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5.4 二元一次方程与一次函数
5大知识点（基础）+能力提升题（7道）+拓展培优练（3道）
一、待定系数法求一次函数解析式
1．（24-25七年级下·山东东营·期末）在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)有如下关
系：
所挂物体的质量
0 1 2 3 4
x(kg)
弹簧的长度y(cm) 18 20 22 24 26
当所挂物体的质量为6kg时，弹簧的长度是 cm．
【答案】30
【分析】本题考查了一次函数关系式形式，熟记一次函数的形式：y=kx+b(k≠0)，通过已知条件设出一
次函数关系式，然后用待定系数法进行求解，即设法建立关于未知系数的方程或方程组进行求解．根据题
意可设出y与x的关系式为：y=kx+b，再将已知的值代入求解即可．
【详解】解：设：y=kx+b，代入(0,18)，(1,20)得：
{ b=18 )
，
k+b=20
{k=2
)
解得： ，
b=18
∴y=2x+18，
当x=6时，
y=2×6+18=30，
故答案为：30．
2．（24-25八年级下·广东肇庆·期末）已知一次函数的图象过A(1,3)，B(3,7)两点，求这个一次函数的解
析式．
【答案】y=2x+1
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌
握并能灵活运用一次函数的性质是关键．
依据题意，设所求的一次函数为y=kx+b，结合图象过点A(1,3)和B(3,7)，可得¿，进而计算可以得解．【详解】解：由题意，设所求的一次函数为y=kx+b，
∵图象过点A(1,3)和B(3,7)，
∴¿，
∴¿，
∴所求一次函数的解析式为y=2x+1．
3．（24-25八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象过点A(1,−2)和点
B(0,−1)．
(1)求这个函数的解析式；
(2)若这个函数的图象与x轴交于点C，求△OBC的面积．
【答案】(1)y=−x−1
1
(2)
2
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴的交点问题．
（1）利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）先确定C点坐标，然后根据三角形的面积公式计算．
【详解】（1）解：设一次函数的解析式为y=kx+b，
代入点A(1,−2)和点B(0,−1)得，
{k+b=−2)
b=−1
{k=−1)
解得：
b=−1
∴y=−x−1
（2）当y=0时，−x−1=0，
解得x=−1，
∴C(−1,0)，则OC=1，
∵B(0,−1)，则OB=1，
1 1 1
∴△OBC的面积= OB⋅OC= ×1×1=
2 2 2
2
4．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）已知两直线y = x，y =kx+b，在同一平面直角坐标系中，且y
1 3 2 2
经过(0,3),(4,0)两点．
(1)求直线y 的表达式；
2
(2)求两直线的交点坐标．3
【答案】(1)y =− x+3
2 4
(36 24)
(2) ,
17 17
【分析】本题考查了一次函数，熟练掌握待定系数法是解题关键．
（1）根据点(0,3),(4,0)，利用待定系数法求解即可得；
（2）联立两个直线的解析式，解方程组即可得．
【详解】（1）解：将点(0,3),(4,0)代入直线y =kx+b得： { b=3 ) ，
2 4k+b=0
{ k=− 3 )
解得 4 ，
b=3
3
所以直线y 的表达式为y =− x+3．
2 2 4
2
{ y= x )
3
（2）解：联立 ，
3
y=− x+3
4
36
{ x= )
17
解得 ，
24
y=
17
(36 24)
所以两直线的交点坐标为 , ．
17 17
二、两直线交点与方程的解
1．（24-25八年级下·河北唐山·期末）已知一次函数y=kx+b的图象与一次函数y=mx+n的图象相交于点
{y−kx=b−2)
P(1,3)，则方程组 的解为（ ）
y−mx=n−2
{x=1) {x=−1) {x=1) {x=−1)
A． B． C． D．
y=3 y=3 y=1 y=1
【答案】C
【分析】本题考查了直线交点坐标与方程组解的关系，平移的意义，熟练掌握关系是解题的关键．
{y=kx+b) {x=1) {y−kx=b−2)
根据两个一次函数的图象交于点P(1,3)，得方程组 的解为 ，方程组 变
y=mx+n y=3 y−mx=n−2{y=kx+b−2)
形为 ，此时方程组实际是将原函数向下平移2个单位得到的新函数构成的，故只需将交点
y=mx+n−2
也相应向下平移2个单位即可．
【详解】解：根据两个一次函数的图象交于点P(1,3)，
{y=kx+b) {x=1)
得方程组 的解为 ，
y=mx+n y=3
{y−kx=b−2) {y=kx+b−2)
方程组 变形为 ，
y−mx=n−2 y=mx+n−2
此时方程组实际是将原函数图象向下平移2个单位得到的新函数图象构成的，
{ x=1 ) {x=1)
故只需将交点也相应向下平移2个单位即为 即 ，
y=3−2 y=1
故选：C．
2．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，已知一次函数y=kx+b(k≠0)与y=−2x+4的图象相交于点
P(1,m)，则二元一次方程组¿的解是（ ）
{x=1) {x=2) {x=1) {x=3)
A． B． C． D．
y=3 y=1 y=2 y=1
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系．由一次函数y=kx+b(k≠0)和y=−2x+4的图象
交于点P的坐标是(1,2)，可得二元一次方程组的解，从而可得答案．
【详解】解：由条件可得得m=−2+4=2，即P(1,2)，
所以，一次函数y=kx+b(k≠0)与y=−2x+4的图象交于P(1,2)，
{x=1)
所以二元一次方程组¿的解是 ，
y=2
故选：C．
3．（22-23八年级上·陕西咸阳·期末）如图，直线l :y=x+1与直线l :y=kx+b相交于点P(1,m)，则关
1 2
{ y=x+1)
于x、y的方程组 的解为 ．
y=kx+b{x=1)
【答案】
y=2
【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，首先把点P(1,m)代入直线l :y=x+1求出的m
1
值，进而得到点P坐标即可，解题的关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解．
【详解】解：∵直线l :y=x+1过点P(1,m)，
1
∴m=1+1=2，
∴点P(1,2)，
∵直线l :y=x+1与直线l :y=kx+b相交于点P(1,2)，
1 2
{ y=x+1) {x=1)
∴方程组 的解为 ，
y=kx+b y=2
{x=1)
故答案为： ．
y=2
4．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）已知在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k、b为常数，且
