文档内容
第五章 一元一次方程的应用压轴训练
01 压轴总结
目录
压轴题型一 一元一次方程解决配套问题................................................................................................................1
压轴题型二 一元一次方程解决工程问题................................................................................................................7
压轴题型三 一元一次方程解决销售问题..............................................................................................................12
压轴题型四 一元一次方程解决积分问题..............................................................................................................19
压轴题型五 一元一次方程解决方案问题..............................................................................................................22
压轴题型六 一元一次方程解决电费和水费问题..................................................................................................26
压轴题型七 一元一次方程解决数轴上的动点问题..............................................................................................30
02 压轴题型
压轴题型一 一元一次方程解决配套问题
例题：（23-24七年级上·四川成都·期末）列方程解应用题：某工厂现有 木料，准备制作各种尺寸的方
桌与凳子．如果 木料可制作40个方桌或制作80个凳子．A类型套桌由一个方桌和四个凳子组成，每套
售价2000元，B类型套桌由一个方桌和八个凳子组成，每套售价3500元．
(1)若用全部木料生产A类型套桌，且桌子、凳子恰好配套，问全部卖出可以卖多少钱？
(2)若用全部木料生产A、B两种类型套桌，且桌子、凳子恰好配套，全部卖出，卖了824000元．问制作了
多少套A类型套桌？
巩固训练
1．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）某家具厂现有10立方米木材，准备用来制作方桌，其中用部分木材
制作桌面，其余木材制作桌腿．已知制作一张方桌需要1张桌面和4条桌腿，1立方米木材可制作50张桌
面或300条桌腿，要使制作出的桌面、桌腿恰好配套．
(1)求制作桌面的木材和制作桌腿的木材分别为多少立方米？
(2)若该家具厂的木材进货价为每立方米1500元，制成方桌后（边角废料忽略不计），每张方桌的售价为150元，则该家具厂制作的这批方桌全部售出后共获利多少元？
2．（23-24七年级上·山东滨州·期末）某家具厂专业生产学生座椅，其中每把学生座椅由4条椅腿、4根撑
杆、2个扶手、1个椅面和1个靠背组成．根据实际生产能力，每个工人每天能够生产椅腿20条，或撑杆
40根，或扶手30个，或椅面30个，或靠背30个．
(1)若安排35名工人专门生产椅腿和椅面，那么应该安排多少人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿和椅
面正好配套？
(2)若安排全厂91名工人生产这种学生座椅，那么应该安排多少人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿、
撑杆、扶手、椅面和靠背正好配套？
3．（23-24七年级上·湖北孝感·阶段练习）某中学将举行“歌唱祖国”主题歌咏比赛，七年级需要在文具
店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具．已知每袋贴纸有50张，每袋小红旗有20面，贴纸和
小红旗需整袋购买，两家文具店的标价相同，每袋贴纸价格比每袋小红旗价格少5元，且4袋贴纸与3袋
小红旗价格相同．
(1)求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元？
(2)如果购买贴纸和小红旗共90袋，给每位演出学生分发国旗图案贴纸2张、小红旗1面，恰好全部分完，
请问贴纸和小红旗各多少袋？
4．（22-23七年级上·山东滨州·期末）某工厂车间有60个工人生产A零件和B零件，每人每天可生产A零
件15个或B零件20个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件
和B零件恰好配套．工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利10元，每个B零件可获利5元．
