文档内容
第五章 一元一次方程的应用压轴训练
01 压轴总结
目录
压轴题型一 一元一次方程解决配套问题................................................................................................................1
压轴题型二 一元一次方程解决工程问题................................................................................................................7
压轴题型三 一元一次方程解决销售问题..............................................................................................................12
压轴题型四 一元一次方程解决积分问题..............................................................................................................19
压轴题型五 一元一次方程解决方案问题..............................................................................................................22
压轴题型六 一元一次方程解决电费和水费问题..................................................................................................26
压轴题型七 一元一次方程解决数轴上的动点问题..............................................................................................30
02 压轴题型
压轴题型一 一元一次方程解决配套问题
例题：（23-24七年级上·四川成都·期末）列方程解应用题：某工厂现有 木料，准备制作各种尺寸的方
桌与凳子．如果 木料可制作40个方桌或制作80个凳子．A类型套桌由一个方桌和四个凳子组成，每套
售价2000元，B类型套桌由一个方桌和八个凳子组成，每套售价3500元．
(1)若用全部木料生产A类型套桌，且桌子、凳子恰好配套，问全部卖出可以卖多少钱？
(2)若用全部木料生产A、B两种类型套桌，且桌子、凳子恰好配套，全部卖出，卖了824000元．问制作了
多少套A类型套桌？
【答案】(1)全部卖出可以卖800000元
(2)制作了160套A类型套桌
【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
（1）设用 的木料制作方桌，根据工厂现有 木料，A类型套桌由一个方桌和四个凳子组成，列出方
程求出 的值，进而求出A类型套桌的套数，再乘以售价进行计算即可；
（2）设制作了 套A类型套桌，则制作了 套B类型套桌，根据题意，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：设用 的木料制作方桌，则用 的木料制作凳子，由题意，得：
，
解得： ，
∴可制作方桌： （个），
∴制作 套 类型套桌，全部卖出可以卖： （元）；
答：全部卖出可以卖800000元；
（2）设制作了 套A类型套桌，则制作了 套B类型套桌，由题意，得：
，
解得： ；
答：制作了160套A类型套桌．
巩固训练
1．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）某家具厂现有10立方米木材，准备用来制作方桌，其中用部分木材
制作桌面，其余木材制作桌腿．已知制作一张方桌需要1张桌面和4条桌腿，1立方米木材可制作50张桌
面或300条桌腿，要使制作出的桌面、桌腿恰好配套．
(1)求制作桌面的木材和制作桌腿的木材分别为多少立方米？
(2)若该家具厂的木材进货价为每立方米1500元，制成方桌后（边角废料忽略不计），每张方桌的售价为
150元，则该家具厂制作的这批方桌全部售出后共获利多少元？
【答案】(1)分配6立方米木材制作桌面，4立方米木材制作桌腿
(2)共获利30000元
【知识点】用代数式表示式、配套问题(一元一次方程的应用)、有理数乘法的实际应用
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、列代数式等知识点，根据题意列出一元一次方程是解题的
关键．
（1）设分配 立方米木材制作桌面，则分配 立方米木材制作桌腿，然后根据等量关系“制作一张
方桌需要1张桌面和4条桌腿，1立方米木材可制作50张桌面或300条桌腿，要使制作出的桌面、桌腿恰
好配套”列一元一次方程求解即可；（2）先列式求出制作方桌数，然后列式求获利即可．
【详解】（1）解：设分配 立方米木材制作桌面，则分配 立方米木材制作桌腿，
根据题意得： ，解得： ，
．
答：分配6立方米木材制作桌面，4立方米木材制作桌腿．
（2）解：共制作方桌 （张）
故共获利 （元）．
答：该家具厂制作的这批方桌全部售出后共获利3000元．
2．（23-24七年级上·山东滨州·期末）某家具厂专业生产学生座椅，其中每把学生座椅由4条椅腿、4根撑
杆、2个扶手、1个椅面和1个靠背组成．根据实际生产能力，每个工人每天能够生产椅腿20条，或撑杆
40根，或扶手30个，或椅面30个，或靠背30个．
(1)若安排35名工人专门生产椅腿和椅面，那么应该安排多少人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿和椅
面正好配套？
(2)若安排全厂91名工人生产这种学生座椅，那么应该安排多少人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿、
撑杆、扶手、椅面和靠背正好配套？
【答案】(1)30
(2)42
【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．
（1）根据题意，找到正确的数量关系列出方程求解即可．
（2）设安排x人生产椅腿，撑杆人数为y，扶手的人数为m，椅面的人数为n，靠背的人数为z才能使每天
生产出的椅腿和椅面正好配套，根据题意列出各岗位工人与生产椅腿工人的数量关系，根据全厂91名工人
列方程求解即可．
【详解】（1）解：设安排x人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿和椅面正好配套．
解得 ，
答：安排30人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿和椅面正好配套．
（2）解：设安排x人生产椅腿，撑杆人数为y，扶手的人数为m，椅面的人数为n，靠背的人数为z才能使每天生产出的椅腿和椅面正好配套．
∴ ， ， ，
解得 ， ， ， ．
∴ ，
，
答：应该安排42人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿、撑杆、扶手、椅面和靠背正好配套
3．（23-24七年级上·湖北孝感·阶段练习）某中学将举行“歌唱祖国”主题歌咏比赛，七年级需要在文具
店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具．已知每袋贴纸有50张，每袋小红旗有20面，贴纸和
小红旗需整袋购买，两家文具店的标价相同，每袋贴纸价格比每袋小红旗价格少5元，且4袋贴纸与3袋
小红旗价格相同．
(1)求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元？
(2)如果购买贴纸和小红旗共90袋，给每位演出学生分发国旗图案贴纸2张、小红旗1面，恰好全部分完，
请问贴纸和小红旗各多少袋？
【答案】(1)每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是15和20元
(2)购买贴纸40袋，购买小红旗50袋
【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)、销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键正确找出题中的等量关系．
