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第五章 一元一次方程（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
x
A．x2−2x=4 B．2x−1= C．x+ y=1 D．x−3
3
【答案】B
【分析】本题考查一元一次方程的定义，含有一个未知数，且未知数的次数是1的方程是一元一次方程，
据此逐项判断即可．
【详解】解：A、方程中x的次数是2，故它不是一元一次方程；
B、方程中含有一个未知数x，且未知数x的次数是1，故它是一元一次方程；
C、方程中含有两个未知数x、y，故它不是一元一次方程；
D、它不是等式，故不是方程．
故选：B
2．方程2x−4=0的解是（ ）
1 1
A．x=2 B．x=−2 C．x= D．x=−
2 2
【答案】A
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．先移项，再系数
化为1即可得．
【详解】解：2x−4=0，
移项，得2x=4，
系数化为1，得x=2，
故选：A．
3．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，不正确的是（ ）
A．若a=b，则a±c=b±c B．若am=bm，则a=b
a b a b
C．若 = ，则a=b D．a=b，且m≠0，则 =
n n m m
【答案】B
【分析】本题考查等式的性质．等式两边同时加上（或减去）同一个整式，或者等式两边同时乘或除
1以同一个不为0的整式，或是等式左右两边同时乘方，等式仍然成立．熟记相关结论是解题关键．
【详解】解：若a=b，因为等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立，
∴a±c=b±c，故A正确，不符合题意；
若am=bm，当m=0时，a=b不一定成立，故B错误，符合题意；
a b
若 = ，因为等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立，
n n
∴a=b，故C正确，不符合题意；
若a=b，且m≠0，因为等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立，
a b
∴ = ，故D正确，不符合题意；
m m
故选：B
4．若2(a+3)的值与−4互为相反数，则a的值为（ ）．
7 1
A．−5 B． C．−1 D．
2 2
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次方程和相反数的意义，互为相反数的两个数相加等于零，根据相反数
的意义求解即可．
【详解】解：∵ 2(a+3)的值与−4互为相反数，
∴2(a+3)−4=0，
解得：a=−1，
故选：C．
5．甲、乙两人在300m的环形跑道上跑步，甲每分钟跑100m，乙每分钟跑80m，若他们从同一地点同时同
向出发，则他们第一次相遇于（ ）
A．10min时 B．15min时 C．20min时 D．30min时
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设他们第一次相遇的时间为xmin，根据两人第一
次相遇时甲比乙多跑300m列出方程求解即可．
【详解】解：设他们第一次相遇的时间为xmin，
由题意得，100x−80x=300，
解得x=15，
∴他们第一次相遇于15min时，
故选：B．
22x−4 x−7
6．方程 2− =− 去分母得（ ）
3 6
A．2−2(2x−4)=−(x−7)
B．12−2(2x−4)=−x−7
C．12−2(2x−4)=−(x−7)
D．12−(2x−4)=−(x−7)
【答案】C
【分析】本题主要考查一元一次方程去分母，熟练掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质，
等式两边同时乘以6即可得到答案．
【详解】解：等式两边同时乘以6，
得：12−2(2x−4)=−(x−7)，
故选C．
7．某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺栓或1000个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每
天生产的螺栓和螺母刚好配套，设安排x名工人生产螺栓，则下面所列方程正确的是（ ）
A．2×1000(26−x)=800x B．2×1000(13−x)=800x
C．1000(26−x)=2×800x D．1000(26−x)=800x
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确列方程是解题关键．设安排x名工人生产螺
栓，则安排(26−x)名工人生产螺母，根据“1个螺栓需要配2个螺母”列方程即可．
【详解】解：设安排x名工人生产螺栓，则安排(26−x)名工人生产螺母，
