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5.4 二元一次方程与一次函数
5大知识点（基础）+能力提升题（7道）+拓展培优练（3道）
一、待定系数法求一次函数解析式
1．（24-25七年级下·山东东营·期末）在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)有如下关
系：
所挂物体的质量
0 1 2 3 4
x(kg)
弹簧的长度y(cm) 18 20 22 24 26
当所挂物体的质量为6kg时，弹簧的长度是 cm．
2．（24-25八年级下·广东肇庆·期末）已知一次函数的图象过A(1,3)，B(3,7)两点，求这个一次函数的解
析式．
3．（24-25八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象过点A(1,−2)和点
B(0,−1)．
(1)求这个函数的解析式；
(2)若这个函数的图象与x轴交于点C，求△OBC的面积．
2
4．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）已知两直线y = x，y =kx+b，在同一平面直角坐标系中，且y
1 3 2 2
经过(0,3),(4,0)两点．
(1)求直线y 的表达式；
2
(2)求两直线的交点坐标．
二、两直线交点与方程的解
1．（24-25八年级下·河北唐山·期末）已知一次函数y=kx+b的图象与一次函数y=mx+n的图象相交于点
{y−kx=b−2)
P(1,3)，则方程组 的解为（ ）
y−mx=n−2
{x=1) {x=−1) {x=1) {x=−1)
A． B． C． D．
y=3 y=3 y=1 y=12．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，已知一次函数y=kx+b(k≠0)与y=−2x+4的图象相交于点
P(1,m)，则二元一次方程组¿的解是（ ）
{x=1) {x=2) {x=1) {x=3)
A． B． C． D．
y=3 y=1 y=2 y=1
3．（22-23八年级上·陕西咸阳·期末）如图，直线l :y=x+1与直线l :y=kx+b相交于点P(1,m)，则关
1 2
{ y=x+1)
于x、y的方程组 的解为 ．
y=kx+b
4．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）已知在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k、b为常数，且
{y=kx+b)
k≠0)的图象与一次函数y=3x+1的图象交点的横坐标为2，则关于x、y的二元一次方程组 的
y=3x+1
解为 ．
5．（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图，直线l :y=x+4与直线l :y=kx+b相交于点P(a,7)，则方程
1 2
{y=x+4)
组 的解是 ．
y=kx+b三、图像法解二元一次方程组
1．（24-25八年级下·广西河池·期末）综合与实践
同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数y=2|x+1)−3的图象．
(1)列表：
x … −4 −3 −2 −1 0 1 2 …
y … 3 m −1 −3 −1 n 3 …
表格中m=_______，n=________；
(2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)观察（2）中所画函数的图象，求出当x取何值时该函数的有最小值．最小值是多少？
(4)写出关于x的方程2|x+1)−3=x+1的解，并利用（2）中的图像简单说明此方程的解是如何得到的．
2．（24-25七年级下·江西上饶·期末）
我们曾探究过“以方程x−y=0的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二
元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．
规定：以方程x−y=0的解为坐标的所有点的全体叫做方程x−y=0的图象；
结论：一般的，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线．
示例：如图1，我们在画方程x−y=0的图象时，可以取点A(−1,−1)和B(2,2)，作出直线AB．
【解决问题】
（1）已知A(−1,2)、B(−2,0)、C(1,2)，则点________（填“A或B或C”）在方程2x+ y=4的图象上．
{2x+ y=4)
（2）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组 中的两个二元一次方程的图象．
x−y=−1
（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）；
（3）观察图象，两条直线的交点坐标为________，由此你得出这个二元一次方程组的解是________．【拓展延伸】
（4）已知二元一次方程ax+by=6的图象经过两点A(2,−1)和B(3,0)，试求a、b的值．
3．（20-21八年级下·河南南阳·期中）某班“数学兴趣小组，对函数y＝|x|﹣2的图象与性质进行了探究．