(1)求该工厂有多少工人生产A零件？
(2)因市场需求，该工厂每天要多生产出一部分A零件供商场零售使用，现从生产B零件的工人中调出多少
名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利比调动前多600元？
5．（23-24七年级上·山东日照·期末）某工厂车间有38名工人生产 零件和 零件，每人每天可生产 零件12个或 零件14个（每人每天只能生产一种零件），1个 零件和2个 零件配成一套，每天生产的
零件和 零件恰好配套．工厂将零件批发给商场时，每个 零件可获利18元，每个 零件可获利13元．
(1)工厂每天应分别安排多少名工人生产 两种零件？
(2)因市场需求，该工厂调整生产方案，每天除生产一定数量的配套零件外，还需额外生产若干数量的 零
件供商场单独销售，现从每天生产 零件的工人中调出部分工人生产 零件，工厂每日生产零件的总获利
比调动前增加了170元．则工厂从每天生产 零件的工人中调出多少名工人生产 零件？
压轴题型二 一元一次方程解决工程问题
例题：（2024·山西·模拟预测） 年 月 日，“世界水日”、“中国水周”山西省宣传活动在太原启
动，本 次活动，旨在调动全社会各方力量团结治水兴水，吸引并推动社会公众关心支持水利事业为贯彻
落实本次活动精神，太原市现计划修一条水渠便于引水用水．已知，甲工程队活单独修需 天完成，乙工
程队单独完成需要的天数比甲工程队单独完成天数的 多少 天．
(1)乙工程队单独完成需要多少天？
(2)若甲先单独修 天，之后甲乙合作修完这条水渠，求甲乙还需合作几天才能修完这条水渠？
巩固训练
1．（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）哈佳高铁建设工程中，有一路段由甲、乙两个工程队负责完成．
甲工程队单独完成此项工程需 天，比乙工程队单独完成此项工程多用 天，若甲先施工 天，再由甲、
乙合作完成剩余工程．
(1)甲、乙还需要合作多少天完成？
(2)如果甲工程队每天需工程费 元，乙工程队每天需工程费 元，若甲队先单独工作若干天再由乙工
程队完成剩余的任务，支付工程队总费用 元，求甲队工作的天数．
2．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）某学校准备请甲、乙两人搬运一批图书，已知甲单独运完需要
10天，乙单独运完需要20天．甲先搬运了4天，然后甲、乙两人合作运完剩下的图书．(1)甲、乙两人合作还需要多少天运完图书？
(2)已知甲每天的薪酬比乙多50元，运完图书后学校共需支付薪酬2800元．则甲、乙两人每天的薪酬分别
为多少元？
3．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知甲工程队每天的挖
掘长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍，若甲、乙两工程队一起挖掘200米长度的隧道时，共用时间4
天．
(1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米？
(2)已知该段隧道挖掘工程为600米，甲工程队每天的挖掘费用为6万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万
元．若安排甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好102万元，求
甲工程队应先单独挖掘多少天？
4．（23-24六年级上·山东烟台·期末）为打造安全环保的某河流公园，某市设立若干河流排污治理点（每
个治理点需安装相同长度的排污治理管道）．一天，甲队3名工人去完成5个治理点的管道铺设，但还有
60米管道没有完成；同一天，乙队4名工人完成5个治理点的管道铺设后，仍多铺设了40米管道．已知每
名甲队工人比每名乙队工人每天多铺设20米管道．
(1)求每个排污治理点需铺设的管道长度；
(2)已知每名甲队工人每天需支付费用500元，每名乙队工人每天需支付400元，该市某处共设立27个排污
治理点，现有甲队3名工人，乙队4名工人来安装管道，方案一：全部由甲队安装；方案二：全部由乙队
安装；（不到一天需按一天费用算）．请通过计算说明选择哪种方案可使总费用最少？
5．（23-24七年级上·四川成都·期末）学校计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，
已知甲工厂每天能加工这种校服80件，且乙工厂每天加工这种校服的件数比甲工厂每天加工这种校服的件数多 ．
(1)若甲单独加工这批校服比乙工厂单独加工这批校服多用20天，求这批校服共有多少件？
(2)在（1）的条件下，若先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，乙工厂提高加工
速度后继续完成剩余部分，乙工厂的全部工作时间是甲工厂全部工作时间的3倍还少8天，若在加工过程
中，甲工厂每天所需费用400元，乙工厂每天所需费用500元，学校共需支付甲乙两工厂18800元，求乙
工厂提高加工速度后每天加工这种校服多少件？
压轴题型三 一元一次方程解决销售问题
