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5.1 分式及其基本性质
题型一 分式的判断
1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在 ， ， ， ， 中，分式的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解决本题的关键．
根据分式的定义（分母中含有字母的有理式），判断每个表达式是否为分式．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：由题意得， ， ， 是分式；
， 是整式；
∴分式共有3个．
故选B．
2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在 ， ， ， ， 中，分式有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【分析】此题主要考查了分式的定义，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式是分式，逐一判断各表
达式即可，熟知分式的定义是解题的关键．
【详解】解：∵分式是分母中含有字母的代数式，
∴ 的分母 含字母，是分式；
是整式，不是分式；
的分母 是常数，不含字母，不是分式；
的分母 含字母 ，是分式；
的分母 含字母，是分式，
∴分式有 个，
故选： ．
3．（25-26八年级上·黑龙江鸡西·期末）下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
其中是分式的有（ ）
A．①③④ B．①②③ C．③⑤ D．①④
【答案】D
【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否
含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中
含π的代数式不是分式，是整式．
根据分式的定义，分母中含有字母的式子才是分式，逐一判断各式即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：① ，分母为 ，含字母，是分式；
② 是多项式，不是分式；
③ ，分母为常数，不含字母，不是分式；
④ ，分母为 ，含字母，是分式；
⑤ ，分母为常数，不含字母，不是分式；
故选：D．
4．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）下列式子中属于分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式的定义，解题的关键是明确分式的概念：一般地，形如 （A、B均为整
式，B中有字母，）的式子是分式．
根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式．逐一分析各选项的分母是否含有字母即可判断．
【详解】解：A、 不属于分式，故本选项不符合题意；
B、 不属于分式，故本选项不符合题意；
C、 不属于分式，故本选项不符合题意；
D、 属于分式，故本选项符合题意；
故选：D
5．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）下列各式是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式的定义，分母中必须含有字母的代数式是分式．据此可得答案．
【详解】解：根据分式的定义可知，四个式子中，只有 是分式，
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学科网（北京）股份有限公司故选：D．
6．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在 中分式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了分式的判断，根据分式的定义，分母中含有字母的式子称为分式，逐一检查各分母是
否含字母即可．
【详解】解：∵分式的定义是分母中含有字母，
∴ ，分母为 ，含字母，是分式；
，分母为2，不含字母，不是分式；
，分母为 ，不含字母，不是分式；
，分母为 ，是常数，不含字母，不是分式；
，分母为 ，含字母，是分式，
∴ 分式有2个，
故选：B．
题型二 分式的规律性问题
1．（25-26八年级上·云南昭通·期末）观察下列式子： ，依照此规律，第8个式子是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查式子的规律，掌握知识点是解题的关键．
观察分子和分母的规律：分子是连续偶数，分母是 的幂次递增．
【详解】解：分子依次为2， 4， 6， 8， …，；分母依次为 ， ， ， ， …，
因此第 个式子为 ．
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ．
故选：D．
2．（23-24八年级上·云南昆明·期末）观察下列分式： ， ， ， ， ，…，按此规律第10个
式子是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式中的规律探究，观察可知，奇数位的符号为正，偶数位的符号为负，第 个式子的
分母为 ，分子为 ，进行求解即可．
【详解】解：∵ ， ， ， ， ，…
∴奇数位的符号为正，偶数位的符号为负，第 个式子的分母为 ，分子为 ，
∴第10个式子是 ；
故选：D．
3．（25-26八年级上·湖南永州·期中）一组按规律排列的式子： ， ， ， ， ，则第10个式子是
．
【答案】
【分析】本题考查了数字类规律探索，观察分子和分母的规律：分子为连续偶数，分母为 的连续奇数次
幂，由此推导第 个式子的通项公式，从而即可得解，正确得出规律是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得：分子依次为2,，4，6，8，…，可表示为 ；
分母依次为 ， ， ， ， ，可表示为 ，
因此第 个式子为 ，
当 时，分子为20，分母为 ，故第10个式子为 ，
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司4．（25-26八年级上·全国·周测）已知 ，则 的值为
．
【答案】2
【分析】利用 分别用含 的代数式表示 从而探索规律即可求解．
【详解】解： ，
．
．
．
当 是奇数时，
．
当 是偶数时，
．
．
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的运算，探索出规律是解题的关键．
5．（21-22八年级上·贵州铜仁·期末）给出下面一列分式： ， ， ， ， 根据规律，则这列
分式中的第2022个分式是 ．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题主要考查了探究分式规律问题，找出规律是解题的关键．
第偶数个分式符号为负，分母是第几个式子就是y是几次方，分子是第n个式子，就是x的 次方，
据此求解即可．
【详解】解：第偶数个式子符号为负，分母是第几个式子就是y是几次方，分子是第n个式子，就是x的
次方，
∴第2022个分式是 ．
故答案为： ．
6．（25-26七年级上·全国·期中）已知 ， ， ， ，…，以此类推，则
的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查数字的变化规律．通过计算探索出运算规律是解题的关键．
先计算 ，通过计算结果得到规律，利用发现的规律得出 的值．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
，
，
重复．
∴每3次为一个循环组．
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
故答案为：
7．（21-22八年级上·云南红河·期末）一组按规律排列的式子： ， ， ， ， （ ），其
中第 个式子是 ．
【答案】 .
