4×3×2=π×1.52x,解得x= .
3π
32
答:圆柱的高是 cm.
3π
4.将一个底面直径是10 cm、高为36 cm的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径为20 cm
的“矮胖”形圆柱,高变成了多少?
解:设锻压后圆柱的高为x cm,根据题意,列方程为π×(10÷2)2×36=π×(20÷2)2×x,解得x=9.
答:高变成了9 cm.
3 应用一元一次方程——水箱变高了
1.体积相等问题
引例
2.周长相等问题
例题
一、教材作业
【必做题】
教材第144页习题5.6的1,2题.
【选做题】
教材第144页习题5.6的3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.一个底面半径为10 cm,高为30 cm的圆柱形大杯中存满了水,把水倒入一个底面直径为10
cm的圆柱形小杯中,刚好倒满12杯,则小杯的高为 ( )
A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm
2.一个长方形的周长是40 cm,若将长减少8 cm,宽增加2 cm,长方形就变成了正方形,则正方
形的边长为 ( )
A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm
3.用7.8米长的铁丝做成一个长方形框架,使长比宽多1.2米,求这个长方形框架的宽是多少米.
设长方形的宽是x米,可列方程为 ( )
A.x+(x+1.2)=7.8
B.x+(x - 1.2)=7.8
C.2[x+(x+1.2)]=7.8
D.2[x+(x - 1.2)]=7.8
4.锻造直径为70 mm,高为25 mm的圆柱形零件毛坯,应取直径为50 mm的圆钢多长?设应
取直径为50 mm的圆钢长x mm,则根据题意可列出方程: .解得x= .因
此应取直径为50 mm的圆钢长 mm.
【能力提升】[键入文字]
5.在底面直径为12 cm,高为20 cm的圆柱形容器中注满水,倒入底面是边长为10 cm的正方
形的长方体容器,正好注满.这个长方体容器的高是多少?
【拓展探究】
6.地面上钉着用一根彩绳围成的直角三角形,如果将直角三角形锐角顶点的一个钉子去掉,并
将这条彩绳钉成一个长方形,则所钉长方形的长、宽各是多少?面积是多少?
【答案与解析】
1.C(解析:设小杯的高为x cm,大杯中水的体积为π×102×30 cm3,小杯的底面积为π×52 cm2,根
据题意,列方程得π×102×30=π×52×12x,解得x=10,故选C.)
2.B(解析:设正方形的边长为x cm,根据题意,列方程为2×(x+8+x - 2)=40,解得x=7,故选B.)
3.C(解析:长方形框架的宽为x米,则长是(x+1.2)米,根据题意,列方程得2[x+(x+1.2)]=7.8,故选C.)
4.(70÷2)2×π×25=(50÷2)2×π×x 49 49(解析:根据题意,列方程得(70÷2)2×π×25=(50÷2)2×π×x,解得
x=49.)
5.解:设长方体容器的高为x cm,根据题意,得π×(12÷2)2×20=102x.解得x≈22.6.答:这个长方体容
器的高约是22.6 cm.
6.解:设长方形的另一边长为x.当去掉∠A顶点的钉子时,6+8+10=6×2+2x,解得x=6,所以当长方
形的长为6,宽为6时,面积为S =6×6=36.当去掉∠B顶点的钉子时,6+8+10=8×2+2x,解得x=4,所
1
以当长方形的长为8,宽为4时,面积为S =8×4=32.答:所钉长方形的长为6,宽为6,面积为36,或
2
长方形的长为8,宽为4,面积为32.
通过引导学生进行探索,使学生确实是在旧知识的基础上探求新内容,探索的过程是任何
学生都会动手操作,每个学生都有体会的过程,都有感悟的可能,这种形式让学生切身去体验
问题的情景,从而进一步帮助学生理解比较复杂的问题,再把实际问题抽象成数学问题.
学生在完成课本上的表格时,部分同学把半径
与直径混淆,方程中直接用3.14代替π,圆柱体的体积公式遗忘等,教学时只是随时加以
纠正.如果做题之前就把这些问题加以复习或强调,那么效果会好得多.
让学生更好地体会建模思想在数学中的应用,对于学生的发言,给予充分的肯定,激发学
生学习数学的激情,真正让学生在课堂上动起来.
随堂练习(教材第142页)
提示:可以利用周长不变列方程求解.解:设长方形的长为x cm,根据题意,得2(x+10)=10×4+6×2.
解得x=16.答:长为16 cm,宽为10 cm.
习题5.6(教材第144页)
1.解:说明第一个容器的容积小于第二个容器的容积,即π·22·39<π·42·10,将第二个容器中倒满
水,往第一个容器中倒时,将会有水溢出.(答案不唯一,合理即可)
2.解:设第二块试验田的面积为x m2,则x+3x+100=2900,所以x=700,所以第一块试验田的面积
为3x+100=2200(m2),第二块试验田的面积为700 m2.
3.解:设正方形纸片的边长为 x cm,则 4x=5(x - 4),解得 x=20,所以每一个长条的面积为
4x=4×20=80(cm2).[键入文字]
本节课主要使学生领悟形体变化问题中的变与不变,体验解决形变而体积不变这一问题
的思路和方法.通过分析图形问题中的基本等量关系,建立方程解决问题.
本节课的关键是通过对实际问题所涉及的数学关系的理解,寻找图形问题中的等量关系,
建立一元一次方程,使实际问题数学化.教学中,注意指导学生审清题意,抓住图形问题中的不
变量.所以教学中采用直观、自主探索的方法,在教师的引导下,通过学生亲自动手制作模型,
自主探索发现在模型变化过程中的等量关系,建立方程,从而将图形问题代数化.
一个长方形的养鸡场的长边靠墙,墙长14米,其他三边用竹篱笆围成,现有长为35
米的竹篱笆,小王打算用它围成一个鸡场,其中长比宽多5米,小赵也打算用它围成一个鸡场,
其中长比宽多2米,你认为谁的设计符合实际?按照他的设计,鸡场的面积是多少?(用方程解)
解:设宽为x米.
小王:x+5+2x=35,解得x=10,长为10+5=15(米),又因为15大于14,所以不能围成一个长方形,
所以不符合实际.
小赵:x+2+2x=35,解得x=11,所以长为11+2=13(米),符合实际,面积=13×11=143(平方米).
4 应用一元一次方程——打折销售
1.进一步学习如何在实际问题中寻找适当的等量关系,以便建立方程.
2.通过运用方程解决实际问题的实践经历,总结出这类题目的一般步骤;加强运用方程解
决实际问题的认识.
通过对销售这个问题的学习和研究,进一步学习寻找等量关系列方程的方法,归纳用一元
一次方程解决实际问题的一般步骤.
1.通过打折销售的实例,体会生活中数学无处不在.
2.初步培养用数学的观点认识生活中的问题的意识和能力.
【重点】 通过列方程求解,学习打折销售的有关知识,总结用一元一次方程解决实际问
题的一般步骤.
【难点】 准确理解问题的含义,并能够理清问题的逻辑关系,找出问题中的已知量和未
知量,以及它们之间的依赖关系.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P .
145~146[键入文字]
导入一:
展示一组商场里打折促销的图片,我们逛商场时,总能听到什么物品打折的字眼,就像下
图标的打3折、8折,同学们知道它的含义吗?
【师生活动】 同学们观察图片信息,结合自身平时生活中在商场了解的有关打折销售
的问题,获得了哪些信息,请大家交流一下:
(1)打折是怎么回事?
(2)3折,8折的含义是什么?
(3)将下面的“折扣”数改写成百分数.
九折:90% 七五折:75% 八八折:88%
[设计意图] 从生活中熟悉的现象入手,一是让学生感觉数学并不陌生;二是体会到数学
与生活的密切联系,数学知识的实用性.
导入二:
同学们,想请大家帮我解决一个问题:一个亲属做服装生意,一批服装的进价是每件50元,
按成本价提高了60%销售,后来,又在一次促销活动中按标价的八折进行销售.请你帮老师计
算一下,这批服装在打完折后还能赚到钱吗?
【师生活动】 在学生急切想为老师解决问题的前提下,要求学生以小组为单位,引导学
生思考“按成本价提高了60%销售”之后的售价,以及“再按标价的八折进行销售”的含义,
从而引入新课.
[设计意图] 通过帮老师解决问题激发学生的学习兴趣,调动学生的学习积极性,这符合
学生的年龄特征和心理特征.
[过渡语] 同学们,与打折销售有关的知识到底有哪些呢?
探究活动1 与打折销售有关的概念
小组讨论交流,教师适时点评,让学生明确以下几个概念:
(1)进价:购进商品时的价格,即成本价.
(2)售价:销售商品时的售出价,即卖出价.
(3)标价:销售时标出的价,即原价或定价.
(4)利润:销售商品时的纯收入.在教材中,规定利润=售价 - 进价.
(5)打折:卖货时,按照标价乘十分之几或百分之几十,则称“按标价打了几折”.
帮老师计算一下,这批服装在打完折后是赚钱还是赔钱呢.
在本题中,进价=50元,标价=50×(1+60%)=80(元),售价=80×80%=64(元),利润=64 - 50=14(元),
所以即使按标价打八折也能获利.
探究活动2 感悟新知
(1)原价100元的商品提价40%后的价格为 元.
(2)500元的商品打九折是 元, 元的商品打八折是340元.
(3)一件商品的标价为50元,现以八折销售,售价为 元,如果进价为32元,则它的
利润为 元,利润率是 .