例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）红光水果加工厂收购了29吨雪梨．经市场预测，若直
接销售，每吨可获利0.05万元；若经过加工包装后销售，每吨可获利0.4万元；若制成雪梨罐头出售，每
吨可获利0.6万元．该工厂的加工能力是：每天可包装5吨或制成罐头3吨，受人员限制，同一天内两种
加工方式不能同时进行，受气温限制，这些雪梨必须在7天内全部销售或加工完毕，为此，工厂研制了二
种方案：
方案一：尽可能多的做成罐头，余下的直接销售；
方案二：部分制成罐头，其余进行加工包装，并恰好7天完成．
(1)请比较说明哪种方案可使工厂所获利润最多？
(2)水果加工厂欲将（1）问中获利最多方案制成的所有雪梨罐头由加工厂运到市场售卖，已知有甲、乙两
家运输公司都可以承担此次运输，要收取的费用如下表：
运输公
运输单价（元/吨・千米） 每吨装卸费（元）
司
甲 5 50
乙 6 30
经水果加工厂计算发现乙运输公司总费用比甲运输公司总费用多243元，求水果加工厂到市场的距离．
巩固训练1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某商场准备订购一批衬衫，现有甲、乙两个供应商，均标
价每件 元．为了促销，甲说“凡来我处进货一律九折．”乙说：“如果订货超出 件，则超出的部分
打八折．”
(1)设该商场准备订购 件服衬衫 ，请用含x的整式表示在甲供应商所需支付的钱数为（_______）
元，在乙供应商所需支付的钱数为（_______）元（结果化为最简形式）．
(2)当 的值为多少时，去两个供应商处的进货价钱一样多？
(3)已知该商场第一次从甲供应商处购进了 件补衫，每件加价 进行零售，迅速销售一空．于是，该
商场第二次从乙供应商处购进衬衫，购进的数量是第一次从甲供应商购进数量的 倍，并比第一次销售
价格高 元进行销售，但市场趋于饱和，所以在销售剩余五分之三时开始打折销售，且第二次全部售出后
获得的总利润比第一次获得的总利润多 元，求第二次销售剩余五分之三时需打几折销售．
2．（23-24七年级下·山东临沂·开学考试）为迎接2024年新年的到来，甲、乙两校联合准备文艺汇演，甲、
乙两校参加文艺汇演的人数共92人（其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够90人）准备统一购买
服装（一人买一套）参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表：
购买服装的套
1套至45套 46套至90套 91套及以上
数
每套服装的价
60元 50元 40元
格
如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5000元，
(1)求甲、乙两校名有多少名学生准备参加演出？
(2)如果甲校准备演出的人员中有9人被抽调去为市民义务书写对联不能参加演出，那么你有几种购买服装
的方案？通过比较，你认为如何购买服装才能最省钱？
3．（23-24七年级下·重庆·开学考试）列一元一次方程解实际问题：重庆某水果超市销售沃柑和纽荷尔两
种柑橘类水果，该超市第一次用6300元购进沃柑和纽荷尔两种水果，其中纽荷尔的件数比沃柑件数的一半
还多25件．沃柑和纽荷尔两种水果的进价和售价如下表：
类别 沃柑 纽荷尔进价（元/件） 22 30
售价（元/件） 29 40
(1)该超市购进沃柑和纽荷尔两种水果各多少件？当这次购进的水果全部销售后，共获利多少元？
(2)该超市第二次购进沃柑和纽荷尔两种水果的进价与第一次相同，其中沃柑的件数不变，纽荷尔的件数是
第一次的3倍，沃柑按原价销售，纽荷尔打折销售，第二次购进的两种水果都销售完所获得的总利润比第
一次获得的总利润多800元，求第二次纽荷尔是按原价打几折销售．
4．（23-24七年级上·河南郑州·期末）元旦期间，某运动品牌服装店推出两种优惠活动，并规定一次结账
只能选择其中一种．
活动一：所购商品按原价打八折；
活动二：所购商品按原价每满200元减60元．（如：所购商品原价为200元，可减60元，需付款140元；
所购商品原价为450元，可减120元，需付款330元）
(1)购买一件原价为350元的服装时，选择哪种活动更合算？请说明理由；
(2)购买一件原价在400元以下的服装时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求这件服装的原价；
(3)小王准备买一件标价460元的上衣和标价320元的运动鞋，请你设计最优惠的付款方法，并求出最优惠
的付款金额．
5．（23-24七年级下·重庆九龙坡·开学考试）某商场用 元同时购进 两种新型节能日光灯共 盏，
型日光灯每盏进价为 元， 型日光灯每盏进价为 元．
(1)求 两种新型节能日光灯各购进多少盏？
(2)由于 型日光灯的需求量增大，商场为了节省采购成本决定直接找厂家再购进一些 型日光灯．已知
型日光灯的出厂价为每盏 元，厂家给出了如下优惠措施：
出厂总金额 返现金
不超过 元 元超过 元，但不超过 元 返现 元
超过 元 返现 元
已知该商场第一次在厂家加购 型日光灯支付 元，第二次在厂家加购 型日光灯支付 元，若将两
次购买改由一次性购买，则一次性购买时支付的总金额比两次分开购买时支付的总金额少多少元？
压轴题型四 一元一次方程解决积分问题