【分析】本题考查数字类规律的探究，根据题意可得式子的第奇数个数为正，第偶数个数为负，分子为序
号的平方，分母中 的指数为：序号三倍减1.据此规律可得结果．
【详解】∵ ,
，
，
…
第 个式子应为： ，
故答案为： ．
题型三 分式有意义、无意义和值为0的条件
1．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）若分式 有意义，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查分式有意义的条件，关键是掌握分母不为零．
分式有意义的条件是分母不为零，因此令分母 即可求解．
【详解】解：∵分式 有意义，
∴分母 ，
∴ ，
故选：A．
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学科网（北京）股份有限公司2．（25-26八年级上·全国·期末）若分式 的值为0，则 的值为（ ）
A．1或−1 B．0 C． D．1
【答案】C
【分析】本题考查了分式值为0的条件，解题的关键是熟练掌握分式值为0时，则分子为0，分母不为0，
据此列式求解即可．
【详解】解：∵分式 的值为0，
∴ 且 ，
∴ .
故选：C．
3．（25-26八年级上·山东烟台·期中）写一个含有字母x的分式，当 时，分式无意义；当 时，分
式的值为0．则这个分式可以是 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式值为零的条件．根据分式无意义的条件（分母为零）和分式
值为零的条件（分子为零且分母不为零），构造分式．
【详解】解：当 时，分式无意义，因此分母应含有因式 ；当 时，分式的值为 ，因此分子
应含有因式 ，且分母在 时不为零．故分式可以为 ．
故答案为 （答案不唯一）．
4．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）当 时，分式 无意义．
【答案】
【分析】本题考查了分式无意义的条件．根据分式无意义的条件是分母为零可得 ，即可求解．
【详解】解：依题意， ，
∴
故答案为： ．
5．（22-23八年级下·河南郑州·月考）若分式 无意义，则x的取值为 ．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了分式无意义的条件．根据分式无意义的条件是分母为零求解即可．
【详解】解：根据分式无意义的条件，分母 ，解得 ．
故答案为：1．
6．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）当 时，分式 无意义．
【答案】6
【分析】本题考查分式无意义的条件，根据分母为零时，分式无意义，进行求解即可．
【详解】解：由题意， ，解得 ，
故答案为：6．
7．（25-26八年级上·山东威海·月考）对于分式 ，当 时，分式的值为零，当 时，分
式无意义，则 ， ．
【答案】 0
【分析】此题主要考查了分式值为零的条件和分式无意义的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等
于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
根据分式无意义的条件，当 时，分母为零；根据分式值为零的条件，当 时，分子为零．分别代
入得到关于a和b的方程，解方程组即可．
【详解】∵对于分式 ，当 时，分式的值为零，
∴
∴ ，
∴ ，
∵当 时，分式无意义，
∴
∴
∴联立①②得，
解得 ．
故答案为：0， ．
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学科网（北京）股份有限公司8．（25-26八年级上·广东广州·期中）已知分式 ，当x 时，分式无意义；当x 时，分
式的值为0．
【答案】 2
【分析】本题考查分式无意义以及为0的条件，掌握分式无意义以及为0的条件是解题的关键．
分式无意义：分母为0；分式是值为0：分子为0，分母不为0，据此求解即可．
【详解】解：要使 无意义，则 ，解得 ；
要使 的值为0，则 ，解得 ；
故答案为： ； ．
9．（24-25八年级上·北京·期末）分式 有意义，x的取值范围是 ；分式 的值为0，则x
的值为 ．
【答案】 3
【分析】此题考查了分式为0和分式有意义的条件．
分式有意义的条件是分母不为零；分式值为零的条件是分子为零且分母不为零．据此进行解答即可．
【详解】解：当分式 有意义时，分母 ，
故 的取值范围是 ；
当分式 的值为 时，
需满足 ，
解得 ，
故 的值为 ．
故答案为： ，
10．（25-26八年级上·北京·期末）若分式 的值为0，则 ．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了分式的值为0的条件，根据分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0求解即
可．
【详解】解： 分式 的值为0，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
11．（25-26八年级上·甘肃定西·月考）对于分式 ．
(1)当 取什么值时，分式有意义？
(2)当 取什么值时，分式的值为零？
【答案】(1)当 时，分式有意义
(2)当 时，分式的值为零
【分析】本题考查分式有意义的条件，分式的值为零的条件，掌握知识点是解题的关键．
（1）根据分式有意义的条件，即分母不为0，列式求解即可；
（2）根据分式的值为零的条件，即分子为0，且分母不为0，列式求解即可．
【详解】（1）解：∵分式 有意义，
∴ ，
解得 ，
答：当 时，分式有意义；
（2）∵分式 的值为零，
∴ 且 ，
即 且 ，
∴ ，
答：当 时，分式的值为零．
题型四 分式的求值
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学科网（北京）股份有限公司1．（25-26九年级上·河南周口·月考）若 ，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】本题考查比例的性质．由题意根据两内项之积等于两外项之积列式整理，并代入即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴
∴ .
