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第五章 一元一次方程压轴训练
01 压轴总结
目录
压轴题型一 利用一元一次方程的定义求字母参数................................................................................................1
压轴题型二 已知一元一次方程的解求代数式的值................................................................................................3
压轴题型三 利用一元一次方程的解相同求字母参数............................................................................................5
压轴题型四 含字母参数方程的解为整数解的问题................................................................................................9
压轴题型五 换元法求一元一次方程的解..............................................................................................................12
压轴题型六 新定义型一元一次方程的求解问题..................................................................................................14
02 压轴题型
压轴题型一 利用一元一次方程的定义求字母参数
例题：（23-24七年级上·天津河西·期末）方程 是关于x的一元一次方程，则
【答案】
【知识点】一元一次方程的定义
【分析】根据 是关于x的一元一次方程，得到 ，求得a的值即可．本题
考查了一元一次方程的定义，根据定义，列式计算．
【详解】∵方程 是关于x的一元一次方程，
∴ ，
解得 或 且 ，
故 ．
故答案为： ．
巩固训练
1．（23-24六年级上·山东泰安·期末）若 是关于x的一元一次方程，则m的值为（ ）
A． B．1 C． D．任何实数
【答案】B
【知识点】一元一次方程的定义
【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程
的定义可得到 且 ，即可求出 的值．
【详解】解： 是关于x的一元一次方程，
根据题意得： 且 ，
解得： ，
故选：B．
2．（23-24七年级上·天津津南·期末）若方程 是关于x的一元一次方程，则
．
【答案】3
【知识点】一元一次方程的定义
【分析】本题考查一元一次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为1的整式方程叫做一元一次
方程，据此求解即可．
【详解】解：∵方程 是关于x的一元一次方程，
∴ 且 ，解得 ，
故答案为：3．
3．（23-24七年级上·山东滨州·期末）若 是关于 的一元一次方程，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】一元一次方程的定义
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据题意可得 且 ，解之即可求解，掌握一元
一次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：∵ 是关于 的一元一次方程，∴ 且 ，
∴ ，
故答案为： ．
4．（23-24七年级上·全国·单元测试）若关于 的方程 是一元一次方程，则 的值
为 ．
【答案】 或
【知识点】一元一次方程的定义
【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系
数不是0，这是这类题目考查的重点．根据一元一次方程的一般形式即可判定有 种情况，分别讨论①当
且 时，②当 且 时，③当 时是否满足该方程为一元一次方程即可．
【详解】解： 关于 的方程 是一元一次方程，
可考虑三种情况，
①当 且 时，
即 且 ，
则 ，解得： ，
此时 ，故排除；
②当 且 时，
即 且 ，
，符合条件；
③当 即 时，
，符合条件；
综上： 的值为 或 ，
故答案为： 或 ．
压轴题型二 已知一元一次方程的解求代数式的值
例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元一次方程 的解是 ，则
的值为 ．
【答案】0【知识点】方程的解
【分析】本题考查一元一次方程的解、代数式求值，根据一元一次方程的解求得 ，进而代值求解
即可．
【详解】解：把 代入方程 中得， ，
∴ ，
∴
．
故答案为：0．
巩固训练
1．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）若关于x的方程 的解是 ，则 的值是
．
【答案】3
【知识点】方程的解
【分析】本题主要考查了方程解的定义，把 代入方程计算即可求出 的值．
【详解】解：∵关于x的方程 的解是 ，
∴ ，
，
．
故答案为：3．
2．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）若 是关于x的方程 的解，则代数式
．
【答案】5
【知识点】方程的解、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解的概念，本题属于基础题型．
将 代入原方程即可求出 ，然后将其整体代入求值．
【详解】解：将 代入原方程可得： ，
，
∴故答案为：5
3．（23-24七年级上·广东佛山·期末）若 是方程 的解，则 的值为 ．
【答案】2035
【知识点】方程的解、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查一元一次方程的解，解题的关键是把解代入方程中，得到代数式．把 代入方程，得
出 ，进而可得 ，然后整体代入计算即可．
【详解】解：∵ 是方程 的解，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为：2035．
4．（2024七年级·全国·竞赛）已知 都是质数，且关于 的一元一次方程 的解为1，则
．
【答案】 或
【知识点】方程的解
【分析】本题考查一元一次方程的解：能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值称为一元一次方程的
解．将方程的解代入原方程可得 ，据此即可求解．
【详解】解：将 代入方程得：
是奇数，