[设计意图] 让学生继续熟练掌握刚学习的概念,先让学生自主探究,再合作交流,最后教
师点拨、完善结论.第三题中涉及一个利润率的概念,教师在这里加以补充:利润率=利润÷进
价×100%.
探究活动3 应用新知
一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价,又以8折优惠卖出,结果每件仍获
利15元,这种服装每件的成本是多少元?
思路一[键入文字]
设每件服装的成本价为x元,你能用含x的代数式表示其他的量吗?问题中有怎样的等量
关系?
每件服装的标价为: ;
每件服装的实际售价为: ;
每件服装的利润为: ;
由此,列出方程: ;
解方程,得x= .
因此每件服装的成本价是 元.
思路二
要求学生独立思考以下几个问题:
(1)15元的利润是怎么来的?
(2)分析题意,哪些是未知数?哪些是已知数?如何设未知数?相等关系是什么?
(3)以小组为单位,共同解决,用含未知数的代数式表示:每件服装的标价是多少元?每件服
装的实际售价是多少元?每件服装的利润是多少元?如何列方程?
[设计意图] 通过引导学生学会思考此类打折销售应用题,会设出相应未知数,列出方程
并求解方程.
(教材例题) 某商场将某种商品按原价的8折出售,此时商品的利润率是10%.已知这种
商品的进价为1800元,那么这种商品的原价是多少?
【师生活动】 学生思考独立完成:成本、售价、标价、利润、利润率等之间的关系.利
利润 售价 - 成本
润率= = .(教师板书)
成本 成本
解:设商品原价是x元,
80%x - 1800
根据题意,得 =10%.
1800
去分母得80%x - 1800=10%×1800.
移项得80%x=10%×1800+1800.
化简得x=2475.
所以这种商品的原价是2475元.
[设计意图] 对这道题的分析是重点,在此过程中,首先让学生思考题目的已知和未知,考
虑思路,教师给予适当的指导,这样有利于解决学生“不知如何思考”的问题,提高解题能力.
即时演练
某品牌电视机每台进价是1200元,标价是2500元,为了促销,某商店规定按标价的6折销
售,则销售此品牌电视机的利润是多少?利润率是多少?
利润
〔解析〕 根据“利润=售价 - 进价”可求出利润;根据“利润率= ×100%”可
成本价
求出利润率.
6
解:2500× - 1200=300(元),
10
所以销售此品牌电视机的利润是300元.
300
×100%=25%,所以利润率是25%.
1200
答:销售此品牌电视机的利润是300元,利润率是25%.
[知识拓展] 与打折销售有关的几个关系式.
(1)利润=售价 - 成本价(或进价);
利润
(2)利润率= ×100%;
成本价
(3)利润=成本价×利润率;
(4)售价=标价×打折数;
(5)售价=成本价+利润;
(6)售价 - 成本价=成本价×利润率.[键入文字]
1.用一元一次方程解决实际问题的关键:
(1)仔细审题.(2)找等量关系.(3)解方程并验证结果.
2.与打折销售有关的概念及关系式.
1.某商品原价为每件165元,降价10%后,售价为 元,若成本为110元,则利润为
元.
答案:148.5 38.5
2.某商品的进价为500元,每件售价为750元,商店要求以利润不低于5%的售价打折出售,
那么最多可以打 折出售此商品.
解析:设最多可以打x折出售此商品,根据题意,列方程,得750×0.1x - 500=5%×500,解得
x=7.故填7.
3.某商品的进价为250元,按标价的9折销售时,利润率为15.2%,则商品的标价是多少?
解:设商品的标价是x元,
0.9x - 250
根据题意,得 =15.2%.
250
解得x=320.
所以商品的标价是320元.
答:商品的标价是320元.
4.商店出售茶壶和茶杯,茶壶每把24元,茶杯每只5元.有两种优惠方法:
(1)买一把茶壶送一只茶杯;
(2)按原价打9折付款.
一位顾客买了5把茶壶和x只茶杯(x≥5).
(1)计算两种方式的付款数y 和y (用含x的式子表示).
1 2
(2)购买多少只茶杯时,两种方法的付款数相同?
解:(1)根据题意,得y =24×5+5(x - 5);y =90%(24×5+5x).
1 2
(2)根据题意,得24×5+5(x - 5)=90%(24×5+5x),解方程,得x=26.
答:买26只茶杯时,两种方式的付款数相同.
5.一件商品按成本价提高20%后标价,又以九折销售,售价为270元,这种商品的成本价是
多少?
解:设这种商品的成本价是x元,
根据题意得x(1+20%)×0.9=270.
解得x=250.所以这种商品的成本价是250元.
4 应用一元一次方程——打折销售
1.与打折销售有关的概念
(1)成本价:
(2)标价:
(3)售价:
(4)利润:
(5)利润率:
2.应用新知
例题
一、教材作业
【必做题】
教材第146页随堂练习及习题5.7的2题.
【选做题】
教材第146页习题5.7的3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.为了促进人们的购买力,商场纷纷搞起了打折的促销活动,一件原价为100元的服装打8折[键入文字]
销售,则现在的价格为 ( )
A.20元 B.80元 C.100元 D.120元
2.某种品牌的冰箱降价30%后,每台售价a元,则该种冰箱的原价为 ( )
a a
A.0.7a元B.0.3a元C. 元 D. 元
0.3 0.7
3.某品牌手机的售价为1800元,为参与市场竞争,一商场按售价的9折再让利80元销售,此时
仍获利10%,此品牌手机的进价为多少元?
【能力提升】
4.某商店出售两件衣服,每件售价60元,其中一件赚25%,而另一件赔25%,那么这家商店是赚
了还是赔了,或是不赚也不赔呢?
【拓展探究】
5.某企业生产一种产品,每件成本价是400元,销售价为510元,本季度销售了m件.为了进一
步扩大市场,该企业决定在降低销售价的同时降低生产成本.经过市场调研,预计下季度这种
产品每件销售价降低4%,销售量将提高10%,要使销售利润(利润=售价 - 成本价)保持不变,该
产品每件的成本价应降低多少元?
【答案与解析】
折数
1.B(解析:现在价格=原价× =100×0.8=80(元).故选B.)
10
a
2.D(解析:设该种冰箱的原价为x元,根据题意,得x - 0.3x=a,解得x= .故选D.)
0.7
3.解:设此品牌手机的进价为x元,根据题意,得1800×0.9 - 80=x(1+10%),解得x=1400.答:此品牌
手机的进价为1400元.
4.解:设赚的那件衣服的进价为x元.根据题意,得(1+25%)x=60.解得x=48.设赔的那件衣服的进
价为y元.根据题意,得(1 - 25%)y=60.解得y=80.60×2 - (48+80)= - 8(元).答:这家商店赔了8元.
5.解:设该产品每件的成本价应降低x元.根据题意,得[510(1 - 4%) - (400 - x)](1+10%)m=(510 -
400)m,因为m≠0,所以方程两边都除以m,得[510(1 - 4%) - (400 - x)](1+10%)=510 - 400,解得
x=10.4.答:该产品每件的成本价应降低10.4元.
充分发挥学生的主体作用,让学生自觉参与到课堂中来.本节课的所有题目均由学生自主
探究,通过合作独立地写出解题过程.让学生口语表达或板书,创造机会,鼓励学生动手动口,做
到了师生互动、生生互动,并借助多媒体展示来指导学生,促进思维能力的发展,最后再指导
学生用简练的语言概括教学问题.增强学生的自主学习能力,而且让学生从数学的角度去分析
和总结生活中的问题,学会能从不同的角度去探求生活经验,从而让学生掌握知识的同时使思
想和情感态度价值观都得到提高.
“打折销售”虽是生活中的常见现象,但学生这方面的经验不足,仍有部分学生比较吃力,
部分知识点掌握的不是很理想.
教师可以提前一周布置学生去商场进行调查,了解商品打折的有关情况,以及商品利润等
有关知识,为本课的学习积累丰富的感性经验,又为课后练习打下坚实的基础.
随堂练习(教材第146页)
解:设这批夹克的成本价是x元,根据题意,得x(1+50%)×80%=60.解得x=50.
习题5.7(教材第146页)
2.解:设这种商品的成本价为x元,则x(1+20%)×90%=270,x=250.
3.解:设销售量应增加x台,则100000×(1 - 80%)=2500×80%x,x=10.
4.解:设这种商品的进价是x元,根据题意,得20%x - 15=10%x.解得x=150.[键入文字]
难点诊断及突破:学生受小学算数解法思维定势的影响,习惯于把未知数置于特殊地位,
不能把它与已知量同等对待,不能发挥未知量在分析问题中的作用,造成学习困难.突破难点
的关键是教会学生将未知数和已知数放在同等的地位,正确分析题目中的数量关系,列出方程.
教学方法和学法指导:针对七年级学生的年龄特点和新题特征及其知识水平,采用谈话交
流、引导探究的教学方法.教师在教学语言的使用上,要尽可能注意中小学知识的衔接,既不
违反科学性,又符合可接受原则,让学生有充分的思考机会,使课堂气氛活跃,新颖有趣.
据市场调查,个体服装商店做生意,只要销售价高出进货价的20%便可盈利;假如
你准备买一件标价为200元的服装.
(1)个体服装商店若以高出进价的50%要价,你应怎样还价?
(2)个体服装商店若以高出进价的100%要价,你应怎样还价?
(3)个体服装商店若以高出进价的50%~100%要价,你应在什么范围内还价?
〔解析〕 还价必须高于进价的20%,老板才会将服装卖出,故应通过标价估出进货价再
高出20%还价.