（1）设每袋贴纸为x元，每袋红旗为 元，列出方程即可求出答案．
（2）设购买贴纸y袋，购买小红旗 袋，列出方程即可求出答案．
【详解】（1）设每袋贴纸为x元，每袋红旗为 元，
根据题意列出方程可得： ，
∴ ，
∴ ，
答：每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是15和20元．
（2）设购买贴纸y袋，购买小红旗 袋，根据题意可知： ，
∴ ，
∴ ，
答：购买贴纸40袋，购买小红旗50袋．
4．（22-23七年级上·山东滨州·期末）某工厂车间有60个工人生产A零件和B零件，每人每天可生产A零
件15个或B零件20个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件
和B零件恰好配套．工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利10元，每个B零件可获利5元．
(1)求该工厂有多少工人生产A零件？
(2)因市场需求，该工厂每天要多生产出一部分A零件供商场零售使用，现从生产B零件的工人中调出多少
名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利比调动前多600元？
【答案】(1)24
(2)12
【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)
【分析】（1）设该工厂有x名工人生产A零件，根据“一个A零件配两个 零件，且每天生产的A零件和
零件恰好配套”，列出方程，即可求解；
（2）设从生产 零件的工人中调出y名工人生产A零件，根据“每日生产的零件总获利比调动前多600
元”，列出方程，即可求解．
【详解】（1）设该工厂有x名工人生产A零件，则生产B零件有 名，根据题意得：
解得： ，
答：该工厂有24名工人生产A零件；
（2）由（1）知：生产 零件原有 名，
设从生产 零件的工人中调出y名工人生产A零件．
，
解得： ，
答：从生产 零件的工人中调出12名工人生产A零件．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键．
5．（23-24七年级上·山东日照·期末）某工厂车间有38名工人生产 零件和 零件，每人每天可生产 零件12个或 零件14个（每人每天只能生产一种零件），1个 零件和2个 零件配成一套，每天生产的
零件和 零件恰好配套．工厂将零件批发给商场时，每个 零件可获利18元，每个 零件可获利13元．
(1)工厂每天应分别安排多少名工人生产 两种零件？
(2)因市场需求，该工厂调整生产方案，每天除生产一定数量的配套零件外，还需额外生产若干数量的 零
件供商场单独销售，现从每天生产 零件的工人中调出部分工人生产 零件，工厂每日生产零件的总获利
比调动前增加了170元．则工厂从每天生产 零件的工人中调出多少名工人生产 零件？
【答案】(1)工厂每天应分别安排14人生产A零件，24人生产B零件；
(2)工厂从每天生产B零件的工人中调出5名工人生产A零件．
【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)、销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，调配问题，本题的关键是理清配套问题的数量关系列方程，此
外挖掘题目条件，分清调动后生产两种零件的工人的数量，从而列方程解决问题．
（1）设工厂分别安排x名工人生产A零件， 名工人生产B零件，根据“1个A零件和2个B零件
配成一套”，列方程求解即可得到结果；
（2）先求出调动前每天总获利，设工厂从每天生产B零件的工人中调出y名工人生产A零件，可得调动后
安排 名工人生产A零件， 名工人生产B零件，根据“工厂每日生产零件的总获利比调动前
增加了170元”，列方程求解即可得到结果．
【详解】（1）解：设工厂分别安排x名工人生产A零件， 名工人生产B零件，
依题意得， ，
解得 ， 得 （名），
答：工厂每天应分别安排14人生产A零件，24人生产B零件；
（2）调动前每天总获利为： （元），
设工厂从每天生产B零件的工人中调出y名工人生产A零件，
则调动后安排 名工人生产A零件， 名工人生产B零件，
依题意得， ，
解得 ，答：工厂从每天生产B零件的工人中调出5名工人生产A零件．
压轴题型二 一元一次方程解决工程问题
例题：（2024·山西·模拟预测） 年 月 日，“世界水日”、“中国水周”山西省宣传活动在太原启
动，本 次活动，旨在调动全社会各方力量团结治水兴水，吸引并推动社会公众关心支持水利事业为贯彻
落实本次活动精神，太原市现计划修一条水渠便于引水用水．已知，甲工程队活单独修需 天完成，乙工
程队单独完成需要的天数比甲工程队单独完成天数的 多少 天．
(1)乙工程队单独完成需要多少天？
(2)若甲先单独修 天，之后甲乙合作修完这条水渠，求甲乙还需合作几天才能修完这条水渠？
【答案】(1)10天
(2) 天
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、工程问题(一元一次方程的应用)
【分析】（ ）根据题意列出算式计算即可求解；
（ ）设甲乙还需合作 天才能修完这条水渠，根据题意列出方程即可求解；
本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．
【详解】（1）解： ，
答：乙工程队单独完成需要10天；
（2）解：设甲乙还需合作 天才能修完这条水渠，
由题意得， ，
解得 ，
答：甲乙还需合作 天才能修完这条水渠．
巩固训练
1．（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）哈佳高铁建设工程中，有一路段由甲、乙两个工程队负责完成．
甲工程队单独完成此项工程需 天，比乙工程队单独完成此项工程多用 天，若甲先施工 天，再由甲、
乙合作完成剩余工程．
(1)甲、乙还需要合作多少天完成？
(2)如果甲工程队每天需工程费 元，乙工程队每天需工程费 元，若甲队先单独工作若干天再由乙工
程队完成剩余的任务，支付工程队总费用 元，求甲队工作的天数．【答案】(1)甲、乙还需要合作30天完成
(2)甲队工作20天
【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)
【分析】此题考查了一元一次方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系，列出方程是解决问题的关键．
（1）设甲、乙还需要合作 天完成，根据“甲先施工 天，再由甲、乙合作完成剩余工程”列出方程即可
求解；
（2）设甲队工作的天数为 ，则乙工作的天数为 ，根据“支付工程队总费用
元”列出方程即可求解．
【详解】（1）解：设甲、乙还需要合作 天完成，
由题意得， ，
解得： ，
答：甲、乙还需要合作18天完成；
（2）设甲队工作的天数为 ，则乙工作的天数为 ，
由题意得， ，
解得： ，
答：甲队工作20天．
2．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）某学校准备请甲、乙两人搬运一批图书，已知甲单独运完需要
10天，乙单独运完需要20天．甲先搬运了4天，然后甲、乙两人合作运完剩下的图书．
(1)甲、乙两人合作还需要多少天运完图书？
(2)已知甲每天的薪酬比乙多50元，运完图书后学校共需支付薪酬2800元．则甲、乙两人每天的薪酬分别
为多少元？
【答案】(1)4天
(2)甲每天的薪酬为250元，乙每天的薪酬为200元
【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（1）设甲、乙两人合作还需要x天运完图书，根据甲单独运完需要10天，乙单独运完需要20天．甲先搬
运了4天，即可得出关于 的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设乙每天的薪酬为y元，则甲每天的薪酬为 元，，根据甲每天的薪酬比乙多50元，运完图书
后学校共需支付薪酬2800元，即可得出关于 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）设甲、乙两人合作还需要x天运完图书，
依题意，得： ，
解得： .