{y=kx+b)
k≠0)的图象与一次函数y=3x+1的图象交点的横坐标为2，则关于x、y的二元一次方程组 的
y=3x+1
解为 ．
{x=2)
【答案】
y=7
【分析】本题考查了一次函数交点与解二元一次方程组，掌握交点的含义是解题的关键．根据题意，把
{x=2)
x=2代入得到交点坐标(2,7)，说明 既满足y=kx+b又满足y=3x+1，由此即可得到方程组的解．
y=7
【详解】解：图象交点的横坐标为2，
∴ y=3x+1=3×2+1=7，
∴交点坐标为(2,7)，
{y=kx+b) {x=2)
∴二元一次方程组 的解为
y=3x+1 y=7{x=2)
故答案为： ．
y=7
5．（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图，直线l :y=x+4与直线l :y=kx+b相交于点P(a,7)，则方程
1 2
{y=x+4)
组 的解是 ．
y=kx+b
{x=3)
【答案】
y=7
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数与二元一次方程组的联系是解题关键．
先把P(a,7)代入y=x+4得：7=a+4，再根据两条直线的交点坐标P(3,7)，进行作答即可．
【详解】解：∵直线l :y=x+4与直线l :y=kx+b相交于点P(a,7)，
1 2
∴把P(a,7)代入y=x+4得：7=a+4，
解得：a=3，
∴直线l :y=x+4与直线l :y=kx+b相交于点P(3,7)，
1 2
{y=x+4) {x=3)
∴方程组 的解是 ，
y=kx+b y=7
{x=3)
故答案为： ．
y=7
三、图像法解二元一次方程组
1．（24-25八年级下·广西河池·期末）综合与实践
同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数y=2|x+1)−3的图象．
(1)列表：
x … −4 −3 −2 −1 0 1 2 …
y … 3 m −1 −3 −1 n 3 …
表格中m=_______，n=________；
(2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；(3)观察（2）中所画函数的图象，求出当x取何值时该函数的有最小值．最小值是多少？
(4)写出关于x的方程2|x+1)−3=x+1的解，并利用（2）中的图像简单说明此方程的解是如何得到的．
【答案】(1)1；1
(2)见解析
(3)x=−1；−3
(4)x =−2，x =2；见解析
1 2
【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，掌握画一次函数图像的方法，理解一次函数交点坐标的
意义是解题的关键．
（1）分别把x=−3和x=1代入函数解析式，即可求解；
（2）根据表格选取点A(−1,−3)，点B(−3,1)作射线，选取点A(−1,−3)，点C(1,1)作射线，即可解答；
（3）观察（2）中的函数图象，即可求解；
（4）画出函数y=2|x+1)−3和y=x+1的图象，由两个函数图象的交点坐标即可求解．
【详解】（1）解： m=2×|−3+1)−3=1，n=2×|1+1)−3=1
故答案为：1；1
（2）解：如图，
（3）解：根据图像得：当x=−1时函数y=2|x+1)−3有最小值，最小值为y=−3；
（4）解：方程2|x+1)−3=x+1的解为：x =−2，x =2，
1 2
理由如下：
画出函数y=2|x+1)−3和y=x+1的图象，如图所示：
函数y=2|x+1)−3和y=x+1的图象交点坐标分别为D(−2,−1)，E(2,3)，
∴关于x的方程2|x+1)−3=x+1的解为：x =−2，x =2．
1 2
2．（24-25七年级下·江西上饶·期末）
我们曾探究过“以方程x−y=0的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二
元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．
规定：以方程x−y=0的解为坐标的所有点的全体叫做方程x−y=0的图象；
结论：一般的，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线．
示例：如图1，我们在画方程x−y=0的图象时，可以取点A(−1,−1)和B(2,2)，作出直线AB．
【解决问题】
（1）已知A(−1,2)、B(−2,0)、C(1,2)，则点________（填“A或B或C”）在方程2x+ y=4的图象上．
{2x+ y=4)
（2）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组 中的两个二元一次方程的图象．
x−y=−1
（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）；
（3）观察图象，两条直线的交点坐标为________，由此你得出这个二元一次方程组的解是________．
【拓展延伸】
（4）已知二元一次方程ax+by=6的图象经过两点A(2,−1)和B(3,0)，试求a、b的值．{x=1)
【答案】（1）C；（2）画图见解析；（3）(1,2)， ；（4）a的值为1，b的值为−3．
y=2
【分析】本题考查了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系，解二元一次方程组，掌握知识点的应
用是解题的关键．
（1）把A(−1,2)、B(−2,0)、C(1,2)分别代入方程2x+ y=4中，判断方程左右两边是否相等即可；
（2）分别取两个点，让它们的坐标满足方程2x+ y=4和x−y=−1，然后过两点画直线即可；
（3）观察图象即可求解；
（4）把两点A(2,−1)和B(3,0)代入ax+by=6，然后解方程组即可．
【详解】解：（1）∵当x=−1时，2×(−1)+ y=4，解得y=6≠2，
∴点A(−1,2)不在方程2x+ y=4的图象上；
∵当x=−2时，2×(−2)+ y=4，解得y=8≠0，
∴点B(−2,0)不在方程2x+ y=4的图象上；
∵当x=1时，2×1+ y=4，解得y=2，
∴点C(1,2)不在方程2x+ y=4的图象上；
故答案为：C；
（2）由2x+ y=4可得，
当x=1时，y=2；当x=2时，y=0，即点(1,2)，(2,0)；
由x−y=−1得，
当x=1时，y=2；当x=2时，y=3，即点(1,2)，(2,3)；
画图如图，（3）观察图象可得两条直线的交点坐标为(1,2)，
{x=1)
这个二元一次方程组的解是 ，
y=2
{x=1)
故答案为：(1,2)， ；
y=2
（4）∵二元一次方程ax+by=6的图象经过两点A(2,−1)和B(3,0)，
{2a+b=−1)
∴ ，
3a+b=0
{ a=1 )
解得： ，
b=−3
∴a的值为1，b的值为−3．
3．（20-21八年级下·河南南阳·期中）某班“数学兴趣小组，对函数y＝|x|﹣2的图象与性质进行了探究．
探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x可以是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 2 1 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 0 m 2
