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第五章 分式与分式方程
5.4 分式方程
基础篇
一、单选题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）方程 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，观察可得：最简公分母为 ，方程两边同时乘以最简公分母，可把分式方程转
化为整式方程求解，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】 ，
去分母，得： ，
解得： ，
经检验 是分式方程的解，
故选：A
【点睛】本题主要考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
2．（2023春·海南海口·九年级海南华侨中学校考阶段练习）分式方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先把分式方程化为整式方程求出x的值，再代入最简公分母进行检验即可．
【详解】解： ，
∴ ，
解得： ，
经检验： 是原方程的解，
故选A．
【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握方程的解法，注意要检验．3．（2023春·江苏泰州·八年级统考阶段练习）解分式方程 ，去分母后得到（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分式方程左右两边同乘 去分母得到结果，即可作出判断．
【详解】解：去分母得： ．
故选：B．
【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
4．（2023春·福建泉州·八年级晋江市第一中学校联考期中）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱
问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次
每人分得的钱与第一次相同，设第二次分钱的人数为 人，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设第二次分钱的人数为 人，则第一次分钱的人数为 人．根据两次每人分得的钱数相同，
即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：设第二次分钱的人数为 人，则第一次分钱的人数为 人．
依题意得： ．
故选D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
5．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录了一道驿站
送信的题目，大意为：一份文件，若用慢马送到 里远的城市，所需时间比规定时间多 天；若改为快马
派送，则所需时间比规定时间少 天．已知快马的速度是慢马的 倍，求规定时间．设规定时间为x天，则
可列出正确的方程为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据快马、慢马所需时间及规定时间之间的关系，可得出慢马所需的时间为 天，快马所需
的时间为 天，利用速度 路程 时间，结合快马的速度是慢马的 倍，即可得出关于 的分式方程，
此题得解．
【详解】解： 规定时间为x天，
慢马所需的时间为 ，快马所需时间为 ，
又 快马的速度是慢马的 倍，
可列出方程 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题
的关键．
6．（2023春·福建福州·九年级福建省福州第十九中学校考阶段练习）某厂计划加工120万个医用口罩，按
原计划的速度生产6天后，疫情期间因为任务需要，生产速度提高到原来的1.5倍，结果比原计划提前3
天完成任务．若设原计划每天生产x万个口罩，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据6天之后，按原计划的生产时间＝提速后生产时间+3，可得方程．
【详解】解：若设原计划每天生产x万个口罩，由题知：
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用问题，根据题意列出方程式即可．
二、填空题7．（2023春·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期中）若分式 的值为零，则x的值为______．
【答案】1
【分析】由题意知， ，然后解分式方程即可．
【详解】解：由题意知， ，
解得， ，
经检验， 是原分式方程的解，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了解分式方程．解题的关键在于正确的运算．
8．（2023春·山西临汾·八年级统考阶段练习）对于函数 ，当 时， ______．
【答案】2
【分析】令 ，得到 ，解之可得x的值．
【详解】解：当 时， ，
解得： ，
经检验： 是方程的解，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了求自变量，解分式方程，解题是要注意细心计算．
9．（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）分式方程 的解为
________．
【答案】9
【分析】分式方程先去分母转化成整式方程，求出整式方程的解，经检验得到分式方程的解．
【详解】去分母得：
解得：
检验：把 代入得：
分式方程的解为
故答案为：9．
【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程注意要检验．10．（2023·辽宁鞍山·统考一模）甲、乙两人都要走路 ，甲的速度是乙的速度的 倍，甲比乙少用
，设乙的速度是 ，则可列方程为______．
【答案】
【分析】设乙的速度是 ，则甲的速度是 ，根据甲、乙二人都要走 的路，甲比乙少用
， ，列出方程即可．
【详解】解：设乙的速度是 ，则甲的速度是 ，
根据题意得： ，
即 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键，行程问题常用的等量关系
为：速度=路程÷时间．
三、解答题
11．（2023春·重庆渝北·八年级为明学校校考阶段练习）（1）解方程： ；
（2）分式化简： ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）先将等式两边同时乘以 ，将分式方程化为整式方程，然后解方程即可，最后注意一
定要检验；
（2）先将括号内的分式通分，然后把除法运算转化为乘法运算，能因式分解的要先因式分解，最后约分
化简即可．
【详解】（1） ，
去分母，得： ，
去括号，得： ，
整理，得： ，解得： ，
检验：将 代入 ，
∴ 是原方程得解；
（2）
，
，
，
【点睛】本题主要考查解分式方程，分式的化简求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
12．（2023春·广东云浮·九年级校考阶段练习）新情境·雅万高铁2022年11月15日至16日，二十国集团
领导人第十七次峰会于印尼巴厘岛正式召开，备受瞩目的雅万高铁于 峰会期间测试运行．雅万
高铁北起印尼首都雅加达，南联旅游名城万隆，是印尼乃至东南亚的第一条高铁，全长 ．已知雅万
高铁的平均速度是火车的平均速度的 倍，乘坐雅万高铁全程可比乘坐火车节省时间 ，求雅万高
铁的平均速度．
【答案】
【分析】设火车行全程的平均速度为 ，则高铁的平均速度为 ，根据题意列出分式方程解
答即可．
【详解】解：设火车行全程的平均速度为 ，则高铁的平均速度为 ，
解得：
经检验 是方程的解，
则 ，
答：雅万高铁的平均速度为 ．【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，行程问题，找到合适的等量关系列出方程是解题的关键．
