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第五章 一元一次方程知识归纳与题型突破（题型清单）
01 思维导图
02 知识速记
一、基本概念
1、等式的概念：含有等号，表示相等关系的式子
2、方程的概念：含有未知数的等式
3、一元一次方程的概念：（1）只含有1个未知数；
（2）未知数的最高次数为1次；
（3）等式两边都是整式．
二、等式的性质
若 ，则 、 、 、 ．
特别注意：等式两边须同时乘以或除以一个不为0的数．
三、解一元一次方程
1、去分母（不漏乘不含分母的项，去分母应加括号）2、去括号（带着符号计算，不要漏乘）
3、移项（移项要变号；未知数移到左边，常数移到右边；先后顺序不重要）
4、合并同类项
5、系数化为1（系数不能为0，若未知数的系数含有字母则需要讨论）
四、列方程解应用题的步骤
①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系
②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）
③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系
④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程
⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值
⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）
五、一元一次方程的应用
一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
利润
（3）销售问题（利润=售价-进价，利润率= ×100%；
进价
（4）工程问题（①工作量=人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作
量的和=工作总量）；
（5）行程问题（路程=速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）．
03 题型归纳
题型一 判断是否是一元一次方程
例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中，一元一次方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
巩固训练
1．（23-24七年级下·全国·期中）下列各式中，属于一元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24七年级上·全国·单元测试）在方程 ， x=0， ，
① ② ③ ④
中，一元一次方程共有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
3．（23-24七年级上·全国·单元测试） ； ； ； ；
① ② ③ ④ ⑤
； ．其中一元一次方程的个数是（ ）
⑥
A． B． C． D．
题型二 根据一元一次方程的定义求参数的值
例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知 是关于 的一元一次方程，则 的值是
．
巩固训练
1．（23-24七年级上·全国·单元测试）若 是关于 的一元一次方程，则 ．
2．（23-24七年级上·河南漯河·期中）已知关于x的方程 是一元一次方程，则m的值为
．
3．（23-24七年级上·全国·单元测试）若关于 的方程 是一元一次方程，则 的值
为 ．题型三 已知一元一次方程的解求参数的值
例题：（23-24七年级下·全国·期中）关于x的一元一次方程 有解，则m的值为 ．
巩固训练
1．（23-24七年级上·浙江金华·期末）已知 是方程 的解，则 ．
2．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）整式 的值随着 的取值的变化而变化，下表是当 取不同的值
时对应的整式的值：
0 1 2 3
0 4 8
则关于 的方程 的解是 ．
3．（23-24七年级上·浙江·期末）若关于x的方程 的解为 ，则方程 的解为
．
题型四 列一元一次方程
例题：（23-24六年级下·全国·单元测试）设某数为x，如果某数的2倍比它的相反数大1，那么列方程是
．
巩固训练
1．（23-24七年级上·福建福州·期末）“ 的 倍与 的和等于 的 与 的差”，用等式表示为
2．（2024·湖南益阳·模拟预测）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，
九人步，问人车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，刚好每车坐满后还剩余2辆车没人
坐；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘只能步行，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，
则可列方程 ．
3．（2023·吉林长春·模拟预测） 算法统宗 是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，
众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，其大意为：今有若干人住店，若每间住 人，则余
下 人无房可住：若每间住 人，则余下一间无人住，设店中共有 间房，可列方程为 ．
题型五 等式的基本性质
例题：（23-24七年级上·天津·期中）下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则C．若 ，则 D．若 ，则
巩固训练
1．（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）下列是根据等式的性质进行变形，正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
