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第 02 讲 一次函数与正比例函数(5 类热点题型讲练)
1．掌握一次函数的概念，能根据条件写出一次函数的关系式；(重点)
2．掌握正比例函数的概念．(重点)
知识点01 一次函数的定义
一次函数：一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的
函数。
知识点02 正比例函数的定义
正比例函数：特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数.
函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个
点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立.
题型01 正比例函数的定义
例题：（2023春·吉林松原·八年级统考阶段练习）下列函数是正比例函数的是（ ）A． B． C． D．
【变式1】（2023春·四川广元·八年级统考期末）下列函数是正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市沈东初级中学校考开学考试）若 是关于x的
正比例函数，则 的值为 ．
题型02 识别一次函数
例题：（2023春·河南驻马店·八年级校考阶段练习）下列函数中，是一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023春·贵州铜仁·八年级统考阶段练习）下列函数：① ；② ；③ ；④
，其中一次函数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考开学考试）给出下列函数：①
；② ；③ ；④ ．其中是一次函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
题型03 根据一次函数的定义求参数
例题：（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考开学考试）已知 ，
y是x的一次函数，则 ．
【变式1】（2023春·河南安阳·八年级统考阶段练习）已知函数 是一次函数，则k的值为
．
【变式2】（2023春·辽宁营口·八年级统考期末）若函数 是一次函数，则
．
题型04 求一次函数自变量或函数值
例题：（2023春·广西桂林·八年级校考阶段练习）已知一次函数 的图象经过点 ，则
．【变式1】（2023春·山东临沂·八年级统考期末）若点 在函数 的图象上，则代数式
的值为 ．
【变式2】（2023春·河南驻马店·八年级统考期末）已知点 在一次函数 的图象上，则代数
式 的值等于 ．
题型05 列一次函数解析式并求值
例题：（2023春·全国·八年级专题练习）已知点A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=10，设
△OPA的面积为S．
(1)求出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围；
(2)当S=12时，求P的坐标．
【变式1】（2023春·上海·八年级专题练习）甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以
80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离．
（1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；
（2）当x=0.5时，求y的值．
【变式2】（2023秋·全国·八年级随堂练习）如图，甲、乙两地相距 ，现有一列火车从乙地出发，以
的速度向丙地行驶．
设 表示火车行驶的时间， 表示火车与甲地的距离．
（1）写出 与 之间的关系式，并判断 是否为 的一次函数；
（2）当 时，求 的值．一、单选题
1．（2023春·湖南湘西·八年级统考期末）直线 经过下列哪个点（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·吉林长春·八年级吉林大学附属中学校考阶段练习）函数 是关于x的
一次函数的条件为（ ）
A． 且 B． C． 且 D．
3．（2023秋·陕西西安·八年级校考开学考试）函数① ；② ；③ ；④ ；⑤
．是一次函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2023春·福建泉州·八年级统考期中）若点 在直线 上，则代数式 的值为
（ ）
A．3 B． C．2 D．0
5．（2023春·山西朔州·八年级校考阶段练习）根据如图所示的程序计算函数 的值，若输入 的值是6，
则输出 的值是1，若输入 的值是2，则输出 的值是（ ）
A．4 B．10 C．19 D．21
二、填空题
6．（2023春·湖南株洲·八年级校考期末）如果点 在函数 的图象上，那么 ．
7．（2023春·湖北咸宁·八年级校考阶段练习）若 为一次函数，则 ．
8．（2023春·上海浦东新·八年级校考期末）当 时，函数 是一次函数，且不是
正比例函数．
9．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期末）直线 经过点 ，则 的值为
．
10．（2023春·江苏南通·八年级统考期中）如图，点 ， ，点P在直线 上，当
时，点P的坐标是 ．三、解答题
11．（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）已知一次函数 ．
(1)当 时，求 的值；
(2)当 时，求 的值；
(3)判断点 是否在直线 上．
12．（2023春·湖南岳阳·八年级校考期末）已知函数 ．
(1)当m为何值时，y是x的一次函数？
(2)当m为何值时，y是x的正比例函数？
13．（2023春·吉林长春·八年级校考阶段练习）已知函数 ，
(1)当 是何值时函数是一次函数．
(2)当函数是一次函数时，写出此函数解析式．并计算当 时的函数值．
(3)点 在此一次函数图象上，则 的值为多少．
14．（2023·陕西咸阳·校考一模）尊老爱幼是中华民族的传统美德，为鼓励在“争做孝心好少年”主题活
动中表现优秀的同学，某班准备购买钢笔和笔记本作为奖品．某文具商店给出了两种优惠方案：①买一支
钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支
钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．该班班长准备购买x支钢笔和 本笔记本，设选择第一
种方案购买所需费用为 元，选择第二种方案购买所需费用为 元．(1)请分别写出 ， 与x之间的关系式；
(2)若该班班长准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为
优惠．
15．（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）如图1， 是三角形 的边 上的高，且 ，
，点E从点B出发，沿线段 向终点C运动，其速度与时间的关系如图2所示，设点E运动时
间为 ，三角形 的面积为 ．
(1)在点E沿 向点C运动的过程中，它的速度是___________ ，用含x的代数式表示线段 的长是
___________ ，变量y与x之间的关系式为___________，
(2)当 时，y的值为___________；当x每增加1s时，y的变化情况是：___________．
16．（2023·全国·九年级专题练习）某花店每天购进 支某种花，然后出售．如果当天售不完，那么剩下
的这种花进行作废处理、该花店记录了 天该种花的日需求量n（n为正整数，单位：支），统计如下表：
日需求量n
天数 1 1 2 4 1 1
(1)求该花店在这 天中出现该种花作废处理情形的天数；
(2)当 时，日利润y（单位：元）关于n的函数表达式为： ；当 时，日利润为 元．
①当 时，间该花店这天的利润为多少元？
②求该花店这 天中日利润为 元的日需求量的频率．
