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5.1 分式及其基本性质
题型一 分式的判断
1．【答案】B
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】D
5．【答案】D
6．【答案】B
题型二 分式的规律性问题
1．【答案】D
2．【答案】D
3．【答案】
4．【答案】2
5．【答案】
6．【答案】
7．【答案】 .
题型三 分式有意义、无意义和值为0的条件
1．【答案】A
2．【答案】C
3．【答案】
4．【答案】
5．【答案】
1 / 13
学科网（北京）股份有限公司6．【答案】6
7．【答案】 0
8．【答案】 2
9．【答案】 3
10．【答案】
11．
【答案】(1)当 时，分式有意义
(2)当 时，分式的值为零
【分析】本题考查分式有意义的条件，分式的值为零的条件，掌握知识点是解题的关键．
（1）根据分式有意义的条件，即分母不为0，列式求解即可；
（2）根据分式的值为零的条件，即分子为0，且分母不为0，列式求解即可．
【详解】（1）解：∵分式 有意义，
∴ ，
解得 ，
答：当 时，分式有意义；
（2）∵分式 的值为零，
∴ 且 ，
即 且 ，
∴ ，
答：当 时，分式的值为零．
题型四 分式的求值
1．【答案】B
2．【答案】A
3．【答案】A
4．【答案】0
5．【答案】
6．【答案】
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学科网（北京）股份有限公司7．【答案】
题型五 约分
1．【答案】B
2．【答案】 /
3．【答案】
4．【答案】
5．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查约分，熟练掌握分式的性质是解题的关键；
（1）根据平方差公式及分式的性质可进行化简；
（2）根据平方差公式及分式的性质可进行化简．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式 ．
题型六 最简分式
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】B
4．【答案】B
5．【答案】D
题型一 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围
1．【答案】 且
2．【答案】 且
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学科网（北京）股份有限公司3．【答案】
4．【答案】 且
5．
【答案】
【分析】本题考查分式的值的正负性，根据分式有意义的条件及分子分母的正负性来确定 的取值范围，
熟练掌握以上知识点是解题的关键．由分式 的值为正数，已知分子为正数，只需分母为正数即可．
【详解】解：由题意得， ，解得 ，
即 时，分式 的值为正数．
6．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】本题考查了分式的值为0、分式的值为正数或负数的条件，熟练掌握分式的值为0、分式的值为正
数或负数的条件是解决本题的关键，注意讨论分式的值的前提是要使分式有意义．
（1）根据分式值为0的条件解答即可；
（2）分式的值为正即分子分母同号，由 ，得 ，从而得出 ，解答即可；
（3）分式的值为负即分子分母异号，由 ，得 ，从而得出 ，解答即可．
【详解】解：（1）由 ，得 ，
当 时， ；
∴当 时，分式 的值为0；
（2）由分式 的值为正，得 与 同号，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得：
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学科网（北京）股份有限公司（3）由分式 的值为负，得 与 异号，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
题型二 求使分式值为整数时未知数的整数值
1．【答案】C
2．【答案】 ， ，0，1
3．【答案】 ，
4．【答案】0
5．【答案】3
6．
【答案】
【分析】本题考查分式方程的解法及参数取值问题。本题关键在于正确处理分式方程的变形与去分母，并
在解出含参数的解后结合解的限制条件进行讨论，特别注意 这一隐含条件，避免代入导致分母为零的
情况。先解含有字母参数 的分式方程，求出 ，再根据分式方程的解为正整数，列出关于 的方程，解
方程求出 ，再判断 时分式方程有无意义，从而求出答案即可．
【详解】解： ，
去分母： ，
去括号： ，
移项合并： ，
化系数为1： ，
∵分式方程 的解为正整数，
∴ 或3，
解得： 或1，
∵当 时， ，分式无意义，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴整数 的值为 ．
7．
【答案】(1) ，
(2) ， ，
【分析】本题考查分式有意义的条件以及分式的值，熟练掌握知识点是解题关键；
（1）根据分式有意义的条件“分母不为0”列出方程解方程即可得到d的值，再通过分式的值为0时，分
子为0，列出方程即可得到c的值；
（2）把 的值代入分式，然后利用分式的值为正整数进行分情况讨论即可．
【详解】（1）解： 当 时，分式 无意义，
，
解得 ，
当 时，此分式的值为0，
，
解得 ，
（2）把 ， 代入得
因为分式的值为正整数，所以 是 的正因数， 的正因数有 、 、 ．当 时， ；当
时， ；当 时， ．
整数 的值可能为 ， ， ．
8．
【答案】（1） 且 ；（2）
【分析】（1）根据分式值为负数的条件，分子分母异号，结合分子的取值情况，确定分母的符号，进而
求出 的取值范围；
（2）根据分式值为整数的条件，分母是分子的约数，找出使得 为 的约数的整数 的值．
【详解】解：（1） 分式 的值为负数，且 ，
且 且 ．
（2） 的值是一个整数，且 为整数，
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学科网（北京）股份有限公司可以为 整数 可能取 ．