解:(1)设每件服装的进价是x元,
400
根据题意得x(1+50%)=200.解得x= .
3
400
所以最低价是 ×(1+20%)=160(元).
3
(2)设该服装的进价为y元,
则y(1+100%)=200.解得y=100.
所以最低价为100×(1+20%)=120(元).
(3)由(1)(2)可知,买200元的服装一般应在120至160元之间还价.
5 应用一元一次方程——“希望工程”义演
1.准确理解问题的含义并将其转化为数学问题,培养用数学眼光看问题的意识.
2.通过分析,准确地找出问题中的各种等量关系,以及各个量之间的依赖关系.
3.用不同的方法解决问题,体会数学解题的灵活性.
1.通过深入分析问题中量与量之间的关系,从中找出等量关系,并列方程求解.
2.在经历不同的方法解题的过程中,体会不同解题方法对解题的复杂度所产生的影响.
1.运用所学知识,循序渐进地分析和解决比较复杂的问题,提高运用数学知识解决生活中
的实际问题的意识和能力.
2.进一步感受数学在现实生活中的广泛应用.[键入文字]
【重点】 准确分析问题中的等量关系.设恰当的未知数,列方程进行求解.
【难点】 思考不同等量关系在解决问题中不同的作用,提高分析问题和解决问题的能
力.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P .
147~148
导入一:
经过前两节课的学习,我们对用方程思想解决现实生活中的实际问题的步骤和方法有了
基本的了解.我们发现通过审题正确找出题目中所含有的等量关系是解决问题的关键,本节课
我们继续探究如何用列方程的方法解决现实生活中的实际问题.
【师生活动】 学生阅读学习目标.
(1)学会借助表格——分析数量关系和等量关系,体会用图表语言分析复杂问题表达思维
方法的优点.
(2)能对同一问题设不同的未知数列出不同的方程,体会算法的多样化.
(3)能归纳利用方程解决实际问题的一般步骤,进一步体会方程模型的思想.
[设计意图] 了解本课时的学习目标,明确本课时的学习方向.
导入二:
多媒体展示一组贫困地区儿童上学的图片,与我们学生对比,建立“希望工程”的情境.
“希望工程”是由中国青少年发展基金会于1989年10月发起并组织实施的一项社会
公益事业.它的宗旨:根据政府关于多渠道筹集教育经费的方针,从社会集资,建立希望工程基
金,以民间救助方式,资助贫困地区失学儿童,继续学业,改善贫困地区的办学条件,促进贫困地
区基础教育事业的发展.
为了能让更多的失学儿童回到课堂,社会各界人士都在为“希望工程”而努力,现在有一
文艺团体就为“希望工程”募捐组织了一场义演.这节课我们学习应用一元一次方程——
“希望工程”义演.
【师生活动】 展示希望工程相关图片,学生观看图片,发表对“希望工程”的认识和想
法.(板书本节课题)
[设计意图] 通过创设教学情境,激发学生的学习兴趣,让学生在一个比较熟悉的氛围中
接触学习主题,有利于他们启动思维.通过这一情境的引入,让学生感受到自己的幸福,要更加
珍惜自己的学习时光,并尽力去帮助那些贫困地区的失学儿童.极大地调动了学生学习数学的
积极性,同时滲透了把实际问题抽象成数学问题的一般思想方法.
[过渡语] 现在就让我们一起走进为“希望工程”募捐义演活动现场吧.
探究活动1 用列表法列一元一次方程
某文艺团体为“希望工程”募捐义演,成人票8元,学生票5元.[键入文字]
(1)成人票卖出600张,学生票卖出300张,共得票款多少元?
(2)成人票款共得6400元,学生票款共得2500元,成人票和学生票共卖出多少张?
(3)如果本次义演共售出1000张票,筹得票款6950元,成人票与学生票各售出多少张?
思路一
(1)请同学们自主完成前两问.(找两名学生板演解题过程)
(2)如果我们用方程来解决第(3)问,则题目中包含哪些已知量、未知量和等量关系?(与同
伴交流解决)
(3)如果设售出的学生票为x张,请完成下表:
学生 成人
票数/张
票款/元
思路二
分析题意可得此题中的等量关系有:
成人票数+ =1000张.①
+学生票款= .②
设所得的学生票款为y元,填写下表:
学生 成人
票数/张
票款/元
根据等量关系①,可列出方程: .解得 .因此,售出成人票 张,
学生票 张.
探究活动2 规范书写步骤
解:设售出的学生票为x张.
根据等量关系②,可列方程5x+8(1000 - x)=6950.
解这个方程,得x=350.
因此售出学生票350张,成人票650张.
如果设售出的成人票为x张,则完成的表格及相关的内容如下:
学生 成人
票数/张 1000 - x x
票款/元 5(1000 - x) 8x
根据等量关系②,可列方程5(1000 - x)+8x=6950.
解这个方程,得x=650.
因此售出学生票350张,成人票650张.
如果设所得的学生票款为y元,则完成的表格及相关的内容如下:
学生 成人
y 6950 - y
票数/张
5 8
票款/元 y 6950 - y
y 6950 - y
根据等量关系①,可列方程 + =1000.
5 8
解这个方程,得y=1750.
1750÷5=350,1000 - 350=650.
因此售出学生票350张,成人票650张.
如果设所得的成人票款为y元,则完成的表格及相关的内容如下:
学生 成人
6950 - y y
票数/张
5 8
票款/元 6950 - y y
6950 - y y
根据等量关系①,可列方程 + =1000.
5 8
解这个方程,得y=5200.
5200÷8=650,1000 - 650=350.
因此售出学生票350张,成人票650张.[键入文字]
讨论并反思比较以上几种设法与列法,你有何感想?(同学之间互相交流看法)
(1)在复杂问题中要选择恰当、灵活的设未知数的方法,利于快速解题.
(2)当遇到含有两个未知量,两个等量关系时,可以把其中一个未知量设为未知数,另一个
未知量就用其中的一个等量关系表示为代数式,用另一个等量关系来列方程.
(3)采用列表格的方法是一种比较有效的途径,能清楚表示出较复杂问题中的各个量之间
的关系.
【想一想】 如果票价不变,那么售出1000张票所得票款可能是6930元吗?为什么?
【师生活动】 先独立思考,小组交流讨论怎样解决问题,教师规范表达解答过程,为学
生作出示范,让学生养成规范答题的习惯.学生黑板板书:
解:不能.
设售出的学生票为x张,则:
8(1000 - x)+5x=6930,
2
解得x=356 .
3
因为票数只能为整数,不能为小数或分数,
2
所以x不能等于356 ,要舍去.
3
[设计意图] 让学生体会在实际问题中,方程的解是有实际意义的,因此应将解代入原方
程看是否符合题意.
探究活动3 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
师生共同总结列一元一次方程解决实际问题的一般步骤:
(1)审—通过审题找出等量关系;
(2)设—设出合理的未知数(直接或间接),注意单位名称;
(3)列—依据找到的等量关系,列出方程;
(4)解—求出方程的解(对间接设的未知数切记继续求解);
(5)验—检验求出的值是否为方程的解,并检验是否符合实际问题;
(6)答—注意单位名称.
[设计意图] 让学生学会自我反思与评价,使学生自己在对所学知识和思想方法进行归
纳和总结的过程中,形成自己的列一元一次方程解决实际问题的一般方法和策略.
[知识拓展] 在分析实际问题中复杂的数量关系时,可借助表格、图形帮助审题,准确地
分析题意,探索已知量和未知量的数量关系,找出题中的等量关系,通过列一元一次方程解决
实际问题.
1.利用表格分析问题中的数量关系.
2.同一个问题,未知数的设法不同,所列方程的复杂程度也不同,所以在设未知数时要有所
选择.
3.列一元一次方程解决实际问题的一般步骤.
①审➝②设➝③列➝④解➝⑤验➝⑥答.
1.修一条排水渠,甲队需要10天,乙队需要15天,现由两队合修,中途乙队因有事被调走,
余下的任务由甲队单独做,5天后完成任务,在这个过程中,甲、乙两队合修了 ( )
A.2天 B.3天 C.4天 D.5天
( 1 1 ) 1
解析:设甲、乙两队合修了x天,根据题意,得 + x+ ×5=1,解得x=3.故选B.
10 15 10[键入文字]
2.已知有大、小两种纸杯与甲、乙两桶果汁,其中小纸杯与大纸杯的容量比为2∶3,甲桶
果汁与乙桶果汁的体积比为4∶5,若甲桶内的果汁刚好装满小纸杯120个,则乙桶内的果汁最
多可装满大纸杯( )
A.64个 B.100个 C.144个 D.225个
4
解析:设乙桶内的果汁最多可装满x个大纸杯,则甲桶内的果汁最多可装满 x个大纸杯.
5
4
由题意得120×2= x×3,解得x=100,故乙桶内的果汁最多可装满100个大纸杯.故选B.
5
3.足球比赛的计分规则是胜1场得3分,平1场得1分,负1场得0分,一个队进行了20场
比赛,负7场,共得27分,则这个队平 场.
解析:设这个队平x场,则胜(13 - x)场,根据题意,得x+3(13 - x)=27,解得x=6.故填6.
4.诗云:“远望巍巍塔七层,灯光点点倍加增,共灯三百八十一,试问尖头几盏灯?”请回答
几盏灯.
解:设顶层有x盏灯,根据题意,
得x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381,
解得x=3.因此尖头(顶层)有3盏灯.