由题意得：1000(26−x)=2×800x，
故选：C．
8．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经
常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，其每行、每列、每条对角线上三个
数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个幻方，则x+ y的值为（ ）
y −5
−2 0
1 x
A．1 B．9 C．5 D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、代数式求值等知识，正确确定x、y的值是解题关键．
3根据“三阶幻方”的知识分别列出关于x、y的一元一次方程并求解，然后代入求值即可．
【详解】解：根据题意，可得x+0+(−5)=1+(−2)+(−5)，
解得x=−1，
∴y+(−2)=1+(−1)，
解得y=2，
∴x+ y=−1+2=1．
故选：A．
9．如图是某年1月份的日历表，在此表上可以用正方形圈出3×3个位置的9个数（如3，4，5，10，11，
12，17，18，19），若圈出的9个数中，最大数与最小数的和为42，则这9个数的和为（ ）
A．69 B．207 C．84 D．189
【答案】D
【分析】本题考查一元一次方程的应用（日历问题），由日历表可知，圈出的9个数中，最大数与最小
数的差总为16，故圈出的最小数为x，则圈出的最大数为x+16；接下来根据圈出的9个数中最大数与
最小数的和为42可列方程，求解即可得到圈出最小数；此时再根据圈出的9个数中，每一行相邻两数
相差1，每一列相邻两数相差7即可写出这9个数，再求和即可．
【详解】解：设圈出的最小数为x，则圈出的最大数为x+16，
由题意得，x+(x+16)=42，
解得x=13，
故圈出的最小的三个数为13，14，15，
下面一行的数分别比上面三个数大7，故为20，21，22，
第三行的数分别比上一行三个数大7，故为27，28，29，
圈出的这9个数的和为：13+14+15+20+21+22+27+28+29=189．
故选D．
10．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示， 每个三角形的三个顶点上的数字之和
都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现−1，2，−2，−4，5，−5，6，8填入如图2
所示的 “幻方” 中，部分数据已填入，则图中a−b+c+d的值为（ ）
4A．−3 B．5 C．−1 D．7
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程，求出每个三角形顶点数字的和是
解题的关键．
设每个三角形的三个顶点上的数字之和为x，列方程求出的值x，再根据题意得出a−b+c+d的值即
可．
【详解】解：设每个三角形的三个顶点上的数字之和为x，
根据题意列方程得，−1+2−2−4+5−5+6+8+x=4x，解得，x=3，
∵−1+b+c=2+d+c，
∴d−b=−3，
∵−1+a+2+c=3，
∴a+c=2，
∴a−b+c+d=(a+c)+(d−b)=2−3=−1．
故选：C．
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．列等式表示“x的2倍与10的和等于8” ．
【答案】2x+10=8
【分析】此题考查了列方程，根据题意列出方程即可．
【详解】解：由题意可得，2x+10=8，
故答案为：2x+10=8
12．若关于x的方程kx+3=0的解为x=2，则k的值为 ．
3
【答案】−
2
【分析】本题考查了一元一次方程的解．根据“方程的解是使方程左右两边相等的数”即可求解．
【详解】解：∵x=2是方程kx+3=0的解，
∴2k+3=0，
53
∴ k=− ，
2
3
故答案为：− ．
2
13．阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知2a−b=3，求代数式6a−3b−1的值．”可
以这样解：6a−3b−1=3(2a−b)−1=3×3−1=8．根据阅读材料，解决问题：若x=3是关于x的
一元一次方程mx+n=2的解，则代数式9m+3n+1的值是 ．
【答案】7
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，代数式求值，先根据一元一次方程解的定义是使
方程左右两边相等的未知数的值得到3m+n=2，再根据9m+3n+1=3(3m+n)+1进行求解即可．
【详解】解：∵x=3是关于x的一元一次方程mx+n=2的解，
∴3m+n=2，
∴9m+3n+1=3(3m+n)+1=3×2+1=7，
故答案为：7．
14．小强的练习册上有一道方程题，其中一个数字被墨水污染了，成了1( x−1 ) x−∗（“
− +x =1− ∗
3 2 5
