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4.2 一次函数
题型一 判断正比例函数
1.下列函数中是正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】正比例函数的定义
【分析】本题主要考查正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键；因此此题可根据
“形如 的函数叫做正比例函数”进行排除选项即可．
【详解】解：A、B、D都不符合正比例函数的定义，所以都不是正比例函数；选项C是正比例函数；故选C．
2.在下列关系式中，y和x是两个相关联的量，其中y和x成正比例关系的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的定义
【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．形如 （k为常
数， ）的函数叫做正比例函数，由此判断即可．
【详解】解：A、 ，y是x的一次函数，y和x不成正比例关系，故此选项不符合题意；
B、 ， ，y是x的一次函数，y和x不成正比例关系，故此选项不符合题意；
C、 ，y是x的正比例函数，y和x成正比例关系，故此选项符合题意；
D、 ，y和x成反比例关系，故此选项不符合题意；
故选：C．
3.下列函数中， 是 的正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的定义
【分析】本题考查了正比例函数“一般地，形如 （ 是常数， ）的函数，叫做正比例函数”，
熟练掌握正比例函数的定义是解题关键．根据正比例函数的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、 不是正比例函数，则此项不符合题意；
B、 是正比例函数，则此项符合题意；
C、 不是正比例函数，则此项不符合题意；
D、 不是正比例函数，则此项不符合题意；故选：B．
题型二 判断一次函数
4.表示变量之间关系的函数解析式有① ，② ，③ ，④ ，其中一次函数是
（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】识别一次函数
【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数的一般形式 （k，b为常数且 ），逐一
判断即可解答．
【详解】解：表示变量之间关系的函数解析式有① ，② ，③ ，④ ，其中
一次函数是①④，
故选：D．
5.下列函数中，不是一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】识别一次函数
【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如 （k为常数， ）的函数叫做一次函数．
根据一次函数的定义逐项分析即可．
【详解】解：A、 满足一次函数的定义，故该选项不符合题意；
B、 满足一次函数的定义，故该选项不符合题意；
C、 满足一次函数的定义，故该选项不符合题意；
D、 不满足一次函数的定义，故该选项符合题意；
故选：D
6．（24-25八年级下·北京·期末）下面的三个问题中都有两个变量：①在压力 一定的情况下，物体对地面的压强 与受力面积 ；
②冷冻一个 的物体，使它每分钟下降 ．物体的温度 与冷冻时间 ；
③在弹性限度内，弹簧原长度为 ，弹簧挂重物后的长度 与弹簧受到的拉力x（N）．
其中，两个变量之间的函数关系是一次函数的是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】识别一次函数
【分析】本题考查了一次函数的概念，掌握一次函数的概念是关键；判断每个情境中的变量关系是否为一
次函数，需根据一次函数的定义（形如 ， ）逐一分析．
【详解】解：情境①：压强 与受力面积 的关系为 （ 为定值），此式为反比例函数，不符合一
次函数的形式，故①不符合；
情境②：温度 与时间 的关系为 （每分钟下降 ），此式为 ，符合一次函数
的形式（ ），故②符合；
情境③：弹簧长度 与拉力 的关系为 （ 为弹性系数），此式符合一次函数的形式，故③符合；
综上，符合一次函数的是②③，
故选：B．
题型三 根据正比例函数的定义求参数
7.若函数 是正比例函数，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的定义
【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义可得，解之即可求解，掌握正比例函数的
定义是解题的关键．
【详解】解：∵函数 是正比例函数，
∴ 且 ，∴ ，
故选： ．
8.如果一次函数 是正比例函数．则m的值是 ．
【答案】1
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的定义
【分析】本题主要考查了正比例函数定义，关键是掌握形如 （k是常数， ）的函数叫做正比例
函数．
根据正比例函数定义可得 ，且 ，再求解即可．
【详解】解：由题意得： ，且 ，
解得： ，
故答案为： ．
题型四 根据一次函数的定义求参数
9.若函数 （ 为常数）是一次函数，则 ．
【答案】 /
【难度】0.85
【知识点】根据一次函数的定义求参数
