文档内容
第四章 图形的相似
4.8 图形的位似
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在直角坐标系xOy中，矩形EFGO的两边OE，OG在坐标轴上，
以y轴上的某一点P为位似中心，作矩形ABCD，使其与矩形EFGO位似，若点B，F的坐标分别为（4，
4），（-2，1），则位似中心P的坐标为（ ）
A．（0，1.5） B．（0，2）
C．（0，2.5） D．（0，3）
【答案】B
【分析】根据题意求出CG的长，利用相似三角形的性质求出PG的值，从而求出点P的坐标即可．
【详解】解：∵四边形ABCD和四边形EFGO均为矩形，点B，F的坐标分别为（4，4）、（-2，1），
∴ ， ，点C（0，4），点G（0，1），
∴ ， ，
∵ ，
∴△FGP∽△BCP
∴ ，即 ，
解得 ，∴点P坐标为（0，2），
故选：B．
【点睛】此题主要考查了位似中心的概念和位似图形的性质等知识，熟练掌握位似中心的概念和位似图形
的性质是解题的关键．
2．（2022·江苏·西附初中八年级期末） 年是紫禁城建成 年暨故宫博物院成立 周年，在此之前
有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图 所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门
和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图 中大门的门框并画出相关的几何图形
（图 ），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图 中的四边形 与四边形
是位似图形，点 是位似中心，点 是线段 的中点，那么以下结论正确的是（ ）
A．四边形 与四边形 的相似比为 ：
B．四边形 与四边形 的相似比为 ：
C．四边形 与四边形 的周长比为 ：
D．四边形 与四边形 的面积比为 ：
【答案】D
【分析】根据题意可判断 ： ： ，即得出 ： ： ，从而可判断四边形 与四边形
的相似比为 ： ，由相似比即可求出其周长比和面积比，即可选择．
【详解】 四边形 与四边形 是位似图形，点 是位似中心，点 是线段 的中点，
∴ ： ： ，
∴ ： ： ，
四边形 与四边形 的相似比为 ： ，周长的比为 ： ，面积比为 ： ．
故选D．
【点睛】本题考查由位似图形求相似比，周长比和面积比．掌握位似图形的定义和性质是解题关键．
3．（2022·重庆实验外国语学校八年级阶段练习）如图，在平面点角坐标系中 AOB与 COD是位似图形，以原点O为位似中心，若 ，B点坐标为(4，2)，则点D的坐标为（ ）
A．( 8，4) B．(8，6) C．(12，4) D．(12，6)
【答案】D
【分析】先求出位似比，根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ AOB与 COD的位似比为 ，
∵B点坐标为(4，2)， AOB与 COD是以坐标原点O为位似中心，
∴点D的坐标（4×3，2×3），即（12，6），
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似
比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点
A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB＝6，则A′B′的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．15
【答案】B
【分析】根据位似比的概念解答即可．
【详解】解： 图形甲与图形乙是位似图形， 是位似中心，位似比为 ，，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似图形，解题的关键是掌握位似图形的位似比是对应边的比．
5．（2022·全国·九年级课时练习）如图， ABC与 DEF是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的
坐标是（ ） △ △
A．（8，2） B．（9，1） C．（9，0） D．（10，0）
【答案】C
【分析】延长EB、DA交于点P，根据位似图形的对应点的连线相交于一点解答即可．
【详解】解：延长EB、DA交于点P，
则点P即为位似中心，位似中心的坐标为（9，0），
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似变换的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应点的连线相交于一点，
对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
6．（2022·山东威海·八年级期末）如图，矩形 与矩形 是位似图形，点 是位似中心．若点
的坐标为 ，点 的横坐标为 ，则点 的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据位似变换的性质得出PO=OA=2，然后写出P点坐标．
【详解】解：∵点B的坐标为（2，3），点E的横坐标为-1，
∴AB=3，OA=BC=2，DE=1，
∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，
∴ ，
∴PO=OA=2，
∴P点坐标为（-2，0）．
故选A．
【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边
互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似形；对
应点的连线都经过同一点；对应边平行．
二、填空题
7．（2022·广东·佛山市三水区三水中学附属初中九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，以原点
为位似中心，将 扩大到原来的 倍，得到 ，若点 的坐标是 ，则点 的坐标是______．【答案】
【分析】根据以原点 为位似中心，将 扩大到原来的 倍，结合图形，可知将对应点的坐标应乘以
，即可得出点 的坐标．
【详解】解：根据以原点 为位似中心扩大到原来的2倍 ， 在第三象限，