”表示被污染的数字），他翻了书后的答案，知道这个方程的解为 x=5，于是他把被污染的数字求
了出来，这个被墨水污染的数字是 ．
【答案】5
【分析】本题重点考查了一元一次方程的解法以及方程的解的意义，本题的关键是掌握一元一次方程
的基本解法．知道方程的解，根据方程的解的意义，把方程的解代入到原方程中，从而得到一个新的
方程，再求解即可．
【详解】解： 是方程1( x−1 ) x−∗的解，
∵x=5 − +x =1−
3 2 5
1 ( 5−1 ) 5−∗，
∴ × − +5 =1−
3 2 5
解得：∗=5，
故答案为：5．
15．据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一
位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到
了38个野果，则在第2根绳子上的打结数是 个．
6【答案】2
【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，本题是以古代“结绳计数”为背景，按满五进一计
数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算，设在第2根绳子上的打结数是x，根据满五进一
列出方程，然后求解即可得出答案．
【详解】解：设在第2根绳子上的打结数是x，
根据题意得：3+5x+1×5×5=38，
解得：x=2，
故答案为：2．
16．有两个三位数m=100a+10b+c和n=100d+10e+f (1≤a，b，c，d，e，f ≤9)，若m，n满足
a+4d+4e+4f
F(m,n)＝ 为整数时，则称m，n为最佳“搭档数”， p=467+110x，
b−c
q=200 y+z+37(0≤x≤3，0<y≤4，3<z≤9)，若p，q是最佳“搭档数”，且q的各个数位上的
数字之和能被12整除，则p=
【答案】467或687
【分析】本题考查不定方程整数解的求法，运用了分类讨论的思想，根据位值原则正确改写p和q是
本题解题的关键．
先根据q的数字之和能被12整除，求出y和z的值，然后将p和q根据位值原则改写，根据“搭档
数”的定义列出代数式，根据不定方程整数解的求法进行求解即可．
【详解】解：根据q的各个数位上的数字之和能被12整除，
可得：2y+z+3+7=2y+z+10能被12整除，
∵0<y≤4,3<z≤9，
∴3<2y+z≤17
∴13<2y+z+10≤27
∴2y+z+10=24即z=14−2y，
∴3<14−2y≤9
∴5≤2y<11
∴y=3或4，
7当y=3时，z=14−2×3=8，
当y=4时，z=14−2×4=6，
∵p=467+110x=100(4+x)+10(6+x)+7，
当y=3,z=8时，q=200 y+z+37=200×3+8+37=645，
根据“搭档数”定义可得：
4+x+4×(6+4+5) x+64 65
= =1+ 为整数，
6+x−7 x−1 x−1
∴x=2或0，
当y=4,z=6时，
根据“搭档数”定义可得：
4+x+4×(8+4+3) x+64 65
= =1+ 为整数，
6+x−7 x−1 x−1
∴x=2或0，
综上所述，x=2或0，
∴p=467或687．
故答案为：467或687．
三、解答题（本大题共7小题，共72分）
17．（8分）解方程：
(1)5(y+6)=9−3(1−3 y)
x+1 x 2x+1
(2) − =1−
3 2 4
【答案】(1)y=6
5
(2)x=
4
【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解答本题的关键：
（1）运用去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出y的值即可；
（2）运用去分母、去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出x的值即可；
【详解】（1）解：5(y+6)=9−3(1−3 y)，
5 y+30=9−3+9 y，
5 y−9 y=9−3−30，
−4 y=−24，
8解得，y=6；
x+1 x 2x+1
（2）解： − =1− ，
3 2 4
4(x+1)−6x=12−3(2x+1)，
4x+4−6x=12−6x−3，
4x+6x−6x=12−4−3，
4x=5，
5
解得，x=
4
18．（8分）阅读下面把无限循环小数化为分数的解答过程：
设x=0.3˙ =0.3333˙①，
则10x=3.3333˙②，
1 1
由②−①得9x=3，即x= 故0.3˙ = ．
3 3
根据上述提供的方法，把①0.7˙，②1.3˙化为分数．
7 4
【答案】①0.7˙ = ；②1.3˙ =
9 3
【分析】此题主要考查了无限循环小数和分数的转换，一元一次方程的解法．仿照题中给出的例子进
行运算即可求解．
【详解】解：设x=0.7˙ =0.777˙①，则10x=7.777˙②
则由②−①得：9x=7，
7
解得：x= ，
9
7
故0.7˙ = ；
9