5.某希望中学为办公室安装电灯,准备一个办公室装五个灯泡,其中有40瓦和60瓦两种,
总的瓦数是260瓦,则40瓦和60瓦的灯泡各装多少个?
解:设40瓦的灯泡装x个,则60瓦的灯泡装(5 - x)个,可列出方程:40x+60(5 - x)=260,解得
x=2,5 - 2=3(个).
答:40瓦的灯泡装2个,60瓦的灯泡装3个.
6.一班有40位同学,新年时开晚会,班主任到超市花了115元买果冻与巧克力共40个,若
果冻每2个5元,巧克力每块3元,则班主任分别买了多少果冻和巧克力?
解:设买了x块巧克力,则买了(40 - x)个果冻,
5
根据题意得3x+ (40 - x)=115,
2
解得x=30,40 - 30=10(个).
因此班主任买巧克力30块,果冻10个.
5 应用一元一次方程——“希望工程”义演
1.用列表法列一元一次方程.
2.规范书写步骤.
3.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤.
一、教材作业
【必做题】
教材第149页习题5.8的2,3题.
【选做题】
教材第149页习题5.8的1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.某车间有28名工人,生产某种螺栓和螺帽,一个螺栓的两头各套上一个螺帽配成一套,每人
平均每天生产螺栓12个或螺帽18个.则多少工人生产螺栓,多少工人生产螺帽,才能使一天所
生产的螺栓和螺帽刚好配套?
2.小明在做解方程作业时,不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚,被污染的方程是2y -
1 1 5
= y - ,怎么办呢?小明想了一想,便翻看书后答案,此方程的解是y= - ,于是很快就补好
2 2 3
了这个常数,你能补出这个常数吗?它应是 ( )[键入文字]
A.1 B.2 C.3 D.4
【能力提升】
3.我区某学校原计划向某地区的学生捐赠3500册图书,实际共捐赠4125册,其中向初中学生
捐赠了原计划的120%,向高中学生捐赠了原计划的115%,则向初中学生和高中学生原计划各
捐赠图书多少册?
【拓展探究】
4.在我国的数学史上,有不少数学趣题是用诗词来表述的.民间广为流传至今的李白买酒数学
诗就是其中一例.其诗为:李白无事街上走,提着酒壶去买酒.遇店加一倍,见花喝一斗.三遇店和
花,喝光壶中酒.试问壶中原有多少酒.
【答案与解析】
1.解:设x人生产螺栓,那么生产螺帽的就有(28 - x)人,根据题意,列方程得2×12×x=18×(28 - x),
解得x=12.28 - 12=16.
答:12名工人生产螺栓,16名工人生产螺帽,才能使一天所生产的螺栓和螺帽刚好配套.
1 1 5
2.C(解析:设所缺的部分为x,则2y - = y - x,把y= - 代入,可求得x=3,故选C.)
2 2 3
3.解:设向初中学生原计划捐赠x册,则向高中学生原计划捐赠(3500 - x)册,
根据题意列方程得120%x+115%(3500 - x)=4125.
解方程得x=2000,3500 - 2000=1500.
答:向初中学生和高中学生原计划捐赠图书分别为2000册和1500册.
7 7
4.解:设原来酒壶中有酒x斗,则由题意得2[2(2x - 1) - 1] - 1=0,解得x= ,即李白的壶中原有
8 8
斗酒.
首先,教师让学生自己去理解问题情境,把实际问题抽象成数学问题.然后,教师指导学生
借助表格去表达问题的信息,寻找其中的等量关系,列出方程解决实际问题.最后,教师引导学
生一题多解,尽量用不同形式列出方程,并加以比较研究,对提高学生的分析问题和解决问题
的能力有很大帮助,这也是本节课较成功的地方.
本节课还存在着不足.如:由于学生活动、小组
讨论耽误了一些时间,所以当堂检测题只是出示完答案,没来得及讲解,时间安排还不尽
合理.
学生第一次学习借助表格去表达数学问题的信息,感觉会有一定的难度,教师要给学生留
有充分的思考和交流的时间和空间,让学生经历观察、实践、交流、反思等活动,形成自己对
数学知识的理解和有效的学习策略.课后作业可要求学生进行类似的设计表格解题.
随堂练习(教材第149页)
解:设单价为18元的书买了x本,则单价为10元的书买了(10 - x)本,根据题意,得18x+10(10 -
x)=172.解得x=9,10 - x=1.答:单价为18元的书买了9本,单价为10元的书买了1本.
习题5.8(教材第149页)
1.解:可设学生票为x张,则5x+8(1000 - x)=6932,解得x=356,或票款由6950元减少为6932元,
减少了18元,在总票数不变的前提下,只能是成人票减少学生票增加,并且两者变化量相等,设
此变化量为 x 张,则 8x - 5x=18,解得 x=6,所以学生票为 350+6=356(张),成人票为 650 -
6=644(张),成人票比学生票多售出644 - 356=288(张).故所得票款可能是6932元,成人票比学
生票多售出288张.[键入文字]
2.解:设B种果汁每杯为x元,则A种果汁每杯为(x+1)元,根据题意,得3x+2(x+1)=16,解得x=2.8,
所以2.8+1=3.8(元).答:A种果汁每杯3.8元,B种果汁每杯2.8元.
3.解:设有数学书x本,则语文书有(90 - x)本,根据题意,得0.8x+1.2(90 - x)=88,解得x=50,所以90
- 50=40(本).答:这层书架上数学书有50本,语文书有40本.
在教学中,充分发挥学生的主观能动性,从学生熟悉和感兴趣的问题情境出发,依据已有
的知识背景和活动经验,让学生主动探究、互相合作.并且在自主探索和合作交流的过程中真
正理解和掌握基本的数学知识与技能、获取数学思想和方法、积累广泛的数学活动的经验,
从而学会发现问题、分析问题、解决问题.
在全国足球甲A联赛的前11轮比赛中,某队保持连续不败(不败含取胜和打平),
共积23分,按比赛规则,胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分,该队在这11场比赛中共
胜了多少场?
解:设该队在这11场比赛中共胜了x场,积分为3x,则平了(11 - x)场,积分为(11 - x)×1=11 -
x,根据题意得3x+(11 - x)=23,解得x=6.
检验:胜场积分为3x=3×6=18(分);平场积分为11 - x=11 - 6=5(分).胜场与平场累计积分为
18+5=23(分),符合题意.
答:该队在这11场比赛中共胜了6场.
6 应用一元一次方程——追赶小明
1.通过“线段图”分析题目中的数量关系,找出等量关系.
2.进一步培养分析问题、解决问题的能力.
3.学习如何用一元一次方程解决复杂的实际问题.
借助“线段图”分析问题中的数量关系,从而解决“追赶”问题,并进一步通过例题学习
用“线段图”分析问题的方法和意义.
1.体会如何用简单的数学知识解决复杂的数学问题.
2.认识简单的图形在帮助分析问题和解决问题中所起到的重要作用.
【重点】
1.学习如何将实际问题用简单的图形表示出来,并通过图形分析问题中的数量关系.
2.根据图形中等量关系列出方程进行求解.
【难点】
1.能准确地用“线段图”表示题目中的量,并在问题与图形中建立准确有效的对应关系.
2.理解求解“追赶”问题的一般方法.[键入文字]
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P .
150~151
导入一:
学生以小品的形式演绎一位同学早晨忘带作业,他刚出门不久,他的爸爸就发现他忘带作
业,于是赶快加速赶往学校给他送作业,最终在去学校的路上追上了他.
【师生活动】 由学生完成,通过小品的形式揭示生活中蕴含着我们数学的一个常见问
题——追及问题,从而引出课题及例题.
[设计意图] 本活动的设计意在采用生动活泼的小品,让学生感受生活中我们常常会遇
到类似的问题,从学生熟悉的生活经历出发,选择学生身边的、感兴趣的“能否追上”这一事
件,激发学生的好奇心,进而轻松地引入本节所要探讨的主要问题,便于引起每位同学的兴趣.
导入二:
我国元朝数学家朱世杰于1299年编写的《算学启蒙》中有这样一个题目:良马日行240
里,驽马日行150里,驽马先行12日,问良马几何追及之.
师:如何解答这个问题呢?(学生们积极踊跃想要解答)那么我们这节课要学习这个问题的
解答方法,即应用一元一次方程——追赶小明.
师板书课题:6应用一元一次方程——追赶小明.
[设计意图] 让学生阅读古代数学题,使学生感受到实际问题可以用数学问题解决,通过
古代数学问题提出可以调动学生学习兴趣,提高学生学习热情,激发学生学习欲望.
导入三:
展示图片:
问题1
在上面两张图片中,蕴含着什么数学问题?这三个量之间有怎样的关系呢?
问题2
完成下面的问题:
(1)若小明每分钟跑200 m,那么他5分钟能跑 m.
(2)小明用4 min绕学校操场跑了两圈(每圈400 m),那么他的速度为 m/min.
(3)已知小明家距离学校 1000 m,他以 250 m/min 的速度骑车到达学校需要
min.
【师生活动】 让学生观察运动会的画面,唤起对行程问题涉及的常见的数量关系“路
程=速度×时间”的回忆,并由此引出其他关系.接着完成对这三个量最基本的纸上训练,这部
分题目让学生独立完成,再由个别同学给出答案,及时纠正错误.
[设计意图] 通过问题的思考,题组的练习强化对路程、时间、速度三者之间的关系的
理解.从学生熟悉的生活经历出发,选择学生身边的、感兴趣的问题,激发学生的好奇心,进而
轻松地引入本节所要探讨的主要问题,便于引起每位同学的兴趣.共同研究有关相遇、追及等
方面的问题,教师板书课题:6应用一元一次方程——追赶小明.