故选：B．
2．（17-18九年级上·安徽合肥·期中）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查分式的求值，根据 结合 ，进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
3．（25-26八年级上·甘肃·期末）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题主要考查了分式的求值，根据题意可求出 ，把所求式子变形为 ，
据此利用整体代入法求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
故选：A．
4．（25-26七年级上·上海浦东新·月考）如果分式 值为1，那么b的值是 ．
【答案】0
【分析】本题考查了分式的值，解分式方程，根据分式的值为1，得到分子等于分母，解方程求出b的值，
并验证分母不为零．
【详解】解：因为分式 的值为1，
所以 ，且 且分子等于分母，
即 ．
解得 ，
当 时，分母 ，且 ，分式有意义．
故答案为：0．
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学科网（北京）股份有限公司5．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如果 ，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查分式的性质，掌握分式的性质是解题的关键．通过交叉相乘和解方程来求值即可．
【详解】解： ，
，
展开得 ，
移项得 ，
合并同类项得 ，
两边同时除以 ，得 ．
故答案为： ．
6．（22-23九年级上·上海·期中）如果 ，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查分式的性质，设 ， （ ），代入式子后运用分式的性质化简即可．
【详解】解：∵ ，
∴设 ， （ ），
∴ ．
故答案为： ．
7．（25-26九年级上·安徽·期末）若 ，则 的值等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了比例的性质：若 ，则 ．由已知比例设参数，代入所求表达式计算．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：由 ，设 ， （ ），
则 ．
故答案为： ．
题型五 约分
1．（25-26八年级上·甘肃定西·月考）化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查分式的约分，掌握知识点是解题的关键．
分子利用平方差公式因式分解，再与分母约分化简
【详解】解： ．
故选B．
2．（25-26八年级上·福建厦门·月考）约分： （其中 ）．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了分式的约分，确定分子、分母的最大公因式是解题的关键．通过约去分子和分母
的最大公因式 即可解答．
【详解】解： ．
故答案为： ．
3．（22-23八年级下·河南郑州·月考）对 进行约分，结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的约分．对分子进行因式分解，提取公因式后与分母约分，即可求解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解： ，
故答案为 ．
4．（25-26八年级上·北京西城·期中）约分： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了约分，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．通过寻找分子和分母的公因式进
行约分即可．
【详解】解：分子和分母的公因式为 ，
给分子和分母同时除以 得原式 ．
故答案为： ．
5．（25-26八年级上·云南昭通·月考）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查约分，熟练掌握分式的性质是解题的关键；
（1）根据平方差公式及分式的性质可进行化简；
（2）根据平方差公式及分式的性质可进行化简．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式 ．
题型六 最简分式
1．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下列分式中，最简分式是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查最简分式，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，熟练掌握最简分式的定义是解
题的关键．分别检查各选项的分子和分母是否能约分．
【详解】A、 ，可约分，所以不是最简分式；
B、 ，可约分，所以不是最简分式；
C、 ，可约分，所以不是最简分式；
D、 中， 分子 无法因式分解，与分母 无公因式，所以是最简分式．
故选：D．
2．（25-26八年级上·云南保山·月考）下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了最简分式，根据最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，分别检查各选项分
子与分母是否可约分．
【详解】解： 选项A ，分子与分母有公因式x，可化简为 ，不是最简分式；
∵ ∶
选项B ，分子x与分母3x+1无公因式，是最简分式；
∵ ∶
选项C ，分子与分母有公因式3，可化简为 ，不是最简分式；
∵ ∶
选项D ，分母 ，与分子有公因式 ，可化简为 ，不是最简分式．
∵ ∶
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学科网（北京）股份有限公司故选B．
3．（25-26八年级上·广西崇左·月考）下列各分式中是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较
易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．
最简分式是分子，分母中不含有公因式，不能再约分的分式．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且
观察有无公因式．如果有互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【详解】解：A、 ，故原式不是最简分式，不符合题意；
B、 是最简分式，符合题意；
C、 ，故原式不是最简分式，不符合题意；
D、 ，故原式不是最简分式，不符合题意；
故选：B．
4．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了最简分式，熟练掌握定义是解题的关键．
根据最简分式的定义“一个分式的分子与分母没有公因式时叫最简分式”，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、 ，故原式不是最简分式；
B、 不能再约分，故原式是最简分式；
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学科网（北京）股份有限公司C、 ，故原式不是最简分式；
D、 ，故原式不是最简分式；
故选：B．