答：甲、乙两人合作还需要4天运完图书.
（2）设乙每天的薪酬为y元，则甲每天的薪酬为 元，
依题意，得： ，
解得： ，
∴ .
答：甲每天的薪酬为250元，乙每天的薪酬为200元.
3．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知甲工程队每天的挖
掘长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍，若甲、乙两工程队一起挖掘200米长度的隧道时，共用时间4
天．
(1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米？
(2)已知该段隧道挖掘工程为600米，甲工程队每天的挖掘费用为6万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万
元．若安排甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好102万元，求
甲工程队应先单独挖掘多少天？
【答案】(1)甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米
(2)8天
【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程的应用．理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
（1）设乙工程队每天可挖掘隧道x米，则甲工程队每天可挖掘隧道 米，根据甲、乙两工程队一起挖掘
200米长度的隧道，共用时间4天，列方程求解即可；
（2）设甲工程队应先单独挖掘y天，则乙工程队单独挖掘 天，根据总费用刚好102万元，列方
程求解即可．【详解】（1）解：设乙工程队每天可挖掘隧道x米，则甲工程队每天可挖掘隧道 米，根据题意，得
解得：
∴
答：甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米．
（2）解：设甲工程队应先单独挖掘y天，则乙工程队单独挖掘 天，根据题意，得
解得：
答：甲工程队应先单独挖掘8天．
4．（23-24六年级上·山东烟台·期末）为打造安全环保的某河流公园，某市设立若干河流排污治理点（每
个治理点需安装相同长度的排污治理管道）．一天，甲队3名工人去完成5个治理点的管道铺设，但还有
60米管道没有完成；同一天，乙队4名工人完成5个治理点的管道铺设后，仍多铺设了40米管道．已知每
名甲队工人比每名乙队工人每天多铺设20米管道．
(1)求每个排污治理点需铺设的管道长度；
(2)已知每名甲队工人每天需支付费用500元，每名乙队工人每天需支付400元，该市某处共设立27个排污
治理点，现有甲队3名工人，乙队4名工人来安装管道，方案一：全部由甲队安装；方案二：全部由乙队
安装；（不到一天需按一天费用算）．请通过计算说明选择哪种方案可使总费用最少？
【答案】(1)每个排污治理点需铺设的管道长度为120米
(2)应选择方案一
【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、解一元一次方程等知识点，明确题意、正确的列出一元一次方
程是解答本题的关键．
（1）设每个排污治理点需铺设的管道长度为x米，然后根据题意列方程解答即可；
（2）先分别求出甲、乙队工人一天可铺设管道的长度，再分别按两种方案求得总费用，最后比较即可解
答．
【详解】（1）解：设每个排污治理点需铺设的管道长度为 米，
根据题意，得 ，
解这个方程，得 ．所以，每个排污治理点需铺设的管道长度为120米．
（2）解：每名甲队工人每天铺设管道米数： ．
方案一需要天数： ．
方案一需要费用： ．
每名乙队工人每天铺设管道米数： ．
方案二需要费用天数： ．
方案二需要费用： ．
因为 ，
所以，应选择方案一．
5．（23-24七年级上·四川成都·期末）学校计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，
已知甲工厂每天能加工这种校服80件，且乙工厂每天加工这种校服的件数比甲工厂每天加工这种校服的件
数多 ．
(1)若甲单独加工这批校服比乙工厂单独加工这批校服多用20天，求这批校服共有多少件？
(2)在（1）的条件下，若先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，乙工厂提高加工
速度后继续完成剩余部分，乙工厂的全部工作时间是甲工厂全部工作时间的3倍还少8天，若在加工过程
中，甲工厂每天所需费用400元，乙工厂每天所需费用500元，学校共需支付甲乙两工厂18800元，求乙
工厂提高加工速度后每天加工这种校服多少件？
【答案】(1)这批校服共有4800件
(2)乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服150件
【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
（1）首先求得乙工厂每天加工这种校服的件数，设这批校服共有 件，根据题意列出一元一次方程并求解，
即可获得答案；
（2）首先设甲工厂全部工作时间是 天，则乙工厂的全部工作时间是 天，
根据题意，列方程并求解，即可确定甲工厂全部工作时间；再设乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服
件，列方程并求解，即可获得答案．【详解】（1）解：根据题意得，乙工厂每天加工这种校服 （件），
设这批校服共有 件，
根据题意，可得 ，
解得 （件）．
答：这批校服共有4800件；
（2）设甲工厂全部工作时间是 天，则乙工厂的全部工作时间是 天，
根据题意，可得 ，
解得 （天），
∴甲工厂全部工作时间是12天；
设乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服 件，
根据题意，可得 ，
解得 （件）．
答：乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服150件．
压轴题型三 一元一次方程解决销售问题
例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）红光水果加工厂收购了29吨雪梨．经市场预测，若直
接销售，每吨可获利0.05万元；若经过加工包装后销售，每吨可获利0.4万元；若制成雪梨罐头出售，每
吨可获利0.6万元．该工厂的加工能力是：每天可包装5吨或制成罐头3吨，受人员限制，同一天内两种
加工方式不能同时进行，受气温限制，这些雪梨必须在7天内全部销售或加工完毕，为此，工厂研制了二
种方案：
方案一：尽可能多的做成罐头，余下的直接销售；
方案二：部分制成罐头，其余进行加工包装，并恰好7天完成．
(1)请比较说明哪种方案可使工厂所获利润最多？
(2)水果加工厂欲将（1）问中获利最多方案制成的所有雪梨罐头由加工厂运到市场售卖，已知有甲、乙两
家运输公司都可以承担此次运输，要收取的费用如下表：
运输公
运输单价（元/吨・千米） 每吨装卸费（元）
司甲 5 50
乙 6 30
经水果加工厂计算发现乙运输公司总费用比甲运输公司总费用多243元，求水果加工厂到市场的距离．