2．（23-24七年级上·安徽·单元测试）下列运用等式的性质变形中正确的是（ ）
A．如果 ，则 B．如果 ，则
C．如果 ，则 D．如果 ，则
3．（22-23七年级上·山东济南·阶段练习）下列变形正确的是（ ）
A． 变形得
B． 变形得
C． 变形得
D． 变形得
4．（2024·贵州贵阳·一模）用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所
示．设a，b，c均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（ ）
A．如果 ，那么 B．如果 ，那么
C．如果 ，那么 D．如果 ，那么
题型六 解一元一次方程
例题1：解方程：
(1) ； (2) .例题2：解方程：
(1) ； (2) ．
例题3：解下列方程：
(1) ； (2) ．
巩固训练
1．解方程：
(1) ； (2) ．
2．解下列方程：
(1) ； (2) ； (3) ；
(4) ； (5) ； (6) ．
3．解下列方程：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
题型七 解一元一次方程中的错解复原问题例题：（2024上·河北邯郸·七年级校考期末）关于方程 ，嘉嘉的解法如下．
解：去分母，得 ，…①
去括号，得 ，…②
合并同类项，得 ，
，…③
两边同时除以 ，得3=0．…④
所以方程无解．
(1)嘉嘉从第_________步开始出错（填序号），理由是___________________；
(2)请正确求解该方程．
巩固训练
1．（2024上·辽宁大连·七年级统考期末）下面是小董同学解一元一次方程 的过程，请
认真阅读并回答问题．
解： ，……第一步
，……第二步
，……第三步
．……第四步
(1)①以上求解过程中，第______步进行的是移项，移项的依据是______；
②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
(2)求该一元一次方程的解；
(3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要注意的事项给其他同学提一
条建议（一条即可）．
2．（2023上·山东威海·六年级统考期末）计算：(1)下面是解方程 的主要过程
解：原方程化为 ______，
去分母，得 ②，
去括号，得 ______，
移项，得 ______，
合并同类项，得 （合并同类项法则），
把未知数x的系数化为1，得 ______．
请从长方形框中选择与方程变形对应的依据，并将依据的序号填在相应的横线上；
(2)仿照上例解方程： （不需要指出每步的依据）
题型八 用一元一次方程解决实际问题
例题：（2024上·辽宁大连·七年级统考期末）某车间生产一批螺钉和螺母，由一个人操作机器做需要
完成．现计划由一部分人先做 ，然后增加 人与他们一起做 ，完成这项工作．假设这些人的工作效率
相同．
(1)求具体应先安排多少人工作？
(2)在增加 人一起工作后，若每人每天使用机器可以生产 个螺钉或 个螺母， 个螺钉需要配 个
螺母成为一个完整的产品，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？
(3)若该车间有 台 型和 台 型机器可以生产这种产品，每台 型机器比 型机器一天多生产 个产品．
已知 台 型机器一天的产品装满 箱后还剩 个， 台 型机器一天的产品装满 箱后还剩 个，且每箱
装的产品数相同．某天有 台 型机器和 台 型机器同时开工，请问一天生产的产品能否恰好装满 箱．
若能，请计算出 的值；若不能，请说明理由．巩固训练
1．（2024上·甘肃酒泉·七年级统考期末）合肥庐阳区实验学校七（6）班为迎接学校秋季运动会计划购买
30支签字笔，若干本笔记本（笔记本数量超过签字笔数量），用来奖励运动会中表现出色的运动员和志愿
者，甲、乙两家文具店的标价都是签字笔8元/支、笔记本2元/本，甲店的优惠方式是签字笔打九折，笔记
本打八折；乙店的优惠方式是每买5支签字笔送1本笔记本，签字笔不打折，购买的笔记本打七五折．
(1)请用含x的代数式分别表示学校在甲、乙两家店购物所付的费用；
(2)如果购买笔记本数量为60本，并且只在一家店购买的话，请通过计算说明，到哪家店购买更合算？
(3)若都在同一家店购买签字笔和笔记本，试问购买笔记本数量是多少时，两家店的费用一样？
2．（2024上·浙江嘉兴·七年级校联考期末）某超市第一次用10500元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的
件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：
甲 乙
进价（元/件） 40 60
售价（元/件） 50 80
(1)该超市第一次购进的甲、乙两种商品各多少件？
(2)该超市第一次购进的甲、乙两种商品售完后，第二次又以第一次的进价购进甲、乙两种商品，其中甲商
品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍．甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都
售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润少600元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？
3．（2023上·湖南邵阳·七年级校考阶段练习）为落实水资源管理制度，大力促进水资源节约，某市居民用
水实行阶梯水价，按年度用水量计算，将居民家庭全年用水量划分为三档，水价分档递增，实施细则如下
表：
某市居民用水阶梯水价表（单位：元/立方米）供水类
阶梯 户年用水量 （立方米） 水价
型
第一阶梯
自来水 第二阶梯
第三阶梯
若某户居民去年用水量为 立方米，则其应缴纳水费为 元．
(1)小明家一年用水 立方米，这一年应缴纳水费 元；
(2)小亮家—年缴纳水费 元，则小亮家这一年用水多少立方米？
(3)小红家去年和今年共用水 立方米，共缴纳水费 元，并且今年的用水量超过去年的用水量，则小
红家今年和去年各用水多少立方米？