[过渡语] 同学们,如何用数学知识来解决生活中的追及问题呢?
探究活动1 追及问题
小明每天早上要在7:50之前赶到距家1000 m的学校上学.一天,小明以80 m/min的速
度出发,5 min后,小明的爸爸发现他忘了带语文书.于是,爸爸立即以180 m/min的速度去追
小明,并且在途中追上了他.[键入文字]
(1)爸爸追上小明用了多长时间?
(2)追上小明时,距离学校还有多远?
思路一
(1)当爸爸追上小明时,两人所行路程 ,等量关系为: .
(2)你能用线段图表示出等量关系吗?
(3)如果设爸爸追上小明用了x分钟,你能用代数式在线段图上表示出各部分吗?
思路二
结合图形,分析题意可得此题中的等量关系有:
小明所用时间=5+ .①
+ =爸爸走过的路程.②
设爸爸追上小明用了x min,则小明用的时间为(5+x) min.
根据等量关系②,可列出方程: .解得: .
因此,爸爸追上小明用了 min.
解:(1)设爸爸追上小明用了x min,
根据题意得180x=80x+80×5.
解得x=4.
答:爸爸追上小明用了4 min.
(2)180×4=720(m),1000 - 720=280(m).
答:追上小明时,距离学校还有280 m.
探究活动2 相遇问题
甲、乙两人相距280米,相向而行,甲从A地出发每秒走8米,乙从B地出发每秒走6米,那
么甲出发几秒与乙相遇?
【师生活动】 学生独立思考,正确画出线段图:
找出等量关系:甲所用时间=乙所用时间;甲走的路程+乙走的路程=甲、乙两地的距离.
解:设甲出发t秒与乙相遇,
根据题意得8t+6t=280.
解得t=20.
答:甲出发20秒与乙相遇.
[设计意图] 本活动是让学生分析相遇问题,能正确地画出线段图,正确得出其中的等量
关系,正确列出方程,解决问题,最终能规范写出解题过程.
【议一议】
育红学校七年级学生步行到郊外旅行.七(1)班的学生组成前队,步行速度为4 km/h,七(2)
班学生组成后队,速度为6 km/h.前队出发1 h后,后队才出发,同时后队派一名联络员骑自行
车在两队之间不间断地来回进行联络,他骑车的速度为12 km/h.
师:这个问题与我们的例题有什么异同?
生:相同之处是有两个“人”一前一后,且后面的速度比前面的快,不同的是这个问题中
有个联络员.
通过小组讨论、交流比较容易得出:
问题1[键入文字]
后队追上前队用了多长时间?
解:设后队追上前队用了x h,
根据题意,得6x=4x+4×1.
解这个方程,得x=2.
答:后队追上前队用了2 h.
问题2
联络员第一次追上前队时用了多长时间?
解:设联络员第一次追上前队时用了x h.
由题意,得12x=4x+4.
解这个方程,得x=0.5.
答:联络员第一次追上前队时用了0.5 h.
问题3
后队追上前队时联络员行了多少千米?
问题4
当后队追上前队时,他们已经行进了多少千米?
问题5
联络员在前队出发多长时间后第一次追上前队?
对于问题3,4,5学生不容易得出,教师适当引导提出问题,并鼓励学生课下利用方程解决
问题.
[设计意图] 这是一个开放性的问题,答案不唯一,旨在拓展学生思维,寻求个性发展.教师
应鼓励学生交流、讨论,结合例题大胆提出问题,如后队追上前队用了多长时间;后队追上前
队时联络员行了多少千米;联络员第一次追上前队时,用了多长时间;当后队追上前队时,他们
已经行进了多少千米;联络员在前队出发多长时间后,第一次追上前队等.教师还应鼓励学生
尝试利用方程去解决这些问题,并与同伴交流自己的问题和解决问题的过程.
巩固练习
1.小兵每秒跑6米,小明每秒跑7米,小兵先跑4秒,小明几秒能追上小兵?
解:设小明t秒能追上小兵,
根据题意得6(4+t)=7t.解得t=24.
答:小明24秒能追上小兵.
2.甲骑摩托车,乙骑自行车,同时从相距150千米的两地相向而行,经过5小时相遇,已知甲
每小时行驶的路程是乙每小时行驶的路程的3倍少6千米,求乙骑自行车的速度.
解:设乙骑自行车的速度为x千米/时,
根据题意得5(3x - 6)+5x=150.解得x=9.
答:乙骑自行车的速度为9千米/时.
[设计意图] 本活动是给学生提供进一步巩固建立方程模型的基本过程和方法的熟悉
机会,让学生活学活用,真正让学生学会借助线段图分析行程问题的方法,得出其中的等量关
系,从而正确地建立方程求解问题,同时还需注意检验方程解的合理性.
[知识拓展] 有的问题由于比较复杂,各个量之间的关系不是很容易被理解,这个时候,借
助简单的图形,可以使问题中的各种量直观化和明晰化,从而使问题迎刃而解.培养学生利用
简单图形分析问题,体会数形结合的数学思想在具体问题中的应用,有助于更好地学习数学的
其他方面的知识.
甲、乙两站间的路程为450千米,一列慢车从甲站开出,每小时行驶65千米,一列
快车从乙站开出,每小时行驶85千米.设两车同时开出,同向而行,则快车几小时后追上慢车?
〔解析〕 找出等量关系:快车所用时间=慢车所用时间;快车行驶路程=慢车行驶路程
+相距路程.
解:设快车x小时后追上慢车,
根据题意得85x=450+65x.
解得x=22.5.
答:快车22.5小时后追上慢车.
本节课主要是讲解如何利用简单的图形帮助理解和分析比较复杂的问题,并借助“线段
图”解决了一类“追赶”问题.[键入文字]
1.一列匀速前进的火车,从它的车头进入600米长的隧道至车尾离开共需30秒,已知在隧
道顶部有一盏固定的灯,灯光垂直照射到火车上的时间为5秒,那么这列火车长多少米?
解:设火车的速度是x米/秒,则火车的长是5x米,根据题意,列方程得30x=5x+600,
解得x=24,24×5=120(米),
所以这列火车长120米.
2.甲、乙两人从同一地点沿铁轨反向而行,此时,一列火车匀速向甲迎面驶来,列车在甲身
旁开过,用了15秒,再在乙身旁开过,用了17秒,已知两人步行速度都为3.6千米/时,这列火车
有多长?
解:3.6千米/时=1米/秒,
设火车的速度是x米/秒,
根据题意,列方程得15(x+1)=17(x - 1),
解得x=16,(16+1)×15=255(米),
所以这列火车长255米.
6 应用一元一次方程——追赶小明
1.追及问题
2.相遇问题
议一议
一、教材作业
【必做题】
教材第151页习题5.9的2,3题.
【选做题】
教材第151页习题5.9的1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.A,B两站间的路程为335 km,一列慢车从A站开往B站,每小时行驶55千米,慢车行驶1小
时后另一列快车从B站开往A站,每小时行驶85 km,设快车行驶了x小时与慢车相遇,可列出
方程 ( )
A.55x+85x=335 B.55(x - 1)+85x=335
C.55x+85(x - 1)=335 D.55(x+1)+85x=335
2.小林在铁路旁边行走,速度是6千米/时,一列长300米的火车从他背后驶过来,并从他身旁
驶过,驶过小林旁边的时间是20秒,求火车的行驶速度.
3.一架飞机在两个城市之间飞行,风速是24千米/时,顺风飞行需要2小时50分,逆风飞行需要
3小时,求两个城市之间的飞行路程.
4.京津城际铁路开通运营后,高速列车在北京、天津间直达运行时间为半小时,某次试车时,试
验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟,由天津返回北京的行驶时间与预
计的时间相同,如果这次试车时,由天津返回北京比由北京去天津时平均每小时多行驶 40千
米,那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米?
【能力提升】
5.一队学生去校外进行训练,他们以5千米/时的速度行进,走了18分的时候,学校要将一个紧
急通知传给队长,通讯员从学校出发,骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去,通讯员需多
长时间可以追上学生队伍?
【拓展探究】
6.A,B两地相距450千米,甲、乙两车分别从A,B两地同时出发,相向而行.已知甲车速度为120
千米/时,乙车速度为80千米/时,经过t小时两车相距50千米,则t的值是多少?
【答案与解析】
1.D(解析:快车行驶了x小时,行驶的路程是85x千米;慢车行驶了(x+1)小时,行驶的路程是
55(x+1)千米.根据题意,可列方程85x+55(x+1)=335.故选D.)
5
2.解:6千米/时= 米/秒,
3
设火车的行驶速度为x米/秒,[键入文字]
( 5)
根据题意,列方程得300=20 x - ,
3
50 50
解得x= . 米/秒=60千米/时.
3 3
答:火车的行驶速度为60千米/时.
3.解:设飞机自身的速度是x千米/时,则顺风速度是(x+24)千米/时,逆风速度是(x - 24)千米/时,
17
根据题意,列方程得 ×(x+24)=3×(x - 24),解得x=840.
6
飞行路程为3×(840 - 24)=2448(千米).
4.解析:根据“试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟,由天津返回北京
的行驶时间与预计时间相同”,而不管从北京到天津还是天津到北京,路程的长短是一样的,
由此可列方程求解.
解:设由北京到天津的平均速度为x千米/时.
(1 6 ) 1
根据题意,列方程得 + x= (x+40).