【答案】(1)方案二可使工厂所获利润最多；
(2)加工厂到市场的距离为47千米．
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、其他问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程的运用，解题的关键在于根据题意得到等量关系．
（1）分别算出方案一和方案二所获利润，再进行比较即可解题；
（2）设加工厂到市场的距离为x千米，根据题意建立方程求解，即可解题．
【详解】（1）解：方案一： （万元），
方案二：设 吨制成罐头，则 吨进行加工包装，
，
解得 ，
获利： （万元），
，
方案二可使工厂所获利润最多；
（2）解：设加工厂到市场的距离为x千米，
，
解得 ，
答：加工厂到市场的距离为47千米．
巩固训练
1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某商场准备订购一批衬衫，现有甲、乙两个供应商，均标
价每件 元．为了促销，甲说“凡来我处进货一律九折．”乙说：“如果订货超出 件，则超出的部分
打八折．”
(1)设该商场准备订购 件服衬衫 ，请用含x的整式表示在甲供应商所需支付的钱数为（_______）
元，在乙供应商所需支付的钱数为（_______）元（结果化为最简形式）．
(2)当 的值为多少时，去两个供应商处的进货价钱一样多？
(3)已知该商场第一次从甲供应商处购进了 件补衫，每件加价 进行零售，迅速销售一空．于是，该商场第二次从乙供应商处购进衬衫，购进的数量是第一次从甲供应商购进数量的 倍，并比第一次销售
价格高 元进行销售，但市场趋于饱和，所以在销售剩余五分之三时开始打折销售，且第二次全部售出后
获得的总利润比第一次获得的总利润多 元，求第二次销售剩余五分之三时需打几折销售．
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3) 折．
【知识点】用代数式表示式、销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】（ ）根据题意列出算式即可求解；
（ ）根据（ ）所得结果列出方程即可求解；
（ ）由题意得，第一次购进的补衫的进价为 元，销售价为 元，第二次从
乙供应商处购进衬衫 件，销售价为 元，设第二次销售剩余五分之三时打 折销
售，根据题意列出方程即可求解；
本题考查了一元一次方程，根据题意找到等量关系，正确列出方程是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，甲供应商所需支付的钱数为 元，乙供应商所需支付的钱数
为 元，
故答案为 ， ；
（2）解：由题意得， ，
解得 ，
答：当 时，去两个供应商处的进货价钱一样多；
（3）解：由题意得，第一次购进的补衫的进价为 元，销售价为 元，第二
次从乙供应商处购进衬衫 件，销售价为 元，
设第二次销售剩余五分之三时打 折销售，
由题意得， ，
整理得， ，
解得 ，
答：第二次销售剩余五分之三时需打 折销售．
2．（23-24七年级下·山东临沂·开学考试）为迎接2024年新年的到来，甲、乙两校联合准备文艺汇演，甲、乙两校参加文艺汇演的人数共92人（其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够90人）准备统一购买
服装（一人买一套）参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表：
购买服装的套
1套至45套 46套至90套 91套及以上
数
每套服装的价
60元 50元 40元
格
如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5000元，
(1)求甲、乙两校名有多少名学生准备参加演出？
(2)如果甲校准备演出的人员中有9人被抽调去为市民义务书写对联不能参加演出，那么你有几种购买服装
的方案？通过比较，你认为如何购买服装才能最省钱？
【答案】(1)甲校有52名学生准备参加演出，乙校有40名学生准备参加演出．
(2)两种购买方案，一种是购买83套，一种是购买 套，买 套最省钱．
【知识点】有理数乘法的实际应用、销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】此题考查了一元一次方程的应用，最优化选择问题，解题的关键是理解题意，确定题中的等量关
系，列出方程．
（1）设甲校有 名，乙校有 名学生，根据甲乙学校的人数确定购买服装的单价，根据题意列方程
求解即可．
（2）根据共83人参加演出，分购买83与91套服装讨论即可．
【详解】（1）解：设甲校有 名 学生准备参加演出，则乙校有 名学生准备参加演出
依题意，得
解得
所以 ．
答：甲校有52名学生准备参加演出，乙校有40名学生准备参加演出．
（2）解：①如果买 套，
则花费为： （元），
②如果买 套，则花费： （元），
∵ ，
∴买 套．
答：两种购买方案，一种是购买83套，一种是购买 套，买 套最省钱．3．（23-24七年级下·重庆·开学考试）列一元一次方程解实际问题：重庆某水果超市销售沃柑和纽荷尔两
种柑橘类水果，该超市第一次用6300元购进沃柑和纽荷尔两种水果，其中纽荷尔的件数比沃柑件数的一半
还多25件．沃柑和纽荷尔两种水果的进价和售价如下表：
类别 沃柑 纽荷尔
进价（元/件） 22 30
售价（元/件） 29 40
(1)该超市购进沃柑和纽荷尔两种水果各多少件？当这次购进的水果全部销售后，共获利多少元？
(2)该超市第二次购进沃柑和纽荷尔两种水果的进价与第一次相同，其中沃柑的件数不变，纽荷尔的件数是
第一次的3倍，沃柑按原价销售，纽荷尔打折销售，第二次购进的两种水果都销售完所获得的总利润比第
一次获得的总利润多800元，求第二次纽荷尔是按原价打几折销售．
【答案】(1)该超市购进沃柑150件，纽荷尔100件，全部销售后，共获利 元
(2)第二次纽荷尔是按原价打 折销售
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键：
（1）设超市购进沃柑 件，则购进纽荷尔 件，根据超市用6300元购进沃柑和纽荷尔两种水果，
列出方程进行求解即可；
（2）设第二次纽荷尔是按原价打 折销售，根据第二次购进的两种水果都销售完所获得的总利润比第一次
获得的总利润多800元，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：设超市购进沃柑 件，则购进纽荷尔 件，由题意，得：
，
解得： ，
∴ ；
∴该超市购进沃柑150件，纽荷尔100件；
全部售出的利润为： （元）；
答：该超市购进沃柑150件，纽荷尔100件，全部销售后，共获利 元．（2）设第二次纽荷尔是按原价打 折销售，由题意，得：第二次购进沃柑150件，纽荷尔300件，由题意，
得：
，
解得： ；
答：第二次纽荷尔是按原价打 折销售．
4．（23-24七年级上·河南郑州·期末）元旦期间，某运动品牌服装店推出两种优惠活动，并规定一次结账
只能选择其中一种．
活动一：所购商品按原价打八折；
活动二：所购商品按原价每满200元减60元．（如：所购商品原价为200元，可减60元，需付款140元；