即对应点的坐标应乘以 ，
∵点 的坐标是 ，
∴点 的坐标是 ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称的位似图形的性质，得出对应点的坐标乘以 或 是解题关键．
8．（2022·浙江·九年级单元测试）如图， 与△ 是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心
的坐标是________．【答案】（9，0）
【分析】根据位似中心的概念解答即可．
【详解】解：连接 和 并延长相交于点D，则点D即为位似中心，作图如下：
点D的坐标为（9，0），
即位似中心的坐标为（9，0），
故答案为：（9，0）．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念，解题的关键是掌握各对应点所在直线的交点即为位似中心．
9．（2022·甘肃·平凉市第十中学九年级阶段练习）如图，以点 为位似中心，将五边形 放大后得到
五边形 ，已知 ， ，则五边形 的周长与五边形 的周长比
是______．
【答案】1：2
【分析】根据已知可得五边形ABCDE的周长与五边形 的位似比，然后由相似多边形的性质可
证得：五边形ABCDE的周长与五边形 的周长比．
【详解】 以点 为位似中心，将五边形 放大后得到五边形 ， ，
，
五边形 的周长与五边形 的位似比为： ： ： ，
五边形 的周长与五边形 的周长比是： ： ．
故答案为1:2．【点睛】此题考查了位似图形的性质，掌握相似多边形的周长比等于相似比是解题关键．
10．（2022·吉林省第二实验学校九年级阶段练习）如图， 与 位似，位似中心是点O，则
， 的面积为3，则 的面积是___________．
【答案】12
【分析】根据位似图形的概念得到 ABC∽ ，AC ，求得相似比，再根据相似三角形的面积
△
比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：∵△ABC与 位似，
∴△ABC∽ ，AC ，
∴△AOC∽ ，
∴ ，
∴△ABC与 的面积比为1：4，
∵△ABC的面积为3，
∴ 的面积是12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方
是解题的关键．
三、解答题11．（2022·全国·九年级专题练习）如图所示的平面直角坐标系中， ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣
3，2），B（﹣1，3），C（﹣1，1），请按如下要求画图： △
(1)以坐标原点O为旋转中心，将 ABC顺时针旋转90°，得到 ，请画出 ；
△
(2)以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出 ABC的位似图形 ，使它与 ABC的位似比为2：
△ △
1．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点的位置，画出图形即可；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点的位置，画出图形即可．
（1）
解：如图， 即为所求．；
（2）
解：如图， 即为所求．
【点睛】本题考查了位似变换与旋转变换，正确得出对应点的位置是解题的关键．
12．（2022·山东烟台·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中， ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B
（2，2），C（3，0）． △
(1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出将 ABC放大为原来的2倍得到的 ABC ，请写出点B的对
1 1 1
应点B 的坐标； △ △
1
(2)画出将 ABC向左平移1个单位，再向上平移2个单位后得到的 ABC ，写出点C的对应点C 的坐标；
2 2 2 2
(3)请在图△中标出 ABC 与 ABC 的位似中心M，并写出点M的坐△标．
1 1 1 2 2 2
【答案】(1)图见△解析，（4，△4）
(2)图见解析，（2，2）
(3)图见解析，（﹣2，4）【分析】（1）把A，B，C的横纵坐标都乘以2得到 的坐标，然后描点即可．
（2）利用，点平移的坐标特征写出 的坐标，然后描点即可．
（3）对应点连线的交点M即为所求作．
（1）
如图 ABC 即为所求作的三角形，
1 1 1
点B△的坐标（4，4）．
1
（2）
如图， ABC 即为所求作的三角形
2 2 2
点C 的△坐标（2，2）．
2
（3）
如图所示：
点M即为所求作．M（﹣2，4）．
【点睛】本题考查了作图一位似变换:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为
k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 ，也考查了平移变换．
提升篇
一、填空题1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将 AOB缩小为原
△
来的 ，得到 COD，若点A的坐标为（4，2），则AC的中点E的坐标是 _____．
△
【答案】（1， ）
【分析】根据位似变换的性质求出点C的坐标，根据线段中点的性质计算，求出点E的坐标．
【详解】∵以原点O为位似中心，将 AOB缩小为原来的 ，得到 COD，点A的坐标为（4，2），
△ △
∴点C的坐标为（4×（ ），2×（ ）），即点C的坐标为（﹣2，﹣1），
∴AC的中点E的坐标是（1， ），
故答案为：（1， ）．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点
为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
2．（2022·全国·九年级单元测试）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（-4，2），B（-2，-2）．
以坐标原点O为位似中心把△AOB缩小得到△AOB，△AOB 与△AOB的位似比为 ，则点A的对应点
1 1 1 1
A 的坐标为_______．
1