5．（25-26七年级上·上海浦东新·月考）下列代数式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了最简分式的定义，解题的关键在于对每一个选项的分子分母进行因式分解，看是否存
在公因式，若不存在，则为最简分式．
通过检查各选项分子与分母是否有公因式，判断是否可约分，从而确定最简分式．
【详解】解： 、因为分子分母有公因式 ，所以 ，可约分，不是最简分式；
、因为分母 ，与分子有公因式 ，所以 ，可约分，不是最简分
式；
、因为分母 ，与分子有公因式 ，所以 ，可约分，不是最简分式；
、因为分子 与分母 无公因式，所以不可约分，是最简分式；
故选： ．
题型一 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围
1．（25-26八年级上·辽宁营口·月考）已知 的值为正数，则 的取值范围为 ．
【答案】 且
【分析】此题主要考查了分式的值，能够根据分式的值的符号来判断分子和分母的符号是解题的关键．分
式的值为正数，分母 恒为正（且 ），因此分子 必须大于零，计算求解即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵ 的值为正数，
∴分子与分母同号，
又∵对于任意实数 ， ，且作为分母 ，
∴ ，
∴ ，
即 且 ．
故答案为： 且 ．
2．（25-26八年级上·北京海淀·月考）若分式 值为负数，则 的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】本题考查了求分式的值．
分式的值为负，需分子和分母异号，即 且 ，结合分式有意义的条件作答即可．
【详解】解：∵分式 的值为负数，
∴分子和分母异号，
∵ ，
∴ 且 ，
解得： 且 ，
∵分母不能为零，
∴ ，
综上所述， 的取值范围是 且 ．
故答案为： 且 ．
3．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）若分式 的值为正数，则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查分式的值，分式的值为正数，由于分子恒为正，因此分母必须为正，解不等式即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】分式 的分子为 1，是正数，因此分式值为正数时，分母 必须大于 0，即
．
解得： ．
故答案为： ．
4．（24-25九年级下·江苏南通·月考）若分式 的值为负，则 的范围是 ．
【答案】 且
【分析】本题考查了分式的值为负数时字母的取值范围，解不等式；由题意得 ，且 ，解不等
式即可．
【详解】解：由题意得： ，且 ，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
5．（2025八年级上·全国·专题练习）当 为何值时，分式 的值为正数．
【答案】
【分析】本题考查分式的值的正负性，根据分式有意义的条件及分子分母的正负性来确定 的取值范围，
熟练掌握以上知识点是解题的关键．由分式 的值为正数，已知分子为正数，只需分母为正数即可．
【详解】解：由题意得， ，解得 ，
即 时，分式 的值为正数．
6．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）当x取什么值时，分式 的值为0；
（2）当x取什么值时，分式 的值为正；
（3）当x取什么值时，分式 的值为负．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了分式的值为0、分式的值为正数或负数的条件，熟练掌握分式的值为0、分式的值为正
数或负数的条件是解决本题的关键，注意讨论分式的值的前提是要使分式有意义．
（1）根据分式值为0的条件解答即可；
（2）分式的值为正即分子分母同号，由 ，得 ，从而得出 ，解答即可；
（3）分式的值为负即分子分母异号，由 ，得 ，从而得出 ，解答即可．
【详解】解：（1）由 ，得 ，
当 时， ；
∴当 时，分式 的值为0；
（2）由分式 的值为正，得 与 同号，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得：
（3）由分式 的值为负，得 与 异号，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
题型二 求使分式值为整数时未知数的整数值
1．（25-26八年级上·广西崇左·月考） 是有理数，则 的值不能是（ ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式的值，掌握分式的值为零的条件是解题的关键．根据分式值为零的条件是分子为 ，
分母不为 ，因为分式 的分子不为 ，所以分式的值不能为 ，即可解答．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：A、当 时， ，故选项不符合题意；
B、当 时， ，故选项不符合题意；
C、因为分式 的分子 ，所以分式值不可能为 ，故选项符合题意；
D、当 时， ，故选项不符合题意；
故选：C．
2．（25-26八年级上·北京通州·期末）若 为整数，且使分式 的值是整数，则 的值是 ．
【答案】 ， ，0，1
【分析】本题主要考查分式的值，掌握求解的方法是解题的关键；要使分式 的值为整数，则分母
必须为6的约数，即 的值为 ， ， ， ，再结合x为整数求解即可．
【详解】解：因为分式 的值为整数，且x为整数，所以 是6的约数，
∴ 或 或 或 ，
当 时，解得 ，当 时，解得 ；
当 时，解得 （不符合整数条件，舍去），当 时，解得 （不符合整数条件，
舍去）；
当 时，解得 ，当 时，解得 ；
当 时，解得 （不符合整数条件，舍去），当 时，解得 （不符合整数条件，
舍去）；
因此，x的值为 ， ，0，1；
故答案为 ， ，0，1．
3．（25-26八年级上·北京顺义·期中）如果分式 的值是正数，那么 的取值范围是 ，若分式
的值为整数，则 的整数值为 ．
【答案】 ，
【分析】本题考查根据分式的值，求参数的范围，根据分式 的值为正数，得到 ，根据
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学科网（北京）股份有限公司的值为整数，得到 ，求出 的整数值即可．
【详解】解：∵ 的值为正数，
∴ ，
∴ ；
∵ 的值为整数，
∴ ，
∴ ；
故 的整数值为 ；
故答案为： ； ．
4．（25-26八年级上·北京房山·期中）若分式 的值为正整数，则实数m可取的所有整数值是
．
【答案】0
【分析】本题考查分式的值为整数时求字母的取值．先对分式进行变形，然后根据分式值为整数的条件来
确定m的取值．
【详解】解：∵ ，
∴ 是3的因数，
∵分式 的值为正整数，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
∵ 时，原分式无意义，舍去，
∴ ，
故答案为：0．
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学科网（北京）股份有限公司5．（25-26八年级上·全国·课后作业）若整数 使式子 的值为整数，则满足条件的 的
值有 个．
【答案】3
【分析】本题考查了分式的运算与化简，掌握分式的化简及求整数的方法是解题的关键．
【详解】解： ，
当原式的值是整数时， 或 ，
即： 或 或 或 ．
又：
即 ．
故： 或 或 共3个整数值．
故答案为： ．
6．（2025七年级上·全国·专题练习）若分式方程 的解为正整数，求整数 的值．
【答案】
【分析】本题考查分式方程的解法及参数取值问题。本题关键在于正确处理分式方程的变形与去分母，并