所购商品原价为450元，可减120元，需付款330元）
(1)购买一件原价为350元的服装时，选择哪种活动更合算？请说明理由；
(2)购买一件原价在400元以下的服装时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求这件服装的原价；
(3)小王准备买一件标价460元的上衣和标价320元的运动鞋，请你设计最优惠的付款方法，并求出最优惠
的付款金额．
【答案】(1)选择活动一更合算，理由见解析
(2)300元
(3)最优惠的付款方法是上衣和运动鞋分两次付款，上衣选择活动二的付款方式，运动鞋选择活动一的付款
方式，最优惠的付款金额为596元
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是仔细审题，列出方程．
（1）分别计算出两个活动需要付款价格，进行比较即可；
（2）设一件这种服装的原价是元，根据“选择活动一和选择活动二的付款金额相等”列方程求解即可；
（3）根据题意得出“最优惠的付款方法是：上衣和运动鞋分两次付款，上衣选择活动二的付款方式，运
动鞋选择活动一的付款方式”，再进行计算即可；
【详解】（1）解： （元）， （元），
，
∴选择活动一更合算；
（2）解：设这件服装的原价为x元，
若原价少于200元时，则活动一按原价打八折，活动二按原价，此时付款金额不可能相等；
∴这件服装价格在200元以上，400元以下．，
解得 ，
∴这件服装的原价是300元；
（3）解： ， ，
最优惠的付款方法是：上衣和运动鞋分两次付款，上衣选择活动二的付款方式，运动鞋选择活动一的付款
方式，
需付款的金额为： （元），
答：最优惠的付款金额为596元．
5．（23-24七年级下·重庆九龙坡·开学考试）某商场用 元同时购进 两种新型节能日光灯共 盏，
型日光灯每盏进价为 元， 型日光灯每盏进价为 元．
(1)求 两种新型节能日光灯各购进多少盏？
(2)由于 型日光灯的需求量增大，商场为了节省采购成本决定直接找厂家再购进一些 型日光灯．已知
型日光灯的出厂价为每盏 元，厂家给出了如下优惠措施：
出厂总金额 返现金
不超过 元 元
超过 元，但不超过 元 返现 元
超过 元 返现 元
已知该商场第一次在厂家加购 型日光灯支付 元，第二次在厂家加购 型日光灯支付 元，若将两
次购买改由一次性购买，则一次性购买时支付的总金额比两次分开购买时支付的总金额少多少元？
【答案】(1)购进 种新型节能日光灯 盏，购进 种新型节能日光灯 盏；
(2)少 元．
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】（ ）设购进 种新型节能日光灯 盏，根据题意列出方程即可求解；
（ ）由 ，可得第一次加购 型日光灯出厂总金额低于 元，第二次加购 型日
光灯出厂总金额高于 元，即得第一次加购 型日光灯出厂总金额为 元，加购了 盏节
能日光灯，设第二次加购 型日光灯 盏，分出厂总金额不超过 元和超过 元两种情况解答即可求
解；
本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设购进 种新型节能日光灯 盏，由题意可得， ，
解得 ，
∴ ，
答：购进 种新型节能日光灯 盏，购进 种新型节能日光灯 盏；
（2）解：∵ ，
∴第一次加购 型日光灯出厂总金额低于 元，第二次加购 型日光灯出厂总金额高于 元，
∴第一次加购 型日光灯出厂总金额为 元，加购了 盏节能日光灯，
设第二次加购 型日光灯 盏，
当出厂总金额不超过 元时，
由题意得， ，
解得 ，
∴两次购买了节能日光灯 盏，
∴一次性购买出厂总金额为 元，
∴ 元；
当出厂总金额超过 元时，
由题意得， ，
解得 ，不合题意；
综上，一次性购买时支付的总金额比两次分开购买时支付的总金额少 元．
压轴题型四 一元一次方程解决积分问题
例题：（2023上·江西新余·七年级统考期末）12月4日为全国法制宣传日，当天某初中组织4名学生参加
法制知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了其中2名参赛学生的得分情况．
答错题
参赛者 答对题数 得分
数
20 0 100
17 3 79
(1)从表中可以看出，答对一题得______分，答错一题得______分；
(2)参赛学生 得了58分，他答对了几道题？答错了几道题？
【答案】(1) ；(2)参赛学生 答对了14道题，答错了6道题
【分析】此题考查的是一元一次方程的应用；
（1）根据表格中参赛者A的成绩和参赛者B的成绩即可求出每答对一道题得分和每答错一道题扣分；
（2）设参赛学生 答对了x道题，则答错了 道题，根据题意列一元一次方程即可求出结论.
【详解】（1）解：由表格中参赛者A的成绩可知：每答对一道题得 分，
由表格中参赛者B的成绩可知：每答错一道题扣 分，
故答案为： ， ．
（2）设参赛学生 答对了x道题，则答错了 道题，
根据题意： ，
解得： ，
答错了： 道，
答：参赛学生 答对了14道题，答错了6道题．
巩固训练
1．（2024上·福建福州·七年级统考期末）某电视台组织知识竞赛，共设20道题选择题，各题分值相同，
每题必答．下表记录了5个参赛者的得分情况．
答错题
参赛者 答对题数 得分
数
A 20 0 100
B 19 1 94
C 18 2 88
D 14 6 64
E 10 10 40
根据以上信息，请你算出：
(1)填空：答对一题得______分，答错一题扣______分；
(2)参赛者F得76分，他答对了几题？
(3)参赛者G说他得了36分，你认为可能吗？试说明理由．
【答案】(1)5，1；(2)他答对了16题；
(3)不可能，理由见解析．
【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意读懂积分的计算方式并列出方程是解题的关键．
（1）根据参赛者A的分数可得答对一题得5分，再根据参赛者B的分数方程求解即可；
（2）设参赛者F答对了x题，根据（1）的结论列方程求解即可；
（3）利用（2）的方法，求出他答对的题数，看是否为整数即可得解．
【详解】（1）解：根据参赛者A的分数可得答对一题的得分是：100÷20=5，
设答错一题扣a分，则： ，
解得： ，
故答案为：5，1；
（2）由（1）可知答对一题得5分，答错一题扣1分，设参赛者F答对了x题，依题意可得
，解得 ，
答：他答对了16题．
（3）不可能，理由如下：
设参赛者G答对了y题，则 ，
解得 ，
∵ 不是整数，
∴参赛者G不可能得36分
2．（2023上·山西太原·七年级统考期末）阳光体育季，赛场展风采．七年级组织迎新拔河比赛，每班代表
队都需比赛10场，如图是此次拔河比赛积分榜的部分信息，请解决下列问题：(1)由积分榜可知，胜一场得__________分，负一场得__________分；
(2)已知积分榜中4班的积分是24分，求4班胜了几场比赛．
【答案】(1)3，1
(2)4班胜了7场比赛
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用：
（1）先由6班的胜和负场情况，得出负一场得1分，接着由5班的胜和负场情况，胜一场得3分，即可作
答．