例题：（2023上·江西新余·七年级统考期末）12月4日为全国法制宣传日，当天某初中组织4名学生参加
法制知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了其中2名参赛学生的得分情况．
答错题
参赛者 答对题数 得分
数
20 0 100
17 3 79
(1)从表中可以看出，答对一题得______分，答错一题得______分；
(2)参赛学生 得了58分，他答对了几道题？答错了几道题？
巩固训练
1．（2024上·福建福州·七年级统考期末）某电视台组织知识竞赛，共设20道题选择题，各题分值相同，
每题必答．下表记录了5个参赛者的得分情况．
答错题
参赛者 答对题数 得分
数
A 20 0 100
B 19 1 94
C 18 2 88
D 14 6 64
E 10 10 40
根据以上信息，请你算出：
(1)填空：答对一题得______分，答错一题扣______分；(2)参赛者F得76分，他答对了几题？
(3)参赛者G说他得了36分，你认为可能吗？试说明理由．
2．（2023上·山西太原·七年级统考期末）阳光体育季，赛场展风采．七年级组织迎新拔河比赛，每班代表
队都需比赛10场，如图是此次拔河比赛积分榜的部分信息，请解决下列问题：
(1)由积分榜可知，胜一场得__________分，负一场得__________分；
(2)已知积分榜中4班的积分是24分，求4班胜了几场比赛．
压轴题型五 一元一次方程解决方案问题
例题：（2024上·湖南邵阳·七年级统考期末）为准备春节文艺汇演，甲、乙两所学校共92名学生（其中甲
校学生多于乙校学生，且甲校学生不够90名）准备统一购买服装参加演出，下面是服装厂给出的演出服装
的价格表：
购买服装的套
1套至45套 46至90套 由91套及以上
数
每套服装的价
60元 50元 40元
格
如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5000元．
(1)甲、乙两校各有多少名学生准备参加演出？
(2)如果两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？(3)如果甲校有6名学生被调去参加书法比赛不能参加演出，请你为两校设计购买服装方案，并说明哪一种
最省钱．
巩固训练
1．（2024上·浙江宁波·七年级统考期末）一家电信公司推出两种移动电话计费方法：计费方法A是每月收
月租费58元，通话时间不超过150分钟的部分免费，超过150分的按每分钟0.25元加收通话费；计费方式
B是每月收月租费88元，通话时间不超过350分钟的部分免费，超过350分的按每分钟0.20元收通话费．
(1)若朵朵爸爸采用计费方法A一个月累计通话362分钟，求朵朵爸爸这个月所需的移动电话费用是多少？
(2)在（1）条件下所需的费用，若朵朵爸爸改用计费方法B，则比计费方法A多通话多少分钟？
2．（2024上·宁夏吴忠·七年级统考期末）“书籍是人类进步的阶梯”，自开展全区读书宣传活动以来，某
图书出租店为此开设两种租书方式．方式一：零星租书，每本收费 元；方式二：会员卡租书，会员每
月交会员费6元，租书费每本 元．小李同学经常来该店为自己和本班同学租书，若小李同学每月租书
数量为x本．
(1)分别写出两种租书方式下，小李同学每月应付的租书金额（用含x的式子表示）；
(2)若小李同学在一月内为班级租20本书，试问选用哪种租书方式合算？
(3)小李同学每月如何根据租书需求灵活选择省钱的租书方式？请通过计算验证你的看法．
3．（2024上·甘肃酒泉·七年级统考期末）合肥庐阳区实验学校七（6）班为迎接学校秋季运动会计划购买
30支签字笔，若干本笔记本（笔记本数量超过签字笔数量），用来奖励运动会中表现出色的运动员和志愿
者，甲、乙两家文具店的标价都是签字笔8元/支、笔记本2元/本，甲店的优惠方式是签字笔打九折，笔记
本打八折；乙店的优惠方式是每买5支签字笔送1本笔记本，签字笔不打折，购买的笔记本打七五折．
(1)请用含x的代数式分别表示学校在甲、乙两家店购物所付的费用；
(2)如果购买笔记本数量为60本，并且只在一家店购买的话，请通过计算说明，到哪家店购买更合算？
(3)若都在同一家店购买签字笔和笔记本，试问购买笔记本数量是多少时，两家店的费用一样？压轴题型六 一元一次方程解决电费和水费问题
例题：（2023上·广东深圳·七年级红岭中学校联考期末）为节约用水，某市规定四口之家每月标准用水量
为15立方米，超过部分加价收费，假设不超过部分水费为 元/立方米，超过部分水费为3元/立方米．
(1)如果小明家6月份用水20立方米，则应缴水费多少元？
(2)如果小明家某月的用水为m 立方米 ，那么这个月应缴水费多少元？（用含m 的代数式表示）
(3)如果小明家某月的应缴水费 元，，那么这个月用水为多少立方米？
巩固训练
1．（2023上·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控
手段达到节水的目的．该市自来水收费价格如表：
每月用水量 单价（元/立方米）
不超过22立方米的部分
超过22立方米的部分
(1)某用户4月份用水10立方米，共交费24元，求 的值；
(2)在（1）的前提下，该用户5月份交水费78元，请问该用户5月份用水多少立方米？
2．（2023上·河南商丘·七年级校联考阶段练习）某公司推出两种流量计费业务（语音版均不含赠送流量）：