探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x可以是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 2 1 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 0 m 2
其中m＝ ．
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出该函数图象．
（3）观察函数图象发现：
①该函数的最小值为 ；该函数是轴对称图形吗？ （填“是”或“否”）；若是，其对称轴是
．
②若y＝t与该函数有两个交点，则t的取值范围是 ．
{|x)−y=2)
（4）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出方程组： 的解是 ．
2x+ y=1四、求直线围成的图形面积
1．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是长方形，O为原点，
点A在x轴上，点C在y轴上，A(10,0)，C(0,6)，点D在AB边上，将△CBD沿CD翻折，点B恰好落在
OA边上点E处．
(1)求点E的坐标；
(2)求折痕CD所在直线的函数表达式；
(3)延长直线CD交x轴于点F，求△COF的面积．
2．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象l :y=−x+4与y轴、x
1
1
轴分别交于点A，B，与正比例函数图象l :y= x交于点C．
2 3(1)求点C的坐标，并求△OBC的面积；
(2)若直线l :y=kx+2与y轴交于点D，与直线l 或l 交于点P，且△ADP的面积为△OBC的面积的2倍，
3 1 2
求k的值．
1 1
3．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，y=− x+6与直线y= x交于点A，与x轴，y轴分别交于
2 2
点B，C．
(1)求出点A，B，C的坐标；
(2)若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的表达式．
4．（24-25八年级上·湖南常德·期末）如图，直线l ：y=2x与直线l ：y=kx+b交于点P，点P的坐标为
1 2
(1,m)，OA=3
(1)求直线l 的解析式；
2
(2)求△OAP的面积．
五、一次函数与二元一次方程的综合应用
1．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图像如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的3倍，
并先到达顶．根据图象所提供的信息，下列说法正确的有 ．
①甲登山的速度是每分钟10米；②乙在A地时距地面的高度b为30米；③乙登山5.5分钟时追上甲：④登
山时间为4分钟、9分钟、13分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．
2．（24-25八年级下·广东湛江·期末）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．某餐厅的机器人
聪聪和慧慧，准备从厨房门口出发，给相距9m的客人送餐．聪聪先出发，且速度保持不变．慧慧待聪聪出
发15s后出发，2s后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为x(s)，聪聪和慧慧行走的路程分别为
y (m)、y (m)．y 、y 与x之间的函数图象如图所示．
1 2 1 2
(1)求慧慧提速前的速度；
(2)求图中的t与n的值．
(3)慧慧出发几秒后行走在聪聪的前面？
3．（24-25八年级下·山东青岛·期末）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3km−10km的出
行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，下面图象反映了收费y（元）与骑行时间x(min)之间的对应关
系，其中A品牌收费方式对应y ，B品牌的收费方式对应y ，请根据相关信息，解答下列问题：
1 2
(1)分别求y (x≥10)，y 关于x的函数关系式；
1 2(2)小明每天骑行A品牌或B品牌的共享电动车外出，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度相等，那么
小明选择哪个品牌共享电动车更省钱？
4．（2025·河北邯郸·二模）在2025年春晚的舞台上，名为《秧BOT》的创新节目惊艳亮相！这场科技与
艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．某快递公司
为提高配送效率，使用智能配送机器人．已知机器人充满电后开始工作；其剩余电量y(%)与行驶时间x
（分钟）的关系如图所示．机器人每次配送前都充满电；且当剩余电量≤10%时停止行驶，等待充电．
(1)求剩余电量y与行驶时间x的函数关系式（无需写自变量的取值范围）．
(2)若某次配送需要50分钟，该机器人是否需要中途充电？请说明理由．
(3)为提高效率，技术人员将机器人的电量消耗速度降低20%．