（2）设4班胜了 场比赛，根据场数10，积分24分，进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，负一场得分： （分）；
胜一场得分： （分）；
故答案为：3，1；
（2）解：设4班胜了 场比赛，则负了 场比赛，
解得
答：4班胜了7场比赛
压轴题型五 一元一次方程解决方案问题
例题：（2024上·湖南邵阳·七年级统考期末）为准备春节文艺汇演，甲、乙两所学校共92名学生（其中甲
校学生多于乙校学生，且甲校学生不够90名）准备统一购买服装参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表：
购买服装的套
1套至45套 46至90套 由91套及以上
数
每套服装的价
60元 50元 40元
格
如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5000元．
(1)甲、乙两校各有多少名学生准备参加演出？
(2)如果两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？
(3)如果甲校有6名学生被调去参加书法比赛不能参加演出，请你为两校设计购买服装方案，并说明哪一种
最省钱．
【答案】(1)甲校有52名学生参加演出，乙校有40名学生参加演出
(2)可以节省1320元钱
(3)两所学校购买91套服装最省钱
【分析】本题考查了一元一次方程的应用:
（1）设甲校有x名学生参加演出，则乙校有 名学生参加演出，根据总价=单价×数量结合他们一共
应付5000元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）用 套服装所需费用，即可求出结论；
（3）分别求出购买服装、一起购买及购买91套服装所需费用，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲校有x名学生参加演出，则乙校有 名学生参加演出，
根据题意得： ，
解得： ，
∴ ．
答：甲校有52名学生参加演出，乙校有40名学生参加演出．
（2）解： （元）．
答：如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省1320元钱．
（3）解：有三种购买方案：
①如果买 套，
则花费为： （元）；
②如果买91套，则花费： （元）；
③各自买服装需要 （元）；∵ ，
∴买91套服装最省钱；
∴甲、乙两校应该联合起来按单价40元一次购买91套服装最省钱．
巩固训练
1．（2024上·浙江宁波·七年级统考期末）一家电信公司推出两种移动电话计费方法：计费方法A是每月收
月租费58元，通话时间不超过150分钟的部分免费，超过150分的按每分钟0.25元加收通话费；计费方式
B是每月收月租费88元，通话时间不超过350分钟的部分免费，超过350分的按每分钟0.20元收通话费．
(1)若朵朵爸爸采用计费方法A一个月累计通话362分钟，求朵朵爸爸这个月所需的移动电话费用是多少？
(2)在（1）条件下所需的费用，若朵朵爸爸改用计费方法B，则比计费方法A多通话多少分钟？
【答案】(1)111元
(2)103分钟
【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，首先读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的
等量关系是解题的关键．
（1）根据提议，按照计费方法A的方式计算即可．
（2）设按计费方法B可通话x分钟，根据两种方式话费相同列方程，求出x的值，再计算它们的差即可．
【详解】（1）根据题意，采用计费方法 一个月累计通话362分钟，所需的移动电话费用是
（元）；
（2）设按计费方法B可通话x分钟，则：
，
解得 ，
（分钟），
∴若朵朵爸爸改用计费方法B，则比计费方法A多通话103分钟．
2．（2024上·宁夏吴忠·七年级统考期末）“书籍是人类进步的阶梯”，自开展全区读书宣传活动以来，某
图书出租店为此开设两种租书方式．方式一：零星租书，每本收费 元；方式二：会员卡租书，会员每
月交会员费6元，租书费每本 元．小李同学经常来该店为自己和本班同学租书，若小李同学每月租书
数量为x本．
(1)分别写出两种租书方式下，小李同学每月应付的租书金额（用含x的式子表示）；
(2)若小李同学在一月内为班级租20本书，试问选用哪种租书方式合算？
(3)小李同学每月如何根据租书需求灵活选择省钱的租书方式？请通过计算验证你的看法．
【答案】(1)方式一： 元；方式二： 元
(2)选用方式二合算(3)见解析
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，
（1）根据题意列出代数式即可，方式一是 元，方式二是 元；
（2）把 代入两种方式下的代数式求值比大小即可；
（3）先计算出两种租书方式收费一样多的租书数量x，然后分“租书数量 ，租书数量 ，租书数量
”三种情况制定方案即可．
【详解】（1）解：方式一： 元；方式二： 元
（2）方式一： 元，
方式二： 元，
∴选用方式二合算．
（3）解：令 ，
解得： ，
∴当每月租书15本时，方式一和方式二都一样，当每月租书大于15本时选择方式二，当每月租书小于15
本时选择方式一．
3．（2024上·甘肃酒泉·七年级统考期末）合肥庐阳区实验学校七（6）班为迎接学校秋季运动会计划购买
30支签字笔，若干本笔记本（笔记本数量超过签字笔数量），用来奖励运动会中表现出色的运动员和志愿
者，甲、乙两家文具店的标价都是签字笔8元/支、笔记本2元/本，甲店的优惠方式是签字笔打九折，笔记
本打八折；乙店的优惠方式是每买5支签字笔送1本笔记本，签字笔不打折，购买的笔记本打七五折．
(1)请用含x的代数式分别表示学校在甲、乙两家店购物所付的费用；
(2)如果购买笔记本数量为60本，并且只在一家店购买的话，请通过计算说明，到哪家店购买更合算？
(3)若都在同一家店购买签字笔和笔记本，试问购买笔记本数量是多少时，两家店的费用一样？
【答案】(1) ；
(2)到甲店购买更合算，见解析
(3)购买150本笔记本时，两家店的费用一样
【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系是解题的关键．
（1）根据题意列代数式即可；
（2）求出分别需要的费用，比较大小即可得到答案；
（3）设购买x本笔记本，根据题意列出方程即可得到答案．【详解】（1）解： ，
．
（2）解：到甲店购买所需费用为 （元），
到乙店购买所需费用为 （元），
，
到甲店购买更合算；
（3）解： （本）．
设购买x本笔记本时，两家店的费用一样，
依题意，得： ，
解得： ．
答：购买 本笔记本时，两家店的费用一样．
压轴题型六 一元一次方程解决电费和水费问题
例题：（2023上·广东深圳·七年级红岭中学校联考期末）为节约用水，某市规定四口之家每月标准用水量
为15立方米，超过部分加价收费，假设不超过部分水费为 元/立方米，超过部分水费为3元/立方米．
(1)如果小明家6月份用水20立方米，则应缴水费多少元？
(2)如果小明家某月的用水为m 立方米 ，那么这个月应缴水费多少元？（用含m 的代数式表示）
(3)如果小明家某月的应缴水费 元，，那么这个月用水为多少立方米？
【答案】(1) 元．
(2) 元；
(3)25立方米．
