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第五章 一元一次方程（易错题归纳）
易错点一：方程的解
技巧点拨：方程的解，掌握代入计算法
1．小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师
告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
易错点二：等式的性质
技巧点拨：等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
2．下列等式变形错误的是（ ）
A．若a＝b，则
B．若a＝b，则3a＝3b
C．若a＝b，则ax＝bx
D．若a＝b，则
3．下列方程的变形，正确的是（ ）
A．由3+x＝5，得x＝5+3 B．由7x＝﹣4，得x＝
C．由 y＝0，得y＝2 D．由x+3＝﹣2，得x＝﹣2﹣3
4．下列利用等式的基本性质变形错误的是（ ）
A．如果x﹣3＝7，那么x＝7+3
B．如果 ＝ ，那么a＝﹣b
C．如果x+3＝y﹣4，那么x﹣y＝﹣4﹣3
D．如果﹣ x＝4，那么x＝﹣2
5．如图，天平中的物体a、b、c使天平处于平衡状态，则物体a与物体c的重量关系是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．2a＝3c B．4a＝9c C．a＝2c D．a＝c
易错点三：一元一次方程的定义
技巧点拨：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一
般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0），高于一次的项系数是0
6．若关于x的方程mxm﹣2﹣m+3＝0是一元一次方程，则这个方程的解是（ ）
A．x＝0 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝2
易错点四：解一元一次方程
技巧点拨：熟悉解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1
7．小明在解方程 去分母时，方程右边的﹣1没有乘3，因而求得的解为x＝2，则原方程
的解为（ ）
A．x＝0 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2
8．方程 去分母得（ ）
A．3（2x+3）﹣x＝2（9x﹣5）+6
B．3（2x+3）﹣6x＝2（9x﹣5）+1
C．3（2x+3）﹣x＝2（9x﹣5）+1
D．3（2x+3）﹣6x＝2（9x﹣5）+6
9．现定义运算“*”，对于任意有理数a与b，满足a*b＝ ，譬如5*3＝3×5﹣3＝12，
，若有理数x满足x*3＝12，则x的值为（ ）
A．4 B．5 C．21 D．5或21
10．在1+ + + + +…中，“…”代表按规律不断求和．设1+ + + + +…＝x，则有x＝
学科网（北京）股份有限公司1+ x，解得x＝2，故1+ + + + +…＝2．类似地1+ +…的结果是（ ）
A． B． C． D．2
11．解方程﹣2（x﹣1）﹣4（x﹣2）＝1，去括号的结果正确的是（ ）
A．﹣2x+2﹣4x﹣8＝1 B．﹣2x+1﹣4x+2＝1
C．﹣2x﹣2﹣4x﹣8＝1 D．﹣2x+2﹣4x+8＝1
12．已知关于x的方程2mx﹣6＝（m+2）x有正整数解，则整数m的值是 ．
13．解下列一元一次方程
（1）﹣3x+7＝4x+21；
（2） ﹣1＝ +x；
（3）9y﹣2（﹣y+4）＝3；
（4） ﹣ ＝ ．
14．王聪在解方程 去分母时，方程左边的﹣1没有乘3，因而求得方程的解为x＝2，你能
正确求出原先这个方程的解吗？
15．设x、y是任意两个有理数，规定x与y之间的一种运算“ ”为：若对任意有理数x、y，运算
⊕
“ ”满足x y＝y x，则称此运算具有交换律．x y＝
⊕ ⊕ ⊕ ⊕
（1）试求1 （﹣1）的值；
（2）试判断⊕该运算“ ”是否具有交换律，说明你的理由；
（3）若2 x＝0，求x⊕的值．
⊕
学科网（北京）股份有限公司16．用“ ”规定一种新运算：对于任意有理数 a 和 b，规定 a b＝ab2+2ab+a．如：1 3＝
1×32+2×1×⊗3+1＝16 ⊗ ⊗
（1）求3 （﹣1）的值；
（2）若（⊗a+1） 2＝36，求a的值；
⊗
（3）若m＝2 x，n＝（ x） 3（其中x为有理数），试比较m、n的大小．
⊗ ⊗
易错点五：同解方程
技巧点拨：解关于x的方程，根据同解的定义建立方程
17．已知关于x的方程：2（x﹣1）+1＝x与3（x+m）＝m﹣1有相同的解，求以y为未知数的方程
的解．
易错点六：由实际问题抽象出一元一次方程
技巧点拨：解题时首先正确理解题意，然后利用题目的数量关系列出方程．
18．有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1
人不能上车，有下列四个等式：①40m+10＝43m﹣1；② ；③ ；④40m+10
＝43m+1，其中正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
19．某工程要求按期完成，甲队单独完成需 40天，乙队单独完成需50天，现甲队单独做4天，后两队
合作，则正好按期完工．问该工程的工期是几天？设该工程的工期为x天．则方程为（ ）
A． B．
C． D．
学科网（北京）股份有限公司20．为了倡导居民节约用水，自来水公司规定：居民每户用水量在8立方米以内，每立方米收费0.8元；
超过规定用量的部分，每立方米收费1.2元．小明家12月份水费为18元，求小明家12月份的用水量，