①写出优化后的剩余电量y与行驶时间x的函数关系式；
②计算优化后的单次最远行驶时间．
3
1．（24-25八年级下·陕西延安·期末）如图，直线y=− x+6与y轴、x轴分别交于点A、B，M是线段
4
OB上一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在y轴上的点B′处，则直线AM的函数解析式是（ ）
1 1
A．y= x+6 B．y=−2x+6 C．y=− x+3 D．y=−2x+3
2 2
2．（2025·安徽芜湖·三模）物理课上，小明经过多次实验发现：在弹簧弹力范围内，弹簧总长y(cm)是弹
簧秤所挂重物质量x(kg)的一次函数，其部分对应值如下表所示：重物质量
0.5 1.5 3 4 5 6
x/kg
弹簧总长
11 13 a b 20 22
y/cm
根据以上信息，表中的a−b的值为（ ）
A．2 B．−1 C．−2 D．−8
OB 1
3．（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）如图：直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A、B两点， = ，点
OA 2
C(x,y)是直线y=kx+3上与A、B不重合的动点．
(1)求直线y=kx+3的解析式；
(2)当点C运动到什么位置时△AOC的面积是6；
(3)过点C的另一直线CD与y轴相交于D点，是否存在点C使△BCD与△AOB全等？若存在，请求出点C
的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）A市和B市分别有库存的某种联合收割机12台和6台，现决定运往
C市和D市各9台，已知从A市运往C市、D市的运费分别为每台400元和600元，从B市运往C市、D
市的运费分别为每台200元和500元．设A市运往C市的联合收割机为x台，总运费为w元．
(1)求w关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求总运费w最低的调运方案，并求出最低总运费．
5．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）如图是某型号新能源电动汽车满电后，蓄电池剩余电量y(kW⋅h)关
于已行驶路程x(km)的函数图象．
(1)当0≤x≤200时，求y关于x的函数解析式；
(2)当汽车行驶180km时，蓄电池的剩余电量是多少kW⋅h？6．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l :y=−x+2与过点A(−2,0)的
1
直线l 交于点P(−1,m)，与x轴交于点B．
2
(1)求直线l 的函数表达式；
2
(2)点M在直线l 上，直线MN∥y轴，交直线l 于点N，若MN=2AB，求点M的坐标．
2 1
7．（24-25七年级下·山东东营·期末）在直角坐标系内，一次函数y=kx+b的图象经过三点A(4,0)，
B(0,2)，C(m,−3)．
(1)求这个一次函数解析式；
(2)求m的值；
(3)若x轴上有一点D，且S =2，求点D的坐标．
△ABD
1．（24-25八年级下·内蒙古兴安盟·期末）A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．
甲、乙两人离开A地的距离s（单位：km）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示，则以下结论：①乙
比甲提前出发1h；②甲行驶的速度为40km/h；③3h时，甲、乙两人相距80km；④0.75h或1.125h时，
乙比甲多行驶10km．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（24-25八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，一次函数y =−kx+3m(m>1)的图象记作直
1
线l ，l 与x轴相交于点A(3m,0)，一次函数y =kx−m−2的图象记作直线l ．
1 1 2 2
(1)求k的值；(2)点M，N分别在直线l ，l 上，将线段MN进行平移得到线段PQ，使得点P，Q分别落在直线l ，l 上，
1 2 2 1
连接NQ，MP．
若点M(1,5)，求点Q的坐标；
①若直线l ：y =n y +t y （n，t为常数，n+t>0）将四边形MNQP分成面积相等的两部分．试探究是
3 3 1 2
②否存在一组常数n，t，使得无论m取何值，直线l 都经过x轴上的某一个定点，若存在，请求出n，t的值
3
及该定点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）在平面直角坐标系xOy中，点A(a,0)，B(0,b)，且a，b满足
|a+4|=−❑√3−b，将直线AB沿x轴向右平移m个单位长度交x轴于点D，交y轴于点C(0,c)(c<0)．
(1)求三角形AOB的面积；
3
(2)如图1，若c=− ，求m的值；
2
(3)如图2，当CD=AB时，过点B作x轴的平行线交直线CD于点E，点P以每秒1个单位长度的速度从点B
出发沿射线BE运动，设运动时间为t秒，连接CP交x轴于点F，若三角形CDF的面积不大于三角形OCD
的面积的一半，求t的取值范围．