与 必为一奇数一偶数．
若 ，则 ，符合题设；
若 2，则 ，符合题设；
或
故答案为： 或
压轴题型三 利用一元一次方程的解相同求字母参数
例题：（23-24七年级下·福建泉州·期末）如果关于 的方程 和方程 的解相同，那么
的值为 ．【答案】3
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、方程的解
【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，先解出 的 值，再代入
，即可解出a的值．
【详解】解：∵关于 的方程 和方程 的解相同，
∴由 ，得
把 代入 ，
得
整理得
即
则
故答案为：3
巩固训练
1．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）已知关于x的方程 与方程 的解相同，
则方程的解为 ．
【答案】
【知识点】解一元一次方程——拓展、解一元一次方程（三）——去分母
【分析】表示出两方程的解，由两方程为同解方程，求出 的值，进而确定出方程的解．此题考查了同解
方程，明确“同解方程即为两方程解相同的方程”是解题的关键．
【详解】解：方程 ，解得： ，
方程 ，解得： ，
由题意得： ，
去分母得： ，
移项、合并同类项得： ，
解得： ，代入得： ，
解得： ．
故答案为： ．
2．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）已知方程 和方程 的解相同，则代
数式 的值为 ．
【答案】
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题主要考查一元一次方程的解的定义，理解一元一次方程的解的定义，是解题的关键．
先求出 的解，再把x的值代入 ，求解即可．
【详解】解：∵ 的解是： ，
又∵方程 和 有相同的解，
∴把 ，代入 ，得 ，
解得： ．
则 ，
故答案是： ．
3．（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）若关于 的方程 的解和关于 的方程与 的
解相同，求字母 的值．
【答案】
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、方程的解
【分析】本题考查了同解方程，掌握同解方程的意义及一元一次方程的解法是解题关键．先分别解出两个
一元一次方程，再令其解相等得到关于a的方程，求解即可．
【详解】解：解方程 ，解得 ，
解方程 ，
解得 ，
由题意得：
解得： ．
4．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）方程 与方程 的解相同，求代数式
的值．
【答案】
【知识点】解一元一次方程——拓展、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题主要考查了同解方程，代数式求值，先解 ，把 代入 ，求出
k的值，然后再代入代数式求值即可．
【详解】解：
又∵方程 与方程 的解相同
∴
5．已知关于 的两个方程 和 ．
(1)若方程 的解为 ，求方程 的解；
(2)若方程 和 的解相同，求 的值．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）根据方程的解的定义，将方程的解代入方程，求得 ，再将的值代入方程 ，
求解即可得到答案；
（2）分别求解两个方程，得到 和 ，再根据两个方程的解相同，得到 ，求解即
可得到答案．
【详解】（1）解：把 代入方程 ，
得： ，
解得： ，
把 代入方程 ，
得： ，
去分母，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化1，得： ，
即方程 的解是 ；
（2）解：解方程 ，得： ，
解方程 ，得： ，
方程 和 的解相同，
，
解得： ．
【点睛】本题考查了方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键．
压轴题型四 含字母参数方程的解为整数解的问题例题：已知方程 的解是正数，则 的最小整数解是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】依次去括号、移项、合并同类项、系数化1解方程，求得 ，再根据方程的解是正数，求
出 ，即可得到 的最小整数解．
【详解】解： ，
去括号，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化1，得： ，
方程 的解是正数，
，
，
的最小整数解是3，
故选：C．
【点睛】本题考查了根据一元一次方程的解的情况求参数，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键．
巩固训练
1．若关于x的方程 有正整数解，则整数a的值为（ ）
A．1或 或3或 B．1或3
C．1 D．3
【答案】B
【分析】解方程，用含有a的式子表示出x，即 ，再根据3除以几得正整数，求出整数a．
【详解】解： ，
移项，得 ，
∵关于x的方程 有正整数解，
∴ ，
∴ ，
∵a为整数，关于x的方程 的解为正整数，
∴ 或 ，
故选：B．【点睛】本题考查一元一次方程的解，解题关键是根据方程的解为正整数，a为整数，得出关于a的一元
一次方程．
2．已知关于x的方程 有非负整数解，则负整数a的所有可能的取值的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将 的值算出，最后相加即可得出答案．
【详解】解： ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
将系数化为1，得 ，
∵ 是非负整数解，
∴ 取 ，
∴ 或 ， 时， 的解都是非负整数，
则 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．
3．关于 的方程 的解为整数，则符合条件的正整数 的值之和为 ．
【答案】
【分析】先将方程化简为 ，根据方程的解为整数，得到关于 的方程，解出并找出符合题
意的 的值相加，即可得出答案．
【详解】解：
去分母得： ，
去括号得： ，移项得： ，
合并同类项得： ，
∵方程的解为整数，
∴ 或 ，
解得： 或 或 或 ，
又∵ 为正整数，
∴ 的值为 或 或 ，
∴符合条件的正整数 的值之和为： ．
故答案为：
【点睛】本题考查了含参数的一元一次方程，解题的关键是得到关于参数的方程．
4．若关于x的方程 的解是整数解，m是整数，则所有m的值加起来为 ．
【答案】
【分析】根据解一元一次方程的一般步骤表示出x的代数式，分析解答即可．
【详解】解：解方程 ，
得： ，
根据题意可知 为整数， 是整数，
