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第五章 一元一次方程
5.6 应用一元一次方程--追赶小明
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2022·全国·七年级专题练习）一辆货轮往返于上下两个码头，逆流而上需用38小时，顺流而下需用
32小时，若水流速度为8千米/时，则下列求两码头距离 的方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据顺水速度－水流速度=静水速度，逆水速度+水流速度=静水速度，列出方程即可．
【详解】解：设两码头距离x，根据题意得出：
，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握静水速度与逆水速度和顺水速度以
及与水速之间的关系．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级阶段练习）一个两位数，个位数字与十位数字的和为
9，如果将个位数字与十位数字对调后所得新数比原数小9，则原两位数是（ ）
A．45 B．27 C．72 D．54
【答案】D
【分析】此题应先设个位数字为 ，十位数字为 ，再由“将个位数字与十位数字对调后所得的新数比
原数小9”得 ，即算出原来的两位数．
【详解】解：设个位数字为 ，十位数字为 ，
由题意得， ，
解得： ．
则原来的两位数为 ，
故选：D．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解决此类题的关键．
3．（2022·昆明市官渡区云南大学附属中学星耀学校七年级期中）古代名著《算学启蒙》中有一题：良马
日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之?意思是：跑得快的马每
天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，
则由题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设快马x天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建立方程即可．
【详解】解：设快马x天可以追上慢马，
据题题意：240x=150x+12×150，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关
键．
4．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）我国古代的 洛书 中记载了最早的三阶幻方 九宫图．在
如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等列出方程，即可求解．
【详解】解：设幻方正中间的数字为 ，
依题意得： ，
解得： ．
故选A．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．
5．（2020·四川广元·七年级期末）甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每
秒跑6米，甲每秒跑8米．如果甲在乙前面8米处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇（ ）A．208秒 B．204秒 C．200秒 D．196秒
【答案】D
【分析】设经过y秒，甲乙两人首次相遇，根据甲比乙多走(400-8)米，可以列出方程，解方程即可．
【详解】解：设经过y秒，甲乙两人首次相遇，
依据题意得：8y-6y=400-8，
解得：y=196，
故选D．
【点睛】本题考查一元一次方程应用题-环形跑道问题，解题的关键是掌握环形跑道问题的等量关系，同时
注意审题，相遇问题要找路程和，追及问题要找路程差．
6．（2021·辽宁·抚顺市实验中学七年级期中）我国明代著名数学家程大位的《增删算法统宗》记载“绳索
量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现
有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．
设竿长为x尺，根据题意列一元一次方程，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设杆子为x尺，则绳索为（x+5）尺，根据将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，即可得出关
于x一元一次方程．
【详解】解：设杆子为x尺，则绳索为（x+5）尺，
根据题意得： ，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．
二、填空题
7．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级阶段练习）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大2，且
十位上的数与个位上的数之和为6，则这个两位数是__________．
【答案】24
【分析】设十位上的数字为x，则各位上的数字为（x+2），列出一元一次方程，即可求解．
【详解】解：设十位上的数字为x，则各位上的数字为（x+2），由题意得： ，
解得： ，
十位上的数字为： ，
∴这个两位数是：24．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据等量关系，列出方程，是关键．
8．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级阶段练习） 两地相距450千米，甲、乙两车分别从
两地同时出发，相向而行．甲车速度120千米/时，乙车速度为105千米/时，经过_____小时两车相遇．
【答案】2
【分析】根据两车相向而行的等量关系，列出方程得出两车相遇的时间即可．
【详解】解：设经过x小时两车相遇，可得：
，
解得： ．
故答案为：2
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键史以路程作为等量关系列方程求解．