若张明一个月使用流量 MB，则：
项目 计费方
月使用费（元） 流量计费（元/MB）
式
甲种 0
乙种 18
(1)按照甲种计费方式，共需______元；按照乙种计费方式，共需______元（均用含 的式子表示）．
(2)当两种计费方式相等时，求 ．(3)当每月使用流量超过400MB时，选择______（填“甲”或“乙”）种计费方式更省钱．
3．（2023上·湖南娄底·七年级统考阶段练习）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表：
档次 月用电量 电价（元/度）
第1档 不超过240度的部分
第2档 超过240度但不超过400度的部分
第3档 超过400度的部分
已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元.
(1)表中 的值为________；
(2)求老李家9月份的用电量；
(3)若8月份老李家用电的平均电价为 元/度，求老李家8月份的用电量.
压轴题型七 一元一次方程解决数轴上的动点问题
例题：（2024上·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，点A，B在数轴上表示的数分别为 与4 ，若数轴上
A，B两点之间存在点 C，使得 ．
(1)点C所表示的数为________．
(2)动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时，动点Q从点B出发，以每秒1个单位
长度的速度向右运动，假设运动时间为t秒，当 时，求t的值．
巩固训练
1．（2023上·陕西西安·七年级统考期末）如图，A，B是数轴上的两个点（B在A的右侧），点 为原点，点A表示的数为 ，且 ．
(1)若点C为数轴上一动点，当 时，求点C表示的数．
(2)动点P，Q分别从点B和点A同时出发向左匀速运动，点P，Q的速度分别为每秒3个单位长度和每秒1
个单位长度，设运动时间为t秒，点M为P，Q的中点，试探究点P，Q运动过程中，且点M在原点右边
时， 的值是否会发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由．
2．（2024上·安徽芜湖·七年级统考期末）【新知理解】
如图①，点C在线段 上，图中共有三条线段 、 和 ，若其中有一条线段的长度是另外一条线
段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．
（1）线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）．
（2）若 ，点C是线段 的“巧点”，则 ______ ；
【解决问题】
（3）如图②，已知 ．动点P从点A出发，以 的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B
出发，以 的速度沿 向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设
移动的时间为ts．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”？并
说明理由．
3．（2024上·浙江·七年级专题练习）已知A，B两点在数轴上对应的有理数分别为a，b，且a，b满足：
．(1)则 ___________， ___________；
(2)定义：若点M为数轴上A，B两点之间一点，且到A，B两点的距离满足：其中一个距离是另一个距离
的2倍，则称M为A，B两点的“友好点”．
①求A，B两点的“友好点”M在数轴上对应的有理数；
②点P以每秒4个单位长度的速度从点A出发，沿数轴向右运动，同时点Q以每秒1个单位长度的速度从
点B出发，沿数轴向右运动，当点P、Q相遇则停止运动．设运动时间为t秒，若整个运动过程中，B，
P，Q三点中有一点是另两点的“友好点”，求t值．
4．（2024上·湖北襄阳·七年级统考期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将
数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则
A，B两点之间的距离 ，线段AB的中点表示的数为 ．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为 ，点B表示的数为7，点P从点A出发，以每秒2个单位长
度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动．
设运动时间为t秒 ．
【综合运用】
(1)填空：
①A、B两点间的距离 ______，线段 的中点表示的数为______；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为______；点Q表示的数为______．
(2)求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
(3)求当t为何值时， ；
(4)若点M为 的中点，点N为 的中点，点P在运动过程中，线段 的长度是否发生变化？若变化，
请说明理由；若不变，请求出线段 的长．