其中m＝ ．
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出该函数图象．
（3）观察函数图象发现：
①该函数的最小值为 ；该函数是轴对称图形吗？ （填“是”或“否”）；若是，其对称轴是．
②若y＝t与该函数有两个交点，则t的取值范围是 ．
{|x)−y=2)
（4）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出方程组： 的解是 ．
2x+ y=1
【答案】（1）1；（2）见解析；（3）①-2；是，y轴；②t>−2；（4）¿
【分析】（1）将x=3代入函数解析式中求出y值，即可得出结论；
（2）根据表格数据，描点补充完图形；
（3）根据函数图象，此题得解；
（4）根据函数图象即可求得．
【详解】解：（1）当x=3时，y=|x|−2=1，
∴m=1，
故答案为：1；
（2）根据给定的表格中数据描点画出图形，如图所示．（3）观察函数图象，
①该函数的最小值为-2；
该函数是轴对称图形，其对称轴是y轴；
②若y＝t与该函数有两个交点，则t的取值范围是t>−2；
故答案为：①-2；是，y轴；②t>−2；
（4）作出函数y=−2x+1的图象，
观察函数图象知，y=−2x+1的图象与y=|x|−2的图象的交点为(1，-1)，
{|x)−y=2)
∴方程组 的解是¿．
2x+ y=1
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，根据题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．
四、求直线围成的图形面积
1．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是长方形，O为原点，
点A在x轴上，点C在y轴上，A(10,0)，C(0,6)，点D在AB边上，将△CBD沿CD翻折，点B恰好落在
OA边上点E处．(1)求点E的坐标；
(2)求折痕CD所在直线的函数表达式；
(3)延长直线CD交x轴于点F，求△COF的面积．
【答案】(1)E(8,0)
1
(2)y=− x+6
3
(3)54
【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理以及待定系数法求一次函数的解析式的综合应用．解答此
题时注意坐标与图形的性质的运用以及方程思想的运用．
（1）根据折叠的性质知CE=CB=10．在Rt△COE中，由勾股定理求得OE=8；
( 8)
（2）根据OC=6知C(0,6)，由折叠的性质与勾股定理，求得D 10, ，利用待定系数法求CD所在直线
3
的解析式．
（3）先求出点F(18,0)，利用三角形面积公式求出答案即可．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是长方形，
∴BC=OA=10，∠COA=90°，
由折叠的性质知，CE=CB=10，
∵OC=6，
∴在Rt△COE中，由勾股定理得OE=❑√CE2−OC2=8，
∴E(8,0)；
（2）解：设CD所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∵C(0,6)，
∴b=6，
由折叠的性质知，BD=DE，
设BD=DE=x，
∴AD=6−x，AE=OA−OE=2，由勾股定理得AD2+AE2=DE2，
即(6−x) 2+22=x2，
10
解得x= ，
3
10 8
∴AD=6− = ，
3 3
( 8)
∴D 10, ，
3
1
代入y=kx+6得，k=− ，
3
1
故CD所在直线的解析式为：y=− x+6．
3
1
（3）在y=− x+6中，令y=0，则x=18，
3
∴F(18,0)，
1 1
∴S = ×OF×OC= ×18×6=54．
ΔCOF 2 2
2．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象l :y=−x+4与y轴、x
1
1
轴分别交于点A，B，与正比例函数图象l :y= x交于点C．
2 3
(1)求点C的坐标，并求△OBC的面积；
(2)若直线l :y=kx+2与y轴交于点D，与直线l 或l 交于点P，且△ADP的面积为△OBC的面积的2倍，
3 1 2
求k的值．
【答案】(1)点C的坐标为(3,1)，△OBC的面积为2
1 3 1 5
(2)k的值为− 或− 或− 或
2 2 6 6
【分析】本题考查了一次函数图象的性质，一次函数图象交点问题，求平面直角坐标系中三角形的面积等，熟练掌握相关知识点，并灵活运用是解题的关键；
（1）联立函数解析式求得点C的坐标为(3,1)，再求△OBC的面积；
（2）设点P的横坐标为a，根据△ADP的面积为△OBC的面积的2倍，解得a=±4，再分点P为直线l 与
3
直线l 的交点，直线l 与直线l 的交点进行求解．
1 3 2
{y=−x+4
) {x=3)
【详解】（1）解方程组 1 ，解得： ，
y= x y=1
3
∴点C坐标为(3,1)；
对于y=−x+4，当y=0时，由0=−x+4得：x=4，
∴点B坐标为(4,0)，OB=4，
1 1
∴S = OB⋅y = ×4×1=2；
△OBC 2 C 2
（2）对于y=−x+4，当x=0时，y=4，
∴点A坐标为(0,4)．
对于y=kx+2，当x=0时，y=2，
∴点D坐标为(0,2)．
∴AD= y −y =4−2=2，
A D
由题知S =2S =4，
△ADP △OBC
1
设点P的横坐标为a，则 AD⋅|a)=4，
2
解得：a=±4．
当点P为直线l 与直线l 的交点时，
3 1
将x=a=4代入y=−x+4得：y=0，则P(4,0)，
1
将P(4,0)代入y=kx+2得k=− ；
2
将x=a=−4代入y=−x+4得：y=8，则P(−4,8)，
3
将P(−4,8)代入y=kx+2得k=− ；
2
当点P为直线l 与直线l 的交点时，
3 2
1 4 ( 4)
将x=a=4代入y= x得：y= ，则P 4, ，
3 3 3
( 4) 1
将P 4, 代入y=kx+2得k=− ；
3 61 4 ( 4)
将x=a=−4代入y= x得：y=− ，则P −4,− ，
3 3 3
( 4) 5
将P −4,− 代入y=kx+2得k= ；
3 6
1 3 1 5
综上，满足条件的k的值为− 或− 或− 或 ．
2 2 6 6
1 1
3．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，y=− x+6与直线y= x交于点A，与x轴，y轴分别交于
2 2
点B，C．
(1)求出点A，B，C的坐标；
(2)若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的表达式．
【答案】(1)A(6,3)，B(12,0)，C(0,6)．
(2)y=−x+6
【分析】本题考查了一次函数、待定系数法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
1
（1）联立两条直线表达式即可求交点A，直线l :y=− x+6中，令y=0即可求出点B坐标，令x=0即可