【分析】本题主要考查一元一次方程的实际运用，根据实际情况分段讨论，掌握一元一次方程的分段讨论
是解题的关键．
（1）根据题干中的计费方法列式求解即可；
（2）用水为m立方米 ，一部分是标准用水量与单价的乘积，另一部分是超出的水量与超出的单价的乘积，最后两部求和，即可求出答案；
（3）根据（2）中的代数式，把用水量代入列出方程，即可求出答案．
【详解】（1） （元）．
答：这个月应缴水费 元．
（2）这个月应缴水费为 元；
（3）∵ ，
∴
∴
解得
答：这个月用水25立方米．
巩固训练
1．（2023上·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控
手段达到节水的目的．该市自来水收费价格如表：
每月用水量 单价（元/立方米）
不超过22立方米的部分
超过22立方米的部分
(1)某用户4月份用水10立方米，共交费24元，求 的值；
(2)在（1）的前提下，该用户5月份交水费78元，请问该用户5月份用水多少立方米？
【答案】(1)
(2)该用户5月份用水29立方米
【分析】本题主要考查一次方程的应用，读懂题意，找准等量关系是解题的关键．
（1）由题意得到 即可得到答案；
（2）首先由计算得到5月份用水超过 立方米，列方程计算即可．
【详解】（1）解：
解得： ；
（2）解：设该用户5月份用水 立方米．解得 ．
2．（2023上·河南商丘·七年级校联考阶段练习）某公司推出两种流量计费业务（语音版均不含赠送流量）：
若张明一个月使用流量 MB，则：
项目 计费方
月使用费（元） 流量计费（元/MB）
式
甲种 0
乙种 18
(1)按照甲种计费方式，共需______元；按照乙种计费方式，共需______元（均用含 的式子表示）．
(2)当两种计费方式相等时，求 ．
(3)当每月使用流量超过400MB时，选择______（填“甲”或“乙”）种计费方式更省钱．
【答案】(1) ； ；
(2)
(3)乙
【分析】此题主要考查了最优化问题的应用，解答此题的关键是求出不同的计费方式下花费分别是多少．
（1）根据两种方式的收费标准分别进行计算即可；
（2）根据两种方式的收费标准相等，列出方程计算即可；
（3）根据（2）可知：当 时， ，即甲种计费方式多，乙种计费方式省钱；当
时， ，即乙种计费方式多，甲种计费方式省钱，进而可得出答案．
【详解】（1）解：按照甲种计费方式，共需 ；按照乙种计费方式，共需 元；
故答案为： ； ；
（2）解：根据题意得出： ，
解得： ；
（3）解：根据（2）可知：
当 时， ，即甲种计费方式多，乙种计费方式省钱；
当 时， ，即乙种计费方式多，甲种计费方式省钱；
当每月使用流量超过400MB时，选择乙种计费方式省钱，
故答案为：乙．
3．（2023上·湖南娄底·七年级统考阶段练习）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表：档次 月用电量 电价（元/度）
第1档 不超过240度的部分
第2档 超过240度但不超过400度的部分
第3档 超过400度的部分
已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元.
(1)表中 的值为________；
(2)求老李家9月份的用电量；
(3)若8月份老李家用电的平均电价为 元/度，求老李家8月份的用电量.
【答案】(1)
(2)300
(3)800
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解分档用电量的计算是解题的关键．
（1）利用电费=电价×月用电量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值．
（2）设老李家9月份的用电量为x度，先求出月用电量为240度时的电费，由该值小于183，可得出
，再利用电费 超过240度的部分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结
论．
（3）设老李家8月份的用电量为y度，根据8月份老李家用电的平均电价为 元/度，即可得出关于y的
一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【详解】（1）依题意得： ，
解得： ．
故答案为： ．
（2）设老李家9月份的用电量为x度，
∵ （元）， ，
∴ ．
依题意得： ，
解得： ．
答：老李家9月份的用电量为300度．
（3）．∵三个档次的平均价格为 （元），8月份老李家用电的平均电价为 元/度，∴老李家8月份用电量一定超过400度，
设老李家8月份的用电量为y度，
依题意得： ，
解得： ．
答：老李家8月份的用电量为800度．
压轴题型七 一元一次方程解决数轴上的动点问题
例题：（2024上·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，点A，B在数轴上表示的数分别为 与4 ，若数轴上
A，B两点之间存在点 C，使得 ．
(1)点C所表示的数为________．
(2)动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时，动点Q从点B出发，以每秒1个单位
长度的速度向右运动，假设运动时间为t秒，当 时，求t的值．
【答案】(1)2
(2) 或 ．
【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，熟练的利用方程解题是关键．
（1）先求解 ， ， ，再结合C的位置可得答案；
（2）先表示运动中 对应的数为 ， 对应的数为 ，再利用 建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点A，B在数轴上表示的数分别为 与4 ，
∴ ，
∵数轴上A，B两点之间存在点 C，使得 ．
∴ ， ，
∴点C所表示的数为2；
（2）∵运动中 对应的数为 ， 对应的数为 ，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： 或 ．
巩固训练
1．（2023上·陕西西安·七年级统考期末）如图，A，B是数轴上的两个点（B在A的右侧），点 为原点，
点A表示的数为 ，且 ．
(1)若点C为数轴上一动点，当 时，求点C表示的数．
(2)动点P，Q分别从点B和点A同时出发向左匀速运动，点P，Q的速度分别为每秒3个单位长度和每秒1
个单位长度，设运动时间为t秒，点M为P，Q的中点，试探究点P，Q运动过程中，且点M在原点右边
时， 的值是否会发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由．
【答案】(1) 或
(2) 的值不会发生变化，为定值12，理由见解析
【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，一元一次方程的应用：
（1）设点C表示的数为x，先求出 ，进而得到 ，再分当点C在点A左侧时，当点C在A、
B之间时，当点C在点B右侧时，三种情况根据数轴上两点距离计算公式建立方程求解即可；
（2）由题意得，点P表示的数为 ，点Q表示的数为 ，则点M表示的数为 ，由点M在原
点右边，得到 ，则 ， ，可得 ，据此可得结论.