【答案】（-2，1）或（2，-1）【分析】根据在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形，如果相似比为k，那么位似图形对应
点的坐标的比等于k或-k计算，得到答案．
【详解】解∶∵以坐标原点O为位似中心把△AOB缩小得到 ， 与△AOB的位似比为 ，
∴点 的对应点的横纵坐标与点A的横纵坐标的比值为 或 ，
∵A（-4，2），
∴ 的坐标为 或 ， 即(-2，1)或(2，-1)，
故答案为∶(-2，1)或(2，-1)．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形，
如果相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k是解题的关键．
3．（2021·湖北·武汉二中广雅中学九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点 ， ，
以原点 为位似中心，相似比为 ，把 缩小，则点 的对应点 的坐标是______．
【答案】 或 ## 或
【分析】分点 与点A在点O同侧和异侧两种情况求解．
【详解】当点 与点A在点O同侧时， 在第二象限，横坐标的绝对值变为 ，纵坐标的绝对值为
，
故点 的坐标为 ；
当点 与点A在点O异侧时， 在第四象限，横坐标的绝对值变为 ，纵坐标的绝对值为 ，
故点 的坐标为 ；
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了位似计算，熟练掌握位似计算的基本方法，灵活进行分类是解题的关键．4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，等边 与等边 是以原点为位似
中心的位似图形，且相似比为 ，点A、B、D在x轴上，若等边 的边长为12，则点C的坐标为
_________．
【答案】
【分析】作CF⊥AB于F，根据位似图形的性质得到BC∥DE，根据相似三角形的性质求出OA、AB，根据
等边三角形的性质计算，得到答案．
【详解】解：作CF⊥AB于F，
∵等边△ABC与等边△BDE是以原点为位似中心的位似图形，
∴BC∥DE，
∴△OBC∽△ODE，
∴ ，
∵△ABC与△BDE的相似比为 ，等边△BDE边长为12，
∴解得，BC=4，OB=6，
∴OA=2，AB=BC=4，
∵CA=CB，CF⊥AB，
∴AF=2，
由勾股定理得，
∴OF=OA+AF=2+2=4，
∴点C的坐标为
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、等边三角形的性质、掌握位似变换的概念、相似三角形的
性质是解题的关键．
5．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知 的面积为24，以B为位似中心，作 的位似
图形 ，位似图形与原图形的位似比为 ，连接AG、DG．则 的面积为________．
【答案】4
【分析】延长EG交CD于点H，由题意可得四边形AEHD是平行四边形，则可得此平行四边形的面积为
8，从而可得△ADG的面积．
【详解】延长EG交CD于点H，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，四边形EBFG是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC；BF∥EG，
∴AD∥EG，
∴四边形AEHD是平行四边形，
∴ ．
∵位似图形与原图形的位似比为 ，∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，平行四边形的性质与判定，掌握这些性质是解题的关键．
二、解答题
6．（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O
（0，0），以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ ABO的位似比为 ．
【答案】见详解
【分析】由位似比求出对应点坐标有两种情况，分别求出两组对应点坐标，然后在平面直角坐标系描点连
接即可
【详解】解：由位似比为 求得： 对应点坐标分别为 ，
或者 ， ，
O点是位似中心，所以位置不变，所以，下图 或 都为满足题意的位似图形．
【点睛】本题考查了位似的概念．位似比为对应点到位似中心的距离比．解题关键是根据位似比找到对应
点的坐标．
7．（2022·山东·聊城江北水城旅游度假区北大培文学校九年级阶段练习）已知：如图，△ABC三个顶点的
坐标分别为A（0，-3）、B（3，-2）、C（2，-4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．
(1)画出△ABC向上平移6个单位得到的 ；
(2)以点C为位似中心，在网格中画出 ，使 与△ABC位似，且 与△ABC的位似比
为2：1，并直接写出点 的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)图见解析， 坐标为（2，-4）【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置即可得出答案；
（2）直接利用位似图形的性质以C为位似中心，将边长扩大为原来的2倍即可．
（1）
如图所示： 即为所求；
（2）
如图所示： 即为所求，
坐标为：（2，-4）．
【点睛】本题考查了平移的性质，位似的性质，能根据性质的特点进行画图是解此题的关键．
8．（2021·黑龙江绥化·期末）按要求完成下面各题：
(1)三角形AOB顶点B的位置用数对表示是 ．
(2)画出三角形AOB绕点O逆时针旋转90°后的图形．
(3)按2∶1的比画出三角形AOB放大后的图形．
【答案】(1)（2，4）
(2)见详解(3)见详解
【分析】（1）根据网格即可得三角形AOB顶点B的位置；
（2）根据旋转的性质即可画出三角形AOB绕点O逆时针旋转90°后的图形；
（3）根据2：1的比即可画出三角形AOB放大后的图形．
（1）
解：三角形AOB顶点B的位置用数对表示是（2，4）；
故答案为：（2，4）；
（2）
如图三角形 即为所求；
（3）
如图，三角形 即为所求．
【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