1 2
求出点C坐标；
( 1 )
（2）设点D的坐标为 x, x ，根据三角形面积公式列方程即可求出D(4,2)，再利用待定系数法求出直
2
线CD解析式．
【详解】（1）解：联立解析式得：
1
{ y=− x+6)
2 {x=6)
由 ，解得 ，
1 y=3
y= x
2
所以A(6,3)，
1 1
当y=0，代入直线y=− x+6，得0=− x+6，解得x=12，即B(12,0)；
2 2
1
当x=0，y=− x+6=6，即C(0,6)，
2( 1 )
（2）解：设D x, x ，
2
1
因为S =12且C(0,6)，所以 ×6x=12，
△COD 2
所以x=4，所以D(4,2)，
设直线CD表达式为y=kx+b，
把C(0,6),D(4,2)代入得：
{ 6=b ,)
2=4k+b
{k=−1)
所以 ，所以y=−x+6，
b=6
所以直线CD的表达式为y=−x+6．
4．（24-25八年级上·湖南常德·期末）如图，直线l ：y=2x与直线l ：y=kx+b交于点P，点P的坐标为
1 2
(1,m)，OA=3
(1)求直线l 的解析式；
2
(2)求△OAP的面积．
【答案】(1)y=−x+3
(2)3
【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．
（1）先根据直线l 的解析式求出点P(1,2)，再求出A(3,0)，然后利用待定系数法求解即可得；
1
（2）根据点P的坐标可得△OAP的OA边上的高，再利用三角形的面积公式求解即可得．
【详解】（1）解：将点P(1,m)代入直线l ：y=2x得：m=2，
1
∴P(1,2)，
∵点A在x轴的正半轴上，OA=3，
∴A(3,0)，
{3k+b=0) {k=−1)
将点A(3,0)，P(1,2)代入直线l ：y=kx+b得： ，解得 ，
2 k+b=2 b=3
所以直线l 的解析式为y=−x+3．
2（2）解：∵P(1,2)，
∴△OAP的OA边上的高为|2)=2，
∵OA=3，
1
∴△OAP的面积为 ×3×2=3．
2
5．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(−1,−5)和(2,1)．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)求该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积．
【答案】(1)y=2x−3
9
(2)
4
【分析】本题主要考查待定系数法求解析式以及一次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解题的关
键．
（1）运用待定系数法求出函数的解析式；
（2）先求解函数与坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式求出面积即可．
【详解】（1）解：∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(−1,−5)和(2,1)，
{−k+b=−5)
∴ ，
2k+b=1
{ k=2 )
解得 ，
b=−3
故函数解析式为y=2x−3．
（2）解：∵一次函数y=2x−3，
当x=0，y=−3，
当y=0，则2x−3=0，
3
解得：x= ，
2
(3 )
∴一次函数与坐标轴的交点坐标为： ,0 ，(0,−3)，
2
1 3 9
∴S= ×3× = ．
2 2 4
五、一次函数与二元一次方程的综合应用
1．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图像如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的3倍，
并先到达顶．根据图象所提供的信息，下列说法正确的有 ．
①甲登山的速度是每分钟10米；②乙在A地时距地面的高度b为30米；③乙登山5.5分钟时追上甲：④登
山时间为4分钟、9分钟、13分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．
【答案】①②
【分析】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解④的关键是将两函数关系式做差找出关于x
的一元一次方程．
根据速度等于高度除以时间即可算出甲登山上升的速度；根据高度等于速度乘以时间即可算出乙在A地时
距地面的高度b的值和t的值；求出甲登山全程中y关于x的函数关系式，和乙后半段中y关于x的函数关
系式，确定高度差只在x>2时，令二者做差等于50即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：甲登山上升的速度是(300−100)÷20=10（米/分钟），
乙提速后的速度为：10×3=30（米/分钟），
b=15÷1×2=30，
t=2+(300−30)÷30=11，
故①②正确；
设甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y=kx+b，
{ b=100 ) {k=10 )
∴ ，解得 ，
20k+b=300 b=100
∴函数关系式为y=10x+100(0≤x≤20)．
同理求得AB段对应的函数关系式为y=30x−30，
当30x−30=10x+100时，解得：x=6.5，
∴乙登山6.5分钟时追上甲，故③错误；
当x=2时，高度差为10×2+100−30=90>50，
当10x+100−(30x−30)=50时，解得：x=4；
当30x−30−(10x+100)=50时，解得：x=9；当300−(10x+100)=50时，解得：x=15．
故登山4分钟、9分钟或15分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．故④错误；
故答案为：①②．
2．（24-25八年级下·广东湛江·期末）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．某餐厅的机器人
聪聪和慧慧，准备从厨房门口出发，给相距9m的客人送餐．聪聪先出发，且速度保持不变．慧慧待聪聪出
发15s后出发，2s后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为x(s)，聪聪和慧慧行走的路程分别为
y (m)、y (m)．y 、y 与x之间的函数图象如图所示．
1 2 1 2
(1)求慧慧提速前的速度；
(2)求图中的t与n的值．
(3)慧慧出发几秒后行走在聪聪的前面？
【答案】(1)0.3(m/s)
(2)t=31s，n=45s
(3)慧慧出发9秒后行走在聪聪的前面
【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的应用等．熟练
掌握从函数图象获取信息的方法是解题的关键．
（1）根据速度=路程÷时间计算即可；
（2）求出慧慧提速后的速度，利用路程=速度×时间，求出慧慧在线段BC的过程中所用的时间，得出A点
坐标，根据时间=路程÷速度求出n的值即可；
（3）根据待定系数法求出线段OD、线段BC的解析式，联立方程，求出两线段的交点横坐标，即可求解．
【详解】（1）解：由图像可得，慧慧从0m走到了0.6m，总共用了17−15=2s，