【详解】（1）解：设点C表示的数为x，
∵点A表示的数为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴点B表示的数为 ；
当点C在点A左侧时，∵ ，
∴ ，
解得 ；
当点C在A、B之间时，则 ，不符合题意；
当点C在点B右侧时，∵ ，
∴ ，
解得 ；
综上所述， 或 ，
∴点C表示的数为 或 ；
（2）解： 的值不会发生变化，为定值12，理由如下：
由题意得，点P表示的数为 ，点Q表示的数为 ，
∵点M为P，Q的中点，
∴点M表示的数为 ，
∵点M在原点右边，
∴ ，即 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的值不会发生变化，为定值12．
2．（2024上·安徽芜湖·七年级统考期末）【新知理解】
如图①，点C在线段 上，图中共有三条线段 、 和 ，若其中有一条线段的长度是另外一条线
段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．
（1）线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）．
（2）若 ，点C是线段 的“巧点”，则 ______ ；
【解决问题】
（3）如图②，已知 ．动点P从点A出发，以 的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B
出发，以 的速度沿 向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为ts．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”？并
说明理由．
【答案】（1）是；（2）8或12或16；（3）t为 或 或 ，理由见详解
【分析】（1）由“巧点”的定义进行判断即可求解；
（2）由“巧点”的定义，按 的位置进行分类讨论① ，②
，③ ，即可求解；
（3）①当 是 、 的“巧点”，(ⅰ) 由“巧点”的定义得 ，列方程即可求解； (ⅱ) 由“巧
点”的定义得 ，
②当 是 、 的“巧点”，(ⅰ) 由“巧点”的定义得 ， (ⅱ) 由“巧点”的定义得 ，
即可求解．
【详解】（1）解： C是线段 的中点，
，
C是线段 的“巧点”；
故答案：是；
（2）解：①如图，点C是线段 的“巧点”，
，
；
②如图，点C是线段 的“巧点”，
，
；③如图，点C是线段 的“巧点”，
，
；
故答案： 或 或 ；
（3）解：t为 或 或 ，理由如下：
①当 是 、 的“巧点”，
(ⅰ)如图，
，
， ，
，
，
解得： ，
(ⅱ)如图，
，
， ，
，
，
解得： ；
②当 是 、 的“巧点”，
(ⅰ)如图，，
， ，
，
，
，
，
解得： ；
(ⅱ)如图，
，
同理可得：
，
解得： ；
此种情况不合题意，舍去；
综上所示：当t为 或 或 时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”．
【点睛】本题考查了新定义，线段的和差，一元一次方程的应用，理解新定义，将为题转化为一元一次方
程进行求解是解题关键．
3．（2024上·浙江·七年级专题练习）已知A，B两点在数轴上对应的有理数分别为a，b，且a，b满足：
．(1)则 ___________， ___________；
(2)定义：若点M为数轴上A，B两点之间一点，且到A，B两点的距离满足：其中一个距离是另一个距离
的2倍，则称M为A，B两点的“友好点”．
①求A，B两点的“友好点”M在数轴上对应的有理数；
②点P以每秒4个单位长度的速度从点A出发，沿数轴向右运动，同时点Q以每秒1个单位长度的速度从
点B出发，沿数轴向右运动，当点P、Q相遇则停止运动．设运动时间为t秒，若整个运动过程中，B，
P，Q三点中有一点是另两点的“友好点”，求t值．
【答案】(1) ，12；
(2)①6或0；②3或4或 或 ．
【分析】（1）根据绝对值及偶次方的非负性解答即可；
（2）①设数轴上点M表示的数为x，由题意得 或 ，根据数轴上两点之间的距离公式
列出关于x的方程解答；
②由题意得点P表示的数为 ，点Q表示的数为 ，根据当P、Q相遇时求出t的取值范围，再分
两种情况：当点B是P、Q的“友好点”时，有 ，或 ；当点P是B、Q的“友好点”
时，有 或 ，根据数轴上两点之间的距离公式列出关于x的方程解答．
【详解】（1）∵ ，且 ，
∴ ，
∴
∴ ，
故答案为： ，12．
（2）①设数轴上点M表示的数为x，
由题意得 或 ，
∴ 或 ，
解得 或 ，
∴数轴上点M对应的有理数是6或0；②由题意得点P表示的数为 ，点Q表示的数为 ，
∴当P、Q相遇时， ，
解得 ，
∴ ，
当点B是P、Q的“友好点”时，有 （如图1），或 （如图2）
或 ，
解得 或 ，
此时，P表示的数为6或10，均在B的左侧，符合题意；
当点P是B、Q的“友好点”时，有 （如图3）或 （如图4），
∴ 或 ，
解得 或 ，
综上，当B，P，Q三点中有一点是另两点的“友好点”时，t的值为3或4或 或 ．
【点睛】本题考查了新定义，数轴的应用，一元一次方程的应用，绝对值及偶次方的非负性等知识，分类
讨论是解题关键．
4．（2024上·湖北襄阳·七年级统考期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将
数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则
A，B两点之间的距离 ，线段AB的中点表示的数为 ．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为 ，点B表示的数为7，点P从点A出发，以每秒2个单位长
度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动．
设运动时间为t秒 ．
【综合运用】(1)填空：
①A、B两点间的距离 ______，线段 的中点表示的数为______；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为______；点Q表示的数为______．
(2)求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
(3)求当t为何值时， ；
(4)若点M为 的中点，点N为 的中点，点P在运动过程中，线段 的长度是否发生变化？若变化，
请说明理由；若不变，请求出线段 的长．
【答案】(1)①10，2；②
(2)相遇点表示的数为1
(3)当 或2.5，
(4)5
【分析】本题考查一元一次方程的应用、数轴、两点间的距离、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利
用方程和数形结合的思想解答．
（1）①根据点 表示的数为 ，点 表示的数为7，即可得到 、 两点间的距离以及线段 的中点表
示的数；②依据点 ， 的运动速度以及方向，即可得到结论；
（2）根据当 、 两点相遇时， 、 表示的数相等，可以得到关于 的方程，然后求出 的值，本题得
以解决；
（3）根据 ，可以求得相应的 的值；
（4）根据题意可以表示出点 和点 ，从而可以解答本题．
【详解】（1）①A、B两点间的距离 ，线段 的中点表示的数为 ；
②用含t的代数式表示： 秒后，点 表示的数为： ，点 表示的数为： ，
故答案为：①10，2；② ；（2） 当 、 两点相遇时， 、 表示的数相等，
，
解得： ，
当 时， 、 相遇，
此时， ，
相遇点表示的数为1；
（3） 秒后，点 表示的数 ，点 表示的数为 ，
，
又 ，
，
解得： 或2.5，
当 或2.5时， ；
（4）点 在运动过程中，线段 的长度不发生变化，
理由如下： 点 表示的数为： ，
点 表示的数为： ，
，
点 在运动过程中，线段 的长度不发生变化，长为5．