【分析】本题考查了一次函数的定义，形如 的式子，就叫做 是 的一次函数，据此进行
列式得 ，计算得出 ，即可作答．
【详解】解：∵函数 （ 为常数）是一次函数，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
10．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中） 表示一次函数，则m等于 ．【答案】
【难度】0.85
【知识点】根据一次函数的定义求参数
【分析】此题考查了一次函数的定义：形如 的函数是一次函数，熟记定义是解题的关键．
根据一次函数的定义解答．
【详解】解：∵ 表示一次函数，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
11.关于 的函数 ．
(1) 和 取何值时是关于 的一次函数；
(2) 和 取何值时是关于 的正比例函数．
【答案】(1) ， 为任意实数
(2) ，
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的定义、根据一次函数的定义求参数
【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的定义及解析式，关键是掌握两种函数的定义，另外要清楚一
次函数与正比例函数是一般与特殊的关系．
（1）根据一次函数的定义及表示形式完成即可；
（2）根据正比例函数的解析式完成即可．
【详解】（1）解：由一次函数的意义知 ，
解得： ．
当 ， 为任意实数时，函数是关于 的一次函数．
（2）解：由正比例函数的意义知 ，解得： ， ．
当 ， 时，函数是关于 的正比例函数．
题型五 求一次函数自变量或函数值
12.已知 ．
(1)若把y看成是x的函数关系式，求出其函数关系式；
(2)当 或 时，求函数值；
(3)当 时，求自变量x的值．
【答案】(1)
(2)1或
(3)7
【难度】0.85
【知识点】求一次函数自变量或函数值、列一次函数解析式并求值
【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，求自变量的值，求函数值，
对于（1），用含有x的代数式表示y即可；
对于（2），将 ， 分别代入关系式，求出答案；
对于（3），将 代入关系式，求出结果即可．
【详解】（1）解：移项，得 ，
两边都除以2，得 ；
（2）解：当 时， ；
当 时， ；
（3）解：当 时， ，
解得 ．题型一 根据正比例函数的定义求参数
13.规定： 是一次函数 （ 为实数， ）的“特征数”．若“特征数”是 的一
次函数是正比例函数，则 的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的定义、根据一次函数的定义求参数
【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．根据正比
例函数的定义即可求出m的值．
【详解】解：由题意得：
∵“特征数”是 的一次函数是正比例函数，
∴ ，
∴ ．
故选A．
题型二 根据一次函数的定义求参数
14.已知 是关于 的一次函数，则 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、根据一次函数的定义求参数
【分析】此题考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义得出 ，代入代数式求解即可．形如
的函数为一次函数．
【详解】解：函数 是关于x的一次函数
则 ，
解得
∴ ，
故答案为： ．题型三 求一次函数自变量或函数值
15.一次函数 ，当 ， 的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求一次函数自变量或函数值
【分析】本题主要考查了求一次函数函数值，一次函数的增减性，掌握系数与增减性的关系是解题关键．
根据解析式可得该函数y随x的增大而减小，则当 时取得最大值，求出此时y的值即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数解析式为 ， ，
∴该函数y随x的增大而减小，
∴当 时， 时取得最大值，
此时 ，
故选：D．
16.如图是一个运算程序示意图，若开始输入x后，输出y值为13，则输入的x为 ．
【答案】 或5
【难度】0.85
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求一次函数自变量或函数值
【分析】本题主要考查了求一次函数的自变量，根据运算程序示意图分两种情况求解即可．
【详解】解：当 时，
此时运算公式为： ．则可得方程 ，
根据绝对值的定义可得出 ．
∵ ，
∴ 符合条件， 舍去．
当 时，
此时运算公式为： ．则可得方程 ．解得 ， ，符合 这个条件．
故输入的x为： 或5，
故答案为： 或5
17.按照如图所示的运算程序计算函数y的值，若输入x的值是5，则输出y的值是14．若输入x的值是 ，
则输出y的值是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求一次函数自变量或函数值
【分析】本题考查函数值，直接利用已知代入得出 的值，进而求出输入 时，得出 的值，解题的关键
是正确运算．
【详解】解：把 ， 代入 ，得 ，
解得： ，
则当 时，
把 ，代入 ，
得 ．
故答案为： .