∴提速前的速度为0.6÷2=0.3(m/s)．
（2）解：∵慧慧提速后将速度提高到原来的2倍，
∴慧慧提速后的速度为0.3×2=0.6(m/s)，
由图象可得线段BC的过程中，慧慧从0.6m处行走到了9m，
9−0.6
∴慧慧在线段BC的过程中所用的时间为 =14(s)，
0.6
∴t的值为17+14=31(s)；结合图像可得A点坐标为(31,6.2)，
即聪聪从0m处行走到了6.2m时，用了31s，
∴聪聪的速度为6.2÷31=0.2(m/s)，
∴聪聪行走9m用的时间为9÷0.2=45(s)，即n=45s．
（3）解：由图象可得，线段OD所在的直线经过A(31,6.2)，
设直线OD的函数关系式为：y =k x，
1 1
将(31,6.2)代入y =k x，得31k =6.2，
1 1 1
解得：k =0.2，
1
∴线段OD的函数关系式为：y =0.2x(0≤x≤45)，
1
由图象可得，线段BC所在的直线经过B(17,0.6)，C(31,9)，
设直线BC的函数关系式为：y =k x+b，
2 2
{17k +b=0.6)
将(17,0.6)，(31,9)，代入y =k x+b得 2 ，
2 2 31k +b=9
2
{k =0.6 )
解得： 2 ，
b=−9.6
∴线段BC的函数关系式为：y =0.6x−9.6(17≤x≤31)；
2
∴当y = y 时，慧慧和聪聪行走的路程一样．
2 1
即0.6x−9.6=0.2x，
解得：x=24，
∴此时慧慧行走所用的时间为：24−15=9(s)，
即慧慧出发9秒后行走在聪聪的前面．
3．（24-25八年级下·山东青岛·期末）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3km−10km的出
行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，下面图象反映了收费y（元）与骑行时间x(min)之间的对应关
系，其中A品牌收费方式对应y ，B品牌的收费方式对应y ，请根据相关信息，解答下列问题：
1 2
(1)分别求y (x≥10)，y 关于x的函数关系式；
1 2
(2)小明每天骑行A品牌或B品牌的共享电动车外出，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度相等，那么小明选择哪个品牌共享电动车更省钱？
【答案】(1)y =0.2x+4(x≥10)；y =0.4x
1 2
(2)当骑行时间为20min时，A，B两种品牌的共享电动车收费相等，选A，B一样；当骑行时间小于20min
时，选B品牌；当骑行时间大于20min时，选A品牌．
【分析】本题主要考查用待定系数法求一次函数解析式，从一次函数图象获得信息解决实际问题，正确掌
握相关知识是解决问题的关键．
（1）y 是关于x的正比例函数，由图象知过P(20,8)，利用待定系数法分别求得函数解析式即可；
2
y (x≥10)是关于x的一次函数，由图象知过点(10,6)，(20,8)，利用待定系数法分别求得函数解析式即
1
可；
（2）根据图象可比较y ，y 的大小，需要分类讨论，即可解决问题．
1 2
【详解】（1）解：设y =k x，
2 2
∵y =k x过P(20,8)代入得，
2 2
20k =8，
2
解得：k =0.4，
2
∴y =0.4x，
2
∴y 关于x的函数解析式为y =0.4x；
2 2
设当x>10时，y =k x+b，
1 1
将点(10,6)，(20,8)代入得，
{10k +b=6)
1 ，
20k +b=8
1
{k =0.2)
解得 1 ，
b=4
∴当x≥10时，y =0.2x+4，
1
∴y =0.2x+4(x≥10)；
1
（2）解：由图象知，当骑行时间为20min时，A，B两种品牌的共享电动车收费相等，选A，B一样；
当骑行时间小于20min时，选B品牌：
当骑行时间大于20min时，选A品牌．
4．（2025·河北邯郸·二模）在2025年春晚的舞台上，名为《秧BOT》的创新节目惊艳亮相！这场科技与
艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．某快递公司
为提高配送效率，使用智能配送机器人．已知机器人充满电后开始工作；其剩余电量y(%)与行驶时间x（分钟）的关系如图所示．机器人每次配送前都充满电；且当剩余电量≤10%时停止行驶，等待充电．
(1)求剩余电量y与行驶时间x的函数关系式（无需写自变量的取值范围）．
(2)若某次配送需要50分钟，该机器人是否需要中途充电？请说明理由．
(3)为提高效率，技术人员将机器人的电量消耗速度降低20%．
①写出优化后的剩余电量y与行驶时间x的函数关系式；
②计算优化后的单次最远行驶时间．
【答案】(1)y=−x+100
(2)该机器人不需要中途充电，理由见解析
(3)①y=−0.8x+100；②112.5分钟
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）把x=50代入（1）所得函数解析式求出y的值即可判断；
（3）由图知，原先每行驶1分钟，电量消耗1%，即得优化后，每行驶1分钟，电量消耗为
1%×(1−20%)=0.8%，进而即可求解；②把y=10代入①所得函数解析式求出x的值即可求解；
本题考查了一次函数的应用，理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：设y=kx+b(k≠0)，将(0,100)，(40,60)代入得，
{ b=100 )
，
40k+b=60
{k=−1)
解得 ，
b=100
∴y与x的函数关系式为y=−x+100；
（2）解：当x=50时，y=−50+100=50>10，
∴该机器人不需要中途充电；
（3）解：①由图知，原先每行驶1分钟，电量消耗1%，
∴优化后，每行驶1分钟，电量消耗为1%×(1−20%)=0.8%，
∴优化后的y与x的函数关系式为y=−0.8x+100；
②令y=10，则−0.8x+100=10，
解得x=112.5，∴优化后的单次最远行驶时间为112.5分钟．
3
1．（24-25八年级下·陕西延安·期末）如图，直线y=− x+6与y轴、x轴分别交于点A、B，M是线段
4
OB上一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在y轴上的点B′处，则直线AM的函数解析式是（ ）
1 1
A．y= x+6 B．y=−2x+6 C．y=− x+3 D．y=−2x+3
2 2
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠的性质，待定系数法求一次函数解析式等，先根
据一次函数解析式求出点A、B的坐标，进而由勾股定理和折叠的性质求出OB′，再利用勾股定理求出点
M的坐标，最后利用待定系数法解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
3
【详解】解：把x=0代入y=− x+6，得y=6，
4
∴A(0,6)，
3 3
把y=0代入y=− x+6，得0=− x+6，
4 4
解得x=8，
∴B(8,0)，
∴OA=6，OB=8，
∴AB=❑√OA2+OB2=❑√62+82=10，
由折叠可得，AB′=AB=10，B′M=BM，
∴OB′=AB′−OA=10−6=4，
设OM=a，则B′M=BM=8−a，