9．（2022·福建·厦门双十中学七年级期中）两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两
船在静水中的速度都是30千米/时，3小时后甲船能比乙船多航行60千米，设水流速度是x千米/时，则可
列方程__________．
【答案】
【分析】分别求出甲、乙两人3小时行驶的路程，再根据3小时后甲船能比乙船多航行60千米列出方程即
可．
【详解】解：由题意得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意找到等量关系式解题的关键．
10．（2022·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校七年级阶段练习）甲、乙两人登一座山，甲每分钟登高10米，
并且先出发30分钟，乙每分钟登高15米，两人同时登上山顶，则这座山高_________米．
【答案】900
【分析】设这座山高x米，根据时间=路程÷速度结合两人同时到达列出方程求解即可．
【详解】解：设这座山高x米，由题意，得 ，
解得 ，
∴这座山高900米．
故答案为：900．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确设出未知数找到等量关系列出方程求解是解题的关键．
三、解答题
11．（2022·河南·南阳市第四完全学校七年级阶段练习）一段河道治理任务由A，B两个工程队完成.A工程
队单独治理该河道需16天完成，B工程队单独治理该河道需24天完成，现在A工程队单独做6天后，B工
程队加入合作完成剩下的工程，问B工程队工作了多少天？
【答案】6天
【分析】首先设B工程队工作了x天，则A工程队工作了 天，根据题意可得等量关系：A的工作效率
×工作时间+B的工作效率×工作时间=1，根据等量关系列出方程，再解即可．
【详解】设B工程队工作了x天，由题意得： ，
解这个方程得：
答：B工程队工作了6天．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知
数，列出方程．
12．（2022·湖南·平江县龙门镇龙门中学七年级期中）小明和小刚从学校出发，去敬老院送水果．小明带
着东西先走2.5分钟后，小刚才出发．若小明每分钟行80米，小刚每分钟行120米，
(1)设小刚出发经过x分钟后，小刚走了__________米，小明走了__________米，（用含有x的代数式表
示）
(2)则小刚用几分钟可以追上小明？
【答案】(1) ，
(2)小刚用5分钟可以追上小明．
【分析】（1）根据路程 速度 时间可解决问题；
（2）设小刚x分钟可以追上小明，根据路程 速度×时间即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出
结论．【详解】（1）解：小刚出发经过x分钟后，小刚走了 米，小明走了 米，
故答案为： ， ；
（2）解：设小刚用x分钟可以追上小明，
根据题意得： ，
解得： ．
答：小刚用5分钟可以追上小明．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系路程 速度 时间列出关于x的一元一次方程是解
题的关键．
提升篇
一、填空题
1．（2022·重庆市江北巴川量子学校七年级期中） 、B两地相距215千米，甲骑自行车从 地去 地，乙
开汽车从 地去 地，若汽车的速度是自行车速度的4倍，若2小时后两车相距25千米，则自行车的速度
为_________千米/时．
【答案】19或24
【分析】设自行车的速度为x千米/时，分两种情况：①相遇前，距离25千米②相遇后，距离25千米，再
利用两车速度和×时间t=路程列出方程，再算出x的值即可．
【详解】解：设自行车的速度为x千米/时，
①相遇前，两车相距25千米，由题意得：
，
解得： ，
②相遇后，两车相距25千米，由题意得：
，
解得： ，
故答案为：19或24
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校阶段练习）甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，当甲
走出42千米时，乙恰好走完了A、B两地之间距离的 ，此时两人相距12千米，则A、B两地之间距离为___________千米．
【答案】45或81
【分析】需要分类讨论：相遇前相距12千米和相遇后相距12千米．
【详解】解：设 、 两地之间距离为 千米，依题意得：
当相遇后两人相距12千米时，则有 ，
解得 ．
当相遇前两人相距12千米时，则 ，
解得 ．
综上所述， 、 两地之间距离为45或81千米．
故答案是：45或81．
【点睛】考查了一元一次方程的应用．关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
3．（2022·河南·潢川县第二中学七年级期末）一列匀速行驶的火车，从它进入一条320米长的隧道到完全
通过隧道用18秒钟．隧道顶部一盏固定的灯光在火车照了10秒钟，求火车长度多少？设火车长x米，可
列方程 _____．
【答案】
【分析】设这列火车的长为x米，根据题意表示出火车的速度： 米/秒，或者是 米/秒，根据速度
的相等关系列出方程，解方程即可．
【详解】解：设这列火车的长为x米，根据题意得：
，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是弄懂题意，表示出火车的速度．
4．（2022·全国·七年级课时练习）小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000m的学校上学．一天，小明
以80m/min的速度出发，5min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书．于是，爸爸立即以180m/min的速度
去追赶小明，并且在途中追上了他．则爸爸追上小明用了___________min．
【答案】4
【分析】设小明爸爸追上小明用了x min，根据速度差×时间＝路程差，列出方程求解即可．
【详解】解：设爸爸追上小明用了x min，依题意有（180−80）x＝80×5，
解得x＝4．
即：爸爸追上小明用了4min长时间．
故答案是：4．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合
适的等量关系列出方程，再求解．
