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第五章 一元一次方程（题型清单）
01 思维导图
02 知识速记
知识点1 一元一次方程
1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程；
标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）；
2.方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值
知识点2 等式的性质
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；
如果a=b，那么a±c=b±c;
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；
1如果a=b，那么ac=bc;如果a=b，c 0，那么 ；
知识点3：含参一元一次方程
1、次数含参：主要考察一元一次方程定义
2、常数项含参：求解一个常数项含参的一元一次方程，依然采用常规的五步法解题
3、解已知或可求：将解代入参数方程，求出参数
知识点4： 解一元一次方程
解一元一次方程的步骤：
1.去分母
两边同乘最简公分母
2.去括号
（1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号
（2）乘法分配律应满足分配到每一项
注意 ：特别是去掉括号，符合变化
3.移项
（1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边；
（2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ．
4. 合并同类项
（1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax b ”的形式（ a 0 ）；
（2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变．
5. 系数化为 1
（1）定义： 方程两边同除以未知数的系数 a ，得 ；
（2）注意：分子、分母不能颠倒
知识点5： 一元一次方程的实际应用
审:弄清题意，分清已知量和未知量，明确各数量间的关系
设:设未知数，并且用含未知数的代数式表示与所列方程有关的数量列:根据题目中的数量关系、相等关
系、倍数关系以及若干倍多或少个数字列方程
解:解所列的方程，求出未知数的值以及题目中所要求的相关数量的值验:检验所求的解是否符合题意，
2是否符合实际意义。
03 题型归纳
题型一 一元一次方程的定义
例题：下列方程中是一元一次方程的是（ ）
A．2x=3 y B．x=9
1 1
C．x2+ (x−1)=1 D． −2=x
2 x
例题：已知方程 是关于 的一元一次方程，则方程的解等于（ ）
(k−1)x|k|+1=0 x
1
A．1 B．0 C．−1 D．
2
巩固训练
1．下列方程是一元一次方程的是（ ）
1 1 1
A．3x−5 y=2 B． x= − x
3 3 3
7
C．2x2+9x=0 D．7x−2=
x
x
2．把方程 =1.5的分母化为整数，可得方程（ ）
0.7
x x 10x 10x
A． =1.5 B． =15 C． =1.5 D． =15
7 7 7 7
3．已知关于x的方程 是一元一次方程，则a的值为（ ）
(3a+1)x2−ax+4=0
1 1
A．0 B． C．1 D．−
3 3
4．已知 是关于 的一元一次方程，则 的值为 ．
(a−1)x|a|+3=10 x a
题型二 等式的性质
例题：运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
a b
A．若ac=bc，则a=b B．若 = ，则a=b
c c
31
C．若2a−b=4，则b=4−2a D．若− x=6，则x=2
3
巩固训练
1．已知等式a=b，下列变形不正确的是（ ）
a b
A．3a−2=3b−2 B．−3a=−3b C． = D．a+1=b−1
5 5
U
2．在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间有以下关系：I= ，去分母
R
得IR=U，那么其变形的依据是（ ）
A．等式的基本性质1 B．等式的基本性质2
C．分数的基本性质 D．去括号法则
3．如图，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放（ ）个〇．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．将方程3x+ y=6写成用含x的代数式表示y为（ ）
y y
A．y=6−3x B．y=3x−6 C．x= −2 D．x=2−
3 3
题型三 一元一次方程的解
例题：已知x=2是关于x的一元一次方程2x+m−4=0的解，则m的值为（ ）
A．0 B．2 C．−1 D．1
巩固训练
1
1．下列方程中，解是x= 的是（ ）
2
1 3 1 3
A．−2x=4 B．−2x−3=−1 C．− x−1=− D．− x+1=
2 4 2 4
2．整式mx−n的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同值时对应的整式的值：则关于x的方程
−mx+n=8的解为 ．