在Rt△B′OM中，OB′2+OM2=B′M2，∴42+a2=(8−a) 2，
解得a=3，
∴M(3,0)，
设直线AM的函数解析式为y=kx+b，把A(0,6)和M(3,0)代入得，
{ 6=b )
，
0=3k+b
{k=−2)
解得 ，
b=6
∴直线AM的函数解析式是y=−2x+6，
故选：B．
2．（2025·安徽芜湖·三模）物理课上，小明经过多次实验发现：在弹簧弹力范围内，弹簧总长y(cm)是弹
簧秤所挂重物质量x(kg)的一次函数，其部分对应值如下表所示：
重物质量
0.5 1.5 3 4 5 6
x/kg
弹簧总长
11 13 a b 20 22
y/cm
根据以上信息，表中的a−b的值为（ ）
A．2 B．−1 C．−2 D．−8
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的应用，确定解析式是解题的关键．
根据题意，弹簧总长y是所挂重物质量x的一次函数，设函数解析式为y=kx+c，利用已知数据点求出k
和c，再代入x=3和x=4计算对应的a和b，最后求a−b的值．
【详解】解：根据题意，弹簧总长y是所挂重物质量x的一次函数，设函数解析式为y=kx+c，
{0.5k+c=11)
把点(0.5,11)和(1.5,13)代入得， ，
1.5k+c=13
{k=2
)
解得： ，
c=10
因此，函数解析式为：y=2x+10，
当x=3时，a=2×3+10=16，
当x=4时，b=2×4+10=18，
∴a−b=16−18=−2，
故选：C．OB 1
3．（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）如图：直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A、B两点， = ，点
OA 2
C(x,y)是直线y=kx+3上与A、B不重合的动点．
(1)求直线y=kx+3的解析式；
(2)当点C运动到什么位置时△AOC的面积是6；
(3)过点C的另一直线CD与y轴相交于D点，是否存在点C使△BCD与△AOB全等？若存在，请求出点C
的坐标；若不存在，请说明理由．
1
【答案】(1)直线解析式为y=− x+3
2
(2)点C的坐标为(2,2)或(10,−2)；
(6❑√5 3❑√5) ( 6❑√5 3❑√5)
(3)存在，C ,3− 、(−6,6)或 − ,3+ 时，△BCD与△AOB全等
5 5 5 5
【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）利用三角形的面积关于y的方程，再求出点C的坐标即可；
（3）利用勾股定理列式求出AB，然后根据∠CBD=∠ABO，然后分三种情况：当BC与AB是对应边时，
利用全等三角形对应边相等求出BD、CD，再写出点C的坐标即可；②BC与BO是对应边时，过点C作
CE⊥y轴于E，利用面积法求出CE、BE，再分点C在y轴的左边与右边两种情况求解即可．
3
【详解】（1）解：当x=0时，y=3，当y=0时，x=− ，
k
( 3 )
∴点A − ,0 ,B(0,3)，
k
3
∴OA=− ,OB=3，
k
OB 1
∵ = ，
OA 2
3 1
= 1
∴ 3 2，解得：k=− ，
− 2
k1
∴直线解析式为y=− x+3；
2
（2）解：由（1）得：OA=6，
∵点C(x,y)，△AOC的面积是6，
1
∴ OA×|y )=6，
2 C
1
∴ ×6×|y)=6，
2
解得：y=±2，
∴点C的坐标为(2,2)或(10,−2)；
（3）解：存在，
在Rt△AOB中，∵OA=6,OB=3，
∴AB=❑√32+62=3❑√5，
1
∵点C是直线y=− x+3上与A、B不重合的动点，过点C的另一直线CD与y轴相交于点D，
2
∴∠CBD=∠ABO，
当BC与AB是对应边时，
∵△BCD≌△BAO，
∴BD=BO=3,CD=AO=6，
∴OD=OB+BD=3+3=6，
∴点(−6,6)；
BC与BO是对应边，点C在y轴的左侧时，过点C作CE⊥y轴于E，∵△BCD≌△BOA，
∴BC=BO=3,BD=BA=3❑√5,CD=OA=6，
1 1
∵ ×BD×CE= ×BC×CD，
2 2
1 1
∴ ×3❑√5×CE= ×3×6，
2 2
6❑√5
解得：CE= ，
5
∴BE=❑√BC2−CE2=❑
√
32−
(6❑√5) 2
=
3❑√5
，
5 5
3❑√5
∴OE=OB+BE=3+ ，
5
( 6❑√5 3❑√5)
∴点C的坐标为 − ,3+ ；
5 5
BC与BO是对应边，点C在y轴的左侧时，过点C作CE⊥y轴于E，
∵△BCD≌△BOA，
∴BC=BO=3,BD=BA=3❑√5,CD=OA=6，
1 1
∵ ×BD×CE= ×BC×CD，
2 2
1 1
∴ ×3❑√5×CE= ×3×6，
2 26❑√5
解得：CE= ，
5
∴BE=❑√BC2−CE2=❑
√
32−
(6❑√5) 2
=
3❑√5
，
5 5
3❑√5
∴OE=OB−BE=3− ，
5
(6❑√5 3❑√5)
∴点C的坐标为 ,3− ；
5 5
(6❑√5 3❑√5) ( 6❑√5 3❑√5)
综上所述，点C的坐标为 ,3− 、(−6,6)或 − ,3+ ．
5 5 5 5
【点睛】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求解，勾股定理，全等三角形
的性质，关键在于根据题意得到∠CBD=∠ABO，从而确定出三角形的对应边，难点在于分情况讨论，
作出图形更形象直观．
4．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）A市和B市分别有库存的某种联合收割机12台和6台，现决定运往
C市和D市各9台，已知从A市运往C市、D市的运费分别为每台400元和600元，从B市运往C市、D
市的运费分别为每台200元和500元．设A市运往C市的联合收割机为x台，总运费为w元．
(1)求w关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求总运费w最低的调运方案，并求出最低总运费．
【答案】(1)w=100x+7500，3≤x≤9
(2)A市运3台联合收割机到C市，运9台联合收割机到D市，B市6台联合收割机全部运往C市，7800
（元）．
【分析】本题考查一次函数的应用，求出一 函数的解析式是解题的关键
（1）基本关系：运费=单价×数量，总运费=A市运往C市的运费+ A市运往D市的运费，据此列出一次函
数，并建立不等式组求取值范围；
（2）根据一次函数的性质求解即可．【详解】（1）w=400x+600(12−x)+200(9−x)+500（x−3)，
w=100x+7500
x≥0
{ )
12−x≥0
9−x≥0
x−3≥0
解得：3≤x≤9；
（2）∵100>0，∴w随x的增大而增大
∴当x=3时，w =100×3+7500=7800（元）
最小
此时的调运方案为：A市运3台联合收割机到C市，运9台联合收割机到D市，B市6台联合收割机全部
运往C市．
5．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）如图是某型号新能源电动汽车满电后，蓄电池剩余电量y(kW⋅h)关
于已行驶路程x(km)的函数图象．
(1)当0≤x≤200时，求y关于x的函数解析式；