在解出含参数的解后结合解的限制条件进行讨论，特别注意 这一隐含条件，避免代入导致分母为零的
情况。先解含有字母参数 的分式方程，求出 ，再根据分式方程的解为正整数，列出关于 的方程，解
方程求出 ，再判断 时分式方程有无意义，从而求出答案即可．
【详解】解： ，
去分母： ，
去括号： ，
移项合并： ，
化系数为1： ，
∵分式方程 的解为正整数，
∴ 或3，
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学科网（北京）股份有限公司解得： 或1，
∵当 时， ，分式无意义，
∴ ，
∴整数 的值为 ．
7．（25-26八年级上·河北唐山·期中）已知当 时，分式 无意义；当 时，此分式的值为0．
(1)直接写出 的值．
(2)在（1）的条件下，当分式 的值为正整数时，求整数 的值．
【答案】(1) ，
(2) ， ，
【分析】本题考查分式有意义的条件以及分式的值，熟练掌握知识点是解题关键；
（1）根据分式有意义的条件“分母不为0”列出方程解方程即可得到d的值，再通过分式的值为0时，分
子为0，列出方程即可得到c的值；
（2）把 的值代入分式，然后利用分式的值为正整数进行分情况讨论即可．
【详解】（1）解： 当 时，分式 无意义，
，
解得 ，
当 时，此分式的值为0，
，
解得 ，
（2）把 ， 代入得
因为分式的值为正整数，所以 是 的正因数， 的正因数有 、 、 ．当 时， ；当
时， ；当 时， ．
整数 的值可能为 ， ， ．
8．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）若分式 的值为负数，求 的取值范围．
（2）若 的值是一个整数，则整数 可能取哪些值？
【答案】（1） 且 ；（2）
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据分式值为负数的条件，分子分母异号，结合分子的取值情况，确定分母的符号，进而
求出 的取值范围；
（2）根据分式值为整数的条件，分母是分子的约数，找出使得 为 的约数的整数 的值．
【详解】解：（1） 分式 的值为负数，且 ，
且 且 ．
（2） 的值是一个整数，且 为整数，
可以为 整数 可能取 ．
【点睛】本题考查了分式的值的相关计算，掌握根据分式值的正负或整数情况，分析分子分母的关系是解
题的关键．
题型三 判断分式变形是否正确
1．（25-26八年级上·山东滨州·月考）下列式子从左到右的变形一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．根据分
式的基本性质判断即可，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
【详解】解：A、当 时，左边 ，右边 ，不相等，故A不符合题意．
B、当 时，分式无意义，故B不符合题意．
C、当 时，左边 ，右边 ，不相等，故C不符合题意．
D、分子和分母同除以2（ ），分式的值不变，故D符合题意．
故选：D．
2．（25-26八年级上·北京西城·月考）下列分式变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，进行计
算逐一判断即可解答．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：A、 ，而 ，两者不相等，∴ A错误；
B、 （当 ），变形正确，∴ B正确；
C、 与 不一定相等，例如当 时，左边 ，右边 ，不相等，∴ C错误；
D、 ，而 不一定等于其平方，例如当 时，左边 ，右边 ，不相等，∴ D错误；
故选：B．
3．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）下列分式变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值
不变．选项A符合性质，正确；，选项B当 时，等式才成立，故错误；选项C和D的变形错误，可
通过具体数值验证或代数推导判断．
【详解】解：∵分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不
变；
A： ，符合性质，正确；
B： ，当 时，等式才成立，故错误；
C：取 ，则 ，错误；
D：左边 ，右边 ，两边不相等，错误．
故选：A．
4．（25-26八年级上·山西吕梁·月考）下列变形正确的是（ ）
A． B．
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学科网（北京）股份有限公司C． D．
【答案】B
【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是掌握：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0
的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质一一判断即可．
【详解】解：A、 ，故不符合题意；
B、 ，故符合题意；
C、 ，故不符合题意；
D、 ，故不符合题意；
故选：B．
5．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）下列等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用分式的基本性质逐项判断即可．
【详解】解：A、 ，正确，符合题意；
B、 ，当 时右边无意义，等式不成立；
C、 ，当 时（如 ），右边为 ，等式不成立；
D、 ，当 且 时（如 ），左边为4，右边为 ，等式不成立；
故选：A．
6．（25-26八年级上·北京海淀·期末）下列各式从左到右变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题关键．
根据分式的基本性质，检查每个选项的变形是否恒成立．
【详解】解：∵ 选项A: ，除非 取特定值，否则不成立，∴ A错误;
∵ 选项B: ，变形正确，∴ B正确;
∵ 选项C: ，因为右边等于 ，与左边不同，∴ C错误;
∵ 选项D: ，∴ D错误．
故选：B．
7．（25-26八年级上·福建龙岩·月考）下列分式变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查分式的变形，熟练掌握分式的基本性质和分式的求值是解题的关键．
通过简化分式或代入具体值验证每个选项的正确性，只有B选项的变形符合分式的基本性质．
【详解】解：A： ，∴ A错误．
B： ，∴ B正确．
C：取 ， ， ，不相等，∴ C错误．
D：取 ， ， ，不相等，∴ D错误．
故选：B
题型四 求使分式变形成立的条件
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学科网（北京）股份有限公司1．要使式子 从左到右变形成立， 应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质，分子和分母同时乘以同一个不为零的整式，分
式的值不变．变形中乘以了 ，因此需满足 ．
【详解】解：∵左边分式 变形为右边分式 是通过分子和分母同时乘以 得到的，
∴根据分式的基本性质，必须保证 ，即 ，
故选：D．
2．若等式 成立，则x应满足的条件是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，
根据分式的基本性质：分子和分母都乘以一个不等于0的数或整式，分式的性质不变，解答即可.
【详解】解：分式的分子和分母都乘以x（ ），得 ，
所以x应满足的条件是 .
故选：C.