设x=0.3˙ =0.333˙①，则10x=3.333˙②
则由②−①得：9x=3，
1
解得：x= ，
3
1
故0.3˙ = ；
3
1 4
故1.3˙ =1+0.3˙ =1+ = ．
3 3
19．（10分）定义一种新运算“ ”，其规则为x y=xy−x+ y．
例如：3 2=3×2−3+2=5△． △
△
9(1)计算4 5的值；
(2)若(2m △) 3=m 4 ， 求m的值；
(3)有理数的△加法和△乘法运算都满足交换律，即a+b=b+a，ab=ba．新运算“ ”是否满足交换律？
请说明理由． △
【答案】(1)21
(2)1
(3)不满足，理由见解析
【分析】此题考查了有理数的混合运算以及解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
（1）根据题中的新定义计算即可求解；
（2）已知等式利用题中的新定义可得关于m的一元一次方程，解方程即可；
（3）根据题中的新定义可知“△”运算不满足交换律，举例说明即可．
【详解】（1）解：4△5=4×5−4+5=21；
（2）解：(2m)△3=m△4，
故6m−2m+3=4m−m+4，
解得：m=1；
（3）解：“△”运算不满足交换律，举例如下：
2△3=2×3−2+3=7，3△2=3×2−3+2=5，故2△3≠3△2．
3 3 3 3
20．（10分）下列式子：4− =4× +1，7− =7× +1，…，具有a−b=ab+1的结构特征，我们把
5 5 4 4
满足这一特征的一对有理数称为“共生有理数对”，记作 ．例如：( 3)、( 3)都是“共生
(a,b) 4, 7,
5 4
有理数对”．
(1)判断( 1)是否为“共生有理数对”？并利用计算过程说明理由．
2,
3
(2)若(x,−2)是“共生有理数对”，求x的值；
(3)若(m,n)是“共生有理数对”，判断(−n,−m)是不是“共生有理数对”，并说明理由．
【答案】(1)( 1)是 “共生有理数对”，理由见解析
2,
3
101
(2)x=−
3
(3)(−n,−m)是 “共生有理数对”，理由见解析
【分析】本题主要查了一元一次方程的应用：
（1）根据“共生有理数对”的定义，即可求解；
（2）根据“共生有理数对”的定义，列出方程，即可求解；
（3）根据“共生有理数对”的定义，可得m−n=mn+1，再根据“共生有理数对”的定义，即可求
解．
【详解】（1）解：( 1)是 “共生有理数对”，理由如下：
2,
3
1 5 1
∵2− = =2× +1，
3 3 3
∴( 1)是 “共生有理数对”．
2,
3
（2）解：∵(x,−2)是“共生有理数对”，
∴x−(−2)=−2x+1，
1
解得：x=− ；
3
（3）解：(−n,−m)是 “共生有理数对”，理由如下：
∵(m,n)是“共生有理数对”，
∴m−n=mn+1，
∵−n−(−m)=m−n，(−n)×(−m)+1=mn+1，
∴−n−(−m)=(−n)×(−m)+1，
∴(−n,−m)是 “共生有理数对”．
21．（10分）红光水果加工厂收购了29吨雪梨．经市场预测，若直接销售，每吨可获利0.05万元；若经
过加工包装后销售，每吨可获利0.4万元；若制成雪梨罐头出售，每吨可获利0.6万元．该工厂的加工
能力是：每天可包装5吨或制成罐头3吨，受人员限制，同一天内两种加工方式不能同时进行，受气
温限制，这些雪梨必须在7天内全部销售或加工完毕，为此，工厂研制了二种方案：
方案一：尽可能多的做成罐头，余下的直接销售；
方案二：部分制成罐头，其余进行加工包装，并恰好7天完成．
(1)请比较说明哪种方案可使工厂所获利润最多？
11(2)水果加工厂欲将（1）问中获利最多方案制成的所有雪梨罐头由加工厂运到市场售卖，已知有甲、
乙两家运输公司都可以承担此次运输，要收取的费用如下表：
运输公
运输单价（元/吨・千米） 每吨装卸费（元）
司
甲 5 50
乙 6 30
经水果加工厂计算发现乙运输公司总费用比甲运输公司总费用多243元，求水果加工厂到市场的距离．
【答案】(1)方案二可使工厂所获利润最多；
(2)加工厂到市场的距离为47千米．
【分析】本题考查一元一次方程的运用，解题的关键在于根据题意得到等量关系．
（1）分别算出方案一和方案二所获利润，再进行比较即可解题；
（2）设加工厂到市场的距离为x千米，根据题意建立方程求解，即可解题．
【详解】（1）解：方案一：3×7×0.6+(29−3×7)×0.05=13（万元），
方案二：设x吨制成罐头，则(29−x)吨进行加工包装，
x 29−x
+ =7，
3 5
解得x=9，
获利：9×0.6+20×0.4=13.4（万元），
∵13.4>13，
∴方案二可使工厂所获利润最多；
（2）解：设加工厂到市场的距离为x千米，
5×9x+50×9+243=6×9x+30×9，
解得x=47，
答：加工厂到市场的距离为47千米．
22．（12分）徐州宣武批发市场内，某商品的价格按如下优惠：购买不超过300件时，每件3元；超过
300件但不超过500件时，每件2.5元；超过500件时，每件2元．某客户欲采购这种商品700件．
(1)现有两种购买方案：