(2)当汽车行驶180km时，蓄电池的剩余电量是多少kW⋅h？
1
{ − x+60(0≤x<150) )
6
【答案】(1)
y=
1
− x+110(150≤x≤200)
2
(2)20kW⋅h
【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂函数图象，熟练运用待定系数法．
（1）用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
1
（2）把x=180代入y=− x+110(150≤x≤200)求出y的值即可．
2
【详解】（1）解：当0≤x<150时，设y=k x+b ，
1 1
{ b =60 )
1
则 ，
150k +b =35
1 1{ k =− 1 )
解得： 1 6 ，
b =60
1
1
∴y=− x+60，
6
当150≤x≤200时，设y=k x+b ，
2 2
{150k +b =35)
则 2 2 ，
200k +b =10
2 2
{ k =− 1 )
解得： 2 2 ，
b =110
2
1
∴y=− x+110；
2
1
{ − x+60(0≤x<150) )
6
综上分析可知：y=
；
1
− x+110(150≤x≤200)
2
1
（2）解：当x=180时，y=− ×180+110=20，
2
故此时蓄电池的剩余电量为20kW⋅h．
6．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l :y=−x+2与过点A(−2,0)的
1
直线l 交于点P(−1,m)，与x轴交于点B．
2
(1)求直线l 的函数表达式；
2
(2)点M在直线l 上，直线MN∥y轴，交直线l 于点N，若MN=2AB，求点M的坐标．
2 1
【答案】(1)y=3x+6
(2)点M的坐标为(1,9)或(−3,−3)【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，求得交点坐标是解题的
关键．
（1）把点P的坐标代入y=−x+2，求出m的值，然后利用待定系数法求出直线的解析式；
（2）由已知条件得出M、N两点的横坐标，利用两点间距离公式求出M的坐标．
【详解】（1）解：∵直线l :y=−x+2与直线l 交于点P(−1,m)，
1 2
∴m=−(−1)+2=3，
∴P(−1,3)，
设直线l 的解析式为y=kx+b，
2
∵直线l 过点A(−2,0)和P(−1,3)，
2
{−2k+b=0)
∴ ，
−k+b=3
{k=3)
解得， ，
b=6
∴直线l 的解析式为y=3x+6；
2
（2）解：在y=−x+2中，令y=0，则0=−x+2，得x=2，
∴B(2,0)，
∵A(−2,0)，
∴AB=2−(−2)=4，
设M(a,3a+6)，
∵MN∥y轴，
∴N(a,−a+2)
∴MN=|(3a+6)−(−a+2))=2AB=8
即4a+4=8或4a+4=−8，
解得：a=1或a=−3，
∴点M的坐标为(1,9)或(−3,−3)
7．（24-25七年级下·山东东营·期末）在直角坐标系内，一次函数y=kx+b的图象经过三点A(4,0)，
B(0,2)，C(m,−3)．
(1)求这个一次函数解析式；
(2)求m的值；
(3)若x轴上有一点D，且S =2，求点D的坐标．
△ABD
1
【答案】(1)y=− x+2
2(2)m=10
(3)点D的坐标(6,0)或(2,0)
【分析】本题考查一次函数图象与性质，涉及待定系数法确定一次函数表达式、求函数图象上点的坐标、
直线与坐标轴围成三角形面积等知识，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键．
（1）由待定系数法确定一次函数表达式即可得到答案；
1
（2）由（1）知一次函数y=− x+2，将C(m,−3)代入求解即可得到答案；
2
（3）作出图形，设点D的坐标(a,0)，由S =2，列方程求解即可得到答案．
△ABD
【详解】（1）解：∵一次函数y=kx+b的图象经过三点A(4,0)，B(0,2)，
{4k+b=0)
∴把A(4,0)，B(0,2)代入y=kx+b中得 ，
b=2
{ k=− 1 )
解得 2 ，
b=2
1
∴这个一次函数解析式为y=− x+2；
2
1
（2）解：∵一次函数y=− x+2的图象经过三点C(m,−3)，
2
1 1
∴把C(m,−3)代入y=− x+2中得− m+2=−3，解得m=10；
2 2
（3）解：如图所示：
设点D的坐标(a,0)，
∵S =2，A(4,0)，B(0,2)，
△ABD
1
∴ |a−4)×2=2，即|a−4)=2，
2
解得a=6或a=2，
∴点D的坐标(6,0)或(2,0)．1．（24-25八年级下·内蒙古兴安盟·期末）A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．
甲、乙两人离开A地的距离s（单位：km）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示，则以下结论：①乙
比甲提前出发1h；②甲行驶的速度为40km/h；③3h时，甲、乙两人相距80km；④0.75h或1.125h时，
乙比甲多行驶10km．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据图象获得信息后，利用待定系数法，路程，速度，时间的关系等处理信息解答即可．
本题考查了一次函数的图象，待定系数法，根据解析式计算，熟练掌握一次函数的性质，待定系数法是解
题的关键．
【详解】解：根据(1,0)可得，时间过了1h甲的路程为0km，即乙比甲提前出发1h，
故①正确；
甲(3−1)=2h个小时行驶了80km，
80
故甲的速度为 =40(km/h)，
2
故②正确；
设甲的解析式为S=kt+b，
{ k+b=0 )
根据题意，得 ，
3k+b=80
{ k=40 )
解得 ，
b=−40
所以S=40t−40，
设乙的解析式为S=pt，
3
根据题意，得20= p，
2
40
解得p= ，
3
40
故乙的解析式为S= t，
340
当t=3时，S =40t−40=80，S = t=40，
甲 乙 3
故S −S =40，
甲 乙
3h时，甲、乙两人相距40km，
故③错误；
40
当甲运动前，乙比甲多行驶10km时，根据题意，得10= t，
3
解得t=0.75h；
40
当甲运动后，乙比甲多行驶10km时，根据题意，得 t=40t−40+10，
3
解得t=1.125h；
故0.75h或1.125h时，乙比甲多行驶10km．
故④正确，
故选：C．
2．（24-25八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，一次函数y =−kx+3m(m>1)的图象记作直
1
线l ，l 与x轴相交于点A(3m,0)，一次函数y =kx−m−2的图象记作直线l ．
1 1 2 2
(1)求k的值；
(2)点M，N分别在直线l ，l 上，将线段MN进行平移得到线段PQ，使得点P，Q分别落在直线l ，l 上，
1 2 2 1
连接NQ，MP．
若点M(1,5)，求点Q的坐标；
①若直线l ：y =n y +t y （n，t为常数，n+t>0）将四边形MNQP分成面积相等的两部分．试探究是
3 3 1 2
②否存在一组常数n，t，使得无论m取何值，直线l 都经过x轴上的某一个定点，若存在，请求出n，t的值