设小明家12月份用水量为x立方米，根据题意，可列方程为 ．
易错点七：一元一次方程的应用
技巧点拨：解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题。
21．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，P点在AD边上以每秒1cm的速度从A向D运动，
点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从C点出发，在CB间往返运动，二点同时出发，待P点到达D点
为止，在这段时间内，线段PQ有（ ）次平行于AB．
A．1 B．2 C．3 D．4
22．一商家进行促销活动，某商品的优惠措施是“第二件商品半价”．现购买2件该商品，相当于这2
件商品共打了（ ）
A．5 折 B．5.5折 C．7折 D．7.5折
23．中百超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；（2）一次性购物超过
100元，但不超过300元一律9折；（3）一次性购物超过300元一律8折．王波两次购物分别付款80
元、252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款（ ）
A．288元 B．332元
C．288元或316元 D．332元或363元
24．有一个不完整圆柱形玻璃密封容器如图①，测得其底面半径为a，高为h，其内装蓝色液体若干．
若如图②放置时，测得液面高为 h；若如图3放置时，测得液面高为 h．则该玻璃密封容器的容积
（圆柱体容积＝底面积×高）是（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司25．如图是某月的日历，在此月历上可以用一个“十”字图出 5个数（如3，9，10，11，17）照此方法，
若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为38，则这5个数的和为（ ）
A．50 B．85 C．95 D．100
26．轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若船速为26千米/小时，水速为2
千米/时，则A港和B港相距 千米．
27．按下面的程序计算：
若开始输入的x值为正整数，最后输出的结果为556，则开始输入的x值为 ．
28．一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/小时，顺风飞行需2小时50分，逆风飞行需要3小时．
（1）求无风时飞机的飞行速度；
（2）求两城之间的距离．
29．A、B两地相距64千米，甲从A地出发，每小时行14千米，乙从B地出发，每小时行18千米．
（1）若两人同时出发相向而行，则需经过几小时两人相遇？
（2）若两人同时出发相向而行，则需几小时两人相距16千米？
（3）若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则几小时后乙超过甲10千米？
30．已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从
学科网（北京）股份有限公司点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数是 ；当点P运动到AB的中点时，它所表示的数是 ．
（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
31．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制作盒身15个或盒底42个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，
现有144张白铁皮，用多少张制作盒身，多少张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒？
32．汽车上坡时每小时走28km，下坡时每小时走35km，去时，下坡路的路程比上坡路的路程的2倍还
少14km，原路返回比去时多用了12分钟．求去时上、下坡路程各多少千米？
33．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市民“一户一表”生活用
水阶梯式计费价格表的部分信息：
自来水销售价格 污水处理价格
每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨
17吨及以下 a 0.90
超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.90
超过30吨的部分 6.00 0.90
（说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用+污水处理费）
已知小王家2018年7月用水16吨，交水费43.2元．8月份用水25吨，交水费75.5元．
学科网（北京）股份有限公司（1）求a、b的值；
（2）如果小王家9月份上交水费156.1元，则小王家这个月用水多少吨？
（3）小王家10月份忘记了去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水50吨，其中10月份用
水超过30吨，一共交水费215.8元，其中包含30元滞纳金，求小王家11月份用水多少吨？（滞纳金：
因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”）