【点睛】本题考查了分式的值的相关计算，掌握根据分式值的正负或整数情况，分析分子分母的关系是解
题的关键．
题型三 判断分式变形是否正确
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】A
4．【答案】B
5．【答案】A
6．【答案】B
7．【答案】B
题型四 求使分式变形成立的条件
1．【答案】D
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】
5．【答案】 /
6．【答案】
7．【答案】c
8．
【答案】1
【分析】此题考查了分式的性质，根据分式的性质得到 ，且 ，进而求解即可．
【详解】解：因为 ，
所以 ，且 ，
所以 ，
所以当 时，等式 成立．
题型五 利用分式的基本性质判断分式值的变化
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学科网（北京）股份有限公司1．【答案】D
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】C
题型六 将分式的分子分母最高次项化为正数
1．【答案】D
2．【答案】
3．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的性质，是解题的关键：
（1）分子，分母同时乘以 ，即可；
（2）分子，分母同时乘以 ，即可；
【详解】（1）解： ；
（2） ．
4．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的基本性质及分式的符号法则，解题的关键是正确运用分式的基本性质、分式的
符号法则求解．
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学科网（北京）股份有限公司（1）先将分式的分子分母按字母 进行降幂排列，分子分母同时添上带负号的括号，再根据分式的基本性
质，将分子分母都乘以 即可得到答案；
（2）先将分式的分子分母均按字母 进行降幂排列，将分母添上带负号的括号，再根据分式的符号法则，
将分母的负号提到分式本身的前边即可得到答案．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ．
5．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了分式的基本性质．
（1）原式分子分母分别提取 变形，即可得到结果．
（2）分式分母提取 变形即可得到结果；
（3）分式分子提取 变形即可得到结果；
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： ．
题型七 将分式的分子分母各项系数化为整数
1．【答案】
2．【答案】
3．【答案】
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学科网（北京）股份有限公司4．
【答案】
【分析】根据分式的基本性质，给分子、分母同时乘以10即可．
本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
【详解】解： ．
5．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式基本性质的应用，掌握分式基本性质是关键．
（1）根据分式分子分母中小数最多是两位小数，由分式基本性质，分式分子分母都乘100即可；
（2）分式的分子系数和分母系数都乘60即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
题型八 列分式
1．【答案】D
2．【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司3．【答案】
4．【答案】 （答案不唯一）
5．【答案】 （答案不唯一）
6．【答案】
7．【答案】
8．
【答案】小明从家到学校的步行速度如果是20米/分，则时间是 分钟，从家到学校的步行速度如果是
米/分，则时间是 分钟．（答案不唯一）
【分析】本题考查了分式的实际意义．
结合实际生活作答即可．
【详解】解：小明从家到学校的步行速度如果是20米/分，则时间是 分钟，从家到学校的步行速度如果
是 米/分，则时间是 分钟．（答案不唯一）
9．
【答案】混合后糖果的价格为
【分析】本题主要考查了列分式，
先表示出总价 元，再除以总质量 千克，可得答案.
【详解】解：根据题意，得
混合后每千克糖果的价格是 元.
题型一 分式的综合运用
1．【答案】B
2．【答案】A
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学科网（北京）股份有限公司3．【答案】
4．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了对平方差倒数的理解，完全平方公式的应用、分式方程的实际应用，熟练掌握相
关知识是解题的关键．
（1）根据新定义平方差倒数，直接求解，即可解题；
（2）根据“ 是 的平方差倒数，”结合平方差倒数概念建立分式方程求解，即可解题；
（3）利用新定义因式分解化简求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴2的平方差倒数是 ，
故答案为： ；
（2）解：∵ 是 的平方差倒数，
∴ ，
∴ ，
去分母，得 ，
解得 ，
经检验， 是该方程的解，
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学科网（北京）股份有限公司此时 ；
（3）解：∵ 是某一正整数的平方差倒数（ ， 是正整数），
设这一正整数为n,
∴ ，
∴ ，
即 ，
去分母，得 ，
，
∵a，b，n为正整数，
∴ ，
∴要使 的值最小，需使 为最小的完全平方数．
∵n为正整数，
∴ ， ．
∴ 的最小值为25，此时 ，
∴ 的最小值为10．
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学科网（北京）股份有限公司