2 60 2
3 1
原方程可化为 x= x+20,
5 2
3 1
移项,得 x - x=20,
5 2
1
合并同类项,得 x=20,
10
系数化为1,得x=200.
答:这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时200千米.
5.解析:此题要忽略队伍的长度来思考,通讯员走过的路程与队伍走过的路程相等,依此等量关
系列方程即可.
解:设通讯员需x小时可以追上学生队伍,
( 18) 1
依题意列方程得5 x+ =14x,解得x= .
60 6
1
答:通讯员需 小时可以追上学生队伍.
6
6.解析:本题应分两种情况进行讨论:①两车在相遇以前相距50千米,在这个过程中存在的相
等关系是:甲车走的路程+乙车走的路程=(450 - 50)千米.②两车相遇以后又相距50千米.在这
个过程中存在的相等关系是:甲车走的路程+乙车走的路程=(450+50)千米.已知车的速度及时
间就可以列出方程,从而求出时间t的值.
解:①当甲、乙两车未相遇时,
根据题意,得120t+80t=450 - 50,解得t=2.
②当两车相遇后,两车又相距50千米时,
根据题意,得120t+80t=450+50,解得t=2.5.
通过设计变换同一题目中的不同问题,唤醒学生思维和解决问题的意识.在例题讲解及习
题处理过程中采用启发引导与学生自主探索相结合的方法,教师提出问题,引导学生讨论、分
析,恰当地应用“线段图”把行程问题中的路程、时间关系直观地呈现出来.学生在自己探求
过程中学会了图形语言——线段图,确实提高了分析与解决问题的能力,也培养了学生的创新
能力,较好地体现了素质教育的真谛.[键入文字]
为了让学生真正地理解和消化,把大量的时间留给了学生,致使后面的时间很吃紧.
列方程解决实际问题的过程是一个数学化的过程,这个过程常常需要文字语言、图形语
言、符号语言的相互转化.教学中应适当加以渗透,以发展学生对三种语言进行转换的能力.
习题5.9(教材第151页)
1.解:甲、乙两地相距55 km,小明和小刚分别从甲、乙两地同时出发,相向而行,小明每小时
比小刚多走2 km,2.5 h后相遇,求小刚的速度.(答案不唯一)
2.解:(1)设 x 秒后两人相遇,则 4x+6x=100,解得 x=10. (2)设 x 秒后小强能追上小彬,则
6x=4x+10,解得x=5.
1
3.解:设经过x小时重新会合,则35x+45x=20,解得x= .
4
复习题(教材第152页)
14 1
1.解:(1)x=2. (2)x= - . (3)x=4. (4)x= - 20. (5)x=7. (6)x=8. (7)y=3. (8)x= .
45 32
2.解:t=7.5.
3.解:设x年后父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍,则4(x+13)=x+40,3x= - 12,x= - 4.所以4年前
父亲的年龄为儿子年龄的4倍.
4.解:设这双鞋的标价为x元,根据题意得80%x=188,解得x=235.答:这双鞋的标价为235元.
5.解:设其中较小的数为x,则另一个数为100 - x,根据题意得x+3=100 - x - 3,解得x=47,100 -
x=53.答:这两个数分别为47和53.
6.解:设每小时要骑x千米,得(10 - 8)×7.5=(9 - 8)·x,解得x=15.答:他们每小时要骑15千米.
7.解:设爷爷赢x盘,则孙子赢(8 - x)盘,根据题意得x=3(8 - x),解得x=6,8 - x=2.答:爷爷赢6盘,
孙子赢2盘.
1 1 3 3
8.解:设共同做需x小时完成,根据题意得 x+ x=1,解得x=3 .答:共同做需3 小时完成.
6 8 7 7
9.解:设这块麦田共有x公顷,根据题意得x - 25%x - 20%(1 - 25%)x=6,解得x=10.答:这块麦田共
有10公顷.
10.解:设第一件衣服的进价为x元,60 - x=25%x,解得x=48,60 - 48=12(元).第一件衣服赚12元.
设第二件衣服的进价为 y 元,y - 60=25%y,y=80,80 - 60=20(元),第二件衣服赔 20 元,20 -
12=8(元).答:这家商店赔了8元钱.
4 4
11.解:设x小时后相遇,得(60+90)x=200,x= ,60× =80(km).答:两车相遇时离A地80 km.
3 3
x x
12.解:设相等的结果为x,得x - 2+x+2+ +2x=99,解得x=22,所以x - 2=20,x+2=24, =11,2x=44.
2 2
所以应该拆成20,24,11,44.
13.解:把x=5代入方程ax - 8=20+a,得5a - 8=20+a,解得a=7.
本节课主要是通过学生亲身的生活体验来展开,再加以延伸,从中抽象出数学问题,再通
过建立模型解决实际问题.通过练习来巩固所学知识,消除了学生对新课、新知识的抵触情绪
和畏惧心理,各个环节的过渡都非常自然,让学生在不知不觉中学完本节课.同时也体现出了
从生活发现数学,让数学回归生活的设计理念.[键入文字]
甲、乙两人从A,B两地同时出发,甲骑自行车,乙骑摩托车,沿同一条路线相向匀
速行驶.出发后3小时两人相遇.已知在相遇时乙比甲多行了90千米,相遇后经1小时乙到达
A地.则甲、乙行驶的速度分别是多少?
〔解析〕 设甲的速度为x千米/时,题目中所涉及的有关数量及其关系可以用下表表示:
相遇前 相遇后
速度 时间 路程 速度 时间 路程
3x+90
甲 x 3 3x x 3x+90
x
3x+90 3x+90
乙 3 3x+90 1 3x
3 3
相遇前甲行驶的路程+90=相遇前乙行驶的路程;相遇后乙行驶的路程=相遇前甲行驶的
路程.
解:设甲行驶的速度为x千米/时,则相遇前甲行驶的路程为3x千米,乙行驶的路程为
3x+90 3x+90
(3x+90)千米,乙行驶的速度为 千米/时,由题意,得 ×1=3x.
3 3
解这个方程,得x=15.
检验:x=15适合方程,且符合题意.
3x+90 3x+90 3×15+90
将x=15代入 ,得 = =45.
3 3 3
答:甲行驶的速度为15千米/时,乙行驶的速度为45千米/时.
1.经历梳理本章知识的过程,能说出本章的知识要点及其联系,体会方程是刻画现实世界
的有效数学模型.
2.通过解一元一次方程,能说出解一元一次方程的一般步骤以及每一步的依据,发展有条
理地思考与表达的能力,提高运算能力.
1.会判断一个数是不是方程的解,能列方程解决实际问题,会判断方程的解是否符合要求,
体验数学与生活的联系.
2.让学生经历回顾与整理的过程,发现存在的问题,教会学生解决问题的方法和策略.
在利用一元一次方程解决实际问题的过程中,体会数学来源于生活又服务于生活,培养学
生学习数学的兴趣.
【重点】 一元一次方程的解法及应用.
【难点】 依据相等关系准确地列出一元一次方程.[键入文字]
定义:只含有一个未知数(元),未知数的次数
都是1的整式方程
{
方程的解:使方程左、右两边的值相等的未知
数的值
解方程:求方程解的过程
等式两边同时加(或减)同一
{
个代数式,所得结果仍是等式
等式的基本性质 等式两边同时乘同一个数(或
除以同一个不为0的数),所得
结果仍是等式
一元一次方程
去分母
{
去括号
解一元一次方程的步骤 移项
合并同类项
系数化为1
设未知数
{
找相等关系
列一元一次方程解应用题 列一元一次方程
解一元一次方程
写答案(检验)
专题一 等式的概念及性质
1.等式:表示相等关系的式子,叫做等式.
2.等式的基本性质:
①等式两边同时加(或减)同一个代数式,所得结果仍是等式.
②等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数),所得结果仍是等式.
等式的概念用于判断一个式子是不是等式;等式的性质用于求一个方程的解.
【专题分析】
等式的性质是列方程和解方程的基础,是本章知识的基础.等式的基本性质在中考中经常
与后续的知识综合考查.
利用等式的性质解下列方程.
1
(1)x - 5=6; (2)0.3x=45; (3) - y=0.6; (4) y= - 2.
3
解:(1)x - 5=6,方程两边同时加上5,得x=11.
(2)0.3x=45,方程两边同时除以0.3,得x=150.
(3) - y=0.6,方程两边同时除以 - 1,得y= - 0.6.
1
(4) y= - 2,方程两边同时乘3,得y= - 6.
3
【针对训练1】 下列说法正确的是 ( )
A.在等式ab=ac两边都除以a,可得b=c
b c
B.在等式 = 两边都除以a,可得b=c
a a
a b
C.在等式a=b两边都除以(c2+1),可得 =
c2+1 c2+1
D.在等式2x=2a - b两边都除以2,可得x=a - b[键入文字]
b c
〔解析〕 A.需要a≠0;B.在等式 = 两边都乘a,可得b=c;D.等式右边的 - b也要除以
a a
2;C符合条件.故选C.
专题二 一元一次方程的有关概念
1.方程:含有未知数的等式叫做方程.
2.一元一次方程的概念:在整式方程中,只含有一个未知数,并且未知数的指数是1,系数不
等于0的方程叫做一元一次方程.ax+b=0(a≠0)是一元一次方程的一般形式.
3.方程的解:使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.一元方程的解也叫
方程的根.
4.解方程:求方程解的过程叫做解方程.
判断一个方程是不是一元一次方程,首先把方程化成最简形式,然后需要同时满足三个条
件:(1)是整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的指数是1.