x −1 0 1 2 3
mx−n −8 −4 0 4 8
3．若x=2是方程8−3x=ax的解，则a= ．
4．若x=0.5是关于x的方程2ax−3b−5=0的解，则代数式3a−9b−10= ．
4题型四 解一元一次方程
例题：解下列方程：
(1)3x=2x+1； (2)3x+2=4(2x+3)；
x−2 3x+1 0.2−x 1−3x
(3) − =2； (4) −1.5= ；
3 4 0.3 2.5
巩固训练
1．下列各题正确的是 （ ）
A．由7x=4x−3移项得7x−4x=3
2x−1 x−3
B．由 =1+ 去分母得2(2x−1)=1+3(x−3)
3 2
C．由2(2x−1)−3(x−3)=1去括号得4x−2−3x−9=1
D．由2(x+1)=x+7去括号、移项、合并同类项得x=5
2．将 3(x−1)−2(x−3)=5(1−x) 去括号得（ ）
A．3x−1−2x−3=5−x B．3x−1−2x+3=5−x
C．3x−3−2x−6=5−5x D．3x−3−2x+6=5−5x
3．解方程：
(1)5x+2=−8； (2)3x−4(2x+5)=x+4；
x−1 x+2 4−x x−2 x+1
(3) − = ； (4) − =1．
3 6 2 0.2 0.3
4．解下列方程
(1)3x−4=29 (2)3x−2=−5(x+2)
x+1 3x−2
(3)4x−3(20−x)+4=0 (4) =
3 2
55．解方程：
x+1 x 2x+1
(1)5(y+6)=9−3(1−3 y) (2) − =1−
3 2 4
6．解方程：
2x−1 x x+3
(1)4−3(x−1)=9−x； (2) −1= − ．
3 6 4
题型五 同解方程
例题：已知方程 的解和关于 的方程 ( 5)的解相同，求 的值．
2x=1−2(2x−3) x 8−k=2 x+ k
6
巩固训练
1．若关于x的方程2x+3m−1=0和方程5−3(x+1)=2同解，则m的值等于 ．
2．若关于x的方程2x+3m−1=0和方程5−3(x−1)=2同解，则m的值等于 ．
3．关于x的方程6x+7=19与3x=18−3m的解相同，则m等于（ ）
A．−4 B．−2 C．−1 D．4
题型六 一元一次方程之利润问题
例题：某超市为了吸引消费者，将甲种商品降价30%，乙种商品降价20%开展优惠促销活动，已知甲、
乙两种商品的原销售单价之和为2000元，某顾客参加活动购买甲、乙两种商品各一件，共付1520元．
(1)甲、乙两种商品的原销售单价各是多少元？
(2)若在这次促销活动中乙种商品仍可获利20%，求乙种商品每件的进价是多少？
6巩固训练
1．商店里把一件上衣按进价加 20%作为定价，可总卖不出去，后来又按定价降价20%，以192元出售．
卖出后，这次生意盈亏为（ ）
A．亏48元 B．亏8元 C．不亏也不赚 D．亏12元
2．某商店一件衣服标价280元，以七五折售出可获利25%，则这件衣服的进价是 元．
3．列一元一次方程解实际问题：重庆某水果超市销售沃柑和纽荷尔两种柑橘类水果，该超市第一次用
6300元购进沃柑和纽荷尔两种水果，其中纽荷尔的件数比沃柑件数的一半还多25件．沃柑和纽荷尔两
种水果的进价和售价如下表：
类别 沃柑 纽荷尔
进价（元/件） 22 30
售价（元/件） 29 40
(1)该超市购进沃柑和纽荷尔两种水果各多少件？当这次购进的水果全部销售后，共获利多少元？
(2)该超市第二次购进沃柑和纽荷尔两种水果的进价与第一次相同，其中沃柑的件数不变，纽荷尔的件
数是第一次的3倍，沃柑按原价销售，纽荷尔打折销售，第二次购进的两种水果都销售完所获得的总利
润比第一次获得的总利润多800元，求第二次纽荷尔是按原价打几折销售．
4．商品甲的成本是定价的80% ；商品乙的定价是275元，成本是220元．现在商店把1件商品甲与2件
商品乙配套出售，并且按它们的定价之和的90%定价出售．这样每套可获得利润80元．问商品甲的成
本是多少元？
5．近年来，随着人们对健康生活的追求，体育健身越来越受到人们的喜爱和追捧，某体育器材专卖店的A、
B两款体育器材非常畅销，进货价和销售价如下表：
A款器 B款器
材 材
进货价/（元/个） 40 30
销售价/（元/个） 56 45
7(1)该专卖店用1100元购进了A，B两款器材共30个，求两款器材分别购进多少个？
(2)该专卖店进货时，A款器材的进货量是B款器材的一半，将进货的体育器材全部售出，共获利润
1380元．求两款器材分别购进多少个？
题型七 一元一次方程之工程问题
例题：列一元一次方程解应用题
新蒲新区某校举办体育文化艺术节，七（2）班为了宣传班上开展的活动，由甲、乙两位同学制作宣传
展板．已知甲同学单独完成需要4天，乙同学单独完成需要6天．
(1)甲、乙合作需要______天完成；
(2)若由乙同学先做1天，再由甲、乙两位同学合作完成．问还需几天可以完成展板的制作？
巩固训练
1．完成某项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成.现在甲先做了3天，乙再参加合做，求
完成这项工程甲、乙合做了多少天.若设完成此项工程甲、乙合做了x天，则下列方程中正确的是 （
）
x+3 x x+3 x−3
A． + =1 B． + =1
12 8 12 8
x x 3 x−3 x−3
C． + =1 D． + + =1
12 8 12 12 8
2．一项工程，由甲、乙两个工程队合作完成．已知甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要