3．能使等式 成立的k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．k为任意实数
【答案】B
【分析】本题考查了分式的基本性质，分式有意义的条件．
根据分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变．因此需确保
分母不为零，从而确定k的取值范围．
【详解】解：若 ，则 分子和分母可同时约去 ，得到 ，此时等式成立．
若 ，分母 变为 ，分式无意义，
因此，k的取值范围是 ，
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学科网（北京）股份有限公司故选：B．
4．若 ，等式 成立，则x应满足的条件是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质：分子和分母都乘以一个不等于0的数或
整式，分式的值不变，解答即可．
【详解】解：分式的分子和分母都乘以x（ ），得 ，
所以x应满足的条件是 .
故答案为： ．
5．已知 ， 均为非0常数，要使等式 成立，则括号内应填入 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
根据分式的基本性质即可求解．
【详解】解：∵ ， 均为非0常数，
∴ ，
故答案为： ．
6．在括号内填上适当地整式，使下列等式成立：（1） ；（2） ；括号内应填
； ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质．
（1）根据分式的基本性质进行变形即可；
（2）根据分式的基本性质进行变形即可．
【详解】解：（1） ，
故答案为： ．
（2） ，
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司7．若 ，则“？”所代表的分子是 ．
【答案】c
【分析】本题考查了分式的基本性质，将式子变形为 ，结合分式的基本性质即可得解，熟
练掌握分式的基本性质是解此题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
8．当 取何值时，等式 成立？
【答案】1
【分析】此题考查了分式的性质，根据分式的性质得到 ，且 ，进而求解即可．
【详解】解：因为 ，
所以 ，且 ，
所以 ，
所以当 时，等式 成立．
题型五 利用分式的基本性质判断分式值的变化
1．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）若把分式中的 和 都扩大10倍，那么下列分式的值不变的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质．
根据分式的基本性质，逐项判断即可求解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：A、 ，故本选项不符合题意；
B、 ，故本选项不符合题意；
C、 ，故本选项不符合题意；
D、 ，故本选项符合题意；
故选：D．
2．（25-26八年级上·云南昆明·期末）把 中的 和 都扩大 倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的 倍 B．扩大为原来的5倍
C．不变 D．缩小为原来的
【答案】C
【分析】本题考查了分式的基本性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
将 和 都扩大 倍后代入分式，化简后与原分式比较，判断值的变化，然后即可求解；
【详解】解：∵扩大后分式为 ，
∴分式的值不变，
故选：C；
3．（24-25八年级上·北京·期末）已知 ， ，则下列式子一定比 大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的性质，有理数符号的判断及其利用分式的基本性质判断分式值的大小；
由 且 ，可得 ， ，故 ，比较各选项与 的大小即可．
【详解】解：∵ 且 ，
∴ ， ，
故 ，
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学科网（北京）股份有限公司A、∵ ， ，
∴ ，
∴ 比 小，故此选项不符合题意；
B、∵ 且 ，
∴ ，
∴ 一定比 大，故此选项符合题意；
C、∵ ，故此选项不符合题意；
D、∵ ，但 可能大于或小于 ，故 与 大小不确定，
∴ 不一定比 大；
故选：B．
4．（25-26八年级上·云南昭通·期末）如果把分式 中的 和 同时扩大为原来的4倍，则调整后的
分式的值（ ）
A．扩大为原来的4倍 B．缩小为原来的
C．保持不变 D．扩大为原来的16倍
【答案】C
【分析】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题关键，将 和 同时扩大 4 倍后
代入原分式，化简比较即可．
【详解】设原分式 ．
∵ 和 同时扩大为原来的 4 倍，即 ， ，
∴ 新分式 ．
化简，得 ．
∴ 调整后的分式的值保持不变．
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学科网（北京）股份有限公司故选：C．
5．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如果分式 中的 ， 都扩大为原来的 倍，那么分式的值
（ ）
A．不变 B．扩大为原来的 倍
C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键．
当 和 都扩大为原来的2倍时，代入新值计算分式，化简后比较与原分式的关系．
【详解】解：原分式为 ，当 和 都扩大为原来的2倍时，新分式为：
∴ 新分式是原分式的2倍，即分式的值扩大为原来的2倍．
故选：B．
6．（2025八年级上·河北沧州·专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．若分式 值为0，则x的值为
B．根据分式的基本性质， 可以变形为
C．分式 中， ， 都扩大2倍，分式的值不变
D．分式 不是最简分式
【答案】B
【分析】本题考查了分式的相关知识点，根据分式值为零的条件、分式的基本性质、分式值的变化和最简
分式的定义逐一判断各选项即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：A、若分式 值为0，则 且 ，解得 ，故原说法错误，不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司B、根据分式的基本性质， 可以变形为 ，故原说法正确，符合题意；
C、 ，故分式 中， ， 都扩大2倍，分式的值扩大 倍，
故原说法错误，不符合题意；
D、分式 中分子分母没有公因式，是最简分式，故原说法错误，不符合题意；
故选：B．
7．（25-26八年级上·云南保山·月考）若把分式 中的 和 都扩大为原来的10倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的10倍 B．不变
C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质化简是解题的关键．将原分式中的x
和y分别用 和 替换，计算新分式并化简，与原分式比较即可.