判断一个数是不是方程的解,应把这个数分别代入方程的左边和右边进行计算,得出结论.
【专题分析】
方程思想是一种重要的数学思想,理解好方程的概念是今后解方程及其相关问题的基础.
已知5是关于x的方程3x - 2a=7的解,则a的值为 .
〔解析〕 因为5是关于x的方程3x - 2a=7的解,所以3×5 - 2a=7,所以a=4.故填4.
1
【针对训练2】 已知x=2是方程 x+a= - 1的根,那么a的值为 ( )
2
A.0 B.2 C. - 2 D. - 6
1
〔解析〕 将x=2代入方程 x+a= - 1,得a= - 2.故选C.
2
[方法归纳] 在中考中对一元一次方程的解的考查,一般以填空题的形式出现.已知一元
一次方程的解,求未知字母的值,解决此类问题的思路是:将解代入一元一次方程,转化成关于
未知字母的方程,从而求解.
1
在①2x+3y - 1;②1+7=15 - 8+1;③1 - x=x+1;④x+2y=3中方程有 .
2
〔解析〕 根据含有未知数的等式叫做方程,可知①不含有等号,②不含有未知数,
③④符合条件.故填③④.
1 4x+3 x 2
【针对训练3】 已知下列方程:(1)y - 2= ;(2) = ;(3) x=1;(4)x=0;(5)2x2 - x=7;
y 3 2 5
(6)3x - y=1.其中一元一次方程的个数是 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
〔解析〕 (1)方程右边不是整式;(2)(3)(4)符合条件;(5)有一项未知数x的指数为2;(6)含
有两个未知数.故选B.
专题三 一元一次方程的解法
1.一元一次方程的一般形式:ax+b=0(a≠0).
2.解一元一次方程的一般步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化
为1.
用解一元一次方程的一般步骤解方程时,要根据方程的结构特点,并不是一成不变的.
【专题分析】
一元一次方程是初中数学方程与方程组的基础,是中考命题的重点,解一元一次方程一般
难度不大,只要牢记解一元一次方程的步骤,就能求出正确的解.一元一次方程的常规解法在
解决某些具体问题的时候比较繁琐,若能根据方程的特点灵活运用等式、分数的性质、整体
代换的数学思想会给解题带来方便.
1[ 1 ] 2 1
解方程: x - (x - 1) = x - .
3 2 3 2
〔解析〕 此题中括号外的系数是分数,小括号外的系数也是分数,这种类型的方程解法
比较灵活,可以先去括号,再去分母;也可以先去分母,再去括号.
解法1:去中括号,[键入文字]
1 1 2( 1)
得 x - (x - 1)= x - .
3 6 3 2
1 1 1 2 1
去小括号,得 x - x+ = x - .
3 6 6 3 3
去分母,得2x - x+1=4x - 2.
移项,得2x - x - 4x= - 2 - 1.
合并同类项,得 - 3x= - 3.系数化为1,得x=1.
解法2:方程两边同乘6,
[ 1 ] ( 1)
得2 x - (x - 1) =4 x - .
2 2
( 1)
去中括号,得2x - (x - 1)=4 x - .
2
去小括号,得2x - x+1=4x - 2.
移项,得2x - x - 4x= - 2 - 1.
合并同类项,得 - 3x= - 3.系数化为1,得x=1.
[方法归纳] 若方程中含有多层括号,则应按照分配律先由内向外(或由外向内)去括号,
再去分母,但也有时先去分母,再去括号会更简便,这取决于所给方程的特点,因此解方程时,应
灵活地选取方法,尽量使过程简单,而又不产生错误.
2x+1 10x+1
【针对训练4】 解方程: - =1.
3 6
2x+1
〔解析〕 本题按照常规的解方程的步骤,应先去分母,但考虑本题特点,可把 拆
3
2 1 10x+1 10 1
成 x+ ,把 - 拆成 - x - 来解.
3 3 6 6 6
2 1 10 1
解:原方程可写成 x+ - x - =1.
3 3 6 6
2 5 1 1
约分,移项,得 x - x=1 - + .
3 3 3 6
5 5
合并同类项,得 - x= .系数化为1,得x= - .
6 6
[解题技巧] 本题采用的是“拆项法”,此方法比常规方法简便,但这种方法不是对所有
的一元一次方程都适用,需要根据方程的特点灵活应用.
1
已知y=3是6+ (m - y)=2y的解,那么关于x的方程2m(x - 1)=(m+1)(3x - 4)的解
4
是多少?
〔解析〕 把y=3代入第一个方程,使这个方程转化为关于m的方程,解出m的值,再代
入第二个方程,求出x的值.
1 1
解:将y=3代入方程6+ (m - y)=2y,得6+ (m - 3)=6.解得m=3.
4 4
5
将m=3代入2m(x - 1)=(m+1)(3x - 4),得2×3(x - 1)=(3+1)(3x - 4).解得x= .
3
4
【针对训练5】 若2x= 与3(x+a)=a - 5x有相同的解,那么a - 1= .
3[键入文字]
4 2 2 8 8
〔解析〕 解方程2x= ,得x= ,将x= 代入方程3(x+a)=a - 5x,得a= - ,a - 1= - - 1=
3 3 3 3 3
11 11
- .故填 - .
3 3
专题四 一元一次方程的应用
列一元一次方程解决实际问题的一般步骤是:审题;设元;寻找等量关系;列方程;解方程;检
验;与实际问题相结合对解进行取舍.
【专题分析】
列方程解应用题,就是把实际问题抽象为数学问题(列方程),然后通过解决数学问题来解
决实际问题.在中考试题中,考查列一元一次方程解决实际问题的题目,多以社会的热点问题
为素材.
“五一”期间,某电器按成本价提高30%后标价,再打8折(标价的80%)销售,售价
为2080元.设该电器的成本价为x元,根据题意,下面所列方程正确的是( )
A.x(1+30%)×80%=2080
B.x·30%×80%=2080
C.2080×30%×80%=x
D.x·30%=2080×80%
〔解析〕 成本价提高30%后标价为x(1+30%)元,打8折后的售价为x(1+30%)×80%元.根
据题意,列方程得x(1+30%)×80%=2080.故选A.
【针对训练6】 九(3)班的50名同学进行物理、化学两种实验测试,经最后统计知:物
理实验做对的有40人,化学实验做对的有31人,两种实验都做错的有4人,则这两种实验都做
对的有 ( )
A.17人 B.21人
C.25人 D.37人
〔解析〕 设这两种实验都做对的有x人,根据九(3)班的50名同学进行物理、化学两
种实验测试,经最后统计知:物理实验做对的有40人,化学实验做对的有31人,两种实验都做
错的有4人,列方程得(40 - x)+(31 - x)+x+4=50,解得x=25.故都做对的有25人.故选C.
[方法归纳] 一元一次方程在生活中应用广泛,一元一次方程的应用在中考中时常出现,
解一元一次方程的应用题,要明确已知量与未知量,找出题目中的相等关系,就能列出一元一
次方程,进而求解.
某中学租用两辆汽车(设速度相同)同时送1名带队老师及7名九年级的学生到
县城参加数学竞赛,每辆限坐4人(不包括司机).其中一辆小汽车在距离考场15千米的地方出
现故障,此时离截止进考场的时间还有42分,这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车,且
这辆车的平均速度是60千米/时,人步行的速度是5千米/时(上、下车时间忽略不计).
(1)若小汽车先送4人到达考场,然后再回到出故障处接其他人,请你通过计算说明他们能
否在截止进考场的时间前到达考场;
(2)假如你是带队的老师,请你设计一种运送方案,使他们能在截止进考场的时间前到达考
场,并通过计算说明方案的可行性.
〔解析〕 本题是一道开放性的方案设计问题,解答时应注意分各种情况进行讨论.
15 3 3
解:(1) ×3= (小时), 小时=45分.
60 4 4
因为45>42,所以不能在限定时间内到达考场.
(2)方案:先将4人用车送到考场,另外4人同时步行前往考场,汽车到考场后返回到与另
外4人的相遇处再载他们到考场.
15 1 1 1
先将4人用车送到考场所需时间为 = (小时), 小时=15分. 小时另外4人步行了
60 4 4 4
1.25千米,此时他们与考场的距离为15 - 1.25=13.75(千米).
2.75
设汽车返回t小时后与步行的4人相遇,则有5t+60t=13.75,解得t= .
13
2.75
汽车由相遇点再去考场所需时间也是 小时.
13[键入文字]
2.75
所以用这一方案送这8人到考场共需15+2× ×60≈40.4(分)<42(分).
13
所以这8个人能在截止进考场的时间前赶到.
【针对训练7】 下面是甲商场电脑产品的进货单,其中进价一栏被墨水污染,读了进货
单后,请你求出这台电脑的进价.
甲商场商品进货单
供货单位 乙单位
品名 P4200
商品代码 DN—63DT
商品所属 电脑专柜
进价
标价 5850元
折扣 八折
利润 210元
〔解析〕 本题应先读懂图表所提供的信息,明确题目的条件和所求,此题等量关系为:
售价 - 进价=利润.
解:设这台电脑的进价为x元.
根据题意,得5850×0.8 - x=210.
解得x=4470.
答:这台电脑的进价为4470元.