3
及该定点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)1
1 3
(2)①Q(9,−3)，②存在，n= ，t= ，过定点(3,0)
4 4
【分析】（1）根据一次函数过点代入得到方程，结合已知条件求得k值即可；
（2）由（1）知一次函数y =−x+3m，y =x−m−2，①根据点M在直线l 上求得m，即可得一次函数
1 2 1
y =−x+6，y =x−4，联立求得交点为(5,1)，结合平移的性质可知四边形MNQP为平行四边形，则点
1 2
M和点Q的中点为直线l 和l 交点，设点Q(x,y)，根据中点列出方程组求解即可；
1 2
②由一次函数y =−x+3m和y =x−m−2得l ：y =(t−n)x+(3mn−tm−2t)，结合平行四边形的性质
1 2 3 3
可得直线l 经过直线l 和直线l 的交点，列出方程组求得直线l 经过直线l 和直线l 的交点为(2m+1,m−1)，
3 1 2 3 1 21 3
进一步得到t+n−1=0和3n−t=0，联立求得n和t，即可得y = x− ，可求得与x轴的交点．
3 2 2
【详解】（1）解：∵一次函数y =−kx+3m过点A(3m,0)，
1
∴−k⋅3m+3m=0，
∵m>1
∴m≠0，
则k=1；
（2）解：由（1）知k=1，则一次函数y =−x+3m，y =x−m−2，
1 2
①∵点M(1,5)在直线l ，
1
∴5=−1+3m，解得m=2，
则一次函数y =−x+6，y =x−4，
1 2
{y=−x+6)
联立得 ，
y=x−4
{x=5)
解得 ，
y=1
则直线l 和l 交点为(5,1)，
1 2
如图所示，
∵线段MN进行平移得到线段PQ，
∴四边形MNQP为平行四边形，
则点M和点Q的中点为直线l 和l 交点，
1 2
设点Q(x,y)，
1+x
{ =5)
则 2 ,解得 { x=9 ) ，
5+ y y=−3
=1
2
∴Q(9,−3)；
②存在，理由如下，∵一次函数y =−x+3m，y =x−m−2，
1 2
∴直线l ：y =n y +t y =n(−x+3m)+t(x−m−2)
3 3 1 2
=(t−n)x+(3mn−tm−2t)，
∵直线l 将平行四边形MNQP分成面积相等的两部分，
3
∴直线l 经过直线l 和直线l 的交点，
3 1 2
{y=−x+3m) {x=2m+1)
联立 ，解得 ，
y=x−m−2 y=m−1
∵直线l 经过直线l 和直线l 的交点(2m+1,m−1)，
3 1 2
∴m−1=(t−n)(2m+1)+(3mn−tm−2t)
∴(t+n−1)m−t−n+1=0，
∵与m的值无关，
∴t+n−1=0，
∵无论m取何值，直线l 都经过x轴上的某一个定点，
3
∴0=(t−n)x+(3mn−tm−2t)，
则(t−n)x+m(3n−t)−2t=0，
∵无论m取何值，
∴3n−t=0，
1
{ n= )
{3n−t=0 ) 4
则 ，解得 ，
t+n−1=0 3
t=
4
(3 1) ( 1 3 3)
则y = − x+ 3× m− m−2× ，
3 4 4 4 4 4
1 3
则y = x− ，
3 2 2
1 3
令y =0，则0= x− ，解得x=3，
3 2 2
即过定点(3,0)，
1 3
∴存在，n= ，t= ，过定点(3,0)．
4 4
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，涉及一次函数的性质、解二元一次方程组、平移的性质、平行四
边形的判定和性质和过定点的性质，解题的关键是熟悉一次函数的性质和过定点的求解方式．
3．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）在平面直角坐标系xOy中，点A(a,0)，B(0,b)，且a，b满足
|a+4|=−❑√3−b，将直线AB沿x轴向右平移m个单位长度交x轴于点D，交y轴于点C(0,c)(c<0)．(1)求三角形AOB的面积；
3
(2)如图1，若c=− ，求m的值；
2
(3)如图2，当CD=AB时，过点B作x轴的平行线交直线CD于点E，点P以每秒1个单位长度的速度从点B
出发沿射线BE运动，设运动时间为t秒，连接CP交x轴于点F，若三角形CDF的面积不大于三角形OCD
的面积的一半，求t的取值范围．
【答案】(1)6
(2)m=6
(3)4≤t≤12
【分析】（1）由|a+4|=−❑√3−b可得a=−4，b=3，故OA=4,OB=3，用三角形面积公式得三角形
AOB的面积为6；
3 3
（2）用待定系数法求出直线AB解析式为y= x+3，则平移后的CD解析式为y= (x−m)+3， 把
4 4
( 3)
C 0,− 代入计算即可；
2
1
（3）先证明△AOB≌△DOC(ASA)，得到OA=OD=4,OB=OC=3，则S = OC⋅OD=6，
△OCD 2
1 1
D(4,0)，C(0,−3)，再根据三角形CDF的面积不大于三角形OCD的面积的一半，得到 DF×3≤ ×6，
2 2
解得DF≤2，最后根据当F在D左侧或右侧分情况讨论，结合DF=2求出F和直线CF解析式，再y=3得P
点坐标，求出BP，根据t=BP÷1计算即可．
【详解】（1）解：∵a，b满足|a+4|=−❑√3−b，
∴|a+4|+❑√3−b=0，
∴a+4=0，3−b=0，
∴a=−4，b=3，
∴A(−4,0)，B(0,3)，∴OA=4,OB=3，
1 1
∴S = OA⋅OB= ×4×3=6；
△AOB 2 2
∴三角形AOB的面积为6；
（2）解：设直线AB解析式为y=kx+b，
{−4k+b=0)
把A(−4,0)，B(0,3)代入得： ，
b=3
{ k= 3 )
解得 4 ，
b=3
3
∴直线AB解析式为y= x+3，
4
3
∴将直线AB沿x轴向右平移m个单位长度后CD解析式为y= (x−m)+3，
4
3 ( 3)
当c=− 时，C 0,− ，
2 2
( 3) 3 3 3
把C 0,− 代入y= (x−m)+3得− = (0−m)+3，
2 4 2 4
解得m=6；
（3）解：∵CD∥AB，
∴∠ABO=∠DCO，∠BAO=∠CDO，
∵AB=CD，
∴△AOB≌△DOC(ASA)，
∴OA=OD=4,OB=OC=3，
1
∴S = OC⋅OD=6，D(4,0)，C(0,−3)，
△OCD 2
∵三角形CDF的面积不大于三角形OCD的面积的一半，
1 1
∴ DF×3≤ ×6，
2 2
解得DF≤2，
当F在D左侧，且DF=2时，
∵D(4,0)，
∴F(2,0)，
3
由C(0,−3)，F(2,0)得直线CF解析式为y= x−3，
2令y=3得x=4，
∴P(4,3)；
此时BP=4，
∴t=BP÷1=4（秒）；
当F在D右侧，且DF=2时，
∵D(4,0)，
∴F(6,0)，
1
由C(0,−3)，F(6,0)得直线CF解析式为y= x−3，
2
令y=3得x=12，
∴P(12,3)；
此时BP=12，
∴t=BP÷1=12（秒）；
∴三角形CDF的面积不大于三角形OCD的面积的一半，t的取值范围是4≤t≤12．
【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平移变换，全等三角形判定与性质
等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