分两次购买，第一次购买100件，第二次购买500件；
①一次性购买600件．按哪种方案购买更省钱？说明理由．
②(2)若该客户分两次购买该商品共700件（第一次购买不超过300件），共付费1860元，求第一次和第
二次分别购买该商品多少件？
12【答案】(1)购买方案 费用较省，理由见解析
(2)第一次购买该商品②220件，第二次购买该商品480件
【分析】本题考查一元一次方程的应用．能读懂题意，根据题中的费用计算方式，分情况讨论是解题
关键．
（1）依据费用计算方式，分别计算两种方案的费用，比较即可；
（2）设第一次购买该商品x件，则第二次购买该商品(700−x)件．
分当0<x<200时，当200≤x≤300时，两种情况讨论，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：购买方案②费用较省，理由如下：
购买方案①所需费用为3×100+2.5×500=1550（元），
购买方案②所需费用为2×600=1200（元）．
∵1550>1200，
∴购买方案②费用较省．
（2）设第一次购买该商品x件，则第二次购买该商品(700−x)件．
①当0<x<200时，3x+2(700−x)=1860，
解得：x=460，
∵460>200，
∴不合题意，舍去；
②200≤x≤300时，3x+2．5(700−x)=1860，
解得：x=220，
∴700−x=700−220=480．
答：第一次购买该商品220件，第二次购买该商品480件．
23．（14分）数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数
形结合的方法解决一些问题．
如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示−10，点B表
示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位
秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢
复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O
期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点P到达点C时，两点都停止运动．设运动的时
间为t秒，问：
13(1)t=3秒时，点P在“折线数轴”上所对应的数是__________；点P到点Q的距离是__________个单
位长度；
(2)动点Q从点C运动至A点需要__________秒；
(3)P，Q两点相遇时，t=__________秒；此时相遇点M在“折线数轴”上所对应的数是__________；
(4)如果动点P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等，请求出t的值．
【答案】(1)−4，15；
(2)23
31 16
(3) ，
3 3
(4)t 的值为 2，6.5，11 或 17．
【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用．
（1）当t=3秒时，可算出P、Q点运动路程，从而表示出P、Q点对应的数，
（2）分别计算出AO，OB，BC段的运动时间求和即可；
（3）因为P从A到O需要5秒，Q从C到B需要8秒，8秒时P点在OB段，那么可知相遇点M在
OB上，设OM=x，根据相遇时运动时间相等列方程求解；
（4）分情况讨论，①动点 Q 在 CB上，动点 P 在 AO上，②动点 Q 在 CB 上，动点 P 在 OB
上，③动点 Q 在 BO 上，动点 P 在 OB上，④动点 Q 在 OA 上，动点 P 在 BC上，再建立方
程求解即可．
【详解】（1）解：当t=3秒时，AP=3×2=6，CQ=3×1=3，
则P点对应的数为−10+6=−4，Q点对应的数为18−3=15；
（2）解：动点Q从点C运动至A点所需时间为：
18−10 10 10
t= + + =8+5+10=23（秒 )
1 2 1
（3）解：由题可知， P 、 Q 两点相遇在线段OB上于 M 处，设OM=x．
10 10−x
则 +x=8+ ，
2 2
16 16 31
解得 x= ．此时 t=5+ = ，
3 3 3
1416
M 所对应的数为 ；
3
（4）解：P 、 O 两点在数轴上相距的长度与 Q 、 B 两点在数轴上相距的长度相等有 4 种可能：
①动点 Q 在 CB上，动点 P 在 AO上，
则： 8−t=10−2t，
解得：t=2．
②动点 Q 在CB上，动点 P 在 OB上，
则： 8−t=(t−5)×1，
解得：t=6.5．
③动点 Q 在BO上，动点 P 在OB上，
则： 2(t−8)=(t−5)×1，
解得： t=11．
④动点 Q 在 OA上，动点 P 在BC 上，
则：2(t−15)=t−13，
解得：t=17．
综上所述： t 的值为 2，6.5，11 或 17．
15