【针对训练8】 某牛奶加工厂现有鲜奶9吨.若在市场上直接销售鲜奶,每吨可获取利
润500元;制成酸奶销售,每吨可获取利润1200元;制成奶片销售,每吨可获取利润2000元.该
工厂的生产能力是:如制成酸奶,每天可加工3吨;制成奶片每天可加工1吨.受人员限制,两种
加工方式不可同时进行.受气温条件限制,这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕.为此,
该厂设计了两种可行方案:
方案一:尽可能多地制成奶片,其余直接销售鲜牛奶;
方案二:将一部分制成奶片,其余制成酸奶销售,并恰好4天完成.
你认为选择哪种方案获利多?为什么?
解:方案一:4×2000+(9 - 4)×500=10500(元).
方案二:设x吨做奶片,则(9 - x)吨做酸奶.
9 - x
根据题意得x+ =4,解得x=1.5.
3
1.5×2000+(9 - 1.5)×1200=12000(元).
10500<12000,所以选择方案二获利多.
本章质量评估
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列方程是一元一次方程的是( )
2
A. =1 B.3x+2y=0
y
C.x2 - 1=0 D.x=3
2x+1 10x - 1
2.对方程 - =1去分母,正确的是 ( )
3 6
A.2x+1 - 10x - 1=1
B.4x+2 - 10x - 1=6
C.4x+2 - 10x+1=1
D.4x+2 - 10x+1=6
3.下列方程的变形中,属于移项变形的是 ( )
x
A.由 =1,得x=3
3
B.由x - (3 - 5x)=5,得x - 3+5x=5[键入文字]
2
C.由5x=2,得x=
5
D.由8x=5x - 4,得8x - 5x= - 4
4.若关于x的方程2x - a=x - 2的解为x=3,则字母a的值为 ( )
A. - 5 B.5 C. - 7 D.7
5.几名同学在月历的纵列上圈出三个数,算出它们的和,其中可能的一个是 ( )
A.38B.18
C.67D.57
6.若2x+1=8,则4x+1的值为 ( )
A.15B.16
C.17D.19
7.将方程2(x - 1)=3(x - 1)的两边同除以(x - 1),得2=3,其错误的原因是 ( )
A.方程本身是错的
B.方程无解
C.两边都除以0
D.2(x - 1)小于3(x - 1)
8.已知x= - 2是关于x的方程2x+m - 4=0的解,则m的值是 ( )
A.8 B. - 8
C.0 D.2
9.甲、乙两超市为了促销一定价相同的商品,甲超市连续两次降价10%,乙超市一次性降价
20%,在 超市购买这种商品合算. ( )
A.甲 B.乙
C.在甲、乙超市购买一样 D.与商品价格有关
10.在高速公路上,一辆长4米,速度为110千米/时的轿车准备超越一辆长12米,速度为100千
米/时的卡车,则轿车从开始追及到超越卡车,需要花费的时间是 ( )
A.1.6秒 B.4.32秒
C.5.76秒D.3.45秒
二、填空题(每小题4分,共32分)
2x - 4 x - 7
11.方程2 - = - 去分母,得 .
3 6
12.若7a - 5与3 - 5a互为相反数,则a的值为 .
13.关于x的方程xn+2 - n - 3=0是一元一次方程,则此方程的解是 .
14.关于x的方程(k+2)x - 1=0的解为x=1,则k的值是 .
15.三个连续偶数的和为60,那么其中最大的一个是 .
3
16.若9人14天完成了一项工作的 ,而剩下的工作要在4天内完成,则需要增加的人数是
5
.
17.足球比赛的得分规则为胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.一支青年足球队参加
了14场比赛,其中负5场,共得19分,那么这支足球队胜了 场.
3a - x
18.方程2x - 3=3与方程1 - =0的解相同,则a= .
3
三、解答题(共58分)
2 - 18x x
19.(6分)解方程:x - = +2.
3 9
20.(6分)如果单项式2001xn+7与2000x2m+3是同类项,求2m - n的值.
21.(10分)阅读以下例题.
解方程:|3x|=1.
解:①当3x≥0时,原方程可化为一元一次方程3x=1,
1
它的解是x= ;
3
②当3x<0时,原方程可化为一元一次方程 - 3x=1,[键入文字]
1
它的解是x= - .
3
1 1
所以原方程的解是x = - ,x = .
1 3 2 3
仿照例题解方程:|2x+1|=5.
22.(12分)A,B两地相距150千米,一辆汽车以每小时50千米的速度从A地出发,另一辆汽车以
每小时40千米的速度从B地出发,两车同时出发,相向而行,则经过几小时,两车相距30千米?
23.(10分)李老师这个月要参加3天培训,这3天恰好在日历的一竖排上且3个数字相连,并且
这3个日子的数字之和是36,你知道李老师要在哪几天参加培训吗?
24.(14分)足球比赛的记分规则为:胜一场得3分,平一场得1分,输一场得0分.一支足球队在
某个赛季中共需比赛14场,现已比赛了8场,输了1场,得17分.
(1)前8场比赛中,这支球队共胜了多少场?
(2)这支球队打满14场比赛,最高能得多少分?
(3)通过对比赛情况的分析,这支球队打满14场比赛,得分不低于29分,就可以达到预期的目
标.请你分析一下,在后面的6场比赛中,这支球队至少要胜几场,才能达到预期目标?
【答案与解析】
1.D(解析:由判断一元一次方程的条件可知,A等号左边不是整式;B方程中含有两个未知数;C
未知数x的指数为2;D符合条件.故选D.)
2.D(解析:A.2x+1没有乘2,10x - 1未加括号,方程右边没有乘6;B.10x - 1未加括号;C.方程右边
没有乘6;D符合条件.故选D.)
3.D(解析:A.去分母;B.去括号;C.系数化为1.故选D.)
4.B(解析:由x=3是方程的解,故将x=3代入原方程中,得到关于a的方程,求出a.故选B.)
5.D(解析:假设第一个数是a,那么第二个数就是a+7,第三个数就是a+14,则这三个数的和就是
3a+21,那么得到这个数必须要大于21且能被3整除,故选D.)
6.A(解析:由2x+1=8,得2x=7,所以4x=14,4x+1=14+1=15,故选A.)
7.C(解析:解方程得x=1,x - 1=0,得方程两边都除以0,故选C.)
8.A(解析:将x= - 2代入原方程得到关于m的一元一次方程,解此方程即可求得m的值.故选
A.)
9.B(解析:可设商品的原定价为 a 元,甲连续两次降阶 10%后的价格为 a(1 - 10%)(1 -
10%)=0.81a(元),而乙一次性降价20%后的价格为a(1 - 20%)=0.8a(元).故在乙超市购买这种商
品合算.故选B.)
4+12
10.C( 解 析 : 设 需 要 的 时 间 为 x 小 时 ,110x - 100x= ,10x=0.016, 解 得
1000
x=0.0016.0.0016×60×60=5.76(秒).所以需要5.76秒.故选C.)
11.12 - 2(2x - 4)= - (x - 7)(解析:方程两边的各项都要乘最小公分母6,且要注意分数线起到括
号的作用.故填12 - 2(2x - 4)= - (x - 7).)
12.1(解析:根据互为相反数的两数之和为零列出方程,解方程即可得到a=1.)
13.x=2(解析:由原方程为一元一次方程可得n+2=1,所以n= - 1.将n= - 1代入原方程解得x=2.故
填x=2.)
14. - 1(解析:将x=1代入方程(k+2)x - 1=0,得k= - 1.故填 - 1.)
15.22(解析:注意连续偶数之间的差为2.)
3
16.12(解析:可把总工作量看作整体“1”,则每人每天的工作效率为 ÷9÷14.设增加人数为x,
5
(3 ) 2
根据题意,得 ÷9÷14 (9+x)×4= .解得x=12.)
5 5
17.5(解析:本题的相等关系是:胜场积分+平场积分=19分.设这支球队共胜了x场,则平了(14 -
5 - x)场.根据题意,得3x+(14 - 5 - x)=19,解得x=5.)
3a - x
18.2(解析:方程2x - 3=3的解为x=3,代入1 - =0,解得a=2,故填2.)
3[键入文字]
19.解:去分母,得9x - 3(2 - 18x)=x+18.
去括号,得9x - 6+54x=x+18.
移项,得9x+54x - x=18+6.
合并同类项,得62x=24.
12
系数化为1,得x= .
31
20.解:因为2001xn+7与2000x2m+3是同类项,
所以n+7=2m+3,
移项得2m - n=7 - 3=4.
21.解:①当2x+1≥0时,原方程可化为一元一次方程2x+1=5,它的解是x=2.
②当2x+1<0时,原方程可化为一元一次方程 - (2x+1)=5,它的解是x= - 3.
所以原方程的解是x =2,x = - 3.
1 2
22.解:设经过x小时两车相距30千米.
4
①50x+40x+30=150,90x=120,解得x= .
3
②50x+40x - 150=30,90x=180,解得x=2.
4
答:经过2小时或 小时两车相距30千米.
3
23.解:设这3天的日期分别为x - 7,x,x+7.
根据题意得(x - 7)+x+(x+7)=36,解得x=12.
所以x - 7=5,x+7=19.
答:李老师培训的日子是5号,12号,19号.
24.解:(1)设这支球队胜了x场,则平了(8 - 1 - x)场.根据题意,得3x+(8 - 1 - x)=17.
解得x=5.
即前8场比赛中,这支球队共胜了5场.
(2)打满14场比赛最高能得17+(14 - 8)×3=35(分).
(3)由题意知,以后的6场比赛中,只要得分不低于12分即可.所以胜不少于4场,一定能达到预
期目标,而胜3场、平3场,正好达到预期目标.所以在以后的6场比赛中这个球队至少要胜3
场.