6天．
(1)甲、乙合作需要______天完成；
(2)若先由乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成．问还需几天可以完成这项工程？
3．哈佳高铁建设工程中，有一路段由甲、乙两个工程队负责完成．甲工程队单独完成此项工程需60天，
比乙工程队单独完成此项工程多用30天，若甲先施工6天，再由甲、乙合作完成剩余工程．
(1)甲、乙还需要合作多少天完成？
(2)如果甲工程队每天需工程费500元，乙工程队每天需工程费700元，若甲队先单独工作若干天再由乙
工程队完成剩余的任务，支付工程队总费用24000元，求甲队工作的天数．
4．劳动教育课程已经成为中小学生的必修课，被纳入人才培养的全过程．云南某中学整理学生的劳技
8作品，由一名老师整理要45h完成．现计划由一部分老师先做1h，然后再增加3名老师与他们一起做
5h，可完成这项整理工作．假设每位老师的工作效率相同，应先安排多少名老师整理？
题型八 一元一次方程之行程问题
例题：周末，小明和爸爸在3000m的环形绿道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发，骑
行结束后两人有如图所示的对话．
(1)请根据他们的对话内容，求出小明的骑行速度；
(2)爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过多少分钟，小明和爸爸在跑道上相距1000m？
巩固训练
1．如图，沿着边长为90米的正方形，按A→B→C→D→A⋅⋅⋅⋅⋅⋅方向，甲从A以63米/分的速
度，乙从B以72米/分的速度同时行走，当乙第一次追上甲时是在正方形的某个顶点处，则这个顶点是
（ ）
A．顶点A B．顶点B C．顶点C D．顶点D
2．轮船往返A、B两港之间，逆水航行需要3小时，顺水航行需要2小时，水流速度为3千米/时，则船
在静水中的速度是 千米/时．
3．A、B两地相距64千米，甲从A地出发，每小时行14千米，乙从B地出发，每小时行18千米．若两
9人同时出发相向而行，则需几小时两人相距16千米？
4．一群驴友排成一列在野外旅游，队长在队伍中，数了一下他前后的人数，发现前面的人数是后面的
两倍，他往前超了7位驴友，发现前面的人数和后面的人数一样．
(1)这群驴友一共有多少人？
(2)这群驴友要过一座320米长的独木桥，为安全起见，相邻两个驴友间保持固定的距离，行走速度为5
米/分，从第一位驴友刚上桥到全体通过独木桥用了106分钟时间，请问相邻两位驴友间的距离是多少
米？
5．一只救生船从港口开到出事地点要行 840 千米，船速每小时 20 千米，船上一架直升飞机，每小时可
飞行 220 千米，中途飞机起飞，提前到出事地点，这样从船离港到飞机到达出事地点一共用了 10 小
时，飞机在船离港后多长时间起飞？
题型九 一元一次方程之方案设计问题
例题：当今社会，随着生活水平的提高，人们越来越重视自己的身心健康，开始注重锻炼身体．某公
司计划购买50个羽毛球拍和x个羽毛球，某体育用品商店每个羽毛球拍定价80元，每个羽毛球定价5
元，经协商拟定了如下两种优惠方案（两种优惠方案不可混用）：
方案一：每买一个羽毛球拍就赠送2个羽毛球；
方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的90%付款．
(1)若x=100，请计算哪种方案划算；
(2)若x>100，请用含x的代数式分别把两种方案的费用表示出来；
(3)请你帮助公司写出x取值不同时的所有划算的购买方案．
10巩固训练
1．某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房
客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有63人，大人比小孩多21人．
(1)求该房客大人，小孩各有多少人？
(2)假设店主李三公推出两种订房方案：
方案一：房客超过40人，超过的按原价八折优惠，
方案二：大人原价，小孩半价．
若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？
2．甲地欲往外地运输一批水果，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为200元/时，其它
主要参考数据如下：
运输工
途中平均速度（千米/时） 运费（元/千米） 装卸费（元）
具
火车 100 15 2000
汽车 80 20 900
(1)如果运往乙地，汽车的费用比火车的费用多1100元，求甲、乙两地间的路程；（费用包含损耗、运
费和装卸费）
(2)如果运往丙地，已知甲、丙两地间的路程为100千米，通过计算选择哪种运输方式比较合算．
3．2024年4月1日−15日，是第41届中国洛阳牡丹文化节，某旅游酒店计划印制一批彩色宣传册．现
有甲、乙两个广告公司提供印制业务．甲公司的收费方式为每套彩色宣传册按定价5元的九折收费，另
收取1500元的服务费；乙公司的收费方式为每套彩色宣传册按定价5元收费，1500元的服务费按六折
优惠，且甲、乙两个广告公司都规定一次印制数量不少于1000册．
(1)设共印制彩色宣传册x(x≥1000)套．甲广告公司收费 元乙广告公司收费 元（用含x的式子表示） ；
11(2)该旅游酒店选用哪个广告公司所需费用较少? 请通过计算说明．
4．小王看到两个商场的促销信息如图所示．