【详解】解：∵新分式 ，
原分式 ，
故分式的值缩小为原来的 ，
故选C．
题型六 将分式的分子分母最高次项化为正数
1．（19-20八年级上·山东·课后作业）不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，
正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以 即可得到答案．
【详解】解： ．
故选：D
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中 的最高次项的系数
为正数．
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分
式的值不变．
（1）将分母中的负号提到分式前面即可；
（2）分子和分母都乘以 即可；
（3）分子和分母都乘以 即可．
【详解】（1）
故答案为：
（2）
故答案为：
（3）
故答案为：
3．（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数为正
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学科网（北京）股份有限公司数．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的性质，是解题的关键：
（1）分子，分母同时乘以 ，即可；
（2）分子，分母同时乘以 ，即可；
【详解】（1）解： ；
（2） ．
4．（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正
数．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的基本性质及分式的符号法则，解题的关键是正确运用分式的基本性质、分式的
符号法则求解．
（1）先将分式的分子分母按字母 进行降幂排列，分子分母同时添上带负号的括号，再根据分式的基本性
质，将分子分母都乘以 即可得到答案；
（2）先将分式的分子分母均按字母 进行降幂排列，将分母添上带负号的括号，再根据分式的符号法则，
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学科网（北京）股份有限公司将分母的负号提到分式本身的前边即可得到答案．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ．
5．（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母中的最高次项的系数是
正数：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了分式的基本性质．
（1）原式分子分母分别提取 变形，即可得到结果．
（2）分式分母提取 变形即可得到结果；
（3）分式分子提取 变形即可得到结果；
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： ．
题型七 将分式的分子分母各项系数化为整数
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整
数．
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学科网（北京）股份有限公司（1） ；
（2） ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分
式的值不变．
（1）分子与分母都乘以10即可；
（2）分子与分母都乘以12即可．
【详解】解：（1）
故答案为：
（2）
故答案为：
2．（25-26八年级上·全国·课前预习）不改变分式的值，把下列分式的分子和分母中各项的系数化为整数：
（1） ；
（2） ．
【答案】
【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，是解题的关键：
（1）分式的分子和分母同时乘以6，进行计算即可；
（2）分式的分子和分母同时乘以100，进行计算即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：（1） ；
故答案为： ；
（2） ；
故答案为： ．
3．（25-26八年级上·全国·课后作业）将分式的分子与分母中的各项系数化为整数．
（1） ．
（2） ．
【答案】
【分析】本题主要考查分式的基本性质．
（1）不改变分式的值就是依据分式的基本性质进行变形，分子分母同时乘以10，分式的值不变．
（2）不改变分式的值就是依据分式的基本性质进行变形，分子分母同时乘以6，分式的值不变．
【详解】解：（1） ；
（2） ；
故答案为： ； ．
4．（2025八年级上·北京·专题练习）不改变分式的值，将分式 的分子分母化为整数．
【答案】
【分析】根据分式的基本性质，给分子、分母同时乘以10即可．
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学科网（北京）股份有限公司本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
【详解】解： ．
5．（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列各式的分子和分母的各项系数都化为整数．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式基本性质的应用，掌握分式基本性质是关键．
（1）根据分式分子分母中小数最多是两位小数，由分式基本性质，分式分子分母都乘100即可；
（2）分式的分子系数和分母系数都乘60即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
题型八 列分式
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学科网（北京）股份有限公司1．（23-24七年级下·北京·月考）浓度为 的盐水m公斤与浓度为 的盐水n公斤混合后的溶液浓度是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了列分式．根据溶液浓度 两种浓度的盐水中的盐的总质量 两种浓度的盐水总质
量，把相关数值代入即可．
【详解】解：∵浓度为 的盐水m公斤中含盐 ，浓度为 的盐水n公斤中含盐 ，
∴混合后溶液的浓度为 ，
故选：D．
2．（24-25八年级下·河北保定·月考）某校组织全体师生 人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司
提供的车每辆能乘坐 人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车
辆（ ）
A． 辆 B． 辆 C． 辆 D． 辆
【答案】B
【分析】根据题意，总人数为 ，但宋老师自己除外，因此实际乘车人数为 ，每辆车可坐 人，且其
他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为 ．
本题考查了列代数式，分式的应用，熟练掌握列代数式的基本方法是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得实际乘车人数为 ，每辆车可坐 人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车
辆数为 ．
故选：B．
3．（2025八年级上·黑龙江·专题练习）打字员要打一份12000字的文件，第一天她打字 ，打字速度为
w字 ，第二天打字速度比第一天快了10字 ，两天打完全部文件，第二天她打字用了
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题主要考查了列分式，利用第二天打字用的时间 （总字数 第一天打的字数） 第二天的速
度，求解即可．
【详解】解： ，
，
∴第二天她打字用了 ，
故答案为： ．
4．（25-26八年级上·全国·课后作业）请写出一个分式，使其只含有字母a，且无论a取何数分式都有意义：
．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，因此需要构造一个分母恒不为零
的分式即可．
【详解】解：由于对于所有实数 ，有 ，因此 ，
所以无论 取何实数，该分式 都有意义．
故答案为： ．
5．（2025八年级上·全国·专题练习）根据表格中的信息，请写出一个含 的分式： ．
… 0 1 2 …
无意
分式的值 … * * * …
义
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查分式的值，分式无意义的条件，根据 时，分式的值无意义可知分母含有因式
，再根据 时，分式的值为 解答即可．
【详解】解：满足条件的分式可以是 （答案不唯一），
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： （答案不唯一）．
6．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）已知某体育用品厂要生产 个篮球，原计划每天生产 个篮球( ，
且 是 的因数)．若实际提前1天完成任务，则该体育用品厂实际每天生产篮球 个．
【答案】
【分析】本题考查的是分式的应用，先计算原计划的时间为 天，可得实际的时间为 天，进一步可
得答案.