5．（2022·四川广元·七年级期末）已知某铁路桥长1600米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始
上桥到完全过桥共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是70秒．则这列火车长______米．
【答案】200
【分析】设这列火车的长为x米，利用速度＝路程÷时间，结合火车的速度不变，即可得出关于x的一元一
次方程，此题得解．
【详解】解：设这列火车的长为x米，
根据题意得， ，
解得 ，
∴这列火车的长为200米．
故答案为：200
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关
键．
二、解答题
6．（2022·湖北·宜昌市东山中学七年级期中）两船从B港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两
船在静水中的速度都是50千米/时，水流速度是 千米/时．
(1)4小时后两船相距多远？
(2)若甲船由B港到A港用了4小时36分钟，再立即由A港返回B港时，共花10小时，试求水流速度a．
【答案】(1)4小时后两船相距 千米
(2)水流速度a为 千米/时
【分析】（1）反向出发，两船相距的路程为：甲路程 乙路程 顺水速度 逆水速度
；
（2）根据来回的路程相等列出方程求解即可．【详解】（1）解：4小时后两船的距离为： 千米，
答：4小时后两船相距 千米；
（2）∵B港到A港用了4小时36分钟 小时，来回共花10小时，
∴ 港到 港的时间为 小时，
则根据题意得： ，
解得： 千米/时，
答：水流速度a为 千米/时．
【点睛】本题考查了列代数式以及一元一次方程的应用，熟知：顺水速度 船速 水流速度，逆水速度
船速 水流速度，是解本题的关键．
7．（2022·江苏·锡中匡村实验学校七年级期中）已知数轴上A，B两点表示的有理数分别为a，b，且
．
(1)求a，b的值；
(2)点C在数轴上表示的数是c，且与A、B两点的距离和为11，求c值；
(3)小蜗牛甲以1个单位长/秒的速度从点B出发向其左边6个单位长度外的食物爬去，3秒后位于点A的小
蜗牛乙收到它的信号，以2个单位长度/秒的速度也迅速爬向食物，小蜗牛甲到达后背着食物立即返回，与
小蜗牛乙在数轴上D点相遇，则点D表示的有理数是什么？从出发至此时，小蜗牛甲共用去多少时间？
【答案】(1)
(2) 或5
(3)点D表示的有理数是 ，小蜗牛甲共用去4秒
【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性即可求出a和b的值；
（2）根据数轴上两点间的距离公式可求出 说明点C不可能在点A和点B中间．即可故分类讨论：①
当点C在点B的左边时和②当点C在点A的右边时，分别列出关于c的等式，再求解即可；
（3）设小蜗牛乙收到信号后经过t秒和小蜗牛甲相遇，由题意可知食物所在点代表的数为 ，结合题意
可列出关于t的方程，解出t，从而可求出结果．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
解得： ；（2）∵ ，
∴点C不可能在点A和点B中间．
故分类讨论：①当点C在点B的左边时，
，
解得： ；
②当点C在点A的右边时，
，
解得： ．
综上可知，c的值为 或5；
（3）设小蜗牛乙收到信号后经过t秒和小蜗牛甲相遇，
由题意可知食物所在点代表的数为 ，如图．
∴相遇时小蜗牛甲爬行 个单位长度，小蜗牛乙爬行 个单位长度，
根据题意得： ，
解得： ，
∴小蜗牛乙爬行 个单位长度，小蜗牛甲共用去 秒．
∴点D表示的有理数是 ．
【点睛】本题考查非负数的性质，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的实际应用．
利用数形结合的思想是解题关键．
8．（2022·浙江金华·七年级期中）数轴上，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，点 表示的数为9，
点 表示的数为13，在点 和点 处各折一下，得到一条“折线数轴”如图所示，我们称点 和点 在数
轴上相距20个长度单位，动点 从点 出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点 从点 出
发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线 和射线 上的运动速度相同均为2个
单位/秒，“上坡路段”从 到 速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从 到 速度变为“水
平路线”速度的2倍，设运动的时间为 秒，问：(1)求动点 从点 运动至 点需要时间
(2)求动点 运动到点 时，点 所在位置表示的数．
(3) 两点重合时，求运动时间 秒．
【答案】(1)
(2)
(3) 秒
【分析】（1）先求出 （个单位）， （个单位）， （个单位），再根据“水平路线”
速度是2个单位/秒，从 到 速度变为“水平路线”速度的一半，即得动点 从点 运动至 点需要的时
间为三段所用时间和；
（2）先求出点Q运动到点O时，再根据点P用同样时间运动的路程，即可求解；
（3）根据动点Ｐ与动点Ｑ运动路程和为 列方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意知： （个单位）， （个单位），
（个单位），
“水平路线”速度是2个单位/秒，从 到 速度变为“水平路线”速度的一半，
动点 从点 运动至 点需要的时间为： (秒)，
答：动点 从点 运动至 点需要的时间为多15秒；
（2）解：根据题意知： ， ，
“水平路线”速度是2个单位/秒，从D到O速度变为“水平路线”速度的2倍，
动点Q从点D运动至O点需要的时间为： (秒)，
∵动点 从点 运动至B点需要的时间为： (秒)，∴动点 从点B运动 (秒)运动的路程为∶ ，
∴此点 所在位置表示的数为： ，
答：动点 运动到点 时，点 所在位置表示的数为 ；
（3）解：根据题意，得 ， ， ，
当动点P运动3秒时，点Q运动路程为 ，
∴ 两点重合时，应在 上，
∴ ，
解得： ，
答： 两点重合时，运动时间为 秒．
【点睛】本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是用含 的代数式表示动点运动的路程．