(1)当一次性购物标价总额是200元时，在甲、乙商场实际付款分别是多少元？
(2)当标价总额是多少元时，在甲、乙商场购物实际付款一样多？
(3)小王两次到乙商场分别购买标价98元和150元的商品，如果他想只去一次该商场购买这些商品，你
能帮他计算可以节省多少元吗？
题型十 一元一次方程之数轴动点问题
例题：如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在点A左侧的一点，且A，B两点间的距离为
10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒．
(1)数轴上点B表示的数是______；
(2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
12巩固训练
1．如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B是数轴上在点A左侧的一点，且A、B两点间的距离为
8，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．
（1）数轴上点B表示的数是 ；
（2）运动1秒时，点P表示的数是 ；
（3）动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，当
点P运动 秒时，点P与点Q相遇．
2．【知识背景】数轴是初中数学的一个重要工具，如图①，若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b
(b>a)，则线段AB的长（点A到点B的距离）可表示为b−a．
【问题情境】数轴上三点A，B，C表示的数分别为a，b，c，其中A在原点左侧，距原点4个单位，b
是最大的负整数，C在原点右侧，且AC=9，如图②，动点M从A出发，以每秒1个单位长度的速度
沿数轴向左匀速运动，与此同时，动点N从点C出发，以每秒2个单位长度速度沿数轴向右匀速运动，
一只电子狗Q从B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设移动时间为t秒(t>0)．
【问题探究】
(1)a=______，b=______，c=______．
(2)在数轴上是否存在一点P，使得AP=2BP，若存在，求点P对应的数；若不存在，说明理由．
(3)如果在C处竖立一块挡板，当电子狗Q到达C时，被挡板弹回，以同样的速度向相反的方向运动，
问：当t为何值时，电子狗Q到M，N的距离相等？并求出此时电子狗Q的位置．
133．数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关
系，则称该点是其它两个点的“关联点”．
(1)如图，数轴上点A，B，C三点所表示的数分别为1，3，4，点B到点A的距离AB= ，点B到点C
的距离是 ，因为AB是BC两倍，所以称点B是点A，C的“关联点”．
(2)若点A表示数−2，点B表示数1，下列各数−1，2，4，6所对应的点分别是C ,C ,C ,C ，其中是
1 2 3 4
点A，B的“关联点”的是 ；
(3)点A表示数−15，点B表示数为20，P数轴上一个动点．
①若点P在点B的左侧，且点P是点A、B的“关联点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P、A、B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请直接写出此时
点P表示的数．
4．根据所学的数轴知识，解答下面的问题：
(1)知识呈现：在数轴上有A，B两个点，如图1所示，A点表示的数是__________；B点表示的数是
__________．
(2)知识迁移，如图2，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右
端与数轴上的点B重合．
①若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所应的数为40；若
将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为7，由此可
得这根木棒的长为__________cm；
②图中点A所表示的数是__________，点B所表示的数是__________．
14(3)知识应用：由（2）中①、②的启发，请你借助“数轴”这个工具解决下列问题：
一天，玲玲去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这
么大，我已经125岁，是老寿星了．哈哈！”请问爷爷现在多少岁了？
5．已知数轴上点A表示的数为−5，点B是数轴上在点A右侧的一点，且A、B两点间的距离为8个单位
长度，点P为数轴上的一个动点，其对应的数为x．
(1)写出点B所表示的数为 ；
(2)①若点P到点A，点B的距离相等，则点P所表示的数为 ；
②数轴上是否存在点P，使点P到点A，点B的距离之和为10，若存在，求出x的值，若不存在，说明
理由；
(3)若点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向左作匀速运动，点Q从B出发，以每秒5个单位长
度的速度向左作匀速运动，P，Q同时运动：
①当点P运动多少秒时，点P和点Q重合？
②当点P运动多少秒时，P，Q之间的距离为3个单位长度？
15