提升篇
一、填空题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）方程 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，观察可得：最简公分母为 ，方程两边同时乘以最简公分母，可把分式方程转
化为整式方程求解，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】 ，
去分母，得： ，
解得： ，
经检验 是分式方程的解，
故选：A
【点睛】本题主要考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
2．（2023春·海南海口·九年级海南华侨中学校考阶段练习）分式方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先把分式方程化为整式方程求出x的值，再代入最简公分母进行检验即可．
【详解】解： ，
∴ ，
解得： ，
经检验： 是原方程的解，
故选A．
【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握方程的解法，注意要检验．
3．（2023春·江苏泰州·八年级统考阶段练习）解分式方程 ，去分母后得到（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分式方程左右两边同乘 去分母得到结果，即可作出判断．
【详解】解：去分母得： ．
故选：B．
【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
4．（2023春·福建泉州·八年级晋江市第一中学校联考期中）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱
问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次
每人分得的钱与第一次相同，设第二次分钱的人数为 人，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设第二次分钱的人数为 人，则第一次分钱的人数为 人．根据两次每人分得的钱数相同，
即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：设第二次分钱的人数为 人，则第一次分钱的人数为 人．
依题意得： ．
故选D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
5．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录了一道驿站
送信的题目，大意为：一份文件，若用慢马送到 里远的城市，所需时间比规定时间多 天；若改为快马
派送，则所需时间比规定时间少 天．已知快马的速度是慢马的 倍，求规定时间．设规定时间为x天，则
可列出正确的方程为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】根据快马、慢马所需时间及规定时间之间的关系，可得出慢马所需的时间为 天，快马所需
的时间为 天，利用速度 路程 时间，结合快马的速度是慢马的 倍，即可得出关于 的分式方程，
此题得解．
【详解】解： 规定时间为x天，
慢马所需的时间为 ，快马所需时间为 ，
又 快马的速度是慢马的 倍，
可列出方程 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题
的关键．
6．（2023春·福建福州·九年级福建省福州第十九中学校考阶段练习）某厂计划加工120万个医用口罩，按
原计划的速度生产6天后，疫情期间因为任务需要，生产速度提高到原来的1.5倍，结果比原计划提前3
天完成任务．若设原计划每天生产x万个口罩，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据6天之后，按原计划的生产时间＝提速后生产时间+3，可得方程．
【详解】解：若设原计划每天生产x万个口罩，由题知：
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用问题，根据题意列出方程式即可．
二、填空题
7．（2023春·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期中）若分式 的值为零，则x的值为______．
【答案】1【分析】由题意知， ，然后解分式方程即可．
【详解】解：由题意知， ，
解得， ，
经检验， 是原分式方程的解，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了解分式方程．解题的关键在于正确的运算．
8．（2023春·山西临汾·八年级统考阶段练习）对于函数 ，当 时， ______．
【答案】2
【分析】令 ，得到 ，解之可得x的值．
【详解】解：当 时， ，
解得： ，
经检验： 是方程的解，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了求自变量，解分式方程，解题是要注意细心计算．
9．（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）分式方程 的解为
________．
【答案】9
【分析】分式方程先去分母转化成整式方程，求出整式方程的解，经检验得到分式方程的解．
【详解】去分母得：
解得：
检验：把 代入得：
分式方程的解为
故答案为：9．
【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程注意要检验．
10．（2023·辽宁鞍山·统考一模）甲、乙两人都要走路 ，甲的速度是乙的速度的 倍，甲比乙少用
，设乙的速度是 ，则可列方程为______．【答案】
【分析】设乙的速度是 ，则甲的速度是 ，根据甲、乙二人都要走 的路，甲比乙少用
， ，列出方程即可．
【详解】解：设乙的速度是 ，则甲的速度是 ，
根据题意得： ，
即 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键，行程问题常用的等量关系
为：速度=路程÷时间．
三、解答题
11．（2023春·重庆渝北·八年级为明学校校考阶段练习）（1）解方程： ；
（2）分式化简： ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）先将等式两边同时乘以 ，将分式方程化为整式方程，然后解方程即可，最后注意一
定要检验；
（2）先将括号内的分式通分，然后把除法运算转化为乘法运算，能因式分解的要先因式分解，最后约分
化简即可．
【详解】（1） ，
去分母，得： ，
去括号，得： ，
整理，得： ，
解得： ，
检验：将 代入 ，∴ 是原方程得解；
（2）
，
，
，
【点睛】本题主要考查解分式方程，分式的化简求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
12．（2023春·广东云浮·九年级校考阶段练习）新情境·雅万高铁2022年11月15日至16日，二十国集团
领导人第十七次峰会于印尼巴厘岛正式召开，备受瞩目的雅万高铁于 峰会期间测试运行．雅万
高铁北起印尼首都雅加达，南联旅游名城万隆，是印尼乃至东南亚的第一条高铁，全长 ．已知雅万
高铁的平均速度是火车的平均速度的 倍，乘坐雅万高铁全程可比乘坐火车节省时间 ，求雅万高
铁的平均速度．
【答案】
【分析】设火车行全程的平均速度为 ，则高铁的平均速度为 ，根据题意列出分式方程解
答即可．
【详解】解：设火车行全程的平均速度为 ，则高铁的平均速度为 ，
解得：
经检验 是方程的解，
则 ，
答：雅万高铁的平均速度为 ．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，行程问题，找到合适的等量关系列出方程是解题的关键．