当 的值为0， ， ， ， ， 时， 为整数，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了根据一元一次方程解的情况求参数，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解本题的关键．
压轴题型五 换元法求一元一次方程的解
例题：（23-24七年级上·浙江嘉兴·期末）已知 为实数，关于 的方程 的解为 ，则
关于 的方程 的解为 ．
【答案】7【知识点】方程的解
【分析】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握转化思想是解题的关键．两个方程形式相似，第一个方
程 的解为 ，则第二个方程中 与x对应，可得 ，可得结果．
【详解】解：关于 的方程 的解为 ，
则
，
∴ ，
．
故答案为7
巩固训练
1．（23-24七年级上·江苏南通·期末）若关于 的一元一次方程 的解为 ，则关于
的一元一次方程 解为 ．
【答案】
【知识点】方程的解
【分析】本题考查了一元一次方程的解，将一元一次方程 变形可得 是方
程 的解，即可得出答案，解题的关键是得出 是方程
的解．
【详解】解：将一元一次方程 变形得： ，
关于 的一元一次方程 的解为 ，
是方程 的解，
解得： ，故答案为： ．
2．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如果关于 的方程 的解 ，则关于 的
方程 的解 ．
【答案】
【知识点】方程的解
【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是对方程 变形为
，令 ，则原方程变为 ，根据方程
的解为 ，则 ，即可．
【详解】∵关于 的方程为 ，
∴对方程进行变形为： ，
令 ，
∴原方程变为： ，
∵方程 的解为： ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
3．若关于 的一元一次方程 的解是 ，那么关于y的一元一次方程
的解是 ．
【答案】
【分析】将 转化 ，即可得到 ，进行
求解即可．【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵关于 的一元一次方程 的解是 ，
∴一元一次方程 的解为： ，
解得： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，以及解一元一次方程．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的
值，是解题的关键．
压轴题型六 新定义型一元一次方程的求解问题
例题：定义一种新运算“※”，其规则为 ．
例如： ．再如： ．
(1)计算 值为______．
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)31
(2)
【分析】（1）利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出m的值．
【详解】（1）根据题中的新定义得：
（2）利用题中的新定义化简得： ，
解得：
【点睛】此题考查定义新运算，一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关
键．
巩固训练
1．若关于 的一元一次方程 的解满足 ，则称该方程是“平安方程”．例如，方程的解是 ，而 ，则方程 是“平安方程”．如果关于 的一元一次方程
是“平安方程”，那么 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查对“平安方程”得理解和一元一次方程得运用，根据题干得出 ，再将
代入 中计算即可．
【详解】解： 关于 的一元一次方程 的解满足 ，则称该方程是“平安方程”．
又 关于 的一元一次方程 是“平安方程”，
，
将 代入 中，有 ，解得 ．
故答案为： ．
2．定义一种新运算“ ”： ，如
(1)求 的值；
(2)若 ，求x的值；
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）根据所给的新定义进行代值计算即可；
（2）根据所给的新定义可得方程 ，解方程即可．
【详解】（1）解：由题意得， ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算，解一元一次方程，正确理解所给的新定义是解题的关键．
3．规定的一种新运算“ ”： ，例如： ．
(1)试求 的值；
(2)若 ，求 的值；
(3)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)根据定义，直接计算求解即可．
(2)根据定义，转化为一元一次方程计算求解即可．
(3)根据定义，转化为一元一次方程计算求解即可．
【详解】（1）
． ．
（2）
．
（3）．
【点睛】本题考查了新定义问题，一元一次方程的解法，正确理解定义，熟练掌握解方程是解题的关键．
4．小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若 是关于x的一元一次方程
的解， 是关于y的方程的所有解的其中一个解，且 ， 满足 ，则称关于y
的方程为关于x的一元一次方程的“十全十美方程”．例如：一元一次方程 的解是 ，
方程 的所有解是 或 ，当 时， ，所以 为一元一次方程
的“十全十美方程”．
(1)判断下列关于y的方程是否是一元一次方程 的“十全十美方程”，在后面的横线上写
“是”或“否”：
① ______，② ______；
(2)若关于y的方程 是关于x的一元一次方程 的“十全十美方程”，请求出a
的值；
(3)若关于y的方程 是关于x的一元一次方程 的“十全十美方程”，
请直接写出 的值．
【答案】(1)①否；②是
(2)3或9
(3) 或
【分析】本题考查了新定义方程，解方程，熟练掌握定义，正确解方程是解题的关键．
（1）根据新定义的要求，解方程验证即可．
（2）先求出 的解，再根据新定义的内容求出 的根，再代入这个根求出a即可．（3）先求出 的解，再根据新定义的内容求出 的根，再代入这个根
求出 ，继而得解．
【详解】（1）解：（1）①否；②是，理由如下：
的解为 ；
①方程 的解是 ， ，故不是“十全十美方程”；
②方程 的解是 或 ，当 时， ，是“十全十美方程”．
故答案为：①否；②是；
（2）方程 的解是 或 ，
一元一次方程 的解是 ，即 ，
若 ， ，则 ，解得： ；
若 ， ，则 ，解得： ；
∴a的值为3或9．
（3） 的值为 或 ．理由如下：
由 ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
即 的解是： ，
∴ ，整理得： ，
∵分母m不能为0，
∴ ，
∴ ，
①当 时， ，
∴ ， ；
②当 时， ，
∴ ， ；
∴ 的值为 或 ．