18.根据如图所示的程序计算函数 的值．若输入 的值是1，则输出 的值是2，若输入 的值是5，则输
出 的值是 ．
【答案】 /
【难度】0.65
【知识点】程序流程图与代数式求值、求一次函数自变量或函数值
【分析】本题考查一次函数求值，以及程序框图，解题的关键在于正确理解程序框图．
结合程序框图，根据输入 的值是1，则输出 的值是2，列式求出 ，再将输入 的值是5，代入程序
框图运算求解，即可解题．【详解】解：结合程序框图可知，
若输入 的值是1，则输出 的值是2，且 ，
，
解得 ，
，
；
故答案为： ．
19.已知关于x的一次函数 （a为常数，且a≠0）．
(1)当自变量1对应的函数值为5时，求a的值；
(2)对任意非零实数a，一次函数的图像都经过点Q，请求点Q的坐标．
【答案】(1)3
(2)
【难度】0.65
【知识点】整式加减中的无关型问题、根据一次函数的定义求参数
【分析】本题主要考查代入求值和整式中某项系数为0的条件等知识点，解决此题的关键是正确的计算；
（1）根据题意把自变量和函数值代入解析式，即可解决问题；
（2）对于任意非零实数对任意非零实数a，一次函数的图像都经过点Q，其实就是保证右边的整式中不包
含a，把所有含a的项合并在一起，令其系数为0即可；
【详解】（1）解：把 代入 （a为常数，且 ）得， ，
解得 ；
（2）解：∵ ，
∴当 时，可有 ，
∴对任意非零实数a，一次函数的图像都经过点 ，∴ ．
20．（24-25八年级上·福建宁德·期中）某电信公司手机的A套餐收费标准为：不管通话时间多长，每部手
机每月必须缴月租费18元，另外，通话费按 元/ 计；B套餐收费标准为：不收月租费，但通话费
用按 元/ 计．
(1)写出两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间x（ ）之间的关系；
(2)若每月平均通话时间为 ，你选择哪种套餐？并说明理由．
【答案】(1)A套餐： ，B套餐：
(2)选B套餐，理由见解析
【难度】0.65
【知识点】列代数式、列一次函数解析式并求值
【分析】本题主要考查列函数关系式、代数式求值等知识点，正确列出关系式是解题关键．
（1）根据题意直接写两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间 之间的关系式即可；
（2）将 分别代入两个关系式求得话费，然后比较大小即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得：A套餐 ，B套餐 ，
所以A、B两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间 之间的关系分别为：
， ．
（2）解：当 时，
A套餐： （元），
B套餐： （元），
因为 ，
所以选B套餐更优惠．
21.如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中 是 的函数，当输入不同的 值时，将输出对应的
值，其中函数 为一次函数．(1)当 时，求函数的表达式．
(2)当 时， 的值记为 ，当 时， 的值记为 ，则 ____ ．（填“ ”、“ ”或“ ”）
(3)要使输出结果为2，求应输入的 值．
【答案】(1)当 时，函数的表达式为
(2)
(3)应输入的x值为 或7
【难度】0.65
【知识点】根据一次函数的定义求参数、求一次函数自变量或函数值
【分析】本题考查的是一次函数的定义，求解一次函数的自变量或函数值；
（1）由 为一次函数，可得 ， ，进一步求解即可；
（2）当 时， ，当 时， ，再比较大小即可；
（3）当 时，则 ，当 时，则 ，再解方程即可.
【详解】（1）解：∵ 为一次函数，
∴ ， ，
解得： ，
∴当 时，函数的表达式为 ；
（2）解：当 时， 的值记为 ，
∴ ，当 时， 的值记为 ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：当 时，则 ，
解得： ，
当 时，则 ，
解得： .
22.定义：若点 中的 ， 满足 （ 为常数，且 ），则称点 为“生长点”，下列各
点是一次函数 图象上的“生长点”的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求一次函数自变量或函数值
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，新定义．根据“生长点”的定义，点需满足方程组
且 ，同时位于直线 上，需逐一验证选项是否满足条件．
【详解】解：A、 当 时， ，故点 在一次函数 图象上，则
， ， 不唯一，不符合题意；
B、当 时， ，故点 在一次函数 图象上，则 ，，符合题意；
C、当 时， ，故点 在一次函数 图象上，则 ，
， 不唯一，不符合题意；
D、当 时， ，故点 不在一次函数 图象上，不符合题意；
故选：B．
23.在平面直角坐标系 中，对于任意一点 ，给出如下定义：点 到 轴、 轴的距离中的较小值叫
做点 的“短距”．如果点 和点 的短距相等，那么称 两点为“等距点”．例如点 与点
为“等距点”．已知点 的坐标为 ，如果点 在第三象限，且在直线 上，且
两点为“等距点”，那么点 的坐标是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求点到坐标轴的距离、求一次函数自变量或函数值
【分析】本题主要考查了新定义，求一次函数的函数值和自变量的值，点到坐标轴的距离，根据定义可得
点A的“短距”为1，则点B到x轴的距离为1或点B到y轴的距离为1，据此求出点B的坐标，再验证其
“短距”是否为1即可．
【详解】解：∵点 的坐标为 ，
∴点A到x轴的距离为4，到y轴的距离为1，
∵ ，
∴点A的“短距”为1，
∵A、B两点为“等距点”，
∴点B到x轴的距离为1或点B到y轴的距离为1，
∵点B在第三象限，
∴点B的横纵坐标都为负，在 中，当 时， ，此时 ，
∵ ，
∴此时点B的“短距”为1，符合题意；
当 时， ，此时 ，
∵ ，
∴此时点B的“短距”为0，不符合题意；
∴ ，
故答案为： ．