【详解】解：由题意可得，
实际每天生产篮球为： ，
故答案为： ．
7．（24-25八年级下·江苏泰州·期中） 千克橘子糖、 千克椰子糖、 千克奶糖混合成“什锦糖”．已知
这3种糖的单价分别为28元／千克、32元／千克、48元／千克，则这种“什锦糖”的单价用含 、 、
的代数式表示 元／千克．
【答案】
【分析】本题主要考查了列分式，分别求出三种糖的价格，求和后除以三种糖的总质量即可得到答案．
【详解】解：由题意得，这种“什锦糖”的单价为 元／千克，
故答案为： ．
8．（25-26八年级上·全国·课后作业）请你联系生活中的实际问题，列举一个用分式 表示的数量关系．
【答案】小明从家到学校的步行速度如果是20米/分，则时间是 分钟，从家到学校的步行速度如果是
米/分，则时间是 分钟．（答案不唯一）
【分析】本题考查了分式的实际意义．
结合实际生活作答即可．
【详解】解：小明从家到学校的步行速度如果是20米/分，则时间是 分钟，从家到学校的步行速度如果
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学科网（北京）股份有限公司是 米/分，则时间是 分钟．（答案不唯一）
9．（25-26八年级上·全国·课后作业）每千克m元的糖果x千克与每千克n元的糖果y千克混合成杂拌糖，
请写出混合后每千克糖果的价格的式子．
【答案】混合后糖果的价格为
【分析】本题主要考查了列分式，
先表示出总价 元，再除以总质量 千克，可得答案.
【详解】解：根据题意，得
混合后每千克糖果的价格是 元.
题型一 分式的综合运用
1．（25-26九年级上·重庆开州·月考）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为 ，第二个数记为 ，
第三个数记为 ，以此类推，第 个数记为 （ 为正整数）．已知 ，并规定：
，如： ，以下结论中，正确的个数为（ ）
① ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
④若 的值为整数，则满足条件的整数 共有6个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查分式中的规律探究，分式的求值，先求出前几个数，得到这列数6个数为一个周期，循
环出现，再逐一进行判断即可，正确的找到规律，是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴这列数6个数为一个周期，循环出现，
∵ ，
∴ ，故①错误；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，故③错误；
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 的值为整数，
∴ ， ， ， ，
∴满足条件的整数 共有8个．
又 ， ， 即 ， ， ，
故满足条件的整数 共有6个．故④正确，
故选：B．
2．（25-26八年级上·重庆巴南·月考）有n个依次排列的整式：第1项是 ，用第1项 减去
得到 ，将 乘以x得到第2项 ，再将第2项 减去 得到 ，将 乘以x得到第3项 ···，
以此类推，下面结论中正确的个数为（ ）
①当 时， ；
② ；
③第2025项 ；
④若x为整数，且 值为整数，则x的取值个数为4个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】本题考查代数式的应用，正确根据已知条件列出代数式是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司根据操作规则，推导出 和 的通项公式，然后逐一验证四个结论是否正确即可．
【详解】解：第1项是 ，
则
，即 ，
，
依此类推， 、 ，
当 时， ，
故①正确；
，
故②正确；
第2025项 ，
故③正确；
，
若x为整数，且 值为整数，
则 为6的因数，
即 或 或 或 ，
由于 为奇数，
则 或 ,
解得 或 或1或 ，
则x的取值个数有4个，
故④正确，
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学科网（北京）股份有限公司因此结论中正确的有①②③④，共4个，
故选：A．
3．（25-26八年级上·湖南·期末）已知 0，求 = ．
【答案】
【分析】本题考查了非负数的性质、分式的值为零的条件以及二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌
握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质，分子中平方根和绝对值的和为零，
需各自为零，结合分母不为零，求出 和 的值，然后代入所求表达式计算．
【详解】解：由 ，分母 ，故 ．
分子 ．
由于 ， ，且和为零，故 且 ．
由 ，得 ，即 ．
由 ，得 ，即 ．
但 ，故 ，代入 ，得 ．
∴ ， ．
代入所求表达式：
．
．
．
故原式 ．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
4．（25-26八年级上·北京西城·月考）已知 （ 是正整数）， 叫作 的平方差倒数．
例如 ， 叫作3的平方差倒数．
(1)2的平方差倒数是________；
(2) 是 的平方差倒数，求 的值：
(3)已知 是某一正整数的平方差倒数（ ， 是正整数），求 的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了对平方差倒数的理解，完全平方公式的应用、分式方程的实际应用，熟练掌握相
关知识是解题的关键．
（1）根据新定义平方差倒数，直接求解，即可解题；
（2）根据“ 是 的平方差倒数，”结合平方差倒数概念建立分式方程求解，即可解题；
（3）利用新定义因式分解化简求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴2的平方差倒数是 ，
故答案为： ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）解：∵ 是 的平方差倒数，
∴ ，
∴ ，
去分母，得 ，
解得 ，
经检验， 是该方程的解，
此时 ；
（3）解：∵ 是某一正整数的平方差倒数（ ， 是正整数），
设这一正整数为n,
∴ ，
∴ ，
即 ，
去分母，得 ，
，
∵a，b，n为正整数，
∴ ，
∴要使 的值最小，需使 为最小的完全平方数．
∵n为正整数，
∴ ， ．
∴ 的最小值为25，此时 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ 的最小值为10．
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