34．某工厂现有15m3木料，准备制作各种尺寸的圆桌和方桌，如果用部分木料制作桌面，其余木料制作
桌腿．
（1）已知一张圆桌由一个桌面和一条桌腿组成，如果 1m3木料可制作40个桌面，或制作20条桌腿．
要使制作出的桌面、桌腿恰好配套，直接写出制作桌面的木料为多少m3．
（2）已知一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成．根据所给条件，解答下列问题：
①如果1m3木料可制作50个桌面，或制作300条桌腿，应怎样计划用料才能使做好的桌面和桌腿恰好
配套？
②如果3m3木料可制作20个桌面，或制作320条桌腿，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？
35．从2004年8月1日起，浙江省城乡居民生活用电执行新的电价政策，小聪家今年安装了新的电表，
他了解到安装”一户一表”的居民用户，按用抄见电量（每家用户电表所表示的用电量）实行阶梯式累
进加价，其中低于50千瓦时（含50千瓦时）部分电价不调整；51﹣200千瓦时部分每千瓦时电价上调
0.03元；超过200千瓦时的部分每千瓦时电价再上调0.10元．已知调整前电价统一为每千瓦时0.53元．
（1）若小聪家10月份的用电量为130千瓦时，则10月份小聪家应付电费多少元？
（2）已知小聪家10月份的用电量为m千瓦时，请完成下列填空：
①若m≤50千瓦时，则10月份小聪家应付电费为 元；
②若50＜m≤200千瓦时，则10月份小聪家应付电费为 元；
③若m＞200千瓦时，则10月份小聪家应付电费为 元．
（3）若10月份小聪家应付电费为96.50元，则10月份小聪家的用电量是多少千瓦时？
学科网（北京）股份有限公司36．数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合
的方法解决一些问题．
如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点 A表示﹣10，点B表
示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒
的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原
速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速
度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点 P到达点C时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒．
问：
（1）t＝2秒时，点P在“折线数轴”上所对应的数是 ；点P到点Q的距离是 个单位长度；
（2）动点P从点A运动至C点需要 秒；
（3）P、Q两点相遇时，t＝ 秒；此时相遇点M在“折线数轴”上所对应的数是 ；
（4）如果动点P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等，直接写出 t 的
值．
37．某市两超市在元旦期间分别推出如下促销方式：
甲超市：全场均按八八折优惠；
乙超市：购物不超过300元，不给与优惠；超过300元而不超过600元一律打九折；超过600元时，其
学科网（北京）股份有限公司中的600元优惠10%，超过的部分打八折；已知两家超市相同商品的标价都一样．
（1）当一次性购物总额是500元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？
（2）当购物总额是多少时，甲、乙两家超市实付款相同？
（3）某顾客购物总额相同，其在乙超市实付款584元，问其在甲超市需实付款多少元？
38．如图，已知数轴上两点A，B表示的数分别为﹣2，6，用符号“AB”来表示点A和点B之间的距离．
（1）求AB的值；
（2）若在数轴上存在一点C，使AC＝3BC，求点C表示的数；
（3）在（2）的条件下，点C位于A、B两点之间．点A以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动，
2秒后点C以2个单位/秒的速度也沿着数轴的正方向运动，到达B点处立刻返回沿着数轴的负方向运动，
直到点A到达点B，两个点同时停止运动．设点A运动的时间为t，在此过程中存在t使得AC＝3BC仍
成立，求t的值．
39．工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元，按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价
降低35元销售该工艺品12件所获利润相等，求该工艺品每件的进价、标价分别是多少元．
40．如图，射线OM上有A、B、C三点，满足OA＝40cm，AB＝30cm，BC＝20cm．点P从点O出发，
沿OM方向以2cm/秒的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动，两点同时出发，
当点Q运动到点O时，点P，Q停止运动．
（1）当点P与点Q都同时运动到线段AB的中点时，求点Q的运动速度；
（2）当PA＝2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，求点Q的运动速度；
学科网（北京）股份有限公司（3）自点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F，求 的值．
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